Graphes et Recherche Opérationnelle

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1 Graphes et Recherche Opérationnelle ESIAL 2 nde année Notes de cours Tony Bourdier Version 51 École Supérieure d Informatique et Applications de Lorraine 193 avenue Paul Muller CS Villers-lès-Nancy tonybourdier@loriafr wwwtony-bourdierfr

2 Table des matières 2 Table des matières I Programmation linéaire continue 3 1 Introduction 3 11 Modélisation Exemple de problème de production Différentes formes d un programme linéraire 4 12 Définitions Solutions Base et solutions de base réalisables Convexité Théorèmes 8 2 Algorithme naïf 9 3 Méthode du simplexe Principe de l algorithme Méthode générale Recherche du sommet de départ Changement de base Algorithme Problème de maximisation avec contraintes de majoration Cas général Cas remarquables 26 4 Analyse de sensibilité postoptimale Caractérisation de l optimum Analyse postoptimale de l objectif Analyse standard Analyse paramétrée Analyse postoptimale du second membre Analyse standard 28 5 Dualité 28 6 Exemples 3 61 Exemple Exemple Exemple Exercices Notations Questions de cours Résolution de problèmes linéaires Algorithme du simplexe Problème réalisable COPD 35 ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

3 1 Introduction 3 Première partie Programmation linéaire continue 1 Introduction 11 Modélisation 111 Exemple de problème de production On considère deux produits nécessitant une certaine quantité de ressources pour leur production On souhaite maximiser les bénéfices totaux découlant de la vente de ces deux produits Le tableau suivant récapitule les ressources requises et bénéfices engendrés pour et par la production de ces deux produits Produit 1 Produit 2 Disponibilité Equipement Main d oeuvre Matière première Bénéfice 1, 1 1 La démarche à suivre pour modéliser un problème en recherche opérationnelle est la suivante : (i) Choix des inconnues Pour l exemple traité, les inconnues, notées x j, correspondent au nombre de produit j fabriqués (ii) Choix de la fonction que l on cherche à optimiser (ie maximiser ou minimiser) appelée fonction-objectif Dans notre cas, il s agit du bénéfice engendré par la vente des deux produits : ϕ(x 1, x 2 ) = 1, 1 x x 2 comme on souhaite la maximiser cette fonction, on note : max x 1,x 2 [ϕ(x 1, x 2 ) = 1, 1 x x 2 ] (iii) Détermination de toutes les contraintes à respecter Ici, il s agit des disponibilités : 1 x x x x x x 2 21 x 1, x 2 En remarquant que quelque soient α, β R, α β δ, α + δ = β on peut également écrire l ensemble des contraintes sous la forme suivante : 1 x x 2 + δ 1 = 15 1 x x 2 + δ 2 = 9 3 x x 2 + δ 3 = 21 x 1, x 2, δ 1, δ 2, δ 3 ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

4 1 Introduction Différentes formes d un programme linéraire Définition 11 : Un problème est posé sous forme canonique mixte ssi il est présenté sous l une des deux formes suivantes : (i) Dans le cas d une maximisation : (fonction-objectif) max [ϕ = x 1,,x n (contraintes d inégalité) i I 1, P + = (contraintes d égalité) i I 2, n c j x j ] j=1 n a ij x j b i j=1 n a ij x j = b i j=1 (contraintes de signe) j J 1, x j j J 2, x j de signe quelconque (ii) Dans le cas d une minimisation : (fonction-objectif) min [ϕ = x 1,,x n (contraintes d inégalité) i I 1, P = (contraintes d égalité) i I 2, n c j x j ] j=1 n a ij x j b i j=1 n a ij x j = b i j=1 (contraintes de signe) j J 1, x j j J 2, x j de signe quelconque où : I 1 est l ensemble des indices des contraintes d inégalité, I 2 est l ensemble des indices des contraintes d égalité, I 1 I 2 = I = {1,,m} est l ensemble des indices des contraintes, J 1 est l ensemble des indices de variables de signe positif, J 1 est l ensemble des indices de variables de signe, quelconque J 1 J 2 = J = {1,,n} est l ensemble des indices des variables Remarque 12 : n est le nombre de variables et m le nombre de contraintes d égalité et d inégalité On supposera par la suite que m n Définition 13 : Un problème est posé sous forme canonique pure ssi il ne possède pas de contrainte d égalité : I 2 = J 2 = Sous forme matricielle, on obtient : (fonction-objectif) P + = (contraintes d inégalité) (contraintes de positivité) max x R n[ϕ = c x] A x b x n ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

5 1 Introduction 5 et (fonction-objectif) min P x R = n[ϕ = c x] (contraintes d inégalité) A x b (contraintes de positivité) x n a 11 a 1n a 21 a 2n b 1 c 1 où A = M m,n(r), b = R m et c = b a m1 a m mn sont les données du problème et x = déterminer x 1 x n c n R n R n est l inconnue que l on cherche à Définition 14 : Un problème est posé sous forme standard ssi il ne possède que des contraintes d égalité : I 1 =, J 2 = et i I 2, b i Sous forme matricielle, on obtient : (fonction-objectif) P = (contraintes d égalité) (contraintes de positivité) min x R ou max n x R n[ϕ = c x] A x = b x n b m Proposition 15 : Tout problème linéaire écrit sous forme canonique s écrit sous forme standard et inversement Pour cela, on introduit des variables appelées «variables d écart» : ( ) x A x b (A I m ) = b δ ( ) x A x b (A I m ) = b δ où I m = 1 1 M m (R) et δ = δ 1 δ m m Définition 16 : La forme standard d un problème est dite simpliciale ssi la matrice des contraintes A se décompose de la façon suivante : A = (I m H ) où H M m,n p (R) Les contraintes se réécrivent donc : (I m H ) x = b ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

6 1 Introduction 6 12 Définitions 121 Solutions Dans cette partie, nous considérerons un problème P écrit sous forme standard : (fonction-objectif) min ou max x Rn x R P = n[ϕ = c x] (contraintes d égalité) A x = b (contraintes de positivité) x n avec A M m,n (R), b R m, c R n et x R n Définition 17 : On appelle solution de P tout vecteur x R n vérifiant A x = b, autrement dit tout vecteur satisfaisant aux contraintes d égalité Définition 18 : On appelle solution réalisable (ou solution admissible) de P tout vecteur x n vérifiant A x = b, autrement dit tout vecteur satisfaisant à toutes les contraintes du problème (contraintes d égalité et de positivité) Remarque 19 : On appelle domaine réalisable et l note D F l ensemble de toutes les solutions réalisable du problème : D F = {x R n A x = b et x n } Définition 11 : Une solution réalisable x D F est dite optimale ssi (i) (dans le cas d une maximisation) x D F, c x c x (ii) (dans le cas d une minimisation) x D F, c x c x 122 Base et solutions de base réalisables Définition 111 : On suppose que la matrice A M m,n (R) est de rang m On peut donc trouver m vecteurs-colonnes v 1,,v m de A linéairement indépendants On note B les indices de ces vecteurs-colonnes dans A, A B la matrice formée de ces vecteurscolonnes : A B = (v 1 v m ) et H les indices des autres colonnes de A ainsi que A H la matrice formée de ces vecteurscolonnes La matrice A peut alors s écrire, à une permutation des colonnes près : où A = (A B A H ) A B M m (R) est une matrice telle que rang(a B ) = m (on parle de «base extraite de A») A H M m,n m (R) ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

7 1 Introduction 7 On partitionne alors les vecteurs c et x de la même façon : ( ) ( ) cb xb c = et x = c H où c B, x B R m et x B, x H R n m de telle sorte que le problème s écrive sous la forme suivante : (fonction-objectif) min ou ( max[ϕ ) = c Bx B + c Hx H ] xb P = (contraintes d égalité) (A B A H ) = A x B x B + A H x H = b H (contraintes de positivité) x B m et x H n m x H Exemple 112 : Soit A = M 3,4 (R) On peut former une base extraite de A à partir de B 1 = {1, 2, 3}, B 2 = {1, 2, 4}, B 3 = {1, 3, 4} et B 4 = {2, 3, 4} On a alors : A B1 = 6 5 4, A B2 = 6 5 7, A B3 = et A B4 = Définition 113 : Une solution x = ( xb x H autrement dit, ssi elle peut s écrire sous la forme : ( ) xb x = n m ) est dite de base ssi x H = n m, Proposition 114 : Soit A B M m (R) une base extraite de A, ie telle que ( xb x H ) = rang(a B ) = m et A H M m,n m (R), A = (A B A H ) ( A 1 B b n m ) est une solution de base Démonstration : Si A B est de rang m, alors A B est inversible, donc A 1 B ) ( A 1 (A B A H ) B b n m = A B A 1 B b + A H n m = b existe et : ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

8 1 Introduction 8 Remarque 115 : Pour alléger les notations, on s autorisera à dire que B est une base extraite même si B représente les indices des vecteurs de la base extraite En particulier, pour tout vecteur x R m, on note x /B pour désigner les coordonnées de x dans la base B On omet de préciser cette base lorsqu il s agit de la base canonique De plus, si chaque colonne de la matrice A représente un vecteur, par exemple si la 1 ère colonne de A est associée à un vecteur x 1, la 2 nde à x 2 et la 3 ème à e 1, on écrira aussi bien B = {1, 2, 3} que B = {x 1, x 2, e 1 } Proposition 116 : L ensemble des solutions de base est exactement ( l ensemble ) des xb coordonnées du vecteur b dans toutes les bases extraites de A, ie x = est une solution de base ssi il existe une base extraite B de A telle que x B = b /B n m Démonstration : Il suffit de voir que A 1 B b représente les coordonnées de b dans la base de R m formée par B (A 1 B est la matrice de passage de la base canonique vers la base B) ( ) b/b Remarque 117 : est une solution de base réalisable ssi b /B m 123 Convexité n m Définition 118 : Soient x et y deux points d un domaine D On appelle segment joignant x et y l ensemble des combinaisons linéaires convexes de x et de y : S(x, y) = {λ x + (1 λ) y λ 1} Définition 119 : Un domaine D est dit convexe ssi x, y D, S(x, y) D Définition 12 : On dit que z est un sommet du domaine D ssi x, y D \ {z}, z S(x, y) Théorème 121 : Soit D un domaine convexe Tout point de D est combinaison linéaire convexe de D 124 Théorèmes Théorème 122 : L ensemble des solutions réalisables D F forme un domaine convexe, autrement dit, pour toutes solutions réalisables x et y, λ x+(1 λ) y est une solution réalisable, quelque soit λ [, 1] ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

9 2 Algorithme naïf 9 Démonstration : Soient x et y D F : { A x = b x A y = b y Pour tout λ [, 1], on a : { λ A x = λ b (1 λ) A y = (1 λ) b A ( λ x + (1 λ) y ) = b et x, y (λ x + (1 λ) y), donc (λ x + (1 λ) y) D F Théorème 123 : Les sommets de D F sont exactement les solutions de base réalisables Remarque 124 : Les théorèmes 121 et 123 nous permettent d affirmer que toute solution réalisable est combinaison linéaire convexe de solutions de base réalisable Théorème 125 : L optimum de ϕ, s il existe, est atteint en au moins un sommet de D F Démonstration : On considère le problème de maximisation Pour celui de minimisation, il faut et il suffit de remplacer les > par des < Raisonnons par l absurde et supposons qu il existe au moins une solution optimale x et qu aucune solution optimale ne soit un sommet Alors, d après 121, il existe s 1,,s p sommets, différents de x, tels que : x = p λ i s p avec p λ i = 1 Comme x est optimal : c x > c s i i 1, p donc p λ i c x > p λ i c s i ( p ) ( p ) λ i c x > c λ i s i c x > c x On aboutit à une absurdité Théorème 126 : Toute combinaison linéaire convexe de solutions optimales est une solution optimale 2 Algorithme naïf Remarque 227 : Les résultats précédents nous permettent d affirmer que pour tout problème possédant au moins une solution optimale finie, il existe une solution de base réalisable optimale (et toute solution optimale est une combinaison linéraire convexe de ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

10 2 Algorithme naïf 1 solutions de base réalisables optimales) Autrement dit, on peut ne s intéresser qu aux solutions de bases Remarque 228 : On a vu que l ensemble des solutions de bases est l ensemble des coordonnées de b dans une base extraite de A, ie les solutions des systèmes linéaires A B x = b pour toute base B extraite de A Il existe C m n matrice carrée extraite de A (il y a C m n façon de choisir m colonnes parmi les n colonnes de A) - Algorithme 229 : Le nombre de bases extraites de A étant fini, on peut évaluer toutes les solutions de bases et les comparer, autrement dit, appliquer l algorithme suivant : pour i allant de 1 à C m n faire : (i) B choisir m colonnes parmi les n colonnes de A (en excluant les choix des précédentes itérations) (ii) si B est une base, ie si det(a B ), alors calculer les coordonnées de b dans la base B, autrement dit la solution de A B x = b, c est à dire A 1 B b (iii) si A 1 B b, alors x (i) A 1 B b ϕ (i) c x (i) retourner x tel que ϕ = max(ϕ (i) ) i Remarque 23 : La complexité de cet algorithme est assez rédibitoire : il faut résoudre C m n systèmes linéaires d ordre m, autrement dit, pour un problème posé sous forme canonique avec n variables et m contraintes, sachant que la forme simpliciale correspondante comportera m + n variables, la complexité de l algorithme sera de l ordre de O((m+n) 3 C m n+m) Le tableau suivant permet de se faire une idée de l ordre de grandeur ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

11 2 Algorithme naïf 11 d une telle quantité en fonction de n et de m : n m (m + n) 3 Cn+m m Exemple 231 : Soit le problème suivant : max[ϕ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 5 x x x x 4 ] 2 x x x x 4 1 P = 1 x x x x x x x x 4 2 x 1, x 2, x 3, x 4 P s écrit sous la forme standard simpliciale suivante : max x R P = 7[ϕ = c x] A x = b x 7 avec b = A = R 3, c = M 3,7 (R), R 7, x = x 1 x 2 x 3 x 4 δ 1 δ 2 δ 3 R 7 Pour déterminer la solution, l algorithme 229 a été implanté en matlab : ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

12 2 Algorithme naïf 12 n = 7; m = 3; nb_op = factorial(n)/(factorial(m)*factorial(n-m)); x = zeros(n,nb_op); phi = zeros(1,nb_op); A = [ ]; b = [ 1 ; 16 ; 2 ]; c = [ 5 ; 4 ; 7 ; 8 ; ; ; ]; ptr=; for :n do for j=(i+1):n do for k=(j+1):n do ptr = ptr+1; B = [i;j;k]; A_B = A(:,B); // A = [A(:,i) A(:,j) A(:,k)] if(det(a_b)~=) sol = inv(a_b)*b; if(sol>=) x(b,ptr) = sol; phi(ptr) = c *x(:,ptr); else phi(ptr) = -%inf; end end end end end [phi_max indice] = max(phi) x_opt = x(:,indice) Le résultat est le suivant : phi_max = 92 x_opt = Autrement dit, la base optimale est B = {1, 4, 5} = {x 1, x 4, e 1 }, A B = 1 1, x B = A 1 B b = 4 et la solution de base réalisable optimale est 2 52 : ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

13 3 Méthode du simplexe 13 x = x 1 x 2 x 3 x 4 e 1 e 2 e 3 = ou encore (il est inutile d indiquer les valeurs correspondant aux variables d écart car elles ne contribuent pas à la fonction-objectif) : x 1 12 x = x 2 x = 3 et ϕ(x ) = 92 x Méthode du simplexe 31 Principe de l algorithme Remarque 332 : Pour éviter de calculer les solutions de tous les systèmes linéaires m m extraits de A, on a recours à un algorithme appelé simplexe L algorithme du simplexe repose sur la démarche suivante : on parcourt également l ensemble des sommets de D F mais l on se donne le moyen de déterminer si le sommet en cours d étude est optimal et si ce n est pas le cas, on passe au sommet adjacent qui augmente le plus la fonction-objectif En résumé, le simplexe procède comme suit : (i) on recherche un sommet de départ (ii) on teste si la fonction-objectif n est pas bornée supérieurement, auquel cas le problème n a pas de solution finie (iii) on détermine si ce sommet est l optimum (iv) si le sommet que l on étudie n est pas optimal, alors on se déplace sur un sommet voisin pour lequel la fonction-objectif diminue et l on retourne à l étape (ii) (ce qui correspond à échanger une variable hors base avec une variable de base) 32 Méthode générale 321 Recherche du sommet de départ Soit P un problème 1 écrit sous forme canonique : (fonction-objectif) max[ϕ = c x] P = (contraintes d égalité) A x b (contraintes de positivité) x n avec A M m,n (R), b R m, c R n et x R n 1 On traite ici le cas où le problème est un problème de maximisation La résolution d un problème de minimisation sera examinée ultérieurement ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

14 3 Méthode du simplexe 14 Exprimer P sous forme standard permet d obtenir directement une forme standard simpliciale : (fonction-objectif) max[ϕ = c x] P = (contraintes d égalité) Ã x = b (contraintes de positivité) x m+n avec On a donc : Ã = ( I }{{} m }{{} A ) = Ã B Ã H b = b 1 b m R m, c = x B = 1 a 1,1 a 1,n 1 a m,1 a m,n e 1 e m c 1 c n R m+n et x = et x H = x 1 x n La solution de base réalisable «triviale» est (proposition 114) : soit x B = b et x H = n m ( ) xb x = = x H 322 Changement de base ( Ã 1 B b n m ) ( b = n m M m,m+n (R), e 1 e m x 1 x n ) R m+n Soit B = {e 1,,e m } la base canonique de R m On souhaite étudier les conséquences engendrées par le changement d un des vecteurs de la base : ie parle remplacement d un des vecteurs de B, noté e s, par un vecteur quelconque v = v 1 v m de R m En premier lieu, il est nécessaire de vérifier que l ensemble B = B \ {e s } {v} est bien une base B est une base ssi 1 v 1 det(b 1 ) = det 1 v m 1 on rappelle que la permutation de deux lignes (ou deux colonnes) multiplie le déterminant par 1, donc deux permutation successives ne changent pas la valeur du déterminant, en ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

15 3 Méthode du simplexe 15 particulier, si l on permute la s ème colonne avec la dernière colonne puis la s ème ligne avec la dernière ligne, on obtient : 1 v 1 det(b 1 ) = det 1 v m 1 Le déterminant d une matrice triangulaire est égal au produit des termes diagonaux, soit : det(b ) = Autrement dit, B est une base ssi On suppose donc désormais que Comme e s n appartiendra plus à la base, il faut déterminer ses coordonnées dans la nouvelle base Comme v est un vecteur de R m et B la base canonique de R m, on a : v = v i e i =, i s e s = 1 v v i e i + e s, i s v i e i Soit z un vecteur de R m dont les coordonnées dans la base canonique sont z 1,,z m On cherche les coordonnées de z dans la nouvelle base B : z = z i e i = = =, i s, i s, i s On en déduit la proposition suivante : z i e i + z s e s z i e i + z s 1 v ( z i v ) i z s e i + z s v, i s v i e i Proposition 333 : Les coordonnées de z dans la base B sont : z /B = z 1 v 1 z s z s z m v m z s ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

16 3 Méthode du simplexe 16 et la matrice de passage de B vers B est : B 1 = 1 v v m 1 1 = 1 v v m 1 On a vu que les solutions de bases réalisables correspondent aux coordonnées positives de b dans les différentes bases Pour que b i v i b s ( i s) b s soit une solution de base réalisable, il faut nécessairement que i 1, m, b i v i b s i 1, m, b i v i b s i 1, m, b s = min i 1,m b i b s v i v } s et que > (puisque b s, b s et ) Donc la variable qui doit sortir de la base est entièrement déterminée par la variable que l on fait entrer dans la base Pour déterminer la variable qui doit entrer dans la base, on étudie la variation de la fonction- { bi v i ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

17 3 Méthode du simplexe 17 objectif engendrée par ce changement base : ( ) ϕ b /B = c B b /B = = = = =, i s, i s, i s, i s ( b i v ) i b s c i + b s c v b i c i b i c i b i c i, i s b i c i + b s c s = ϕ(b /B ) + b s c v = ϕ(b /B ) + b s v i b s c i + b s c v v i b s c i + b s c v v i b s c i + b s c v v i b s c i v s ( ) c v v i c i v i b s c i + b s c v L augmentation de la fonction-objectif sera la plus importante en choisissant v réalisant : ( ) ) max c v v i c i = max (c v c B v /B avec c v ϕ(v) > (sinon la fonction-objectif va diminuer) Remarque 334 : Les calculs précédents ont permis de déterminer un critère de choix de la variable entrante un critère de choix de la variable sortante un critère d optimalité Proposition 335 : Soit x = ( xb x H ) une solution de base réalisable associée à une base B x est une solution de base réalisable optimale ssi pour toute variable hors base v L H (v) = c v c B v /B si x n est pas une solution de base réalisable, la base B est remplacée par la base B = B {v e } \ { } où v e et sont déterminés par les conditions suivantes : (i) v e est la variable hors base vérifiant : L H (v e ) = max {L H (v) L H (v) > } (ii) est la variable de base vérifiant : { } b s v e (s) = min bi i 1,m v e (i) v e(i) > ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

18 3 Méthode du simplexe Algorithme 331 Problème de maximisation avec contraintes de majoration Données de départ : Soit un problème P énoncé sous forme canonique pure : (fonction-objectif) max x R P = n[ϕ = c x] (contraintes d inégalité) A x b (contraintes de positivité) x n avec A = c 1 c 2 c = c n a 1,1 a 1,n a m,1 Rn, x = a m,n x 1 x n R n, M m,n (R) et b = b 1 b m R m Étape 1 : On commence par mettre le problème sous forme standard simpliciale Pour cela, on introduit des variables dites variables d écart permettant l expression des contraintes sous la forme d un système d équations linéaires Le problème P devient alors : max x R P = n[ϕ = c x] A x = b x n avec A c c 1 c 2 c n R m+n, x 1 a 1,1 a 1,n 1 a m,1 a m,n e 1 e m x 1 x n b 1 R m+n, b = b m R m M m,m+n (R) et B {1, 2,,m} On a : A = (A B A H ) a 1,1 a 1,n avec A B = I m M m,m (R) et A H = M m,n (R) et x = a m,1 a m,n ( xb x H ) ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

19 3 Méthode du simplexe 19 avec x B = e 1 e m R m et x H = x 1 x n R n Étape 2 : Recherche ( d une solution de base réalisable initiale Comme nous l avons A 1 vu plus haut, x = B b ) est une solution de base réalisable Comme A B = I m, la n ( ) ( ) xb b solution de base réalisable de départ est x = = x H n Définition 339 : Pour permettre une exploitation de l algorithme «à la main», on introduit un tableau comportant l ensemble des données du problème disposées de façon à faciliter l application des différentes étapes Ce tableau se présente comme suit : Variables de base B Variables hors base H b [A B ] /B [A H ] /B b /B L H /B ϕ(b /B ) Chaque étape du simplexe correspond à l étude de ces différentes données relativement à la base B choisie Á chaque étape, on peut soit calculer ces différentes informations directement : [A B ] /B = A 1 B A B [A H ] /B = A 1 B A H b /B = A 1 B b ϕ(b /B ) = c B b /B [L H ] /B = c H c B A 1 B A H = c H c B [A H ] /B soit de façon itérative à partir de la base de travail précédente, compte-tenu du fait que deux bases successives ne diffèrent que d un seul vecteur, ce qui facilite considérablement les calculs comme il l a été montré dans la section précédente C est cette seconde méthode que nous adopterons Remarque 34 : Avant de passer à l étape suivante, rappelons le fonctionnement général de l algorithme du simplexe : ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

20 3 Méthode du simplexe 2 Construction du tableau initial Solution optimale? non Détermination de la variable entrante oui Fin Détermination de la variable sortante «Pivotage» Fin Mise à jour des données dans la nouvelle base Schéma général de l algorithme du simplexe Étape 3 : Construction du tableau initial Les données à l initialisation sont les suivantes : B e 1,,e m A B I m On a donc le tableau suivant : Variables de base B Variables hors base H e 1,,e m x 1,,x n A B = I m A H b L H = c H ϕ(b) = Étape 4 : Vérification de l optimalité de la solution Sauf cas dégénéré, la solution est optimale ssi L H Si tel est le cas, on arrête la procédure Étape 5 : Choix de la variable entrante La variable entrante est la variable hors base v e vérifiant : L H (v e ) = max {L H (v) L H (v) > } ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

21 3 Méthode du simplexe 21 (C est à dire la variable correspondant à plus grande valeur positive de la dernière ligne du tableau) Étape 6 : Choix de la variable sortante La variable sortante est la variable de base vérifiant : { } b s v e (s) = min bi i 1,m v e (i) v e(i) > Étape 7 : Pivotage Une fois déterminées les variables entrante et sortante, on permute leurs colonnes respectives : B B {v e } \ { } Étape 8 : Changement de base Les variables de bases (B) ont changé, il faut donc calculer l ensemble des données dans cette nouvelle base, autrement dit calculer A 1 B et multiplier chaque matrice (A B, A H et b) par A 1 B à gauche L algorithme de Gauss-Jordan nous fournit un moyen simple d effectuer ces deux opérations simultanément Remarque 347 : Soit M M m (R) une matrice : x 1,1 x 1,m M = x m,1 x m,m Calculer M 1, c est chercher l unique matrice P telle que P M = I m La matrice P contient l ensemble des combinaisons linéaires à appliquer sur les lignes de M pour obtenir l identité Ainsi, multiplier une matrice Q à gauche par P consiste à appliquer ces mêmes combinaisons linéaires sur les lignes de Q Autrement dit, pour obtenir la matrice (M 1 M M 1 Q) à partir de (M Q), il faut et il suffit d appliquer sur les lignes de (M Q) les combinaisons linéaires permettant d obtenir I m à la place de M Étape 9 : Mise à jour des coûts réduits et de ϕ(b) On admet la propriété suivante : v, L H /B (v) = L H /B (v) L H /B (e)v /B (s) où e (resp s) est l indice de la variable entrante (resp sortante) Effectuer cette mise à jour pour tous les vecteurs revient à ajouter à L H une combinaison linéaire des lignes de (A B A H b ) telle que L H (e) = Sachant que ϕ(b /B ) = ϕ(b /B /B ) + b s L H v e (s) /B (e), }{{} b s la mise à jour de la fonction-objectif se fait de la même façon que les coûts réduits ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

22 3 Méthode du simplexe 22 Résultat final : Le résultat final est directement lisible à partir du dernier tableau du simplexe : x B = b /B Exemple 35 : Soit le tableau suivant : Base B Hors base H x 3 e 3 x 1 x 2 e 2 x 4 e 1 b /B ϕ(b) = 14 La solution du problème dontce tableau représente la dernière étape du simplexe 2 est : B = {x 3, e 3, x 1 }, x B = 9 12 donc : x = x 1 x 2 x 3 x 4 e 1 e 2 e 3 = Cas général Remarque 351 : La méthode précédente vaut lorsque le problème comporte uniquement des contraintes de majoration Lorsque le problème est posé sous sa forme la plus générale, ie lorsque les contraintes sont soit des contraintes de majoration, de minoration ou d égalité, les premières étapes diffèrent du cas précédemment exposé Soit un problème linéaire posé sous sa forme la plus générale : sc min ou max(ϕ = c 1 x c n x n ) a 1,1 x a 1,n x n b 1 a k,1 x a k,n x n b k a p,1 x a p,n x n = b p x 1,,x n 1 On pose le problème sous forme standard, ie où les contraintes s expriment sous la forme d égalités Pour cela, on s autorise l introduction de variables d écart : min ou max(ϕ = c 1 x c n x n ) ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

23 3 Méthode du simplexe 23 sc a 1,1 x a 1,n x n e 1 = b 1 a k,1 x a k,n x n + e k = b k a p,1 x a p,n x n = b p x 1,,x n, e 1,,e p 1 2 Une fois mis sous forme standard, on exprime le problème sous forme standard simpliciale, ie telle que la matrice des contraintes A contienne l identité Pour cela, on observe la matrice A : A = x 1 x n e 1 e k 1 e k e p 1 a 1,1 a 1,n 1 a k 1,1 a k 1,n 1 a k,1 a k,n 1 a p 1,1 a p 1,n 1 a p,1 a p,n a m,1 a m,n Deux cas sont possibles : tous les vecteurs canoniques apparaîssent dans la matrice A : on débute alors l algorithme du simplexe de la même façon que dans la section précédente en prenant pour base initiale B l ensemble des variables dont la colonne dans A est canonique, ie telle que A B = I m la matrice A ne contient pas la matrice identité : on ne peut pas débuter l algorithme du simplexe On ajoute alors «artificiellement» à A les vecteurs canoniques qui lui manquent et on note a i les variables associées Par exemple, s il n existe pas de variable x telle que A x (la colonne associée à x) soit canonique, alors on obtient les nouvelles variables suivantes : A = x 1 x n e 1 e k 1 e k e p 1 a 1 a k 1 a p a m a 1,1 a 1,n 1 1 a k 1,1 a k 1,n 1 1 a k,1 a k,n 1 a p 1,1 a p 1,n 1 a p,1 a p,n 1 a m,1 a m,n 1 La base initiale est alors B = {a 1,,a k 1, e k,,e p 1, a p,,a m } et on a alors A B = I m S il existe une variable dont la colonne est canonique dans A, par exemple ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

24 3 Méthode du simplexe 24 x 1, alors il ne faut pas ajouter de variable artificielle pour obtenir ce même vecteur canonique Admettons que A x1 soit le p ième vecteur canonique, alors il ne faut pas créer la variable a p : A = x 1 x 2 x n e 1 e k 1 e k e p 1 a 1 a k 1 a p+1 a m a 1,2 a 1,n 1 1 a k 1,2 a k 1,n 1 1 a k,2 a k,n 1 a p 1,2 a p 1,n 1 1 a p,2 a p,n a p+1,2 a p+1,n 1 a m,2 a m,n 1 On prend alors pour base initiale B = {a 1,,a k 1, e k,,e p 1, x p, a p+1,,a m }, on peut alors débuter l algorithme du simplexe Seulement, en créant de nouvelles variables, on a modifié notre problème de départ Le problème correspondant à cette nouvelle matrice A est équivalent au problème initial si et seulement si a 1 = = a m = Il faut donc, avant de résoudre le problème de départ, résoudre un problème dit «auxilaire» : min[ϕ aux = a a m ] soit ϕ aux = c aux x aux avec c aux = 1 1 et x aux = x 1 x n e 1 e p 1 a 1 a m Si la solution optimale de ce problème auxiliaire est telle que ϕ aux, ie telle que k, a k, alors le problème initial n a pas de solution : D R =, sinon (si a 1 = = a m = ) il possède au moins une solution réalisable optimale Étape : On formule le problème sous forme standard simpliciale conformément à la remarque précédente Si aucune variable artificielle n est nécessaire pour obtenir cette forme, alors aller directement à la phase 2, sinon, aller en phase 1 ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

25 3 Méthode du simplexe 25 Phase 1 - Étape 1 : On commence par résoudre le problème auxiliaire La base initiale est la base B telle que A B = I m Phase 1 - Étape 2 : Construction du tableau initial Le tableau est construit de la même manière que dans la méthode précédente Variables de base B Variables hors base H,a k, A B = I m A H b ( 1 ) ( ) où la dernière ligne est initialisée avec les valeurs de c aux Phase 1 - Étape 3 : On remarque les coûts correspondant à certaines variables de base (les variables artificielles) sont non nuls : il ne s agit donc pas des coûts réduits, on procéde donc à un calcul des coûts réduits dès l initialisation : Variables de base B Variables hors base H,a k, A B = I m A H b ( 1 ) ( ) L H ϕ aux (b) Remarque 356 : Le but de cette phase 1 est de trouver une base B dans laquelle les variables artificielles sont nulles, autrement dit une base B telle que toutes les variables artificielles appartiennent à H Phase 1 - Étape 4 : Choix de la variable entrante ϕ aux étant à minimiser, on choisit la variable entrante v e H telle que L H (e) soit le plus négatif possible Phase 1 - Étape 5 : Toutes les autres étapes du simplexe sont les mêmes que dans la méthode précédente Si ϕ aux =, alors aller en phase 2, sinon, le problème initial n a pas de solution : D R = Phase 2 - Étape 1 : On peut donc enfin débuter la résolution de notre problème d origine Le tableau initial est obtenu à partir du tableau final du problème auxiliaire en supprimant les variables artificielles et en réinitialisant les coûts réduits avec les coûts réels de la fonction-objectif ϕ (on remplace la dernière ligne par les coefficients des variables dans la fonction-objectif de départ : c i pour les x i et pour les variables d écart) ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

26 4 Analyse de sensibilité postoptimale 26 Phase 2 - Étape 2 : On poursuit l algorithme du simplexe à partir du tableau obtenu à l étape précédente Le critère de détermination de la variable entrante est : pour un problème de maximisation : v e H telle que L H (v e ) = max {L H (v) L H (v) > } pour un problème de minimisation : v e H telle que L H (v e ) = min {L H (v) L H (v) < } Le critère de détermination de la variable sortante reste le même quelque soit la nature du problème : B telle que b s v e (s) = min i 1,m { } bi v e (i) v e(i) > 333 Cas remarquables Remarque 361 : Le déroulement de l algorithme du simplexe peut présenter quatre cas particuliers Nous allons voir à quoi ils correspondent et comment poursuivre quand cela est possible Cas 1 : Si dans la phase 1 d un problème auxiliaire on se retrouve avec L H et ϕ aux >, alors n est pas optimum de ϕ aux donc le problème initial n a pas de solution réalisable et donc pas de solution optimale (D R = ) Cas 2 : Si la solution optimale est elle que a m B mais que a m =, alors on peut trouver une solution optimale avec a m H en faisant sortir a m de la base ( = a m ) et en faisant entrer n importe quel vecteur v e de H tel que v e (s) (cns pour que B soit une base) Cas 3 : Si lors du choix aucune variable en base ne satisfait au critère de choix de la variable sortante, alors il n y a pas d optimum fini pour le problème : l optimum est infini Cas 4 : Si lors du choix de la variable entrante on a L H (e) = max{l H (v) v H} =, alors il y a plusieurs solutions de base optimales et l ensemble des solutions optimales est alors caractérisée par les segments joignant ces solutions de base deux à deux 4 Analyse de sensibilité postoptimale Le but de l analyse postoptimale est d estimer l influence du changement de certains paramètres d un programme linéaire sur la structure et la valeur d une solution optimale, autrement dit, on désire connaître les plages de variations des données pour lesquelles la solution reste optimale sans avoir à tout recalculer via un simplexe Remarque 462 : Il existe deux types d analyse postoptimale : l analyse standard (une seule donnée varie) l analyse paramétrée (plusieurs données varient de façon liée) Remarque 463 : Les variations étudiées ont lieu sur les coûts (c) et sur le vecteur des contraintes (b) ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

27 4 Analyse de sensibilité postoptimale Caractérisation de l optimum Remarque 464 : On rappelle la notation [L H ] /B = c H c B [A H ] /B qui représente les coûts réduits dans une certaine base (dernière ligne du tableau du simplexe à une certaine étape) et [L H ] /B = c H c B [A H ] pour la base optimale (dernière étape) /B Remarque 465 : On rappelle les conditions d optimalité et de faisabilité : Condition d optimalité : dans le cas d un problème de maximisation (resp minimisation), la base B est optimale ssi [L H ] /B (resp [L H ] /B ) Condition de faisabilité (réalisabilité) Une solution de base optimale est réalisable ssi elle est positive : x B 42 Analyse postoptimale de l objectif L analyse postoptimale de l objectif consiste à étudier les variations des coefficients de la fonction objectif (c) préservant la condition d optimalité (la variation de c n affectant pas la condition de faisabilité) 421 Analyse standard L analyse standard consiste à remplacer l un des coefficients c i de la fonction-objectif par une variable qu on notera δ : (c 1, c 2,,c i 1, c i, c i+1,,c n ) (c 1, c 2,,c i 1, δ, c i+1,,c n ) puis d analyser les valeurs de δ préservant l optimalité En somme, il s agit de réévaluer les coûts réduits en fonction de δ relativement à la base optimale B précédemment déterminée : [L H ] /B = c H c B [A H ] /B Le vecteur [L H ] /B s exprime en fonction de δ, il suffit alors d exprimer la contrainte d optimalité [L H ] /B On obtient un système d équations dont on tire un intervalle correspondant à la plage de variation de δ pour laquelle B est toujours la base optimale 422 Analyse paramétrée De la même façon, on remplace le vecteur c par un vecteur c(λ) dont tous les termes sont fonction de λ On procède ensuite de la même façon que pour l analyse standard 43 Analyse postoptimale du second membre L analyse postoptimale de l objectif consiste à étudier les variations des coefficients de contraintes (b) préservant la condition de faisabilité (la variation de b n affectant pas la condition d optimalité tant que l on ne sort pas du domaine réalisable, ie tant que la condition de faisabilité est assurée), ie telles que x B reste positif La relation x B = A 1 permet une réévaluation rapide de x B sous reserve de détenir A 1 B Proposition 466 : On rappelle que la matrice P Bi B i+1 contenant les combinaisons linéaires de l algorithme de Gauss Jordan permettant d exprimer les données dans la base B i+1 à partir de l expression des données dans la base B i représente la matrice de passage de la base B i à la base B i+1 En remarquant que A 1 B est la matrice de passage B b ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

28 5 Dualité 28 de la base canonique à lase B, on peut donc la déterminer simplement à partir des matrice de passage de chacune des bases intermédiaires : A 1 B = P can B = P Bn B P B n 1 B n P B1 B B2 P can B1 où can représente la base canonique 431 Analyse standard L analyse standard consiste à remplacer l un des b i dans b par une variable qu on notera δ : (d 1, d 2,,d i 1, d i, d i+1,,d n ) (d 1, d 2,,d i 1, δ, d i+1,,d n ) On calcule ensuite x B = A 1 B b à l aide de la proposition précédente puis l inégalité x B nous fournit un système donnant l intervalle dans lequel peut varier δ pour que x B reste solution optimale L optimum de la fonction-objectif ϕ max s obtient alors, en fonction de δ, par la relation ϕ max(δ) = c B x B (δ) 5 Dualité Définition 567 : À chaque problème linéaire P dit «primal» on peut associer un autre problème linéaire appelé «dual» et noté P tel que : max x R P = n[ϕ = c x] sc A x b x n et P = sc min y R m[ψ = b y] A y c y m Le problème primal possède donc n variables et m contraintes tandis que son dual possède m variables et n contraintes Remarque 568 : La dualité est involutive : (P ) = P Théorème 569 : (Théorème de la dualité) Soient x et y deux solutions réalisables optimales duales, alors ϕ max = c x = ψ min = b y Démonstration : On note ω = y A x R Comme ω est un scalaire, on a : ω = ω T donc y A x = (y A x) = x A y De plus, on a ϕ ω ψ donc c x y A x b y A l optimum (s il existe), on a max x [ϕ] = ω = min y [ψ] Remarque 57 : Les correpondances «primal-dual» permettent à partir d une solution optimale d un problème donné d en déduire une solution optimale du problème dual ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

29 5 Dualité 29 Proposition { 571 : Soit x l optimal d un problème P et m } a i,j y i c j j 1, m l ensemble des contraintes du problème dual Quelque soit j, deux cas et uniquement deux sont possibles : soit x j = n soit a i,j y i = c j Remarque 572 : On en déduit que x j > i ǫ j > i a i,j y i = c j ǫ j = a i,j y i > c j x j = En pratique, il faut retenir les implications suivantes : Primal Dual e i > y i = x i > ǫ i = i a i,j y i = c j Dual Primal ǫ i > x i = y i > e i = j a i,j x j = b i Remarque 573 : Le système d égalité obtenu duquel on retire les variables dont on a prouvé la nullité doit être facilement résoluble, nous donnant la solution de base optimale du dual du problème initialement posé Théorème 574 : (Théorème d existence) Soit P un problème et P son dual, on a : (i) P n a pas de solution réalisable P n a pas d optimum fini (ii) P n a pas d optimum fini P n a pas de solution réalisable (iii) P a une solution de base réalisable optimale finie P aussi ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

30 6 Exemples 3 6 Exemples Vous trouverez dans cette section quelques exemples de déroulement de simplexes Les interprétations, conclusions et détails des calculs intermédiaires n y figurent pas 61 Exemple 1 Problème : Forme standard simpliciale : sc Phase 1 : résolution du problème auxiliaire max [ϕ = 1x 1 1 x 2 2 x 3 ] 1 x 1 + 2x 2 + 1x 3 = sc 2 x 1 + 1x 2 + 4x x 1 + 2x 2 + x 3 1 max [ϕ = 1x 1 1 x 2 2 x 3 ] 1 x 1 + 2x 2 + 1x 3 + e 1 + e 2 + 1a 1 + a 2 = 2 x 1 + 1x 2 + 4x 3 + 1e 1 + e 2 + a 1 + a 2 = 6 1 x 1 + 2x 2 + x 3 + e 1 1 e 2 + a 1 + 1a 2 = 1 min [ϕ aux = 1a 1 + 1a 2 ] Base B Hors base H a 1 e 1 a 2 x 1 x 2 x 3 e 2 b /B variable entrante : x 2 min (, 6, 1/2 x 2(s) > ) variable sortante : a 1 a 1 est supprimée Base B Hors base H x 2 e 1 a 2 x 1 x 3 e 2 b /B 1 1/2 1/2 1 3/2 7/ l optimum de la fonction auxiliaire est non nul ϕ aux : il n existe pas de solution réalisable au problème initial, ie D R = ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

31 6 Exemples Exemple 2 Problème : Forme standard simpliciale : sc Phase 1 : résolution du problème auxiliaire max [ϕ = 1x 1 1 x 2 + 2x 3 ] 1 x 1 + 2x 2 + 1x 3 = 5 sc 2 x 1 + 1x 2 + x x 1 + 2x 2 + x 3 4 max [ϕ = 1x 1 1 x 2 + 2x 3 ] 1 x 1 + 2x 2 + 1x 3 + e 1 + e 2 + a 1 = 5 2 x 1 + 1x 2 + x 3 + 1e 1 + e 2 + a 1 = 6 1 x 1 + 2x 2 + x 3 + e 1 1 e 2 + 1a 1 = 4 min [ϕ aux = 1a 1 ] Base B Hors base H x 3 e 1 a 1 x 1 x 2 e 2 b /B variable entrante : x 2 min (5/2, 6, 2 x 2(s) > ) variable sortante : a 1 a 1 est supprimée Plus de variable artificielle dans la base Phase 2 : Base B Hors base H x 3 e 1 x 2 x 1 e 2 b /B /2 1/ /2 1/ /2 5/2 variable entrante : x 1 min (+inf,8/3, 4 x 1(s) > ) variable sortante : e 1 Base B Hors base H x 3 x 1 x 2 e 1 e 2 b /B /3 1/3 8/3 1 1/3 2/3 2/3 3/2 5/ ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

32 6 Exemples 32 L H négatif : solution optimale atteinte 63 Exemple 3 Problème : Forme standard simpliciale : sc max [ϕ = 5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 8x 4 ] 2 x 1 + 4x 2 + 8x 3 + 6x 4 1 sc 1 x 1 + 8x 2 + 6x 3 + 1x x 1 + 1x 2 + 2x 3 + 2x 4 2 max [ϕ = 5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 8x 4 ] 2 x 1 + 4x 2 + 8x 3 + 6x 4 + 1e 1 + e 2 + e 3 = 1 1 x 1 + 8x 2 + 6x 3 + 1x 4 + e 1 + 1e 2 + e 3 = 16 1 x 1 + 1x 2 + 2x 3 + 2x 4 + e 1 + e 2 + 1e 3 = 2 Base B Hors base H e 1 e 2 e 3 x 1 x 2 x 3 x 4 b /B variable entrante : x 4 min (5/3, 16, 1 x 4(s) > ) variable sortante : e 3 Base B Hors base H e 1 e 2 x 4 x 1 x 2 x 3 e 3 b /B /2 1/2 1 1/ variable entrante : x 1 min (, 12, 2 x 1(s) > ) variable sortante : e 2 Base B Hors base H L H négatif : solution optimale atteinte e 1 x 1 x 4 e 2 x 2 x 3 e 3 b /B 1 1/5 8/5 6/ /5 3/5 4/ /1 1/5 7/ ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

33 7 Exercices 33 7 Exercices 71 Notations M k,p (R) désigne l ensemble des matrices à k lignes et p colonnes Si M M k,p (R), on notera m i,j ses coefficients Pour toute matrice M M k,p (R), on note M M p,k (R) sa transposée (m i,j = m j,i ) R k = M k,1 (R) désigne l ensemble des vecteurs de dimension k M k (R) = M k,k (R) désigne l ensemble des matrices carrées d ordre n I k désigne la matrice identité de M k (R) On note k le vecteur de R k constitué uniquement de Si M et N sont deux matrices comportant le même nombre de lignes, on note (M N ) la matrice dont les premières colonnes sont celles de M et dont les dernières colonnes sont celles de N ( ) u Si u et ont deux vecteurs, on note le vecteur dont les premiers éléments sont v ceux de u et les derniers éléments sont ceux de v 72 Questions de cours 1 Soit un problème linéaire [ ] max f(x) = c x x R P = n A x b x n où A M m,n (R), x, c R n, b R m Écrivez un algorithme naïf déterminant la solution de ce problème et précisez la complexité de ce dernier 2 On note D R l ensemble des solutions réalisables de P Montez que D R forme un domaine convexe, ie que toute combinaison linéaire convexe de points de D R est encore dans D R 3 Soient A M m,n (R) et b R m On souhaite résoudre le système linéaire A x = b Expliquez ce qu apporte le problème linéaire suivant : [ m ] min a i a R P = m A x + I m a = b x n, a m où a = (a 1,,a m ) R m dans la résolution du système 4 Après avoir rappelé l intérêt de mettre un problème sous forme standard simpliciale, écrivez le problème suivant : sous cette forme max [x 1 + x 2 + x 3 ] x R 3 2 x 1 + x 2 x x sc 1 + x 3 = 2 x 1 + x 3 3 x 1, x 2, x 3 ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

34 7 Exercices Résolution de problèmes linéaires 1 Résoudre le problème de programmation linéaire suivant : 2 On se place dans le plan x 3 = max [ϕ = 3x 1 + 3x 2 + x 3 ] 2 x 1 + x 2 + x 3 4 x sc 1 x 3 2 x 1 + x 2 + 2x 3 4 x 1, x 2, x 3 (a) Comparez le coefficient directeur de chacune des contraintes avec les coefficients de la fonction objectif Que peut-on en déduire sur la nature de la solution? (b) Résolvez graphiquement le problème et associez chacune des itérations du simplexe à un point du graphique 3 À partir de quelle valeur de c 3 la variable x 3 est-elle non nulle à l optimum? 4 Soit P le problème de programmation linéaire suivant : dont la solution est max [ϕ = 3/2 x 1 + 3x 2 + x 3 ] x 1 + 2x 2 + x 3 1 x sc 1 x 3 5 x 1 + 2x 2 + 2x 3 1 x 1, x 2, x 3 x 1 x 2 x 3 e 1 e 2 e 3 = Montrez que la solution du problème dual est α S = α β = 3/2 et α [3/2, 2] β 74 Algorithme du simplexe 1 On souhaite améliorer l algorithme du simplexe dans certaines situations Proposez une alternative à la phase 1 pour déterminer une base réalisable initiale dans le cas où le déterminant de la matrice des contraintes est non nul 75 Problème réalisable 1 On considère le programme linéaire suivant, dépendant de ε R : sc 1 4 max [4x 1 2 x 2 ] x 2 3 εx 1 + (2 ε)x 2 4 x 1, x 2 ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier

35 7 Exercices 35 (a) Montrez que le problème est réalisable (ie possède un domaine réalisable non vide) quelque soit ε R (b) Pour quelles valeurs de ε la valeur optimale est-elle non bornée? 2 Démontrez le lemme de Farkas (bien traiter le sens direct ainsi que la réciproque) : x, { A x = b x y, y A y b 3 En { déduire que tout problème de programmation linéaire{ dont les contraintes sont A x b y A possède un domaine réalisable non vide ssi y, y b x y 4 Pour quelles valeurs de α et β le problème suivant est-il réalisable : 76 COPD sc max [x 1 + 2x 2 ] x 1 + x 2 α 2 x 2 + x 1 β x 1, x 2 Soient deux problèmes duaux : P = [ max f(x) = c x x R n A x b x n ] et P = [ ] min g(y) = b y y R m A y c y m où A M m,n (R), x, c R n, y, b R m Pour tout k N, on muni R k du produit scalaire usuel : k, : R k R k : (u, v) u v = u i v i 1 Montrez que x R n, y R m, f(x) g(x) (on rappelle que le produit scalaire est symétrique) 2 Pour exprimer P et P sous forme standard, on introduit les deux vecteurs e = e 1 ǫ 1 R m et ǫ = R n : e m ǫ n [ ] min g(y) = b y y R m P = [ ] max f(x) = c x x R n ( ) x (A I m ) = b e x n, e m et P = ( ) ( A y I m ǫ y m, ǫ n ) = c On note x, e, y, ǫ les vecteurs réalisant f(x ) = max[f(x)] et g(y ) = min[g(y)] Montrez que si f(x ) = g(y ), alors : 3 En déduire que e, y + x, ǫ = e, y = x, ǫ = et retrouver les conditions d optimalités primal-dual ESIAL Graphes et Recherche Opérationnelle Version 51 Tony Bourdier