PROGRAMMATION LINEAIRE

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1 Recherche Opératoelle PROGRAMMATION LINEAIRE I. INTRODUCTION P. TOLLA U grad ombre de problèmes de Recherche Opératoelle peuvet être modélsés sous forme de programmes léares : par eemple certas problèmes d vestssemet, problèmes d allage de matérau ou de mélage de produts chmques, problèmes de flots ou de multflots das les réseau, problèmes de trasport et d affectato,... La méthode du smplee de Datzg permet de résoudre de faço satsfasate bo ombre de ces problèmes ; coveos cepedat qu ue modélsato hâtve d u problème sous cette forme peut codure à l utlsato d ue méthode smplcale là où u logcel spécfque se motrerat plus effcace (méthode hogrose pour les problèmes d affectato par eemple). II. NOTIONS FONDAMENTALES O supposera coues les déftos et proprétés essetelles des espaces vectorels et des espaces affs, les ormes et dstaces. II.. Vecteurs et pots Das l espace vectorel IR u vecteur V est représeté par u -uplet de ombres réels : V = M. Au vecteur V o peut fare correspodre u pot M de l espace aff M assocé à IR de coordoées ( ) de coordoées ( 0, 0,..., 0). II.. Hyperpla Défto :,,..., relatvemet à u repère fé d orge 0 Sot A u vecteur de IR dfféret du vecteur ul et a IR ; O appelle hyperpla et o ote H(A,a) l esemble des vecteurs X de IR tels que t X. A = a t H( A, a) = { X IR / A. X = a}

2 Recherche Opératoelle L hyperpla H(A,a) sépare l espace IR e deu dem-espaces fermés H + (A,a) et H - (A,a) tels que : { t } et H { t } + H ( A, a) = X IR / A. X a ( A, a) = X IR / A. X a II.. Esembles covees Défto : Soet les vecteurs U, U,..., de IR ; o appelle combaso covee de U k k α = U, U,..., u vecteur U = U Défto : U k où α pour { } 0,,...,k et α =. U parte C de IR est dte covee s et seulemet s pour toute pare ( U U ) vecteurs de C, toute combaso covee de U et U est das C. N.. : Das la sute, ous predros la lberté, pour plus de smplcté, de e pas dstguer IR de l espace aff qu lu est assocé. k =, de Proprété : S C est covee, toute combaso léare covee de pots de C est das C. Théorème : Tout pot d u segmet relat deu pots du sous espace aff assocé à IR peut être eprmé comme ue combaso léare covee de ces deu pots. Défto 4 : U pot U d u esemble covee est appelé pot etrême s l e peut être eprmé comme combaso léare covee de eu autres pots dstcts de C. Défto 5 : Sot S IR ; o appelle eveloppe covee de S l esemble de toutes les combasos léares covees de pots de S. Défto 6 : S l esemble S comporte u ombre f de pots, l eveloppe covee de S est appelé polyèdre covee. Les pots etrêmes de l eveloppe covee sot appelés sommets. Défto 7 : Sot S IR ; S est u côe s, pour tout réel λ postf, et pour tout vecteur U de S, λu appartet à S.

3 Recherche Opératoelle Défto 8 : U smplee Σ est u polyèdre covee à dmesos ayat eactemet + + sommets et déf par Σ = X ( IR ) / =. = Défto 9 : U polyèdre covee est l tersecto d u ombre f de dem-espaces fermés. II.4. Méthode matrcelle de Gauss-Jorda Sot à résoudre le système léare { } A. = b où A = a =,... est ue matrce versble. =,... Pour smplfer la présetato, o supposera qu à chaque étape de la méthode le pvot peut être prs su la dagoale de la matrce de traval. Lorsque l o veut résoudre le système léare et ehber l verse de la matrce A, ce qu sera très utle pour la méthode du smplee, o applquera la méthode de Gauss- Jorda au tableau T (0) suvat : T ( 0) a a L a a a L a = M M O M a a L a 0 L 0 b 0 L 0b M M O 0 M 0 0 b L = [ A Id b ] La méthode de Gauss-Jorda cosste à auler successvemet les termes au dessus et au dessous de la dagoale das chaque coloe de A et remplacer l élémet dagoal de la coloe cosdérée par à l ade des formules suvates : ( k) Sot k le uméro de l térato, de la lge et de la coloe du pvot ; o otera a la valeur l élémet sur la lge et la coloe du tableau T (k). a a ( k) k ( k ) ak = ( k ) a kk {,,...} k ak ak = a, ( k ) a ( k) ( ) ( k ) ( k ) kk {,,...} { k} Eemple : Sot à résoudre le système léare A.=b suvat et verser la matrce A :. = La méthode de Gauss-Jorda doe les tableau suvats :

4 Recherche Opératoelle T ( 0) 0 0 = ( ) T = T O remarque que : 0 0 ( ) ( 0) T = E0T avec E 0 = 0 0 T () () 0 0 = = T 0 = ET avec E = ( ) ( ) T = ET avec E = ( ) ( ) ( ) ( 0) 0 = O e dédut faclemet que T = E. E. E. T et A E. E. E. 0 Ce résultat se gééralse au cas de matrces versbles quelcoques ; les matrces d élmato de Gauss-Jorda successves s écrrot : E k ( k ) ( k ) 0 L a k a kk L 0 ( k ) ( k ) 0 L ak akk L 0 = M M O M O M ( k ) 0 0 L akk L 0 M M O M O M ( k ) ( k ) 0 0 L ak akk L L verse de la matrce A s écrra sous forme produt : A E = = III. FORMULATION D UN PROGRAMME LINEAIRE 4

5 Recherche Opératoelle III.. Forme Géérale U programme léare peut se mettre sous la forme : Mamser f() = c = avec a b,,...,m = 0, {,...,} { } Nous verros par la sute qu u programme léare comportat des cotrates d égalté peut égalemet se mettre sous cette forme. II.. Forme matrcelle : Sot A = { a } =,..., m [ c = ],..., b, c= c,...,, = M et b = M. b m Le programme léare c-dessus s écrt : III.. Représetato géométrque Mamser f() = c. avec A. b 0 A chaque cotrate d égalté correspod u hyperpla, à chaque cotrate d égalté u dem espace dot la frotère est l hyperpla déf par l égalté. Eemple : Mamser f() = + avec ; 0 La flèche représete le gradet de la focto écoomque au pot O : f( 0) = X 5

6 Recherche Opératoelle O costate que l esemble des pots vérfat les cotrates est u polyèdre covee. IV. THEOREMES FONDAMENTAUX DE LA PROGRAMMATION LINEAIRE IV.. Varables d écart Sot le programme léare (PL) : Mamser f() = c = avec a b,,...,m = 0, {,...,} (PL) { } O supposera das la sute que le vecteur b est touours postf ou ul. O trasforme les cotrates d égalté e égaltés par adocto de varables postves eprmat l écart etre le membre de gauche et le membre de drote de chaque équato et appelées varables d écart. = = a b devet a + = b + = a b devet a = b + = (PL) est trasformé e (PL) : où I Mamser f() = c avec a + = b, I + - = = a = b, I { } 0,,..., et I sot les sembles d'dces respectfs des cotrates d'égalté féreures et supéreures. =

7 Recherche Opératoelle Sous forme matrcelle o peut écrre (PL) Mamser f() = c. avec A. b 0 IV.. Déftos Défto 0 : Ue soluto réalsable est u vecteur vérfat les cotrates () et (). Défto : Ue soluto réalsable de base est ue soluto réalsable dot au plus m composates sot strctemet postves. Défto : Ue soluto est o dégéérée s elle comporte eactemet m composates strctemet postves Défto : Ue soluto de base est optmale s elle mamse f()=c.. IV.. Théorèmes fodametau Théorème : L esemble P des solutos réalsables d u programme léare est u esemble covee E effet, soet et deu solutos réalsables quelcoques ; elles vérfet : A. A. = b et 0 = b et 0 Sot u scalare α tel que 0 α et = α + ( α). Alors : [ ] A. = A. α + ( α) = αa. + ( α) A. = αb + ( α) b = b. Remarque : P est l tersecto d u ombre f d hyperplas, doc de dem espaces fermés ; c est doc u polyèdre covee ; l peut être sot vde, sot fermé et boré, sot l este à l téreur de P ue drecto d ftude. Pour smplfer, ous supposeros que P est boré, et das ce cas ous pourros utlser la proprété suvate : Proprété : S P est u polyèdre covee fermé boré, l est l eveloppe covee de ses pots etrèmes. 7

8 Recherche Opératoelle Das ce cas, toute soluto réalsable est combaso léare covee des sommets réalsables. Nous motreros das la sute commet o peut savor s le polyèdre est vde ou possède ue soluto d ftude. Théorème : La focto écoomque attet so mamum e u sommet du polyèdre P. S elle attet l optmum e pluseurs sommets, celu-c est obteu pour toute combaso léare covee de ces sommets. P polyèdre covee a u ombre f de sommets réalsables. Soet,,..., p ces sommets, et ue soluto réalsable optmale. O a : f( ) f( ) P. Supposos que e sot pas u sommet ; alors est combaso léare covee de,,..., p, c est à dre : d où : p { } = α avec α 0,...,p et α = = { } Sot f m p ( ) = Ma f( ), f( ),..., f( ) Doc : p p f( ) = f f α = α = = ( ) p = m ; alors f( ) f( ) { },,,...,p. p p m m m. f α f( ) et f f( ) α doc f f( ) ( ) ( ) ; ( ). = = Mas P, f( ) f( ); doc f( m ) f( ). m O e dédut évdemmet que ( ) f( ) = f et que l optmum est attet e u sommet du polyèdre. Supposos que f() attege sa valeur optmale e pluseurs pots etrêmes q ; c est à dre : ( ) ( ) ( q ),,..., f = f =... = f = m. Sot X combaso léare covee de ces sommets : q ( ) α ( ) { } X = α, 0 α,,,...q, α = = q f X = f = α m = m q = = X est doc soluto optmale. Notos A, A,..., A les coloes de la matrce A ; ous allos trouver ue relato etre les sommets du polyèdre P et les coloes de A. Les cotrates autres que celles de postvté des varables peuvet s écrre : A = b = q = 8

9 Recherche Opératoelle Théorème 4 : S l o peut trouver parm A, A,...,, k ( m) vecteurs léaremet dé-pedats ν ν ν A A, A,..., A k tels que A b k = ν ν = où { } ν déf par = ( 0,..., 0,, 0,..., 0,, 0,..., 0,, 0,..., 0) 0,,...,k, alors le pot X ν ν ν est u sommet du polyèdre P. k Supposos que X e sot pas u sommet de P ; pusque X est soluto réalsable, l peut être cosdéré comme combaso léare covee de deu autres pots X et X de P ; c est à dre : X = αx + ( α) X, avec 0 α Comme X et X sot solutos réalsables, leur composates sot postves ou ulles ; d autre part α est comprs etre 0 et et les composates de X s écrvet : { } = α + ( α),,,...,. O e dédut que le composates de X et X correspodat au composates ulles de X sot elles auss ulles. X et X état des solutos réalsables, o a : ν ν ν k ν A X b A. = ν = b = k ν A. X = b A ν = b = Comme A, A,..., A k sot léaremet dépedats, l écrture de b comme combaso léare de ces vecteurs est uque et doc =, {,,...,k } X et X ayat les mêmes composates sot égau. X e peut doc être eprmé comme combaso léare covee de deu pots réalsables dstcts de P. Doc X est u sommet. Théorème 5 : Sot X u pot etrême de P, alors les vecteurs A assocés à ses composates postves formet ue esemble de vecteurs léaremet dépedats. O e ut pas à la gééralté e mposat que les k premères composates de X soet o ulles. X = M vérfe A = b. = ν ν 9

10 Recherche Opératoelle Supposos que A, A,..., soet léaremet dépedats. Il este alors des A k scalares d, d,..., d k o tous uls tels que A d = 0. Sot u scalare d>0 ; o peut écrre : k = k k = = k k = = A + d A d = b A d A d = b O dspose mateat de deu solutos réalsables X = + dd + dd M + dd 0 dd dd M et X = dd. 0 M 0 k k k k M 0 O peut chosr d postf suffsammet pett pour que, sachat que 0, {,..., k} toutes les composates de X et X soet postves. X et X sot alors des solutos réalsables. De plus, X = X + X. Doc X est combaso léare de deu pots de P. Das ce cas, X e peut être u sommet ce qu est cotradctore avec l hypothèse de ce théorème. Remarque : o peut supposer, sas perte de gééralté, que, parm les vecteurs A,A,...,A, l e este au mos m qu sot léaremet dépedats et que lo peut compléter tout vecteur de k ( m) vecteurs léaremet dépedats par m-k vecteurs léaremet dépedats de A,...,A k pour avor m vecteurs léaremet dépedats. Corollare : A chaque pot etrême de P est assocé u esemble de m vecteurs léaremet dépedats choss parm A,A,...,A. D après le théorème 5, l este k vecteurs léaremet dépedats correspodat à u sommet. S k<m, soet A, A,..., A k ces vecteurs ;o peut trouver r-k vecteurs k + k + r A, A,..., A (r < m), tels que A, A,..., A r soet léaremet dépedats. Cec > 0

11 Recherche Opératoelle cotredt l hypothèse suvat laquelle o peut touours trouver u esemble de m vecteurs léaremet dépedats parm A,A,...,A. Doc k=m. o peut résumer ces dfférets théorèmes de la faço suvate : Théorème 6 : X =(,..., ) t est u sommet de P s et seulemet s les composates postves sot les coeffcets de vecteurs A léaremet dépedats das A = b. E cocluso, o peut retrer les formatos suvates des théorèmes précédets :. La soluto optmale, s elle este ou est pas o borée, est attete e u sommet du polyèdre P. A chaque sommet gééralsé ou o du polyèdre P correspos u esemble de m ν ν ν vecteurs A, A,..., A m choss parm A,A,...,A. La tetato d eamer tous les sommets, de calculer la valeur de la focto écoomque pour chacu d etre eu après avor vérfé qu l est réalsable. Cette maère de procéder est appelée éumérato eplcte, chaque soluto de base état calculée e résolvat le système léare carré : A b. Or u maorat du ombre de sommet est C m. S l o cosdère u programme léare comportat 400 varables et 00 cotrates et s l o suppose qu u système léare à 00 varables est résolu e 0 - secode, la résoluto demadera, secodes sot 7, aées bssetles. D où le postulat de bo ses : = ν ν = = O éumère amas das le combatore! La méthode suggérée c-dessus état pas réalste, l covet d utlser des méthodes covergetes lmtat le champ d eplorato des solutos eamées et doc le ombre d tératos et peu coûteuses au veau de chaque térato. Il faut be etedu u crtère permettat de tester l optmalté de chaque soluto trouvée. IV.4. Test d optmalté Sot le programme léare (PL) :

12 Recherche Opératoelle Mamser z= c = (PL) avec A = b = 0 {,..., } Pour smplfer l eposé et sas perte de gééralté, ous pouvos cosdérer que : X = (,,..., m, 0,..., 0) avec > 0 {,...,m} est ue soluto réalsable où les m premères coloes de A sot léaremet dépedates. Nous avos : m ( ) c = z,= m ( ) A = b = A, A,..., état léaremet dépedates,toute coloe de A peut être eprmée comme combaso léare de ces vecteurs ; c est à dre : A m Défssos z de la faço suvate : m,,..., = () A = A { } (4) z = c { } m,..., = Théorème 7 : S z est la valeur de la focto écoomque pour la soluto réalsable X = (,,..., m, 0,..., 0) avec > 0 {,...,m}, et s pour u dce * quelcoque apparteat à { m } +,..., o a z * - c * >0, l este au mos ue soluto de base admssble doat à la focto écoomque ue valeur z<z. Sot θ u scalare postf quelcoque ; multplos l équato () par θ et soustrayos le résultat de l équato (). Nous obteos : m (5).[ * ] * A θ + A θ = b = Multplos de même (4) par θ et soustrayos le résultat de (), pus aoutos c θ au deu membres de l équato obteue :

13 Recherche Opératoelle m (6) c[ * ] + c * = z [ z* c * ] θ θ θ = Sot θ = M / * > 0. * Pour que ce cho sot possble, l faut qu l este au mos u >0. S tous les sot égatfs ou uls, θ peut être chos arbtraremet grad sas qu aucu des - θ sot égatf. ; mas les - θ costtuet alors ue soluto admssble. Comme par hypothèse z * - c * > 0, la focto écoomque peut être redue pette e focto du cho de θ. Supposos qu l este au mos u * > 0 et que θ = M > = * / * 0. O * * * remplace θ par sa valeur das (5) et o obtet : * m [ * ] [ * ] A θ + A θ + A θ = b. Le coeffcet de A * est ul das cette = = * + * epresso car la valeur de θ a été chose pour cela. Nous avos as ue ouvelle soluto admssble défe par : { } ~ = θ* pour,,...,* -,*+,...,m dot les * = θ valeurs sot postves ou ulles e raso du cho de θ et strctemet postves lorsque l dce * est uque. Das ce cas o a eactemet m varables strctemet postves. Motros mateat que la soluto admssble correspod à u sommet de P. Nous * * + m * devos pour cela motrer que les vecteurs A,..., A, A,..., A, A sot léaremet dépedats. Nous savos déà que les m- premers le sot. Supposos que les m vecteurs soet léaremet dépedats ; das ce cas, l,,...,* -,* +,...,m tels que : esterat des scalares y pour { } * = A y + A y + A y = 0 m = * + Mas A, A,..., état léaremet dépedats, A * s écrt de faço uque comme combaso léare de ces vecteurs (). Cela voudrat dre que ** est ul car, das l epresso c-dessus, le coeffcet de A * est ul. Or o a ustemet chos ** o ul. L hypothèse de départ est doc fausse et les vecteurs A A * A * +,...,,,..., A m, A * sot léaremet dépedats. La ouvelle valeur de la focto écoomque est z 0 - [z - c ] θ < z 0 pusque z - c et θ sot strctemet postfs par hypothèse. Elle a doc dmué. A m Remarques : Lorsque pluseurs z - c sot postfs, o s téresse à la varable correspodat à la plus grade de ces valeurs ; ous verros par la sute l térêt de cette démarche et sa sgfcato géométrque. * *

14 Recherche Opératoelle Les deu m-uplets de vecteurs étudés correspodat à deu solutos de base successves e dffèret que d u seul vecteur. Les composates de la ouvelle soluto sot : ~ * = * {,,...m } Ces * * deu remarques décrvet les cocepts fodametau de la méthode du smplee de Datzg : crtère de cho de la varable etrat das la base et costtuto de la ouvelle matrce de base. Le théorème 8 déft le crtère d optmalté de la soluto courate. Théorème 8 : Sot ue soluto réalsable correspodat à u sommet : X = [,,..., m ] avec > 0 {,,...,m}. S pour tout de {m+,..., } z -c 0, alors X est soluto optmale. Sot ue soluto réalsable ' [ ', ',..., ' ] X = m pour laquelle la focto écoomque pred la valeur z : ( 7) A ' = b = ( 8) c ' = z' = Suvat l hypothèse du théorème, pour tout de {m+,..., } z -c 0. s = Sot déf par : = 0 s. Comme z = m = c Doc { }, ous avos das ce cas z = c { } pour tout,...,, z c 0 et doc z c. Comme c ' = z', = (9) z' z ' = E remplaçat les A par leur epresso das () o obtet : De la même faço : = m = pour,...,m. m A ' = b ou ' A = b = = 4

15 Recherche Opératoelle (0) m ' c z' = = Comme les A sot léaremet dépedats et A = b, cette formulato est uque et = (0) s écrt alors : c z' m = m = = ',...,m { } O e dédut que toute soluto admssble ' [ ', ',..., ' ] X = est mos boe qu ue soluto réalsable correspodat à u sommet X tel que : V. CONCLUSION [ ] { } X =,,..., m et vérfe pour tout m+,..., z c 0 Grâce au dfférets théorèmes que ous veos de démotrer, ous allos élaborer ue méthode de résoluto de programmes léares. Nous savos mateat que : Ue soluto optmale est attete e u sommet du polyèdre des pots réalsables. A tout sommet de ce polyèdre correspod u esemble de m vecteurs léaremet dépedats A ν A ν A ν m,,..., choss parm A, A,..., A m. Grâce au théorème (7), o dspose d ue méthode de costructo d ue ouvelle soluto réalsable à partr d ue autre soluto réalsable et qu amélore l valeur de la focto écoomque. Le m-uplet de vecteurs de la ouvelle soluto dffère du m-uplet de la soluto précédete d u seul vecteur. Grâce au théorème (8), ous savos s ue telle soluto est ou est pas optmale. Défto 4 : Sot X u sommet du polyèdre P. Il lu correspod u esemble de m vecteurs ν ν ν A, A,..., A m, léaremet dépedats appelé bases assocée à X. Défto 5 :,,..., est appelé soluto de base réalsable. m Le m-uplet ( ν ν ν ) Défto 6 : ν ν ν La matrce de coloes A, A,..., A m est appelée matrce de base. 5

16 Recherche Opératoelle VI. CALCUL DES PROFITS MARGINAUX Cosdéros les équatos () et (4) : L équato () peut s écrre plus gééralemet : m ν ν,,,..., ( ) A = A { } = De même l équato (4) peut s écrre : Sot X ν = ν M ν m (4 ) z = c, {,,..., } m ν =. Il vérfe l équato ( ) et doc : ( ) ( ) ν ' A =. X X =. A car les coloes de état léaremet dépedates, celle-c est versble. Sot c = ( c ν c ν c ν ),,..., le vecteur des coeffcets de la focto écoomque correspodat au varables de base. m ( ') et (4' ) = c. X = c.. A z Sot : c z c c.. A = = {,,..., } Défto 7 : Le vecteur ( ) = des coûts réduts).,,..., est appelé vecteur des coûts margau (ou vecteur La coassace de revêt ue très grade mportace, car grâce au théorème 8 o peut détermer s ue soluto de base réalsable est ou o optmale. VII. METHODE DU SIMPLEXE DE DANTZIG VII.. Formulato matrcelle d u programme léare 6

17 Recherche Opératoelle Sot le programme léare : Mmser f() = = c avec a = b,,...,m = { } 0,,..., { } b Sot la matrce A = { a } =,..., m, le vecteur = M, le vecteur b = M, le vecteur lge =,..., b m c=[ c,..., c ]. Le programme léare peut s écrre : Mmser z = C. avec A. = b 0 Sot ue matrce de base correspodat à ue soluto réalsable de base ; o peut parttoer A, c et e focto des varables de base et hors-base regroupées respectvemet das les sous-vecteurs et N. O obtet : Mmser z = C. + cn. N () avec. + N.N = b () 0, N 0 () où N est la matrce des coloes de A qu e sot pas das. (cf. fgure VII.) Soet, N et z les sous-vecteurs des varables de base et hors-base et la valeur de la focto écoomque correspodat à ue matrce de base. Nous avos vu que les varables hors-base correspodat à u sommet sot ulles : N 0. Nous obteos doc à l ade de () et () : (). + N =. = b () () et () N =.b z = c. = c..b c c N 7

18 Recherche Opératoelle N = b N Fgure VII. VII.. Amélorato de la valeur de la focto écoomque Comme est versble : ( ) ou ecore =.b.n. =.N. - - [ N N] ( ) z = c. + c. = c..b-.. + c. Doc ou N N N N N N [ ] z = c.. b + c c.. N. (v) N N z = z + D. Nous remarquos que, das cette formulato de z, apparasset seulemet les varables hors-base avec comme coeffcets les profts margau, ce qu est logque car : = c c.. b = 0 Nous souhatos trouver ue ouvelle base réalsable telle que la soluto de base correspodate doe ue valeur amélorée de la focto écoomque. Pour cela, ous dsposos d ue procédure qu permet de costrure ue ouvelle matrce de base réalsable qu dffère de la précédete d ue seule coloe. a) S N 0, la soluto obteue (pour ue mmsato) est optmale. b) Das le cas cotrare, l este au mos u proft margal correspodat à ue varable hors-base strctemet égatf que ous oteros e ; o est alors das les hypothèses du théorème 7, et o peut fare décroître la valeur de la focto écoomque e augmetat la varable e correspodat à e <0. La coloe A e correspodat à e etrera das la base. Premer Crtère de Datzg : O chost de fare retrer das la base la coloe dot le coût margal (<0) est le plus fable. N N 8

19 Recherche Opératoelle Le premer crtère de Datzg est ue heurstque destée à amélorer la covergece de l algorthme du smplee. Il est ustfé grâce au deu proprétés démotrées cdessous. Rappelos tout d abord l défto du gradet d ue focto de IR das IR. Défto 7 : O appelle gradet de la focto f de IR das IR au pot et l o ote f() le f( ) vecteur f( ) = M. f( ) Remarque : pour ue focto léare défe par f()=c t., f()=c. Proprété : La drecto du gradet d ue focto léare est u drecto d augmetato strcte de la focto quel que sot le pot de départ. E effet, cosdéros la dem-drote d orge (0) et de drecto f( (0) ) ; u pot λ de cette dem-drote est déf par : λ ( ) ( 0) ( 0 ), = + λ f λ > 0 Supposos que f( (0) ) e sot pas le vecteur ul (ce qu ôterat tout térêt à u tel problème d optmsato!) et calculos f( λ ) : ( λ ) λ λ ( ) ( 0) t = f( ) + λc. c O e dédut évdemmet que f( ( ) > f( ) ). ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) [ ] λ ( ) t t t t f = c. = c. + f = c + c. f (0) f( (0) ) λ Proprété : (Proprété de l agle agu) Ue drecto qu fat u agle agu avec le gradet d u focto léare est ue drecto d augmetato strcte de la focto quel que sot le pot de départ. E effet, cosdéros ue drecto d fasat u agle agu avec f( (0) ) =c : Alors d t.c >0. Sot u pot λ sur la dem-drote défe par so orge (0) et sa drecto d : λ ( = 0 ) + λd, λ > 0 et λ t ( t f = c. 0 ) + λc. d ( ) 9

20 Recherche Opératoelle O e dédut ecore que f( λ ( ) > f( 0 ) ). Comme corollare à ces deu proprété, l apparaît claremet qu ue drecto qu fat u agle obtus avec le gradet d ue focto léare est ue drecto de dmuto strcte de cette focto. (0) f( (0) ) drecto chose Chosr comme drecto de dmuto celle de plus pett proft margal égatf revet à se déplacer das la drecto de coordoée fasat l agle le plus grad avec la drecto du gradet, ce qu a tedace à dmuer la focto de faço plus rapde qu e utlsat les autres varables cocerées. Le premer crtère de Datzg est l heurstque qu a perms à l algorthme de coverger e u temps coveable das la plupart des cas. VII.. Détermato de la varable sortate s : Nous avos motré que =.N.. Posos Y =. N. (v) devet N = Y.N. Au cours du chagemet de base, seule la varable hors-base e devet postve, doc : e ( ) ème = Y e.n, où Y est la e- coloe de Y. D autre toutes les varables de base dovet être postves. Sot la ème composate de et la ème composate de ; o a : Doc { } = Y 0 (où Y est la composate de Y,...,m e e e D où M e e Y e / Y > 0 e ème e ), e tel que Y > 0 Y e Deuème Crtère de Datzg : O predra comme varable sortate la s ème varable de la base vérfat : 0

21 Recherche Opératoelle M e e = Y e > / Y 0 = Y s s e de faço à dmuer le plus possble la focto écoomque sas sortr du polyèdre des pots réalsables. Remarques : Le secod crtère de Datzg est ue applcato drecte de la procédure utlsée das la démostrato du théorème 7 pour obter ue ouvelle soluto de base réalsable dot la matrce de base e dffère que d ue seule coloe de la matrce de base précédete ; ue des acees varable s aule et devet varable horsbase ; elle est remplacée das la base par la varable hors-base de l base précédete de plus pett coût margal. Lorsque la varable etrate est ulle, ou lorsque quelques ues des varables de base sot ulles, la soluto est dte dégéérée. Nous verros par la sute les problèmes de covergece que peuvet poser de telles solutos. S toutes les composates de Y e sot égatves ou ulles, le programme léare a ue soluto o borée. VII.4. Détermato de la varable sortate : La varable qu sort de la base est celle qu s aule lorsque e etre das la base avec la valeur dquée das le secod crtère, c est-à-dre : Ys e s > 0 et e = Y ATTENTION! La coloe qu sort de la base est celle qu se trouve e s ème posto das celle-c, ν c est à dre A s. S est pas le uméro de la varable sortate das l esemble de toutes les varables, mas dque sa posto das la base. Il faut esute applquer à ouveau le premer crtère de Datzg pour détermer s la soluto obteue est optmale. S ce est pas le cas, o effectue ue ouvelle recherche de soluto de base amélorate. Sauf e cas de soluto dégéérée, la valeur de la focto écoomque dmue à chaque térato ; comme elle est borée féreuremet (sauf e cas de soluto o borée que l o sat dagostquer), l algorthme egedre ue sute fe et covergete, car mootoe, décrossate et borée féreuremet. Sous l hypothèse de o dégéérescece, l algorthme est doc coverget. VIII. PRATIQUE DE L ALGORITHME DU SIMPLEXE : METHODE DES TALEAUX VIII.. Formulato du problème s e

22 Recherche Opératoelle Nous étuderos d abord le programme caoque qu a l avatage d avor ue soluto évdete : Mamser f() = c () = avec a b, {,...,m } () = { } 0,,..., () où b { } 0,...,m. Nous étuderos plus tard le cas gééral de cotrates d égalté et d égalté. VIII.. Varables d écart Pour applquer la méthode du smplee, ous allos trasformer le système d équatos () e u système d équatos ( ) e aoutat à chaque membre de gauche des équatos ue varable postve ou ulle appelée varable d écart. Le programme léare devet : Mamser f() = c () = avec a + + = b, {,...,m } (' ) = { } 0,,...,+m () Ce procédé a l avatage de fourr ue soluto réalsable de base tale défe par = =... = = 0 + = b {,...,m} VIII.. Méthode des tableau du smplee (sur u eemple) Sot à résoudre le programme léare :

23 Recherche Opératoelle Mamser z = avec ; 0 E aoutat les varables d écart, 4 et 5, o obtet : Mamser z = avec + + = = = 6 0; 0;...; c c lge du pvot coloe etrate sol. de base tale varables de base La base est costtuée des coloes A, A 4 et A 5 ; la matrce de base (0) est doc das ce cas la matrce detté. La soluto de base tale est doée par : 8 = 4 = = = 0 et N et z= 0 0 Les profts margau des varables hors-base sot d après la formule du paragraphe VI : = c 0 0 ( ) c 0.[ ]. A = 50 ( 0, 0, 0) 0 0. = 50 ( ) = c 0 0 ( ) c 0.[ ]. A = 60 ( 0, 0, 0) 0 0. = 60 ( ) O remarque qu à la premère térato les profts margau des varables hors-base sot égau au coeffcets correspodats de la focto écoomque.

24 Recherche Opératoelle Le plus grad proft margal est. La coloe A etre das la base ( er crtère de Datzg). Pour trouver la coloe sortat de la base, o utlse le secod crtère de Datzg : o fat le quotet des composates de la soluto de base par les composates postves de la coloe etrate das le tableau courat. O a : 8 5 = M,, 6 4 = 4 Doc la posto das la base de la varable sortat de la base est s= ; la coloe A sort de la base. O remplace par das la coloe de gauche du tableau du smplee et o trasforme la deuème coloe du tableau e la coloe caoque ou le se place sur la premère lge des cotrates à l ade de la méthode de Gauss-Jorda eposée plus haut. Remarque : La focto écoomque sera as eprmée, grâce à ce chagemet de varable e focto des seules varables hors-base ; ses coeffcets sot alors les profts margau. Le ouveau tableau du smplee est : 4 5 c c / / / 0 -/ La ouvelle soluto de base est doc : 4 = = = 0 4, N et z = Comme le plus grad proft margal est postf, cette soluto est pas optmale. O fat doc ue ouvelle térato de maère detque : A etre das la base et : Doc s= et A 4 sort de la base. = M 8 0,, 7 = Le ouveau tableau du smplee est : 4 5 c c

25 Recherche Opératoelle La ouvelle soluto de base est : = = 5 6 = = 0, N et z= Nous sommes à l optmum car les profts margau sot tous égatfs ou uls. VIII.4. Eemple : Sot le programme léare : ma avec z = , 0,..., 0 5 E aoutat les varables d écart 6, 7, 8, et 9 o obtet le programme équvalet : ma avec z = = = = = , 0,..., L applcato de la méthode du smplee doe les tableau décrts das la fgure VIII La soluto de base est : = = 4, = = 5 0 N et z= c

26 Recherche Opératoelle / / / / / / / 0 0 / -/ 0-7/ / 0 -/ 6 / 0 0 / / -/ -/ 0 / / 0 / / 0 / / 0 / Fgure VIII.4. IX. RESOLUTION DE PROGRAMMES LINEAIRES GENERAUX A L AIDE DE LA METHODE DES TALEAUX DU SIMPLEXE Il s agt de résoudre des programmes léares comportat des cotrates d égalté féreure et/ou supéreure et/ou d égalté. Nous préseteros das la ute la méthode du smplee e deu phases sur u eemple au cours de la résoluto duquel ous doeros toutes les déftos et formatos utle à la mse e ouvre de cette méthode IX.. Cas des cotrates d égalté Ma z = avec + + Cosdéros le programme léare : ; 0; 0 E utlsat les varables d écart postves 4, 5 et 6 o obtet le programme léare équvalet suvat : 6

27 Recherche Opératoelle Ma z = avec = = = 0; 0;...;6 0 L aulato des varables structurelles, et e permet pas d ehber ue soluto de base réalsable car alors =, 4 = 6; 5 =. D où l dée d aouter à chaque cotrate d égalté supéreure ue varable postve spécfque destée à faclter la recherche d ue soluto réalsable et appelée Varable Artfcelle. E aoutat les varables artfcelles 7 et 8, le programme léare devet : Ma z = avec = = = 0; 0;...; 8 0 Premère phase de la méthode du smplee : S l o arrve à sortr les varables artfcelles de la base, celles-c devedrot ulle et les ouvelles varable de base serot des varables structurelles et/ou des varables d écart ; o peut alors se débarrasser des varables artfcelles dot le rôle est termé. Pour éecter les varables artfcelles de la base, ue méthode cosste à mmser la somme des varables artfcelles sous les cotrates c-dessus, c est à dre résoudre le système léare : M z' = avec = = = 0; 0;...; 8 0 Tros cas peuvet se produre à la f de cette phase : Les varables artfcelles sot sortes de la base : leur somme est alors ulle et la soluto de base obteue est ue soluto de base réalsable du problème tal. La somme des varables artfcelles est ulle, mas certaes restet das la base avec u valeur ulle. Le problème est dégééré ; cela provet quelquefos du fat que la matrce des cotrates comporte des lges léaremet dépedates ou, pour parler dfféremmet, que certaes cotrates sot redodates ; s les lges correspodates du tableau du smplee e comportet que des coeffcets uls, o élmera ces lges du tableau. O dspose alors d u programme léare de plus pette talle dot o dspose d ue soluto réalsable de base. 7

28 Recherche Opératoelle La somme des varables artfcelles est pas ulle à l optmum : o e peut trouver de pot réalsable car le polyèdre des pots réalsables est vde. Secode phase de la méthode du smplee : S l o a obteu grâce à la premère phase ue soluto de base réalsable, o utlse la méthode du smplee habtuelle e partat de cette soluto. Remarque : Lorsque l o utlse la méthode des tableau, l est recommadé de prévor deu lges pour les foctos écoomques de premère et secode phase, ce qu permet de dsposer, à la f de la premère phase, des profts margau assocés à la focto écoomque de la deuème phase ; so, o peut calculer les profts margau écessares à la deuème phase e utlsat les formules classques : N = N = N c c.. N c C. Y où Y est autre que la matrce des coloes hors-base du tableau courat du smplee ; pour détermer le J ème proft margal, o calculera : = c c. Y où Y est la ème coloe du tableau courat du smplee. Eemple : Repreos l eemple c-dessus ; remarquos d abord que pour pouvor fare foctoer l algorthme du smplee l faut que la focto écoomque sot eprmée e focto des seules varables hors-base, alors qu elles dépedet pour le momet des varables artfcelles qu ot e base. Cepedat, ces varables artfcelles apparasset que das les cotrates d égalté supéreure ; pour les élmer de la focto écoomque, l sufft doc de fare u chagemet de varable très smple, ou, ecore meu et de faço équvalete, retracher la somme de ces cotrates de la focto écoomque! D autre part, s l faut mamser la focto écoomque de la premère phase, l est recommadé, par souc de cohérece et pour évter des erreurs, de mamser l opposé de la focto écoomque de la premère phase (ce qu est strctemet équvalet) ; pour élmer les varables artfcelles, o lu aoutera la somme des cotrates comportat des varables artfcelles. Les tableau de la premère phase sot décrts das la fgure IX D II D I

29 Recherche Opératoelle D II D I D II D I / / 0 -/ 0 0 / 4 0 -/ -/ -/ 0 - / 6 0 / 5/ 0 -/ 0 / 6 Fgure IX. O rédut le tableau au varables structurelles et d écart et à la focto écoomque de la secode phase et o cotue les tératos das le tableau as modfé : D I 0 / /5-8/5-8/5 -/ /5 -/5 9/ /5 0 -/5 /5 /5 0 /5 0 -/5 /5 /5 D I IX.. Cas des cotrates d égalté o e peut aouter ou retracher de varable d écart à ue cotrate d égalté ; auss, das ce cas, o se cotete d aouter ue varable artfcelle à chaque cotrate de ce type et d applquer la méthode du smplee e deu phases. Eemple : Sot le programme léare : Ma z= avec + = + 4 = 8 + = 6 0;...; 4 0 E aoutat les varables artfcelles 5, 6 et 7, o obtet : 9

30 Recherche Opératoelle Ma z= avec = = = 6 0;...; 7 0 La premère phase de la méthode du smplee doe : D II D I D II D I D II D I D II D I La soluto de base trouvée est : 6 = 4 = 8 5 [ ] [ 0] et = = z = 4. N ; La deuème phase doe le derer tableau décrt par la fgure IX. 4 D I

31 Recherche Opératoelle Fgure IX. La soluto optmale est doc : = 4 = 6 [ ] [ 0] et = = z= -00. N ; Eercce :cotrates cotradctores Sot le programme léare : Ma z = + avec = 0; 0 E sérat les varables d écart et 4 et les varables artfcelles 5 et 6, o obtet le ouveau programme léare : Ma z = + avec + = = = 6 0; 0;...;6 0 Applquos la premère phase du smplee à ce problème e e teat pas compte de la focto écoomque de la deuème phase (cf. fgure IX.) La premère phase est termée, mas la valeur de la focto écoomque de la premère phase vaut - et la varable artfcelle 5 est pas sorte de la base. Le polyèdre des pots réalsables est vde car les cotrates sot cotradctores ; e effet, s l o combe les deu derères cotrates, o obtet alors que la premère cotrate mpose que D

32 Recherche Opératoelle D D Fgure IX. X. CAS PARTICULIERS X.I. Soluto o borée : Sot le programme léare : Ma z = + avec ; 0 L applcato de la méthode du smplee doe les tableau de la fgure X.. La soluto obteue est pas optmale pusqu u des profts margau est postf, mas la coloe correspodate e peut etrer das la base car toutes ses composates sot égatves. Das ce cas la soluto est o borée. E effet, cosdéros les cotrates du derer tableau ; elles peuvet s écrre : O costate que s devet suffsammet grad, les cotrates sot touours vérfées. 4 5 D

33 Recherche Opératoelle D D 0 0 4/ -5/ / / / / / 7/ Fgure X.. Soluto o borée X.. Dégéérescece prmale, cyclage : Lorsqu au mos composates de la soluto de base sot ulles, le pvotage a de forte chaces de s effectuer sur ue lge correspodat à l ue de celles-c. La varable etrat das la base sera alors ulle et la focto écoomque e sera pas amélorée. Das ce cas, le ombre d tératos de la méthode peut augmeter das de fortes proportos ce qu ralett cosdérablemet sa progresso pusque l amélorato strcte de la focto e se fat pas. O peut même e pas obter de covergece e raso d u bouclage du cycle tératf appelé cyclage. L u des cas de cyclage les plus cous est l eemple de eale : Ma z = avec ; 0; 0; 0 Das ce cas, le sème tableau est detque au tableau tal. XI. PRESENTATION SOUS FORME MATRICIELLE DE LA METHODE DU SIMPLEXE XI.. Rappels Nous avos vu das le paragraphe VII.. que la valeur de l soluto de base est doe par :.b = O peut e dédure que est soluto du système léare :

34 Recherche Opératoelle. = b De même la formule de calcul des profts margau est : c c. A { } =,,,..., Défto 8 : O appelle vecteur des multplcateurs du smplee le vecteur lge déf par : π = c O e dédut que π est soluto du système : π. = et que les profts margau peuvet s écrre : c A. c { } = π.,,..., Pour pouvor effectuer le pvotage, l faut coaître la e ème coloe du tableau du smplee qu est autre que Y e. Or la matrce Y est défe par : Y =. N Où N est la matrce des coloes hors-base de A. Comme la coloe ( N) etrat das la base est A e, o a : e Y =. A O e dédut que Y e est soluto du système léare : e. Y = A e e Remarque : Lorsqu o résoud u programme léare par la méthode du smplee, o calcule tous les coeffcets d u tableau à m+ lges et + coloes : D e D N Num. Var. Y e ase 4

35 Recherche Opératoelle Les seuls coeffcets qu l est utle de calculer sot ceu qu apparasset e plus focé das le tableau c-dessus, sot +m ombres réels. alors que, das la méthode des tableau, o e calcule (m+)(-m+)! Les formules c-dessus motret, de plus, que : Tous ces coeffcets peuvet être calculés à l ade des doées tales et des dces des varables de base Nous allos ter compte de cette remarque pour élaborer ue ouvelle méthode où l o e calcule que l formato écessare à l mplémetato de la méthode du smplee : la formulato matrcelle de l algorthme ou Méthode Révsée du Smplee. ALGORITHME MATRICIEL Pas 0 : Défto de la matrce de base tale (0). Pas : Calcul de la soluto de base ( k ) par résoluto du système léare : ( k ). ( ) = b k 5

36 Recherche Opératoelle Pas : Calcul du vecteur π ( k) léare : des multplcateurs du smplee résolvat le système π ( k ) ( k ). = c ( k ) Pas : Calcul des profts margau des varables hors-base : ( k ) k = c π ( ). A J esemble des varables hors- base Pas 4 : k Recherche du plus grad proft margal ma = Ma = ( k S ) e 0, la soluto de base ( k est optmale ) So la coloe A e etre das la base. N JN ( ) ( k) e Pas 5 : Calcul de la coloe etrate Y e : ( k ) e e. Y = A Pas 6 : Recherche de la coloe sortat de la base : Y e 0,..., m ; STOP ; la soluto est pas borée. S { } So ( k) Y M ( k) s e ( k e = e / Y > 0 s =,..., m Y où ) ème est la composate de. La s ème (k) coloe de la base sort de celle-c. Pas 7 : Costtuto de la ouvelle matrce de base : ( k) + = A,..., A, A, A,..., A Rever au pas. ν νk νk νk νm { } ν νk e νk + νm {,...,,,,..., } ( k) = A A A A A XI.. Méthode Révsée du Smplee Telle que ous l avos présetée, la méthode matrcelle ege l résoluto de tros systèmes léares : ( k ). ( ) = b k. = c ( k ) π ( k ) ( k ) k e e ( ). Y = A S ous utlsos ue méthode de Gauss ou de Gauss-Jorda pour les résoudre, chaue térato demaderat O(m ) multplcatos ; or la méthode des tableau est e 6

37 Recherche Opératoelle O(m+m ). Il est dspesable de rédure le coût de résoluto d u facteur m pour que la méthode matrcelle devee compéttve par rapport à la méthode des tableau. Nous avos remarqué plus haut que la méthode des tableau est autre qu ue méthode de Gauss-Jorda à pvots mposés par le ème crtère de Datzg ; o peut e dédure que pour obter u tableau du smplee, l sufft de prémultpler le précédet par ue matrce d élmato de Gauss-Jorda costtuée à l ade de la coloe etrate Y e et du pvot mposé par le ème crtère ; cette matrce d élmato trasforme Y e e ue coloe caoque dot le seul coéffcet o ul est est est e s éme posto. Pour passer du tableau T (0) au tableau T (k), l sufft de prémultpler T (0) par les dfféretes matrces d élmato E 0, E,...,E k- : k T E. E... E. E. T ( ) ( 0) = k k 0 Mas o peut auss passer drectemet du tableau T (0) au tableau T (k) e prémultplat par [ (k) ], c est à dre : k k = [ ] T ( 0) O e dédut que : [ ( ) ] 0 ( ) ( ) ( 0) T. T ( [ k ) ( 0) ] = Ek... E. E0. [ ] apparaît car, s la matrce de base tale est pas la matrce detté, l faut multpler le tableau tal par celle-c pour fare apparaître la soluto de base tale. ( k ) ( 0) = E... E. E. o fat apparaître l mportate E remarquat que [ ] k 0 [ ] relato suvate : ( [ k ) ( k ) ] = Ek. [ ] Proprété fodametale : L verse de la matrce de base d ue térato est obteue e prémultplat l verse de la matrce de base de l térato précédete par la matrce d élmato de Gauss-Jorda costtuée à l ade de la coloe etrate courate Y e et de la posto s du pvot. Etat doé la structure spécfque de la matrce d élmato (matrce detté sauf la s ème coloe «plee», le coût de calcul de la ouvelle verse est e O(m ). La matrce d élmato de Gauss-Jorda est das ce cas : 7

38 Recherche Opératoelle E k e e 0 L Y Y s L 0 e e 0 L Y Ys L 0 M M O M O M = e 0 0 L Ys L 0 M M O M O M e e 0 0 L Ym Ys L La méthode révsée du smplee sut le même caevas que la méthode matrcelle et utlse les proprétés que ous veos d éocer pour le calcul de l verse de la matrce de base ; elle peut s mplémeter de deu faços : Sous forme E.F.I. (Eplct Form of Iverse) : l verse de la matrce de base est calculée eplctemet au cours de chaque térato e utlsat la formule c-dessus. Cette méthode est pas adaptée au cas des matrces de grade talle très creuses, mas peut être applquée au problèmes de pette talle. Sous forme P.F.I. (Product Form of Iverse) : l verse est pas calculée eplctemet ; o coserve e mémore les vecteurs Y e et les postos s des pvots formatosuffsate pour recosttuer les matrces E. Das cette méthode ue parte du «creu» de la matrce de base est coservé car peu de produts scalares sot effectués. Cette méthode est ecore utlsée localemet, mas les logcels les plus récets utlset ue décomposto tragulare de la matrce (algorthmes de artels et Golub, de Toml). XI.. Eemple d utlsato de la méthode E.F.I. : Repreos l eemple du paragraphe VIII.4. ma avec z = = = = = , 0,..., où 6, 7, 8 et 9 sot les varables d écart. Le tableau de doées sera doc : c Itérato tale : 8

39 Recherche Opératoelle La matrce de base tale est ( 0) = ( A 6, A 7, A 8, A 9 ) = Id = [ ( 0) ] Soluto de base : 0 [ ] 7 ( 0) =. b = b = ( ) 5 Multplcateurs du smplee : π ( 0) [ ( 0) = c ( ) ] 0 = c ( 0) = ( 0, 0, 0, 0) Profts margau : ( 0) = c ( 0). π A =c ; doc ( 0 ) = ; ( ) = ; ( ) = ; ( ) = 0; ( ) =. 0 Le plus grad proft margal est etre autres A etre das la base ( ) Coloe etrat das la base : [ ] 4 5 ( ). 0 Y =. A = Pvotage : M 7,,, = ; doc s=. A 7 sort de la base. ( ) = A, A, A, A Nouvelle matrce de base : ( ) Premère térato : 0 0 ( ) [ ] = E0 = Soluto de base : ( ) ( ) = [ ] Multplcateurs du smplee : Profts margau : b = = [ ] ( ) [ ] ( ) π ( ) c ( ) ( ) ( ) = c π ( ). A ; doc ( ) = ; ( ) = ; ( ) = ; ( ) = 0; ( ) =. 4 5 = ( ) = 0,, 0, 0. = 0,, 0, 0. 7 ( ) Le plus grad proft margal est postf ; la soluto est pas optmale ; A etre das la base 9

40 Recherche Opératoelle ( ) ( ) Coloe etrat das la base : Y = [ ]. A = [ ] Pvotage : { } M 5,,, = ; doc s=. A 8 sort de la base. ( ) = A, A, A, A 6 9 Nouvelle matrce de base : ( ) Deuème térato : [ ( ) ] E [ ( ) ].[ ( = ) = ] Soluto de base : ( ) ( ) = [ ] = b = = = Multplcateurs du smplee : π ( ) [ ( ) c ] ( ) [ ( ) ] Profts margau : ( ) = c ( ). π A ; doc = = ( ) 0,,, 0. = 0,,,. 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ; 4 = 0; 5 = 0; 7 = ; 8 =. ( Le plus grad proft margal est postf ; la soluto est pas optmale ; A etre das la base 0 Y ( ) ( ) =. A = = M,,, 8 = ; doc s=. A sort de la base. ) = 6 9 A, A, A, A Coloe etrat das la base : [ ] [ ] Pvotage : { } Nouvelle matrce de base : ( ) Trosème térato : 40

41 Recherche Opératoelle [ ( ) ] E [ ( ) ].[ ( = ) = ] Soluto de base : ( ) ( ) = [ ] = b = = = = ( ) 0,,, 0. = 0, 7,,. 0 Multplcateurs du smplee : π ( ) [ ( ) c ] ( ) [ ( ) ] Profts margau : ( ) = c ( ). π A ; doc ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) = ; 4 = ; 5 = ; 7 = ; 8 =. ( Le plus grad proft margal ) 4 est postf ; la soluto est pas optmale ; A 4 etre das la base Coloe etrat das la base : Y 4 [ 4 ] A [ ] = = = ( ) ( ). 0 Pvotage : M 7,,, = doc s=. A sort de la base. ( 4 ) = A, A, A, A Nouvelle matrce de base : ( ) Quatrème térato : [ ( 4 ) ] = E.[ ( ) ].[ ( ) = ] =

42 Recherche Opératoelle Soluto de base : ( ) 4 ( ) 4 = [ ] b = = Multplcateurs du smplee : π ( 4) = [ ( 4) ] ( ) [ ( 4) c ] 4 = = ( 0 4 0) Profts margau : ( 4 ) 4 c A = π ( ). ; doc ( 4 ) = ; ( ) = ; ( ) = ; ( ) = 4; ( ) =. Le plus grad proft margal ( ),,,.,,,. ( ) est égatf ; la soluto est optmale. 4