I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

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1 Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose de mettre e place ue stratégie afi d optimiser les gais à log terme. O adopte ici le cadre simplifié suivat : o cosidère ue suite de variables aléatoires X N idépedates et suivat toutes la même loi de Beroulli de paramètre p. U joueur mise ue partie M de so capital sur la réalisatio de l évéemet X, pour chaque >. La variable M est supposée idépedate des variables X k, k N E cas de victoire, il double sa mise so capital est doc augmeté de M, e cas de défaite il perd sa mise so capital dimiue de M. Iitialemet, le joueur dispose du capital > 0, puis o ote C la variable aléatoire égale au capital déteu à l issue du ième pari. O a aisi l ecadremet : 0 M + C pour tout etier. Le jeu est supposé favorable, o cosidérera das tout le problème : < p <. I. Quitte ou double. O a deux coditios à vérifier : pour X + 0 o doit avoir C + C M + et pour X + o doit avoir C + C + M +. O résout ces coditios : { { C + bm + C M + b si C + a + b M + C + M + a Coclusio : C + C + X + M +. N.B. O a besoi d ue relatio de récurrece sur E C : O a doc E C + E C + E X + E M + car X + et M + idépedats et E C + E C + p E M + et o a alors par récurrece : Pour : + p E M k + p E M E C d après le. k Soit N tel que E C + p alors E M k k E C + E C + p E M + + p E M k + E M + k + + p E M k Coclusio : N, E C + p k E M k Comme p > 0, plus k E M k est grade est plus E C est grade. et comme M k+ C k, o aura E C + p k E C k cette somme état atteite pour M k+ C k pour tout k. Coclusio : pour maximiser E C il faut miser tout so capital à chaque pari. k Corrigé Pf06-c Page / 7

2 3. Si l o mise la totalité de so capital, à chaque pari, o est ruié si X 0. Doc e pas être ruié est l évéemet + X de probabilité lim N + P N X. Avec P N X p N car les X sot idépedats, o a doc lim N + P N X 0 et doc la probabilité de e jamais êter ruié est ulle. Coclusio : Si le joueur mise tout so capital, la ruie est quasi certaie. II. Stratégie à mises proportioelles La stratégie précédete état risquée, le joueur décide d egager das chaque pari ue fractio du capital dot il dispose : o a aisi M + αc, avec α ]0, [ idépedat de. O a C + C + X + M + C + X + αc doc si X + alors + α X + α X + C + α C C + si X + 0 alors + α X + α X + C α C C + Coclusio : N, C + + α X + α X + C.. O pose S k X k. S représete le ombre de succès pedat les premières épreuves. Ces épreuves état idépedates et ayat la même probabilité p de succès, Coclusio : S B, p et E S p 3. O a par récurrece : pour : + α S α S + α X α X. C Soit N tel que C + α S α S alors C + + α X + α X + C + α S+X + α S X + + α S + α S + Coclusio : N, C + α S α S. 4. O a E Coclusio : E l l [ l [ l C 0 C 0 C + α S α S doc C 0 S l + α + S l α car > 0 S l + α + S l α et doc ] [ ] [ ] S S E l + α + E l α p l + α + p l α ] p l + α + p l α Par la suite, o cherche à maximiser cette quatité, ce qui équivaut à maximiser l espérace du taux moye de croissace du capital. Corrigé Pf06-c Page / 7

3 III. Optimisatio : le critère de Kelly O pose, pour tout x [0, [, f x p l + x + p l x. Étude de f. a f est C sur ]0, [ car + x > 0 et x > 0 et f p x + x p x p x x > 0 f x x + x p x x x + p x x Lourd de chercher les racies de x + p x Soit g x x + p x. g est dérivable sur [0, ] et g x x + p x p et comme > p > alors p ]0, [ g p p + p p < 0 car p ]0, [ 0 p g x + 0 g x g p < 0 f x p x + 0 affie f x + 0 f x 0 Coclusio : f est doc bie cocave f < 0 et atteit so maximum e α K p b O a lim x f x Quad x Détermier la limite de f e et iterpréter le résultat. Quad la proportio rejouée α ted vers, la croissae moyee du capital ted vers o cours à la ruie c Comme f 0 0 et que f est stricteme croissate sur [0, α K ] alors f α K > 0 Comme f est cotiue et strictemet décroissate sur [α k, [ elle es tbijective de [α k, [ das ]lim f, f α k ] ], f α K ] Et comme 0 < f α K alors 0 ], f α K ] Doc f x 0 a ue uique soutio das α c [α k, [ qui est pas α K Coclusio : f s aule deux fois exactemet sur [0, [ : e 0 et e u réel α c vérifiat α K < α c. d Asymptote verticcale e. Tagete e 0 : f 0 p > 0 Comme le maximum est e p, o peut reporter e ordoée cette valeur pour costruire la tagete. Et o ote α c au poit d itersectio.. Coclusio : le choix α α K est celui qui optimise la croissace de gai à log terme. Pour p, o aurait α K 0 doc quad o a autat de chaces da gager que de perdre, pour gager e moyee, il vaut mieu e rie miser. Pour p o a α K doc quad o est sûr de gager, o peut tout miser à chaque fois Corrigé Pf06-c Page 3/ 7

4 IV. Étude de la valeur critique α c Les choix de α au-delà de la valeur critique α c coduiset à ue perte de capital. O cherche das cette partie u équivalet de α c lorsque p est proche de. O cosidèrera das ce qui suit que α, est ue foctio de p o écrira aisi α c p.. O défiit la foctio ϕ sur ]0, [ par ϕ x l + x l x. a ϕ est cotiue e x tel que + x > 0 et x > 0 et l x 0 doc sur ]0, [ comme composée et quotiet de foctios cotiues. l + x 0 x E 0 : forme idétermée et ϕ x x l x 0 Coclusio : ϕ est prologeable e 0 par ϕ 0 E : l + x l l x 0 Coclusio : ϕ est prologeable e 0 par ϕ 0 b ϕ est dérivable sur ]0, [ comme composée et quotiet de foctios dérivables + x > 0 et x > 0 et l x 0. ϕ x l x + l + x +x x [l + x] x l x + + x l + x x [l + x] h x x [l x] Coclusio : avec h x x l x + + x l + x c h est dérivable sur ]0, [ et h x l x + l + x + + x l x Pour x ]0, [ o a 0 < x < + x doc +x x h x > 0 E 0 : x l x + + x l + x 0 E : avec h x 0 + o a x l x h l h lh /h o /h doc h x l x 0 h x 0 + l 0 car l h d O a doc ϕ > 0 sur ]0, [ et doc ϕ est cotiue et strictemet croissate sur [0, ] et doc bijective de [0, ] das [ϕ 0, ϕ ] [, 0]. O a et avec l + h h h + h ε h avec ε h 0 quad h 0 Corrigé Pf06-c Page 4/ 7

5 Le taux d accroissemet e 0 : ϕ x ϕ 0 x 0 l + x l x + x l + x + l x x l x x x + x ε x x + x + x ε x x x + xε x x + x ε x x + ε x + ε x + ε x Coclusio : ϕ est dérivable e 0 et ϕ a N.B. passer par la foctio pour toucher la réciproque Pour p ], [ o a f α c 0 doc p l + α c + p l α c 0 doc l + α c l α c p p p et ϕ α c p Et comme α c [0, ] alors Coclusio : p ], [, α c p ϕ p b Rare : dérivée de la réciproque Quad p + o a alors p + et comme ϕ x quad x 0 alors ϕ x 0 quad x doc ϕ 0 quad p p Coclusio : α c, est prologeable par cotiuité e par α c 0 La foctio prologée est alors doée par α c p ϕ. p ϕ est dérivable sur [0, [ et ϕ > 0 alors ϕ est dérivable sur [, 0[ et ϕ x ϕ ϕ x doc α c est dérivable e p tel que p 0 et [, 0[, doc sur [, [ et p α c p ϕ p p α c 4 ϕ 4 ϕ 0 4 Coclusio : ce prologemet est dérivable e et α c 4 c La dérivé e Coclusio : est la lmite du taux d acfroissemet : α c p α c p 4 doc α c p 0 p au voisiage de : α c α K Corrigé Pf06-c Page 5/ 7

6 Coclusio : pour des valeurs de p proches de c est-à-dire des paris légèremet favorables, u cas très fréquet, il faut predre α < α K. Par sécurité p est e pratique cou qu approximativemet, les parieurs choisisset souvet α α K, la moitié de la valeur de Kelly. V Simulatio iformatique. O rejoue tat que le capital cap obj est pas atteit. Le capital suit la relatio : si X + alors + α C C + si X + 0 alors α C C + plus facile e PASCAL que celle avec les puissaces. u :radom ;u<p est l évéemet surveeat avec ue probablité p pari gagé compte le ombre de parties jouée. program kelly ; var : iteger ; cap, cap obj,u,p,alpha : real ; writel valeur de p : ; read p ; writel objectif à atteidre : ; read cap obj ; writel valeur de alpha : ; readalpha ; cap :00 ; :0 ; radomize ; while cap < cap obj do u :radom ; if u<p the cap :cap*+alpha ed else cap :cap*-alpha ed ; :+ ; ed ; writel ombre de parties jouées :, ; writel capital atteit : cap ed.. Afi de vérifier que la stratégie de Kelly est optimale, o modifie le programme kelly de la faço suivate : le ouveau programme calcule la valeur de Kelly α K ; e sortie, le ouveau programme revoie, e plus du ombre de parties jouées pour atteidre l objectif demadé, le capital que l o aurait obteu si o avait choisi la valeur α K à la place de α pedat ces mêmes parties. O rajoute u secod capital capk. program kelly ; var : iteger ; cap, capk, cap obj,u,p,alpha,alphak : real ; writel valeur de p : ; read p ; writel objectif à atteidre : ; read cap obj ; Corrigé Pf06-c Page 6/ 7

7 writel valeur de alpha : ; readalpha ; alphak :p- ; cap :00 ;capk :00 ; :0 ; radomize ; while cap < cap obj do u :radom ; if u<p the cap :cap*+alpha ;capk :capk*+alphak ed else cap :cap*-alpha ;capk :capk*-alphak ed ; :+ ; ed ; writel ombre de parties jouées :, ; writel capital atteit :, cap ; writel capital Kelly :, capk ed. Corrigé Pf06-c Page 7/ 7

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