DEA Université de Paris 1. Equilibre général, chômage et assurance incomplète. Le Modèle d Aiyagari [QJE,1994]

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1 DEA Université de Paris 1 Equilibre général, chômage et assurance incomplète Le Modèle d Aiyagari [QJE,1994] François Langot GAINS (Le Mans) & Cepremap 24 mars

2 Risques spécifiques de revenu A chaque période de sa vie active, l individu fait face à un risque spécifique sur le marché du travail. Par exemple, ce risque peut se traduire par la possibilité de connaître des épisodes de chômage. Les transitions entre ces deux états (e ou u) sont modélisées par le processus de Markov : t + 1 e u t e φ 1 1 φ 1 u φ 2 1 φ 2 Soit s la variable aléatoire donnant le statut d un individu sur le marché du travail, on peut alors noter les probabilités de transition entre ces différents états comme les probabilités conditionnelles de la matrice définie cidessus : π(s s) = P r{s t+1 = s s t = s} où s, s S = {e, u}. si s = e, l individu consacre son temps disponible au travail et reçoit une rémunération. si s = u, l individu consacre tout son temps à des activités hors-marché (production domestique, moins productive que l activité de production dans le secteur marchand), et reçoit des indemnités chômage versées par le gouvernement. 2

3 Préférences Les préférences des agents sont résumées par la fonction d utilité suivante β t t=0 π(s t+1 s t )u(c t ) (1) s t+1 où le facteur d escompte psychologique vérifie β ]0, 1[, la consommation c t est strictement positive. Le flux instantané d utilité u est une fonction strictement concave de type CRRA : u(c) = c1 σ 1 σ avec σ le coefficient d aversion relative pour le risque. Les ménages ont accès à un marché financier, mais ne peuvent pas s endetter (contrainte d endettement). De plus, les titres sur les marchés financiers ne leur permettent pas de s assurer contre tous les risques individuels de revenu. 3

4 Le gouvernement Le gouvernement taxe les revenus salariaux des ménages afin d effectuer des transferts vers les chômeurs, notés b. L équilibre de la contrainte budgétaire du gouvernement est assuré par l ajustement du taux de cotisation sur le salaire, τ. L indemnité-chômage est supposée inconditionnelle : indépendante du nombre de périodes passées au chômage (non-dégressive), et il n y a pas de durée limite pour l indemnisation. Une étude centrée sur les vertus et limites de l allocationchômage devrait naturellement prendre en compte une certaine dégressivité jusqu à une non-élligibilité. 4

5 Les règles de décisions des ménages (1) Le vecteur des variables d état pour le ménage est le vecteur (k, s) où k représente le stock de capital de début de période et s la réalisation spécifique à l agent des événements idiosyncratiques. Soit K l ensemble des valeurs admissibles du stock d actif. Le programme résolu par le ménage est le suivant : v(k, s) = sous les contraintes max u(c) + β c 0,k K s π(s s)v(k, s ) (2) c + k = (1 + r)k + wν(s) (3) où v représente la fonction-valeur du ménage, r et w sont respectivement le taux d intérêt et le taux de salaire. ν(s) représente le gain net du ménage issu de sa participation au marché du travail : wν(s) = (1 τ)w si s = e (θ + b)w si s = u avec 1 τ > θ + b. θ < 1 mesure l écart d efficacité de la production domestique par rapport à la production marchande et b < 1 est le ratio de remplacement. 5

6 Les règles de décisions des ménages (2) Le problème en certain L = β t {u(c t )+λ t [(1+r)k t +w c t k t+1 ]+µ t [k t+1 ]} t Conditions d optimalité u (c t ) = λ t β t λ t + β t µ t = β t+1 λ t+1 (1 + r) λ t + µ t = βλ t+1 (1 + r) 0 = λ t [(1 + r)k t + w c t k t+1 ] 0 = µ t [k t+1 ] On en déduit que u (c t ) u (c t+1 )β(1 + r) = si k t+1 > 0 car µ t = 0 si k t+1 > 0 alors la dynamique de la consommation telle que c t+1 < c t car u (c t ) < u (c t+1 ) : comme ρ > r, peu d incitation aux placements, donc on consomme plus aujourd hui que de demain. si k t+1 = 0 alors c t = (1 + r)k t + w à la date t c t+1 = w à la date t + 1 car k t+1 = 0 d où c t+1 c t = (1 + r)k t < 0. La consommation est toujours décroissante, jusqu en t = T, date à partir de laquelle elle est constante (c t = w) 6

7 Les règles de décisions des ménages (3) Le problème en incertain Soit la variable aléatoire M t = β t (1 + r) t u (c t ) On sait que M t 0 car u (c t ) 0. La condition d optimalité du programme du ménage s écrit alors u (c t ) β(1 + r)e t u (c t+1 ) β t (1 + r) t u (c t ) β t+1 (1 + r) t+1 E t u (c t+1 ) E t [M t+1 M t ] 0 Théorème de convergence des Supermartigales : comme M t n est pas négatif, on a. M t M 0 Si β(1 + r) > 1 ou si β(1 + r) = 1 : la convergence de M t = u (c t ) 0, i.e. c t +. Ceci n est alors possible que si k t +. si β(1 + r) < 1 : la convergence de M t laisse libre la suite des c t : la consommation est alors une variable aléatoire prenant des valeurs finies. 7

8 Les règles de décision de l entreprise Les entreprises opèrent sur des marchés concurrentiels (output et inputs). Elles disposent toutes d une technologie de production de type Y = AK α L 1 α Le programme de l entreprise, louant ces deux facteurs de production, s écrit : max K,L AKα L 1 α wl (r + δ)k Les conditions d optimalté indiquent que les productivités marginales égalisent le coût unitaire. Le salaire moyen est alors déterminé par la frontière des prix des facteurs : w = (1 α)a r + δ αa α α 1 8

9 Définition de l équilibre L équilibre stationnaire de cette économie est défini par l ensemble des règles de décision du ménage {c(k, s), k (k, s)}, les fonctions valeurs des ménages v(k, s), les instrument de politique économique {τ, b}, une distribution de probabilité λ(k, s), un vecteur de prix (r, w), et le vecteur des variables agrégées (K, T, B). L état stationnaire vérifie alors : (i) Les prix (r, w) vérifient w = F (K, L)/ L et r = F (K, L)/ K δ (4) (ii) Les règles de décision k = g(k, s) et c = f(k, s) sont solutions du programme de maximisation des agents. (iii) τ équilibre la contrainte budgétaire du gouvernement pour un ratio de remplacement b donné, B = T où B = k λ(k, u)bw et T = k λ(k, e)τw (iv) La distribution de probabilité λ(k, s) est une distribution stationnaire associée à {g(k, s), π(s s)} vérifiant : λ(k, s ) = s k:k =g(k,s) λ(k, s)π(s s) (v) Le capital agrégé est alors défini par K = k,s λ(k, s)g(k, s) 9

10 Règles de décision Employé Chomeur Capital(t+1), r=r* Fig. 1 Règles de décision d accumulation Employé Chomeur Capital(t+1), r=r* capital (t+1) 1 capital (t+1) capital (t) capital (t) 2 Fig. 2 Règles de décision de consommation Consommation(t), r=r* Consommation(t), r=r* 3 consommation (t) Employé Chomeur capital (t) consommation (t) Employé Chomeur capital (t) 10

11 Equilibre général : solution 35 Fig. 3 Equilibre général OFFRE DE CAPITAL DEMANDE DE CAPITAL CAPITAL RENDEMENT DU CAPITAL (r) Fig. 4 Offre de capital OFFRE DE CAPITAL RENDEMENT DU CAPITAL (r) OFFRE DE CAPITAL PREFERENCE POUR LE PRESENT CAPITAL 11

12 Equilibre général : distribution du capital Fig. 5 Distribution du capital pour le taux d intérêt d équilibre 7 x 10 4 DISTRIBUTION TOTALE DU CAPITAL, r=r* 6 5 DE MENAGES CAPITAL Fig. 6 Distribution du capital : employés/chômeurs 7 x 10 4 DISTRIBUTION DU CAPITAL DETENU PAR LES EMPLOYES, r=r* 1.6 x 10 4 DISTRIBUTION DU CAPITAL DETENU PAR LES CHOMEURS, r=r* DE MENAGES 4 3 DE MENAGES CAPITAL CAPITAL 12

13 Principe de résolution numérique (1) 1. Hypothèse centrale : On suppose que β(1 + r) < 1 2. Approximation : Les ménages accumulent un actif k t K, où K est une grille de valeurs, K = [0 < k 2 < k 3 <... < k n ] dans laquelle l agent est contraint de choisir son épargne (contrainte d endettement implicite car k t 0). 3. Choix optimaux : Etant donnés (w, r, τ, b) et des valeurs données de (k 0, s 0 ), l agent doit choisir la séquence optimale de k t+1 qui maximise la somme actualisée de ces flux d utilité, sous ses contraintes budgétaires, de nonendettement et de positivité de sa consommation. Pour chaque h [1,..., n] (le nombre de point de la grille), l équation de Bellman de ce programme est : v(k h, e) = max k K {u((1 + r)k h + w k ) +β[π ee v(k, e) + π eu v(k, u)]} v(k h, u) = max k K {u((1 + r)k h + b k ) +βπ uu v(k, u) + π ue v(k, e)} 13

14 Principe de résolution numérique (2) L équation de Bellman de ce problème s écrit : v(k, s) = max k K {u((1+r)k+wν(s) k )+βe[v(k, s ) s]} ou, k K h [1, n] et s S i [1, 2], v(k h, s i ) = max k K u((1 + r)k h + wν(s i ) k ) + β 2 j=1 Déterminer une solution à ce problème consiste à trouver la fonction v(k, s) qui maximise cette équation, ainsi que la règle de décision k = g(k, s) qui permet d associer à tout couple (k, s) le choix optimal de capital pour la période future. Méthode simple de résolution : le cas où le nombre d états exogènes est petit Soient deux vecteurs v j, j = e, u, avec dim(v j ) = n 1. Les i lignes sont du type : π ij v(k, s j ) v j (i) = v(k i, s j ) i = 1,..., n Soient 2 matrices R j, j = e, u, de taille n n telles que : R j (i, h) = u((1+r)k i +s j k h ) pour i = 1,..., n, h = 1,..., n Il est alors possible de déterminer une solution des équations de Bellman à l état stationnaire par de simple calculs matricielles. 14

15 Principe de résolution numérique (3) Principe de l algorithme de résolution : processus itératif backward 1. On se donne une valeur d amorce pour v(k, s ), i.e. une valeur associée à tous les couples (k h, s j ), pour h [1, n] et j [1, 2]. Chacune des lignes de ces vecteurs de valeur v j est alors supposer représenter le maximum demain pour le niveau d actif k K. 2. Le lien entre ce futur, donné et supposé optimal, et le présent est donné par la fonction R(k, s, k ). La valeur maximale aujourd hui, v(k, s), correspond donc au maximum que l on peut obtenir en combinant R(k, s, k ) et v(k, s ) via l équation de Bellman. 3. Une fois cette valeur contemporaine obtenue, on vérifie si elle correspond à la valeur future que l on avait supposée optimale. Se ce n est pas le cas, on utilise ce résultat pour ré-amorcer une nouvelle boucle. Ce processus itératif se poursuit jusqu à convergence. 15

16 Principe de résolution numérique (4) Soit un opérateur T ([v e, v u ]) : [v e, v u ] [tv e, tv u ]. Cette application vérifie : tv e = max{ R e +βπ ee 1 v e (n 1) (n n) (n 1) (1 n) +βπ eu 1 v u } (n 1) (1 n) tv u = max{ R u +βπ ue 1 v e (n 1) (n n) (n 1) (1 n) +βπ uu 1 v u } (n 1) (1 n) Ici, l opérateur max assigne dans la ligne i d un vecteur tv le maximum de la colonne i du membre de gauche : k, i.e. h indice des colonnes de R j (i, h), on détermine le k optimal, i.e. la ligne i donnant la plus grande valeur. Ces deux équations peuvent s écrire : tv e tv u = max R e R u + β(π 1) v e v u où désigne le produit de Kronecker. L équation de Bellman peut alors s écrire [v e, v u ] = T ([v e, v u ]) et peut être résolue en itérant, jusqu à convergence de la suite suivante : [v e, v u ] m+1 = T ([v e, v u ] m ) 16

17 Calcul de la distribution stationnaire (1) Les fonctions valeurs permettent de déterminer le lien entre un niveau d actif quelconque i [1, n], le numéro de la grille correspondant au choix optimal d épargne k, i.e. h [1, n]. Cette correspondance permet de définir les règles de décisions individuelles k = g(k, s). Un fois ces règles définies, il est possible de calculer la distribution stationnaire de la richesse de cette économie. Cette distribution stationnaire se déduit de la distribution inconditionnelle des pairs (k t, s t ) notée : λ t (k, s) = P rob(k t = k, s t = s) La loi d évolution de cette distribution est donnée par P rob(k t+1 = k, s t+1 ) = s t k t P rob(k t+1 = k k t = k, s t = s) P rob(s t+1 = s s t = s)p rob(k t = k, s t ) Etant donnée notre définition de λ t (k, s), ceci peut encore s écrire λ t+1 (k, s ) = s k λ t (k, s)p rob(s t+1 = s s t = s)i(k, s, k ) où I(k, s, k ) est une variable indicatrice prenant la valeur un quand k = g(k, s) et zéro sinon. 17

18 Calcul de la distribution stationnaire (2) Par exemple, la probabilité d avoir un niveau d actif k, étant donné que l on est chômeur, est donnée par : λ t+1 (k, u) = [λ t (k, e)π eu + λ t (k, u)π uu ]I(k, u, k ) Le premier terme du membre de droite représente la fraction des individus transitant par le chômage, la variable indicatrice donnant alors le choix k des chômeurs pour l ensemble de niveaux de richesse k. La distribution stationnaire est alors obtenu en itérant sur l équation suivante : λ t+1 (k, s ) = s k:k =g(k,s) λ t (k, s)p rob(s t+1 = s s t = s) Cette distribution stationnaire λ, t.q. λ t+1 = λ t, peut également s interpréter comme une fraction de temps pendant laquelle chaque individu passe un moment de sa vie. 18

19 Calcul de la distribution stationnaire (3) Comment obtenir numériquement la distribution stationnaire? Afin de calculer la distribution stationnaire, on utilise le fait que l économie est markovienne : chaque position se résume par le couple (k, s) et évoluera en un couple (k, s ). On peut alors créer la chaîne de Markov décrivant l évolution de l économie à l équilibre. Soit λ, t.q. dim(λ) = 2n 1, définit par : λ = [λ(k 1, s 1 ),..., λ(k n, s 1 ), λ(k 1, s 2 ),..., λ(k n, s 2 )] La variable indicatrice I(k, s, k ), de taille n n, représente le probabilité conditionnelle d avoir k, sachant que l on avait (k, s) et que l on suit la règle de décision optimale k = g(k, s). On peut alors écrire, avec s 1 = e, s 2 = u : λ t+1 = λ t π eei(k, e, k ) π eu I(k, e, k ) π ue I(k, u, k ) π uu I(k, u, k ) Une distribution est stationnaire si λ t+1 = λ t, d où : λ = λ Π (I Π )λ = 0 où λ est alors le vecteur propre associé à la valeur propre 1 de la matrice Π. On alors, si Π n a qu une seule valeur propre égale à un, une unique distribution stationnaire vérifiant : lim t λ t = λ 19

20 Equilibre général : méthode de résolution 1. Pour une valeur donnée du stock de capital agrégé K = K j, pour j = 0, on calcule les prix des facteurs (r, w) et on résout le problème des ménages. Etant données les règles de décision k = g j (k, s), on en déduit la distribution stationnaire λ j (k, s). 2. On calcule alors le stock de capital offert dans l économie : K s j = k,s λ j (k, s)g j (k, s) 3. Pour un paramètre ξ donné, t.q. ξ (0, 1), on calcule le nouvelle valeur de K : K j+1 = ξk j + (1 ξ)k s j 4. On répète cette boucle jusqu à obtenir le point fixe sur le stock de capital. 20

21 Calibration 1. Préférences : l aversion pour le risque est fixée à 2 et le facteur de préférence pour le présent à 0,985 (Cooley [1995]). 2. Risques sur le marché du travail : la probabilité de sortie du chômage est fixée à 31, ce qui implique une probabilité de sortie de l emploi égale à 3,45 afin de se caler sur un taux de chômage de Rémunération des facteurs : le taux d intérêt réel de référence est égal à 0,5, le taux de dépréciation à 3, et la part du capital dans le produit à 36. Le travail domestique permet d atteindre un revenu équivalent à 15 du salaire, tandis que l allocationchômage correspond à un ratio de remplacement de 60. Le salaire est déterminé par la frontière des prix des facteurs. 4. Grille : a [0, 15] et n = Tab. 1 Etalonnage σ β r δ α θ K φ 1 φ 2 2 0,985 0,05 0,03 0,36 0,15 [0,15] 0,9655 0,31 21

22 Marchés complets : allocation optimale Le problème d allocation optimale est défini par : max s.c. t=0 β t [N t u(c n t ) + (1 N t )u(c u t )] N t c n t + (1 N t )c u t N t N t w t + (1 N t )θw t N où N t est le taux d emploi, c n t et c u t les consommations des employés et des chômeurs, et w t et θw t les productions des employés et des chômeurs. De plus, N représente la limite de la valeur admissible pour N t, étant donnée la matrice π gouvernant les changements d état exogènes sur le marché du travail. Ce problème est une suite de problèmes statiques ayant comme solution : c t c n t = c u t où c t = Nw t + (1 N)θw t Cette allocation correspond à celle que l on obtiendrait dans une économie de marché avec assurance complète. Contre une cotisation de τw t lorsque l agent est employé, on toucher une indemnité de (1 θ)nw t, en cas de chômage. Si le marché de l assurance est concurrentiel, la condition de libre entrée donne la prime d équilibre τ = [(1 N)/N]b. Ainsi, à l équilibre de marché, on a une indemnité chômage égale à (1 θ)nw, sachant que c n t = c u t. 22

23 Coût des fluctuations A quel montant de consommation permanente les ménages vivant dans une économie avec assurance complète doiventils renoncer pour supporter des systèmes assurantiels incomplets? A la suite de Lucas [1987], nous déterminons la fraction constante de consommation dont seraient privés les ménages s ils devaient passer d une économie où l assurance complète est possible à des économies où seuls des systèmes incomplets d assurance sont à leur disposition (marchés financiers, allocation-chômage ou pas d assurance). Cette fraction de consommation perdue est calculée comme le pourcentage µ de consommation permanente (C) d une économie avec une assurance complète qu il faudrait retirer aux agents vivant dans cette économie pour qu ils soient indifférents entre l assurance complète et l assurance incomplète. µ est tel que le niveau de bienêtre atteint par un système de marchés complets coïncide avec celui, U, d une économie avec assurance incomplète : U = 1 (C(1 µ)) 1 σ 1 β 1 σ 23

24 Règles de décision Fig. 7 Règles de décision d accumulation CAPITAL(t+1), r=r* 45 EMPLOYE CHOMEUR 14 CAPITAL(t+1) CAPITAL(t) Fig. 8 Règles de décision de consommation CONSOMMATION, r=r* EMPLOYE CHOMEUR 2 CONSOMMATION CAPITAL 24

25 Auto-assurance versus allocation-chômage Tab. 2 Evaluation du rôle de l épargne de précaution (en ) µ MC AC µ MC MF µ MC 0 0,43 0,73 30,27 Les notations correspondent à une économie 1. avec une allocation-chômage et sans marchés financiers (notée AC), 2. avec marchés financiers mais sans allocation-chômage (notée MF ), 3. ne possédant aucun des deux mécanismes d assurance (notée 0) Ces résultats montrent que la possibilité de se constituer une épargne de précaution aboutit à des résultats relativement proches du système d allocation-chômage, pour un ratio de remplacement réaliste. Ainsi, un ménage vivant dans une économie où le risque de chômage est mutualisé via le système d allocation chômage ne verrait sa consommation permanente baisser que de 0, 30 s il ne pouvait plus que s auto-assurer (µ AC MF ). 25

26 Auto-assurance et allocation-chômage Si l on couple auto-assurance et assurance publique, on diminue le coût des fluctuations jusqu à µ MC AC+MF = 0, 29 De façon générale, l évaluation des gains de l autoassurance et de l allocation-chômage sont indissociables : (i) le montant de l épargne de précaution dépend des risques sur le marché du travail qui dépendent de l allocation-chômage, (ii) tandis que les coûts associés à une baisse de l allocationchômage dépendent de la possibilité de s auto-assurer. Ceci peut se mesurer en comparant les gains de l introduction de l assurance chômage dans une économie sans marchés financiers à ceux où il existe des marchés financiers : 1. Dans une économie sans marchés financiers, l introduction de l assurance chômage réduit le coût des fluctuations (µ MC 0 ) (µ MC AC ) = 29, 84 points 2. Lorsque l on peut préalablement s auto-assurer, il n est diminué que de (µ MC MF ) (µ MC AC+MF ) = 0, 44 point 26

27 Mesure de l épargne de précaution Que représente le montant moyen de l épargne de précaution (K)? Pour l étalonnage de référence, il représente 4,11 fois le niveau du salaire. La provision optimale que constitue cette épargne de précaution est donc de l ordre d une année de salaire. Evidemment, ce montant dépend du risque associé au marché du travail et décroît avec la générosité de l allocation-chômage. Tab. 3 Montant de l épargne de précaution et niveau du risque b 0 0, 30 0, 60 K 4,11 1,29 0,07 w Pour un risque correspondant à l allocation-chômage effectivement versée, on constate que l épargne de précaution correspond à un niveau négligeable d épargne. La faiblesse de cette dernière ne constitue toutefois pas la preuve que les agents ne souhaitent pas utiliser dans l absolu cette forme d auto-assurance. Il s agit du montant d épargne optimal pour les ménages étant donné le niveau de l allocation-chômage. 27

28 Les comportements sous-jacents Tab. 4 Variance de la consommation et systèmes d assurance MC MF AC Fig. 9 Historique des transferts MC AC MF 0 TRANSFERT PERIODES Définition des transferts : si assurance chômage T r = τw, si épargne de précaution T r = k k rk (effort d épargne net de la rémunération des placements). 28

29 Les limites de l épargne de précaution : la transition A l état stationnaire, des économies avec un système public ou avec de l épargne de précaution seraient relativement équivalentes en termes de bien-être. Cependant, la prise en compte de la dynamique de transition rend coûteuse l auto-assurance. La constitution d une épargne de précaution suppose en effet de renoncer dans un premier temps à de la consommation. Tab. 5 Evaluation du rôle de l épargne de précaution avec transition µ MC MF µ MC AC 9,6 0,43 Ainsi, on constate que le coût des fluctuations atteint 9, 6 au lieu de 0, 73 lors d une simple comparaison entre états stationnaires. Comme le coût des fluctuations avec allocation-chômage reste inchangé, la différence est maintenant beaucoup plus importante. 29

30 Les limites de l épargne de précaution : le niveau du taux d intérêt Le taux d intérêt, ou plus précisément son inverse, détermine le prix de l auto-assurance. C est pourquoi les gains en bien-être induits par l épargne de précaution croissent avec r. Tab. 6 Evaluation du rôle du taux d intérêt r K K/Y µ MC MF µ MC MF (sans trans.) (avec trans.) 0 8,68 3,72 3,76 10,91 0,5 9,8 3, ,6 1 12,7 5, ,90 1,38 (r ) 24 8, ,43 Cette dépendance par rapport au taux d intérêt plaide pour une analyse en équilibre général dans laquelle le taux d intérêt résulte de la confrontation de l offre et de la demande de capital. 30

31 Les limites de l épargne de précaution : Epargne de précaution et inégalités (1) Deux critères à distinguer (Flinn (2002)) : inégalités permanentes basées sur des mesures de fonction valeur (utilités intertemporelles) inégalités transitoires basées sur des mesures de fonction d utilité instantanées. Pour prendre en compte dans la mesure du bien-être collectif la dimension spécifique aux inégalités, considérons la fonction de bien-être générale de la forme suivante : W T = W P = ( K t=0 β t ( K S λ t(k, s)u(c t (k, s)) 1 ξ dkds ) 1 1 ξ S λ t(k, s)v(k, s) 1 ξ dkds ) 1 1 ξ où ξ est un indicateur d aversion aux inégalités. Plus il est élevé, plus la société se préoccupe des agents les moins favorisés. A la limite, lorsque ξ, on retrouve un indicateur rawlsien dans la mesure où seul compte le sort de l individu le moins bien loti. 31

32 Les limites de l épargne de précaution : Epargne de précaution et inégalités (2) Tab. 7 Epargne de précaution et Inégalités Critère de Bien-être utilité instantanée u() utilité intertemporelle v() µ MC MF µ MC AC µ MC MF µ MC AC Utilitariste ξ = Rawlsien ξ On constate que lorsque l on prend en compte une aversion pour l inégalité, le coût des fluctuations est bien plus élevé dans une économie avec épargne de précaution que dans une économie avec une allocation-chômage. L hétérogénéité introduite par la diversité des trajectoires d accumulation rend la situation d auto-assurance relativement plus inégalitaire. Le chômeur le plus pauvre a, à une date donnée, l opportunité de devenir employé et alors d accumuler de l épargne de précaution. Ainsi, les inégalités créées par le M F ont tendance à décroître avec l horizon temporelle considéré. Toutefois, la dépendance temporelle induite par les M F implique une plus forte hétérogénéité entre les individus. 32

33 Les limites de l épargne de précaution : Epargne de précaution et inégalités (3) Fig. 10 Histoires comparées : MF versus AC Consumption under FM Consumption under UI C 5 4 C u w 5.5 u w t t 30 Individual wealth K u w t 33

34 Codes Matlab du programme Aiyagari QJE 1994 programmation a la Sargent clear delete aiya.out diary aiya.out; disp( aiyagari QJE 1994 ); disp( ); set parameter values sigma = 1.50; risk aversion beta = 0.98; subjective discount factor prob = [.97.03;.3.7]; prob(i,j) = probability (s(t+1)=sj s(t) = si) delta = 0.0; 1 - depreciation A = 1.00; production technology alpha = 0.6; capital s share of income theta = 0.60; non-rental income if unemployed is theta*wage rstart = ; conjecture initiale sur taux d int{\ e}r{\^e}t g = 0.1; param{\ e}tre de relaxation b = 0; borrowing constraint ad-hoc calculate aggregate labor supply D = prob^10000; determination de la distribution stationnaire pempl = D(1,1); taux d emploi N = 2; nombre d etat (E/U) loop to find fixed point for r liter = 1; maxiter = 100; toler = 0.01; metric = 10; r = rstart; disp( ITERATING ON r ); while (metric > toler) & (liter <= maxiter); calculate the endegenous wage and borrowing constraint 34

35 wage = (1-alpha)*(A*(alpha/(r+delta))^alpha)^(1/(1-alpha)); if r<=0 phi = b; else phi = min(b,wage/r); end -phi is borrowing limit, b is adhoc the second term is natural limit capital grid maxkap = 4; maximum value of capital grid minkap = -phi; borrowing constraint inckap = 0.1; size of capital grid increments kap = minkap:inckap:maxkap; state of assets nkap = length(kap); number of grid points initialize some variables v = zeros(nkap,n); decis = zeros(nkap,n); test = 10; cons = zeros(nkap,nkap,n); util = zeros(nkap,nkap,n); [rs,cs] = size(util1); tabulate the utility function such that for zero or negative consumption utility remains a large negative number so that such values will never be chosen as utility maximizing util1=-10000*ones(nkap,nkap); utility when employed util2=-10000*ones(nkap,nkap); utility when unemployed for i=1:nkap; nkap est le nombre de points kap=(i-1)*inckap; for j=1:nkap; kapp = (j-1)*inckap; tous les K pour un K donne cons1 = wage + (r + delta)*kap - kapp; if cons1 > 0 ; util1(j,i)=((cons1)^(1-sigma)-1)/(1-sigma); tous les niveaux de u pour K end; cons2 = theta*wage + (r + delta)*kap - kapp; if cons2 > 0; util2(j,i)=((cons2)^(1-sigma)-1)/(1-sigma); end; end; end; 35

36 iterate on Bellman s equation and get the decision rules and the value function at the optimum while test ~= 0; for i=1:cs; r1(:,i)=util1(:,i)+beta*(prob(1,1)*v(:,1)+ prob(1,2)*v(:,2)); r2(:,i)=util2(:,i)+beta*(prob(2,1)*v(:,1)+ prob(2,2)*v(:,2)); end; [tv1,tdecis1]=max(r1); tv1 = valeur associee {\ a} chaque K ; tdecis1=k correspondant [tv2,tdecis2]=max(r2); tdecis=[tdecis1 tdecis2 ]; tv=[tv1 tv2 ]; test=max(any(tdecis-decis)); le k qui max est-il le precedent? v=tv; decis=tdecis; end; decis=(decis-1)*inckap+minkap; calculer le capital correspondant au rang optimal form transition matrix trans is the transition matrix from state at t (row) to the state at t+1 (column) The eigenvector associated with the unit eigenvalue of trans is the stationary distribution. g2=sparse(cs,cs); g1=sparse(cs,cs); for i=1:cs g1(i,tdecis1(i))=1; faire le choix en situation d employe g2(i,tdecis2(i))=1; faire le choix en situation de chomeur end trans=[ prob(1,1)*g1 prob(1,2)*g1; prob(2,1)*g2 prob(2,2)*g2]; trans=trans ; probabilite conditionnelle (k,s) probst = (1/(N*nkap))*ones(N*nkap,1); amorce de la distribution loi uniforme iteration pour determiner la distribution stationnaire test = 1; while test > 10^(-12); probst1 = trans*probst; 36

37 test = max(abs(probst1-probst)); probst = probst1; probabilite inconditionnelle end; vectorize the decision rule to be conformable with probst calculate new aggregate capital stock meank kk=decis(:); meank=probst *kk; lambda=zeros(nkap,n); lambda(:)=probst; calcul du taux de chomage agrege emp=sum(lambda(:,2)); cho=sum(lambda(:,1)) iteration sur le taux d interet rold=r; meanr=alpha*a*((meank/emp)^(alpha-1))-delta; rnew = g*meanr + (1-g)*rold; metric = abs((rold-meanr)/rold); r = rnew; disp([ liter metric rnew rold cho]); liter = liter+1; end; calculate stationary distribution of k probk(1:nkap)=sum(lambda ); stationary distribution of captal graphiques plot(kap,condecis1, -,kap,condecis2, -. ); legend( u, n );pause;print conso;clg plot(kap,v(:,1), -,kap,v(:,2), -. ); legend( u, n );pause;print valeur;clg plot(kap,decis(:,1), -,kap,decis(:,2), -. ); legend( u, n );pause;print cap;clg plot(probk); pause;print distk;clg plot(lambda(:,1)); print lamb1;clg plot(lambda(:,2)); print lamb2;clg 37