Énoncé. Étapes de l algorithme :

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Ségolène Ringuette
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1 Cours C-2 1 Cours C-2 2 Algorithme d Euclide Introduction au langage C Cours 2 Du problème au programme Jean-Jacques Girardot / Marc Roelens Septembre 2007 Énoncé Pour obtenir le PGCD de deux nombres positifs A et B, on retranche le plus petit du plus grand jusqu à obtenir deux nombres égaux ; cette valeur est celle du PGCD Étapes de l algorithme : 1. vérifier que A B ; sinon, permuter. 2. est-ce que A = B? Si oui, le PGCD est A et le programme est terminé. 3. sinon, retrancher B de A. 4. revenir à l étape 1. Cours C-2 3 Étapes du programme L aspect algorithmique est-il clair? Quelles sont les «entrées» du programme? les nombres A et B Quelles sont les «sorties» du programme? le PGCD de A et B la valeur de A à la fin de l algorithme Aspects du traitement gérer la boucle répétitive gérer le cas «A<B» échanger deux variables tester la condition d arrêt imprimer le résultat De quelles «variables» avons nous besoin? les entiers A et B autres? Cours C-2 4 Boucle «infinie» : trois solutions instruction «for» for ( ; ;) «instruction» instruction «while» while (1) «instruction» instruction «do...while» do «instruction» while (1) ; Attention à la syntaxe de ces constructions! Éléments de C (1)

2 Cours C-2 5 Éléments de C (2) Instruction simple se termine par un ; Instruction composée permet d utiliser un bloc d instructions à un emplacement d un programme où la syntaxe n autorise qu une instruction unique syntaxe «suite d instructions» Instruction vide permet de ne «rien» faire à un emplacement d un programme où la syntaxe impose la présence d une instruction unique deux syntaxes possibles ; Cours C-2 6 Instruction conditionnelle Éléments de C (3) exécuter une instruction si, et seulement si, une condition est satisfaite deux syntaxes : if ( «condition» ) «expression» et : if ( «condition» ) «expression» else «expression» Condition une expression numérique «vraie» si sa valeur est différente de 0, «faux» si elle est égale à 0 les opérations de comparaison de C (<, ==, >, <=, >=,!=) fournissent un résultat numérique, 0 ou 1 Cours C-2 7 Cours C-2 8 Échange de deux variables passer par une 3 eme variable ne pas oublier sa déclaration utiliser une instruction composée C=A ; A=B ; B=C ; Note : aspect séquentiel de l exécution Étapes algorithmiques (1) Étapes algorithmiques (2) Arrêt conditionnel et impression d un message utiliser une expression conditionnelle faire appel à une instruction composée la procédure exit permet l arrêt d un programme son paramètre est un «code de retour» écriture : if (A==B) printf("la valeur du PGCD est %d\n", A) ; exit(0) ;

3 Cours C-2 9 Cours C-2 10 Recherche du PGCD Somme des «N» premiers entiers #include <stdio.h> int main(int argc, char * argv[]) int A, B, C ; A = ; B = ; for ( ; ;) if (A<B) C=A ; A=B ; B=C ; if (A==B) printf("la valeur du PGCD est %d\n", A) ; exit(0) ; A=A-B ; Algorithme immédiat : boucle de 1 à N int S, N, i ;... S=0 ; for (i=1 ; i<=n ; i++) S=S+i ; se lit : pour i prenant la valeur initiale 1, tant que i est inférieur ou égal à N, en incrémentant i à chaque étape, faire... Incrémentation i++ équivaut à i=i+1, et incrémente de 1 la variable i l expression i++ a comme valeur la valeur de la variable i avant incrémentation Cours C-2 11 Somme des «N» premiers entiers? Programme C int S, N ; S=N*(N+1)/2 ; Comparaison? i=n i = i=1 Algorithmique N (N + 1) 2 40 fois plus rapide pour N=100 ; la durée d exécution ne dépend pas de la valeur de N... Importance du choix de l algorithme Cours C-2 12 La boucle for Éléments de C (1) syntaxe : for («init» ; «test» ; «itération») «instruction» équivalente à «init» ; while ( «test» ) «instruction» «itération» ; les parties «init» et «itération» sont facultatives ; si «test» est omis, l expression utilisée par défaut est «1» exemple : int i, s ; for (i=s=0 ; i<10 ; i++) s=s+i*i ; Échappement à l intérieur d une boucle for ou while break permet de «sortir» de la boucle continue permet de répéter la boucle

4 Cours C-2 13 Cours C-2 14 Méthode de calcul : série alternée : Un exemple : le calcul du sinus De l algorithme au programme (1) Comment passer à un programme n utilisant que les opérations connues (expressions arithmétiques, boucles, etc)? Analyse : sin(x) = ( 1) i x 2i+1 i=0 (2i + 1)! = x x3 3! + x5 5! x7 7! + Définissons : U N = x x3 3! + + ( 1)N x 2N+1 = (2N + 1)! N ( 1) i x 2i+1 N i=0 (2i + 1)! = u i i=0 la série est alternée dès qu il y a décroissance en valeur absolue ; x 2n+1 le terme de rang n est (2n+1)! ; on doit avoir (2n + 1) > x, soit n > x 2 ; l erreur est alors inférieure à x 2n+1 (2n+1)!. avec : u 0 = x u i = ( 1)i x 2i+1 (2i+1)! u i+1 = ( 1)i+1 x 2i+3 = ( 1)i x 2i+1 ( 1) x2 (2i+3)! (2i+1)! (2i+2)(2i+3) = u i x 2 (2i+2)(2i+3) Cours C-2 15 Cours C-2 16 De l algorithme au programme (3) De l algorithme au programme (2) Ainsi : Posons : d où : w i = 2i (2i + 1) = 4i 2 + 2i w i+1 = (2i + 2) (2i + 3) = 4i i + 6 = w i + 8i + 6 u i+1 = u i x2 w i+1 posons : soit encore : w 0 = 0 w i+1 = 4i i + 6 = w i + 8i + 6 z i+1 = 8i + 6 z 0 = 2 z i = 8i 2 z i+1 = z i + 8

5 Cours C-2 17 Cours C-2 18 Écriture en C (1) Récapitulons : Traduction en C : De l algorithme au programme (4) z 0 = 2 z i+1 = z i + 8 w 0 = 0 w i+1 = w i + z i+1 u 0 = x u i+1 = u i x2 w i+1 U 0 = x U i+1 = U i + u i+1 Schéma général initialiser les variables (nature?) itérer jusqu à la précision désirée Initialisation des variables z=-2 ; w=0 ; u=x ; U=x ; Corps de l itération 4 variables, U, u, w, z évolution des valeurs selon les formules ci-dessus z=z+8 ; w=w+z ; u=-u*x*x/w ; U=U+u ; Cours C-2 19 Le programme : double x, U, u ; int z, w ;... z=-2 ; w=0 ; u=x ; U=x ; while(...) z=z+8 ; w=w+z ; u=-u*x*x/w ; U=U+u ; Écriture en C (2) Cours C-2 20 Obtenir une réponse «satisfaisante» Boucle sur condition répéter une boucle tant qu une condition (complexe) est satisfaite solution : utiliser une variable de contrôle, que l on positionne à l intérieur de la boucle : int control ; control = 1 ; while (control) «positionnement de "control"» problème dual : répéter tant qu une condition n est pas satisfaite : int control ; control = 0 ; while (!control) «positionnement de "control"» l opérateur! rend 1 si son opérande est égal à 0, 0 sinon.

6 Cours C-2 21 Expressions séquentielles Calcul de conditions complexes opérateur «ou séquentiel» A B calcule A ; si A est différent de 0, cette valeur est fournie comme résultat ; si A vaut 0, la valeur B est calculée et fournie comme résultat ; B n est calculée que si A vaut 0. opérateur «et séquentiel» && A&&B calcule A ; si A est nul, cette valeur est fournie comme résultat ; si A est différent de 0, la valeur B est calculée et fournie comme résultat ; B n est calculée que si A est différent 0. ex : X=(P!=0)&&(Q/P>W) ; if ((D!=0)&&(K%D!=0)) A!=0 exit(0) ; Cours C-2 22 Le test proposé peut s écrire : Traduction en C : Test de précision n > x 2 et x 2n+1 (2n+1)! < ε la variable u représente le terme d ordre n ; il faut compter les itérations : variable n définir la précision attendue : variable epsilon la fonction fabs fournit la valeur absolue d un nombre flottant Écriture C : fini = 0 ; while (!fini)... fini = n>fabs(x)/2 && fabs(u)<epsilon ;... Cours C-2 23 Le programme complet #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> int main(int argc, char * argv[]) double U, u, x, epsilon ; int z, w, n, fini ; z=-2 ; w=0 ; n=0 ; fini=0 ; x=m PI/4 ; U=u=x ; epsilon=1e-8 ; while(!fini) z=z+8 ; w=w+z ; n++ ; u=-u*x*x/(double)w ; U=U+u ; fini = n>fabs(x)/2 && fabs(u)<epsilon ; printf("sin(%.12g)=%.12g [%d]\n",x,u,n) ; Cours C-2 24 Exécution pour x = π 4 : Note sin( )= [5] Exécution pour x = 100 : sin(100)= e+25 [143] Problème : manipulation de termes de valeurs absolues très différentes : u précision des nombres : 16 chiffres décimaux exemple : double a,b,c ; a=1e22 ; b=-1e22 ; c=100.0 ; printf("%f %f\n",a+b+c, a+c+b) ; imprime :

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