Méthode du simplexe: préliminaires. 2. Programmation linéaire. Solution de base. Méthode du simplexe: préliminaires. b. Méthode du simplexe

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1 Méthode du smplee: prélmares Modèles de recherche opératoelle (RO). Programmato léare b. Méthode du smplee Das le cas où l y a ue fté de solutos, la méthode d élmato de Gauss-Jorda permet d detfer tros types de varables : varables fées varables dépedates varables dépedates Eemple : : fée; : dépedate;, 3 : dépedates Programmato léare Méthode du Smplee 3 Méthode du smplee: prélmares Méthode algébrque basée sur la résoluto de systèmes d équatos léares Revor la méthode d élmato de Gauss-Jorda O s téresse uquemet au systèmes d équatos léares avec u ombre de varables supéreur au ombre d équatos Das ce cas, l y a deu possbltés : l y a pas de soluto l y a ue fté de solutos O suppose que toutes les varables sot Soluto de base Soluto obteue e fat toutes les varables dépedates à Varables hors-base : varables dépedates fées à Varables de base : les autres varables Soluto de base réalsable : lorsque toutes les varables de base ot ue valeur Soluto de base réalsable dégéérée : lorsqu au mos ue varable de base a la valeur Das l eemple, la soluto de base est :,, 3 Elle est réalsable et o dégéérée Programmato léare Méthode du Smplee Programmato léare Méthode du Smplee

2 Pvot Il est facle de chager le statut des varables par des opératos élémetares : Das cette ouvelle soluto de base, o a : Varable hors-base : 3 Varables de base :,, Soluto de base o réalsable : 5,, - Pvot : opérato cosstat à remplacer ue varable de base par ue varable hors base pour obter ue ouvelle soluto de base, dte adjacete Eemple Wydor Glass (sute) Soluto de base : (,, 3,, 5 ) (,,,, 8) O veut effectuer u pvot : remplacer la varable hors-base par ue des varables de base actuelles Laquelle?... O veut que la ouvelle soluto de base sot réalsable Das cette soluto de base, o aura toujours et ue des varables d écart devedra ue varable hors-base, doc predra la valeur Programmato léare Méthode du Smplee 5 Programmato léare Méthode du Smplee 7 Retour à l eemple Wydor Glass Les cotrates foctoelles sot : O ajoute des varables d écart pour trasformer ces égaltés e système d équatos : Varables hors-base :, Programmato léare Méthode du Smplee 6 Eemple Wydor Glass (sute) E eplotat les égaltés 5 8 o obtet : / 6 8/ 9 Doc, e posat 6, o obtet, alors que s o augmete davatage, la soluto devet o réalsable O effectue u pvot: remplacer la varable de base (qu devedra hors-base) par Programmato léare Méthode du Smplee 8

3 Eemple Wydor Glass (sute) Iterprétato géométrque O obtet alors le système suvat : Soluto de base : (,, 3,, 5) (,6,,,6) O effectue u pvot pour que la varable etre das la base (devee varable de base) Pusque : Programmato léare Méthode du Smplee 9 Programmato léare Méthode du Smplee Eemple Wydor Glass (sute) E posat, o obtet Pvot : remplacer la varable de base 5 par Le système obteu est alors : Soluto de base : ( 5 5,, 3,, ) (,6,,,) Programmato léare Méthode du Smplee Iterprétato géométrque Ue soluto de base réalsable correspod à u pot etrême du domae réalsable U pvot correspod à u déplacemet d u pot etrême à u autre qu lu est adjacet La méthode du smplee : Démarre avec ue soluto de base réalsable tale (u pot etrême) Effectue à chaque térato u pvot, passat as à ue soluto de base réalsable adjacete (u pot etrême adjacet) S arrête lorsqu elle detfe ue soluto de base réalsable optmale (u pot etrême correspodat à ue soluto optmale) Programmato léare Méthode du Smplee 3

4 Iterprétato des varables d écart Das la soluto optmale du problème Wydor Glass, o a 3, 5 Cela dque que les deu derères ressources (temps au uses et 3) sot pleemet utlsées Ue parte de la premère ressource (temps à l use ) est pas utlsée: heures Vor l eemple das le OR Tutor Crtère d optmalté (sute) Après substtuto das l objectf, o obtet : z ( + (/3) (/3) 5 ) + 5 (6 (/) ) 36 - (3/) 5 Toute soluto réalsable (,, 3,, 5 ) satsfat z (3/) La valeur optmale est doc 36 Programmato léare Méthode du Smplee 3 Programmato léare Méthode du Smplee 5 Crtère d optmalté Eprmos l objectf e focto des varables horsbase das la soluto optmale Rappelos que das cette soluto, o a : Crtère d optmalté (sute) Le crtère d optmalté s éoce as comme sut : État doé que l objectf s eprme uquemet e focto des varables hors-base de la soluto de base réalsable courate S les coeffcets de ces varables das l objectf sot tous égatfs ou uls, alors la soluto de base réalsable courate est optmale Les coeffcets des varables hors-base das l objectf sot appelés coûts réduts (ou coûts relatfs) Programmato léare Méthode du Smplee Programmato léare Méthode du Smplee 6

5 Varable d etrée S au mos u coût rédut est postf pour la soluto de base réalsable courate : O a pas ecore attet ue soluto optmale Il faut doc effectuer au mos u pvot Quelle varable dot-o fare etrer das la base? O propose de chosr celle dot le coût rédut est le plus grad parm toutes les varables hors-base Cette varable fourt la plus grade augmetato margale (par uté) de la valeur de l objectf Atteto : ce est peut-être pas la plus grade augmetato globale Programmato léare Méthode du Smplee 7 Varable de sorte (sute) Pour que toutes les varables demeuret o égatves sute au pvot, o dot avor : S j aj b ajj ajj b, l égalté e lmte pas l augmetato de S cette codto est satsfate pour tous les, o peut doc augmeter défmet j : l objectf est o boré S j, l égalté lmte l augmetato de a > Varable de sorte : celle qu attet Programmato léare Méthode du Smplee 9 j b m a aj j > Varable de sorte Lorsqu o effectue u pvot, l faut chosr la varable qu va sortr de la base e tetat de garder toutes les varables o égatves Supposos que j est la varable d etrée Alors, chaque varable de base s eprme as e focto de la varable d etrée (pusque les autres varables hors-base sot ulles) : b ajj Das cette epresso, les coeffcets obteus sute à pluseurs pvots O a écessaremet b (pourquo?) b aj, sot Programmato léare Méthode du Smplee 8 Méthode du smplee: résumé. Obter ue soluto de base réalsable tale. Vérfer le crtère d optmalté: s les coûts réduts de toutes les varables hors-base sot égatfs ou uls, arrêter 3. Chosr la varable d etrée j, celle qu a le coût rédut le plus élevé b. Détermer la varable de sorte: m aj> aj 5. Effectuer u pvot et détermer ue ouvelle soluto de base réalsable; retourer à l étape Vor l eemple das le OR Tutor Programmato léare Méthode du Smplee 5

6 Forme augmetée Tout modèle de PL peut se rameer à la forme suvate : ajj+ + j j,,..., + ma cjj b,,..., m,,..., m Hypothèse: b,,,,m But: obter ue soluto de base tale S b, Trasformato du e ajj b, b <, o multple l'égalté par -et o se ramèe au cas suvat, c'est - à - dre celu l y a deu cas : o ajoute ue varable d' écart ajj+ + b de la trasformato + et o obtet (égalté) (égalté) Programmato léare Méthode du Smplee Programmato léare Méthode du Smplee 3 Trasformato du m au ma Supposos qu o dot mmser l objectf au leu de le mamser O utlse alors la proprété suvate: m cjj ma cjj O résout le problème de mamsato e chageat les sges des coeffcets das l objectf La valeur optmale du problème de mmsato est l opposé de celle du problème de mamsato S Trasformato du e a j jb, b, l y a deu cas: o multplel'égaltépar -pour se rameer au casprécédet c'est-à -dreceludela trasformato b >, o soustrat ue varabledesurplus a j j + o se ramèeau cassuvat, b (égalté) + c'est- à - dreceludel'troducto de varablesartfceles (égalté) et o obtet Programmato léare Méthode du Smplee Programmato léare Méthode du Smplee 6

7 Ajout de varables artfcelles Illustrato: commet trouver ue soluto réalsable? S,.., a j j b et qu aucue varable est solée (ue varable est solée s elle est à coeffcet das cette équato et à coeffcet das les autres): O ajoute ue varable artfcelle + O lu assoce u proft très égatf : - M ma,.., c j j - M + sous les cotrates:,.., a j j b S le problème est réalsable, o dot avor + m z. +.5 sous les cotrates: , Programmato léare Méthode du Smplee 5 Programmato léare Méthode du Smplee 7 Que fare s vous avez de la dffculté pour trouver ue soluto réalsable? Méthode à deu phases Phase : trouver ue soluto réalsable e mmsat la somme des varables artfcelles Phase : optmser e reveat à la focto de coût tal à partr de la soluto tale trouvée das la phase Méthode du grad M Optmser e utlsat ue focto objectve formée de la focto de coût tale et de la somme, très fortemet péalsée, des varables artfcelles Trasformatos Système tal Système d égaltés s s 6 s, s Programmato léare Méthode du Smplee 6 Programmato léare Méthode du Smplee 8 7

8 Itroducto de varables artfcelles Système d égaltés s s 6 s, s Ajout de varables artfcelles s a s + a3 6 s, s, a, a3 Varables à valeurs quelcoques S ue varable j peut predre des valeurs égatves, o trodut deu varables j+ et j- O pose alors j j+ - j - Autre possblté : s j L j (L j est ue costate égatve) O pose alors j+ j - L j Programmato léare Méthode du Smplee 9 Programmato léare Méthode du Smplee 3 Démarrer l algorthme du smple Ajout de varables artfcelles s a s + a3 6 s, s, a, a3 Algorthme à deu phases Phase : m a + a3 jusqu à obter ue valeur optmale ulle (s le PL a ue soluto réalsable) Phase : m. +.5 Pour epérmeter Pour des petts modèles (mos de 6 varables et 6 cotrates foctoelles) : essayer le IOR Tutoral Pour des modèles plus gros, modélser et résoudre avec Ecel Solver Revor le cas Wydor Glass Pour des modèles ecore plus gros, essayer Ldo/Lgo et CPLEX/MPL (CD) Méthode du grad M m M a + M a3 Programmato léare Méthode du Smplee 3 Programmato léare Méthode du Smplee 3 8