Exercices sur les suites v 0 = 1 On considère la suite numérique ( v n ) définie pour tout entier naturel n par 9.

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1 Liba 13 v 0 = 1 O cosidère la suite umérique ( v ) défiie pour tout etier aturel par 9 v +1 = 6 v Partie A 1 O souhaite écrire u algorithme affichat, pour u etier aturel doé, tous les termes de la suite, du rag 0 au rag Parmi les trois algorithmes suivats, u seul coviet Préciser lequel e justifiat la répose Algorithme No 1 Algorithme No 2 Algorithme No 3 Variables : v est u réel, i et sot des etiers aturels Début de l algorithme Lire v pred la valeur 1 Pour i variat de 1 à faire Début de l algorithme Lire Pour i variat de 1 à faire v pred la valeur 1 v pred la valeur Fi pour Fi algorithme 9 6 v v pred la valeur Fi pour Fi algorithme 9 6 v Début de l algorithme Lire v pred la valeur 1 Pour i variat de 1 à faire v pred la valeur Fi pour Fi algorithme 2 Pour = 10 o obtiet l affichage suivat : 1 1,800 2,143 2,333 2,455 2,538 2,600 2,647 2,684 2,714 Pour = 100, les deriers termes affichés sot : 2,967 2,968 2,968 2,968 2,969 2,969 2,969 2,970 2,970 2,970 Quelles cojectures peut-o émettre cocerat la suite ( v )? 3 a Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, 0 < v < 3 ( b Démotrer que, pour tout etier aturel, v +1 v = 3 v ) 2 La suite ( v 6 v ) est-elle mootoe? c Démotrer que la suite ( v ) est covergete Partie B Recherche de la limite de la suite ( v ) O cosidère la suite ( w ) défiie pour tout etier aturel par w = 1 Démotrer que ( w ) est ue suite arithmétique de raiso E déduire l expressio de w 3 Détermier la limite de la suite v ( ), puis celle de ( v ) e foctio de ( ) 1 v v Amérique du Nord 13 O cosidère la suite ( u ) défiie par u 0 = 1 et, pour tout etier aturel, u +1 = 2u 1 wwwelbazsebastieyolasitecom

2 1 O cosidère l algorithme suivat : est u etier aturel Variables u est u réel positif Demader la valeur de Iitialisatio Affecter à u la valeur 1 Pour i variat de 1 à : Traitemet Affecter à u la valeur 2u Fi de Pour Sortie Afficher u a Doer ue valeur approchée à 10 4 près du résultat qu affiche cet algorithme lorsque l o choisit = 3 b Que permet de calculer cet algorithme? c Le tableau ci-dessous doe des valeurs approchées obteues à l aide de cet algorithme pour certaies valeurs de : Valeur 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999 affichée Quelles cojectures peut-o émettre cocerat la suite ( u )? 2 a Démotrer que, pour tout etier aturel, 0 < u 2 b Détermier le ses de variatio de la suite ( u ) c Démotrer que la suite ( u ) est covergete O e demade pas la valeur de sa limite 3 O cosidère la suite ( v ) défiie, pour tout etier aturel, par v = l( u ) l2 a Démotrer que la suite ( v ) est la suite géométrique de raiso 1 et de premier terme 2 v 0 = l2 b Détermier, pour tout etier aturel, l expressio de v e foctio de, puis de u e foctio de c Détermier la limite de la suite ( u ) d Recopier l algorithme ci-dessous et le compléter par les istructios du traitemet et de la sortie, de faço à afficher e sortie la plus petite valeur de telle que u > 1,999 Variables Iitialisatio Traitemet Sortie est u etier aturel u est u réel Affecter à la valeur 0 Affecter à u la valeur 1 Polyésie 13 O cosidère la suite ( u ) défiie par u 0 = 1 2 et telle que pour tout etier aturel, u +1 = 3u 1+ 2u 2 wwwelbazsebastieyolasitecom

3 1 a Calculer u 1 et u 2 b Démotrer, par récurrece, que pour tout etier aturel, 0 < u 2 O admet que pour tout etier aturel, u < 1 a Démotrer que la suite ( u ) est croissate b Démotrer que la suite ( u ) coverge 3 Soit ( v ) la suite défiie, pour tout etier aturel, par v = u 1 u a Motrer que la suite ( v ) est ue suite géométrique de raiso 3 b Exprimer pour tout etier aturel, v e foctio de c E déduire que, pour tout etier aturel, u = Cetres étragers 13 L objet de cet exercice est l étude de la suite ( u ) défiie par so premier terme u 1 = 3 2 relatio de récurrece : u +1 = u +1 2( +1) Partie A - Algorithmique et cojectures et la Pour calculer et afficher le terme u 9 de la suite, u élève propose l algorithme ci-dessous Il a oublié de compléter deux liges Variables est u etier aturel ; u est u réel Iitialisatio Affecter à la valeur 1 Affecter à u la valeur 1,5 Traitemet Tat que < 9 Affecter à u la valeur Affecter à la valeur Fi Tat que Sortie Afficher la variable u 1 Recopier et compléter les deux liges de l algorithme où figuret des poits de suspesio 2 Commet faudrait-il modifier cet algorithme pour qu il calcule et affiche tous les termes de la suite de u 2 jusqu à u 9? 3 Avec cet algorithme modifié, o a obteu les résultats suivats, arrodis au dix-millième : u 1,5 0,625 0,375 0,2656 0,2063 0,1693 0,0102 0,0101 Au vu de ces résultats, cojecturer le ses de variatio et la covergece de la suite ( u ) Partie B Étude mathématique O défiit ue suite auxiliaire ( v ) par : pour tout etier 1, v = u 1 1 Motrer que la suite ( v ) est géométrique ; préciser sa raiso et so premier terme 1+ 0,5 2 E déduire que, pour tout etier aturel 1, o a : u = ( ) 3 wwwelbazsebastieyolasitecom

4 3 Détermier la limite de la suite ( u ) ,5 4 Justifier que, pour tout etier 1, o a : u +1 u = ( ) 0,5 ( +1) E déduire le ses de variatio de la suite ( u ) ( ) Partie C - Retour à l algorithmique E s ispirat de la partie A, écrire u algorithme permettat de détermier et d afficher le plus petit etier tel que u < 0,001 Asie 13 Partie A O cosidère la suite u ( ) défiie par : u 0 = 2 et, pour tout etier ature : u +1 = 1+ 3u O admet que tous les termes de cette suite sot défiis et strictemet positifs 1 Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, o a : u > 1 ( )( 1+ u ) 2 a Établir que, pour tout etier aturel, o a : u +1 u = 1 u 3+ u b Détermier le ses de variatio de la suite u Partie B O cosidère la suite u 3+ u ( ) E déduire que la suite ( u ) coverge ( ) défiie par : u 0 = 2 et, pour tout etier ature : u +1 = 1+ 0,5u O admet que tous les termes de cette suite sot défiis et strictemet positifs 1 O cosidère l algorithme suivat : Etrée Soit u etier aturel o ul Iitialisatio Affecter à u la valeur 2 Traitemet et sortie POUR i allat de 1 à 1+ 0,5u Affecter à u la valeur 0,5 + u Afficher u FIN POUR 0,5 + u Reproduire et compléter le tableau suivat, e faisat foctioer cet algorithme pour = 3 Les valeurs de u serot arrodies au millième i u 1 Pour = 3, o a prologé le tableau précédet et o a obteu : i u 1,0083 0,9973 1, , , , , , , wwwelbazsebastieyolasitecom

5 Cojecturer le comportemet de la suite ( u ) à l ifii 3 O cosidère la suite ( v ) défiie, pour tout etier aturel, par : v = u 1 u +1 a Démotrer que la suite ( v ) est géométrique de raiso 1 3 b Calculer v 0 puis écrire v e foctio de 4 a Motrer que, pour tout etier aturel, o a : v 1 b Motrer que, pour tout etier aturel, o a : u = 1+ v 1 v c Détermier la limite de la suite ( u ) Métropole 13 Soit la suite umérique ( u ) défiie sur! par : u 0 = 2 et pour tout etier aturel, u +1 = 2 3 u a Calculer u 1, u 2, u 3 et u 4 O pourra e doer des valeurs approchées à10 2 près b Formuler ue cojecture sur le ses de variatio de cette suite 2 a Démotrer que pour tout etier aturel, u + 3 b Démotrer que pour tout etier aturel, u +1 u = 1 ( u ) c E déduire ue validatio de la cojecture précédete 3 O désige par ( v ) la suite défiie sur! par v = u a Démotrer que la suite ( v ) est ue suite géométrique de raiso 2 3 b E déduire que pour tout etier aturel, u = c Détermier la limite de la suite ( u ) + 4 Pour tout etier aturel o ul, o pose : S = u = u k 0 + u 1 ++ u et T = S 2 a Exprimer S e foctio de b Détermier la limite de la suite ( T ) k= k=0 Métropole Sept 13 O cosidère la suite ( u ) défiie sur N par : u 0 = 2 et pour tout etier aturel, u +1 = u + 2 2u +1 O admet que pour tout etier aturel, u > 0 1 a Calculer u 1, u 2, u 3, u 4 O pourra e doer ue valeur approchée à 10 2 près b Vérifier que si est l u des etiers 0, 1, 2, 3, 4 alors u 1 a le même sige que ( 1 ) 5 wwwelbazsebastieyolasitecom

6 c Établir que pour tout etier aturel, u +1 1 = u +1 2u +1 d Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel, u 1 a le même sige que ( 1 ) 2 Pour tout etier aturel, o pose v = u 1 u +1 a Établir que pour tout etier aturel, v +1 = u +1 3u + 3 b Démotrer que la suite ( v ) est ue suite géométrique de raiso 1 3 E déduire l expressio de v e foctio de c O admet que pour tout etier aturel, u = 1+ v Exprimer u 1 v e foctio de et détermier la limite de la suite ( u ) 6 wwwelbazsebastieyolasitecom

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