Chapitre. Chapitre 12. Fonctions de plusieurs variables. 1. Fonctions à valeurs réelles. 1.1 Définition. 1.2 Calcul de dérivées partielles

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre. Chapitre 12. Fonctions de plusieurs variables. 1. Fonctions à valeurs réelles. 1.1 Définition. 1.2 Calcul de dérivées partielles"

Transcription

1 1 Chapitre Chapitre 1. Fonctions e plusieurs variables La TI-Nspire CAS permet e manipuler très simplement les onctions e plusieurs variables. Nous allons voir ans ce chapitre comment procéer, et éinir quelques onctions particulièrement utiles. On pourra également se reporter au chapitre 15 pour une escription e la bibliothèque e programmes icalc, téléchargeable sur le site 1. Fonctions à valeurs réelles 1.1 Déinition On procèe comme pour une onction une variable : 1. Calcul e érivées partielles On peut ensuite acilement aire es calculs e érivées partielles. Voici par exemple le calcul e x, et pour ax y x xy, a 0, 0. Pour entrer ces expressions, on utilise les moèles isponibles sur la TI-Nspire CAS : Philippe Fortin (Lycée Louis Barthou Pau) / Rolan Pomès (Lycée René Cassin Bayonne)

2 TI-Nspire CAS en prépa Aucun problème pour le calcul e x case u haut. On peut également utiliser irectement lonction e érivation et iniquer l orre comme troisième argument. Par contre, pour le ernier calcul, on oit imbriquer eux appels e lonction e érivation., on peut utiliser le secon moèle en entrant l orre ans la 1.3 Calcul es érivées partielles en un point onné Pour calculer ce type expression, utilisez l opérateur sachant que. Une autre solution consiste à éinir r comme une onction e x et y, ce qui permet ensuite e calculer acilement sa valeur en un point onné : Voici par exemple, le calcul e r en a xy x, a1, : T³ France 008 / Photocopie autorisée

3 Fonctions e plusieurs variables Intégrales multiples Pour calculer une intégrale multiple, il est nécessaire 'imbriquer le calcul 'intégrales simples. On peut là aussi utiliser irectement lonction intégration obtenue ans le catalogue, ou utiliser le moèle ou le menu Analyse. zz : Voici par exemple le calcul e ax, yxy 01, 1, 1.5 Graient, tangente, plan tangent Ces calculs ne posent aucun problème. Si vous utilisez souvent ces notions vous pourrez acilement éinir les onctions nécessaires. Voici par exemple les onctions permettant e calculer le graient une onction et la tangente à une courbe éinie par x, y C en un point ab,. gra(ex,a,b):=[ (ex,x); (ex,y)] x=a an y=b tang(ex,a,b):=otp([x-a;y-b],gra(ex,a,b))=0 otp est lonction permettant e calculer un prouit scalaire. La généralisation à la imension 3 (graient et plan tangent) est imméiate : gra3(ex,a,b,c):=[ (ex,x); (ex,y);(ex,z)] x=a an y=b an z=c ptan(ex,a,b,c):=otp([x-a;y-b;z-c],gra3(ex,a,b,c))=0 T³ France 008 / Photocopie autorisée

4 4 TI-Nspire CAS en prépa. Fonctions à valeurs vectorielles Les calculs sur les onctions vectorielles se ont aussi simplement que ceux sur les onctions à valeurs réelles. En eet la TI-Nspire CAS est paraitement capable e ériver en une seule opération un vecteur ou même une matrice. Exercices 1 Jacobien en sphérique Calculer le jacobien e lonction r,, rcos cos, rcos sin, rsin. Extrema 'une onction On consière lonction Étuier ses extrema. x, y x xy y x y. 3 Développement limité 'une onction implicite e x y On consière l équation arctan xy 1. On emane e montrer qu il existe eux intervalles ouverts U et V contenant 0 et une onction e classe C éinie e U ans V tels que x axy, UV arctana y xy 1 e y ax. On emane ensuite e éterminer un éveloppement limité à l orre en 0 e cette onction. 4 Calcul 'une intégrale ouble après passage en polaire Calculer X x y ZY X Z Y D e 1 x y j avec D x y x x oa, / y 1t. T³ France 008 / Photocopie autorisée

5 Fonctions e plusieurs variables 5 Solutions es exercices 1 Jacobien en sphérique On prenra soin e créer une nouvelle activité ce qui permet entre autres eacer la éinition e r, en tant que onction, aite ans le paragraphe 1.3. Il nous reste maintenant à regrouper les vecteurs u, v et w pour ormer la matrice jacobienne, cela peut se aire avec lonction augment. Il suit ensuite e calculer le éterminant e cette matrice pour obtenir le jacobien. Vous trouverez une onction permettant e calculer la matrice jacobienne, ainsi que autres onctions utiles ans la bibliothèque icalc, téléchargeable sur T³ France 008 / Photocopie autorisée

6 6 TI-Nspire CAS en prépa Voici comment utiliser cette onction : Voir le chapitre 15 pour plus inormation sur l utilisation es bibliothèques. Extrema 'une onction Nous evons chercher si es points vériient les eux conitions ax, y 0 et ax, y 0. x y Pour résoure le système équations, on peut utiliser la syntaxe ci-essus ou le moèle : T³ France 008 / Photocopie autorisée

7 Fonctions e plusieurs variables 7 Il reste à voir si ce point est eectivement un extremum : L expression h h k k est toujours strictement positive. On peut écrire k 3k h hkk Fh I H K 4 ou utiliser les résultats généraux sur la réuction es ormes quaratiques si ceux-ci sont à votre programme. Si l utilisation une ormule e Taylor à l orre ait partie e votre programme, vous pourrez très acilement écrire une onction calculant les coeicients e Monge : p x, q y, r x, s et t xy y puis étuiant le type extremum obtenu en onction u signe e r et e s rt au point consiéré. On peut en éuire que lonction amet un minimum en ce point. 3 Développement limité 'une onction implicite Cette onction est bien e classe C sur, avec g Pour commencer, on éinit gxy xy e x, arctan 1 y.. 00, 0. De plus, g y 00, 0 Le cours nous permet alors e justiier l existence e U, V et. De plus est e classe C au voisinage e 0 et amet onc es éveloppements limités à tout orre. Pour éterminer ce éveloppement limité, une es méthoes possibles consiste à procéer par ientiication. A priori, on a un éveloppement u type a e j. x abxcx o x T³ France 008 / Photocopie autorisée

8 8 TI-Nspire CAS en prépa On sait éjà quelles sont les valeurs e a et b : a 0 0 g 00, b a 0 x ga00, y Cette ernière valeur s obtient acilement avec la TI-Nspire CAS : (g(x,y),x)/ (g(x,y),y)p x=0 an y=0 a e j On a onc x xcx o x. Il suit en ait e aire un DL e hx pour éterminer la valeur e c. b gx, xg, et ientiier ce DL au DL e lonction nulle Cela peut être ait irectement sur la TI-Nspire CAS : on remplace x par son DL, et on emane un DL u résultat. Le résultat obtenu ans l écran e gauche montre que c 1 oit être nul et onc que c 1 : En ait, il serait même possible e parvenir au résultat sans utiliser les valeurs e a et b, comme le montre l écran e roite. Attention cepenant, la méthoe utilisée mériterait quelques justiications. Vous savez bien par exemple que le DL une partie une expression ne permet pas toujours obtenir le DL e l ensemble e celle-ci. Le rôle e la calculatrice est seulement e vous permettre e vériier votre calcul. T³ France 008 / Photocopie autorisée

9 Fonctions e plusieurs variables 9 4 Calcul 'une intégrale ouble après passage en polaire Le omaine D est élimité par les eux cercles 'équations x y 10 et x y x 0, ou encore F 1 x I 1 y H K F I H K. Pour calculer cette intégrale, on peut passer en cooronnées polaires. Les cercles ont pour équation 1 et cosa. Pour L, O, on oit avoir cos QP 1, pour 3 L N M, O, 0 1. NM QP On obtient ainsi 3 X F 1 X I X F 1 I Y H GZY X Y K J ZY H GZY 1 ZY 1 cos e j 0e j Ou encore, en utilisant la symétrie par rapport à Ox, X F 1 X I F 1 I Y H GZY X I Y K J H GZY K J 1 1 cos e j 0e j 0 Z 1 Il reste à aire les calculs 'intégrales nécessaires : I K J (suite u calcul au verso) T³ France 008 / Photocopie autorisée

10 10 TI-Nspire CAS en prépa En conclusion I 4. T³ France 008 / Photocopie autorisée

en utilisant un point-virgule.

en utilisant un point-virgule. 6 Chapitre Chapitre 6. Géométrie analytique Ce chapitre présente les possibilités de votre calculatrice dans le domaine de la géométrie analytique, tout particulièrement pour les problèmes liés aux espaces

Plus en détail

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique : Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de

Plus en détail

6 Equations du première ordre

6 Equations du première ordre 6 Equations u première orre 6.1 Equations linéaires Consiérons l équation a k (x) k u = b(x), (6.1) où a 1,...,a n,b sont es fonctions continûment ifférentiables sur R. Soit D un ouvert e R et u : D R

Plus en détail

SOMMAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3. 2.1 Définition 3 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 4 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 4

SOMMAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3. 2.1 Définition 3 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 4 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 4 SOAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3 2.1 Définition 3 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 4 2.1.2 Prouit ou comoment e eux torseurs 4 2.2 Torseurs élémentaires 4 2.2.1 Torseur couple 4 2.2.2 Torseur

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2 CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Auto-évaluation d acquisition des connaissances

Auto-évaluation d acquisition des connaissances Section e Physique 25.09.2015 Auto-évaluation acquisition es connaissances Inications préalables : L objectif est une auto-évaluation u progrès concernant les connaissances acquises penant le cours. Ce

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Une bibliographie est la suivante : (1) Cartan, H. Calcul differentiel Hermann Paris 1967 Collection méthodes

Une bibliographie est la suivante : (1) Cartan, H. Calcul differentiel Hermann Paris 1967 Collection méthodes 1 Introuction Ce cours est ifficile ; en général les étuiants éprouvent beaucoup e ifficultés pour comprenre et faire les calculs ; ceci provient essentiellement un manque e pratique ans la manipulation

Plus en détail

Chapitre 3. Bien utiliser la TI-Nspire CAS

Chapitre 3. Bien utiliser la TI-Nspire CAS 3 Chapitre Chapitre 3. Bien utiliser la TI-Nspire CAS L objectif de ce chapitre est de vous présenter les méthodes que vous pourrez appliquer dans différents domaines pour faciliter considérablement l

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions de plusieurs variables Bernard Ycart Ce chapitre contient des techniques que vous utiliserez très souvent en physique, mais les justifications

Plus en détail

Dérivation : Résumé de cours et méthodes

Dérivation : Résumé de cours et méthodes Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Chapitre 15. Bibliothèques de programmes. Sommaire

Chapitre 15. Bibliothèques de programmes. Sommaire 15 Chapitre Chapitre 15. Bibliothèques de programmes TI-Nspire travaille sur des Classeurs indépendants. Les variables, fonctions ou programmes sont définis dans chaque Activité contenue dans ces Classeurs,

Plus en détail

Dérivées et intégrales non entières

Dérivées et intégrales non entières que "non entière". Dérivées et intégrales non entières. Notations. Outils Robert Janin La terminologie est plutôt "fractionnaire" On notera f (k) ou k x k f la érivée orre k e la fonction f et nous pourrons

Plus en détail

LIMITES EXERCICES CORRIGES

LIMITES EXERCICES CORRIGES ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Calcul différentiel et intégral

Calcul différentiel et intégral Chapitre 27. Calcul différentiel et intégral 27 Limites... 27 2 Limite en un point fini... 27 2 Limite à droite ou à gauche... 27 2 Limite à l infini... 27 2 Utilisation de conditions... 27 2 Dérivation...

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

CHIFFRES NON NULS DANS LE DÉVELOPPEMENT EN BASE ENTIÈRE D UN NOMBRE ALGÉBRIQUE IRRATIONNEL. par. Boris Adamczewski & Colin Faverjon

CHIFFRES NON NULS DANS LE DÉVELOPPEMENT EN BASE ENTIÈRE D UN NOMBRE ALGÉBRIQUE IRRATIONNEL. par. Boris Adamczewski & Colin Faverjon CHIFFRES NON NULS DANS LE DÉVELOPPEMENT EN BASE ENTIÈRE D UN NOMBRE ALGÉBRIQUE IRRATIONNEL par Boris Aamczewski & Colin Faveron Résumé. Dans ce texte, nous onnons une minoration effective u nombre e chiffres

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Découverte de la TI-Nspire CAS

Découverte de la TI-Nspire CAS Découverte de la TI-Nspire CAS Ce document est surtout destiné aux nouveaux utilisateurs. Il permet de commencer à découvrir certaines des nombreuses possibilités de l unité nomade TI-Nspire CAS. 1. Avant

Plus en détail

TP4 : Focométrie des lentilles minces

TP4 : Focométrie des lentilles minces TP4 : Focométrie es lentilles minces Objectifs : Déterminer la nature (convergente CV ou ivergente DV) une lentille mince. Déterminer par ifférentes méthoes la istance focale image une lentille convergente

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 Voici une fiche contenant 100 exercices de difficulté raisonable, plutôt techniques, qui recouvrent l ensemble du programme étudié cette année. A raison

Plus en détail

SSNV143 - Traction biaxiale avec la loi de comportement BETON_DOUBLE_DP

SSNV143 - Traction biaxiale avec la loi de comportement BETON_DOUBLE_DP Titre : SSNV14 - Traction biaxiale avec la loi e comport[...] Date : 17/02/2011 Page : 1/14 Manuel e Valiation Fascicule V6.04 : Statique non linéaire es structures volumiques Document V6.04.14 SSNV14

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie

Plus en détail

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2 Première partie I. A. 1. La fonction x px kx 2 = x(p kx) présente un maximum pour toute valeur de p au point d abscisse x = p p2 et il vaut 2k 2k. Conclusion : J(f) =

Plus en détail

Optimisation de plans de financement immobiliers

Optimisation de plans de financement immobiliers Optimisation e plans e financement immobiliers De la recherche opérationnelle en actuariat bancaire Frééric GARDI & Alain DAVID EXPERIAN PROLOGIA, Parc Scientifique et Technologique e Luminy, case 919,

Plus en détail

ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ. Exercice 1

ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ. Exercice 1 ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ OLIVIER COLLIER Exercice 1 Le calcul de la banque. 1 Au bout de deux ans, la banque aurait pu, en prêtant la somme S 1 au taux d intérêt r pendant un an, obtenir

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Simulation Matlab/Simulink d une machine à induction triphasée. Constitution d un référentiel

Simulation Matlab/Simulink d une machine à induction triphasée. Constitution d un référentiel Simulation Matlab/Simulink une machine à inuction triphasée Constitution un référentiel Capocchi Laurent Laboratoire UMR CNRS 6134 Université e Corse 3 Octobre 7 1 Table es matières 1 Introuction 3 Moélisation

Plus en détail

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Frédéric Messine Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier une application de la dérivation des fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Chapitre VI Contraintes holonomiques

Chapitre VI Contraintes holonomiques 55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC 2013

BACCALAURÉAT BLANC 2013 BACCALAURÉAT BLANC 203 Série S Corrigé Exercice. a) On traduit les données de l énoncé et on représente la situation par un arbre pondéré. PF ) = 2, PF 2) = 3, P F ) = 5 00 = 20, P F 2 ) =,5 00 = 3 3,5,

Plus en détail

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné : Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point

Plus en détail

II.2. La propagation du rayonnement solaire dans l atmosphère [15] :

II.2. La propagation du rayonnement solaire dans l atmosphère [15] : INTRODUCTION : Le rayonnement solaire qui arrive au sol se écomposer en eux parties : L une provient irectement u soleil (irect), l autre a été iffusée par l atmosphère (iffus). L atmosphère et la terre

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

a) b) c) d) Diffraction d une onde à la surface de l eau de longueur d onde λ par un diaphragme de taille d ; de a) à d) le rapport λ / d augmente

a) b) c) d) Diffraction d une onde à la surface de l eau de longueur d onde λ par un diaphragme de taille d ; de a) à d) le rapport λ / d augmente Chapitre 8 : DIFFRACTION 8-1 Introuction à la iffraction a) b) c) ) Diffraction une one à la surface e l eau e longueur one par un iaphragme e taille ; e a) à ) le rapport / augmente Le phénomène physique

Plus en détail

Séquence 7. 1 ère partie : 2 e partie : Problèmes. Produit scalaire (2) : applications. Séquence 7 MA12. Cned - Académie en ligne

Séquence 7. 1 ère partie : 2 e partie : Problèmes. Produit scalaire (2) : applications. Séquence 7 MA12. Cned - Académie en ligne Séquence 7 1 ère partie : Produit scalaire () : applications e partie : Problèmes Séquence 7 MA1 1 1ère partie Produit scalaire () : applications Sommaire 1/ Pré-requis Calculs de distances, d angles 3

Plus en détail

Mathématiques pour MPSI (mais pas que pour) 2011-2012 JPV

Mathématiques pour MPSI (mais pas que pour) 2011-2012 JPV Mathématiques pour MPSI (mais pas que pour) 211-212 JPV Lycée international de Valbonne Sophia-Antipolis E-mail address: jean-paul.vincent@prepas.org 3 Résumé. Ce fascicule développe le programme officiel

Plus en détail

IMPLEMENTATION D UN SYSTEME D INFORMATION DECISIONNEL

IMPLEMENTATION D UN SYSTEME D INFORMATION DECISIONNEL IMPLEMENTATION D UN SYSTEME D INFORMATION DECISIONNEL Proposé par BUMA Feinance Master en management e projets informatiques Consultant en système écisionnel I. COMPREHENSION DU CONTEXTE «L informatique

Plus en détail

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités Pascal Floquet Xuân Meyer Première Année à Distance Septembre 006 Jean-Claude Satge Table des matières

Plus en détail

Champ et potentiel électrostatique. 1 Cas d une distribution de charges ponctuelles. Outils mathématiques. 1.1 Rappel (ou pas) : notion de champ

Champ et potentiel électrostatique. 1 Cas d une distribution de charges ponctuelles. Outils mathématiques. 1.1 Rappel (ou pas) : notion de champ 2 Champ et potentiel électrostatique Les e ets électriques peuvent être décrits par deux grandeurs que nous allons étudier dans ce chapitre : le champ électrostatique (grandeur vectorielle) et le potentiel

Plus en détail

CHAPITRE. Les variables du mouvement CORRIGÉ DES EXERCICES

CHAPITRE. Les variables du mouvement CORRIGÉ DES EXERCICES CHAPITRE Les variables u mouvement CORRIGÉ DES EXERCICES 2 3 Exercices. Les variables liées à l espace et au temps. Une araignée grimpe le long une clôture. Elle parcourt abor 3 m vers le haut, puis 2

Plus en détail

Les deux points les plus proches

Les deux points les plus proches MPSI Option Informatique Année 2001, Deuxième TP Caml Vcent Simonet (http://cristal.ria.fr/~simonet/) Les eux pots les plus proches Lors e cette séance, nous allons nous téresser au problème suivant :

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question Soient A, B et C trois points distincts du plan. PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES a) A, B et C sont alignés si et seulement si :

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées. CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

Statistiques inférentielles : tests d hypothèse

Statistiques inférentielles : tests d hypothèse Statistiques inférentielles : tests hypothèse Table es matières I Tests hypothèse 2 I.1 Test bilatéral relatif à une moyenne...................................... 2 I.2 Test unilatéral relatif à une moyenne.....................................

Plus en détail

Intégrales curvilignes.

Intégrales curvilignes. Chapitre 1 Intégrales curvilignes. 1.1 Généralités 1.1.1 Courbes paramétrées dans le plan. Motivations, exemples. L exemple basique de courbe est la trajectoire décrite par un objet assimilée à un point

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

TD 1 : Introduction à Maple

TD 1 : Introduction à Maple TD 1 : Septembre-Octobre 2011 Maple, qu est-ce que c est? Maple est - en gros - une calculatrice très évoluée. Au contraire de vos petites machines portables, il sait non seulement manipuler les nombres,

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

LES EXTENSIONS RÉGIONALES ET LOCALES DE L ENQUÊTE LOGEMENT 2006 ÉCHANTILLONNAGE ET REPONDÉRATION

LES EXTENSIONS RÉGIONALES ET LOCALES DE L ENQUÊTE LOGEMENT 2006 ÉCHANTILLONNAGE ET REPONDÉRATION LES EXTENSIONS RÉGIONALES ET LOCALES DE L ENQUÊTE LOGEMENT 2006 ÉCHANTILLONNAGE ET REPONDÉRATION J. Le Guennec INSEE, pôle ingéniérie statistique ménages Problématique L INSEE réalise tous les quatre ans

Plus en détail

Programmation sur TI-Nspire CAS

Programmation sur TI-Nspire CAS Programmation sur TI-Nspire CAS Sommaire 1. Introduction... 2 2. Un exemple d algorithme... 2 3. L écriture d un programme... 3 3.1 Transmission des arguments... 3 3.2 Ouverture de l éditeur de programme

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Christophe Kilindjian

Christophe Kilindjian n 16 les efforts électroynamiques sur les jeux e barres en BT Jean-Pierre Thierry Ingénieur iplômé u CESI (Centre Etues Supérieures Inustrielles) et u CNAM (Conservatoire National es Arts et Métiers),

Plus en détail

ENTRÉE EN TS. Exercice 1 Second degré - les aspects élémentaires.

ENTRÉE EN TS. Exercice 1 Second degré - les aspects élémentaires. 1 ENTREE EN CLASSE DE TERMINALE S. FEUILLE D EXERCICES 2015 1. Pour qui est ce document. Ce document est destiné à tous les élèves entrant en Terminale S, quelle qu ait été leur moyenne dans la discipline

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 Université de Rennes1 Année 5/6 Outils Mathématiques 4 Intégrales de surfaces résumé 1 Surfaces paramétrées éfinition 1.1 Une surface paramétrée dans l espace, est la donnée de trois fonctions de classes

Plus en détail

Outils mathématiques pour la physique et la chimie. Introduction. 1.1 Espaces vectoriels. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon.

Outils mathématiques pour la physique et la chimie. Introduction. 1.1 Espaces vectoriels. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon.fr Tél : 87 14 Outils mathématiques pour la physique et la chimie Introduction Ce document est un rappel de notions de mathématiques de base (i.e. niveau L1/L).

Plus en détail

LES ROTATIONS DE R 3 : VERSION MATRICIELLE

LES ROTATIONS DE R 3 : VERSION MATRICIELLE LES ROTATIONS DE R : VERSION MATRICIELLE. L espace R n Les structures dont R n est muni appartiennent à quatre niveaux : Structure vectorielle: Vecteur. Combinaison linéaire. Familles libres et liées.

Plus en détail

Exercice 2 : Comment déterminer le relief du fond marin avec un sondeur? (5,5 pts) Les trois parties de l exercice sont indépendantes

Exercice 2 : Comment déterminer le relief du fond marin avec un sondeur? (5,5 pts) Les trois parties de l exercice sont indépendantes Exercice 2 : Comment éterminer le relief u fon marin avec un soneur? (5,5 pts) Amérique u nor 2007 http://labolycee.org Les trois parties e l exercice sont inépenantes 1. Étue e l one ultrasonore ans l

Plus en détail

Examen blanc pour le cours MATH-G-101, avril 2013

Examen blanc pour le cours MATH-G-101, avril 2013 Examen blanc pour le cours MATH-G-101, avril 2013 Question: 1 2 3 4 5 6 7 8 Total Points: 16 12 19 9 9 9 16 10 100 Score: Nom: Prénom(s): Section: Matricule: Instructions Vous avez 2 heures 30 minutes

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème.

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème. Mathématiques - classe de 1ère des séries STI2D et STL. 1. Analyse On dote les élèves d outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets.

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTES DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTES DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE ANNEE 2009 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTES DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte : 1 page de garde, 2 pages

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

ELECTROSTATIQUE - 2. 1. Rappels. 2. Outils mathématiques. 3. Distribution de charges. 4. Exemples de calculs de champ électrique

ELECTROSTATIQUE - 2. 1. Rappels. 2. Outils mathématiques. 3. Distribution de charges. 4. Exemples de calculs de champ électrique ELECTROTATIQUE - 2 1. Rappels 2. Outils mathématiques 2.1. ystèmes classiques de coordonnées 2.2. Volume élémentaire dans chaque système de coordonnées 2.3. Intégrales des fonctions de points 2.4. Circulation

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

Découverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS

Découverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS Découverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS Mémento Ouvrir TI-Nspire CAS. Voici la barre d outils : L insertion d une page, d une activité, d une page où l application est choisie, pourra

Plus en détail

3.1 Circulation du champ d une charge ponctuelle A(Γ)

3.1 Circulation du champ d une charge ponctuelle A(Γ) Chapitre 3 Le potentiel électrostatique Le champ électrostatique peut être caractérisé simplement à l aide d une fonction que nous appellerons potentiel électrostatique. Cette fonction scalaire est souvent

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ

F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ Auteur : S.& S. Etienne F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ TI-Nspire CAS Mots-clés : représentation graphique, fonction dérivée, nombre dérivé, pente, tableau de valeurs, maximum, minimum. Fichiers associés

Plus en détail

Compléments sur les couples aléatoires

Compléments sur les couples aléatoires Licence Math et MASS, MATH54 : probabilités et statistiques Compléments sur les couples aléatoires 1 Couple image ans ce paragraphe, on va s intéresser à la loi d un vecteur aléatoire S, T qui s obtient

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

Electrocinétique et magnétostatique

Electrocinétique et magnétostatique Chapitre 3 Electrocinétique et magnétostatique 3.1 Electrocinétique - Vecteur densité de courant Un courant électrique correspond à des charges électriques mobiles. On appelle vecteur densité de courant

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Extrema locaux (ou relatifs)

Extrema locaux (ou relatifs) Chapitre 3 Extrema locaux (ou relatifs) 3.0.77 DÉFINITION Soit f : U! R une fonction, U ouvert d un espace vectoriel normé E et a 2 U. On dit que f présente un minimum local (respectivement un maximum

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et changements de variables

Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, première année http://wwwisimafr/leborgne Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Gilles Leborgne juin 006 Table des

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Définition ( voir animation ) On dit qu'un repère orthonormé (O; i, j) est direct lorsque ( i ; j ) = + []. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, si M est le point

Plus en détail

Cours fonctions, expressions algébriques

Cours fonctions, expressions algébriques I. Expressions algébriques, équations a) Développement factorisation Développer Développer un produit, c est l écrire sous forme d une somme. Réduire une somme, c est l écrire avec le moins de termes possibles.

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m 1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.

Plus en détail