Chapitre 1.14 L intégrale en cinématique

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1 Chapre.4 L négrale en cnémaque L négrale En mahémaque, on éfn l négrale une foncon f ( el que F( f ( e '( ( F F où F ( es la foncon qu onne la valeur e l are sous la courbe e la foncon f ( ans l nervalle [..]. L négrale es l opéraon mahémaque nverse e la érvée. Eemple graphque : f ( L are sous la courbe f ( ans l nervalle [..6] es égale à ( 6 F. Eemple numérque : f e F ( 5 So ( 5 4 À la cooronnée 5, la valeur assocée es 4 e l are sous la courbe ans..5 es égale à. l nervalle [ ] Le héorème fonamenal u calcul Afn évaluer l are sous la courbe e la foncon f ( ans l nervalle [ b] ans l nervalle [..a], on peu ulser le héorème suvan : a.. pluô que Formule Représenaon graphque b a f ( F( b F( a Référence : Marc Ségun, Physque XXI Volume A Page Noe e cours régée par : Smon Vézna

2 La poson e la vesse à l ae e l négrale Nous avons onné la éfnon suvane à la vesse e à l accéléraon : v ( ( e ( v a ( Applquons le calcul fférenel à la éfnon e la vesse e e l accéléraon afn obenr une éfnon négrale e la poson e e la vesse : Inégrale e l accéléraon : a v ( ( v ( a ( (Isoler ( Inégrale e la vesse : v v ( v a ( (Applquer l négrale e [ v ( ] v ( v a ( (Résoure l négrale sur v a ( (Évaluer l négrale, v v ( ( ( ( v ( (Isoler ( ( [ ( ] v ( (Applquer l négrale e ( v ( (Résoure l négrale sur v v ( (Évaluer l négrale, ( Grâce au calcul fférenel, on peu manenan ulser la éfnon e l négrale e onner la éfnon suvanes à la poson, la vesse e à l accéléraon : La poson : ( La vesse : v ( v L accéléraon : ( v ( uné : ( [ ] m [ ] m/s a ( uné : ( a uné : [ ( ] m/s v a Référence : Marc Ségun, Physque XXI Volume A Page Noe e cours régée par : Smon Vézna

3 Suaon A : Une planche à roulees sur un plan nclné : calcul avec négral. À parr e l équaon e la vesse v (, 5 assocés au mouvemen e la planche à roulees e la suaon u chapre., on ésre évaluer l équaon e la poson ( sachan que la poson à es égale à,8 m. À parr e la verson négrale e la poson, évaluons l équaon e la poson. Ulsons comme borne nféreure à l négrale, car la poson es connue à ce emps : ( v ( ( v ( (Bornes : ( (,5 (Remplacer v (, 5 ( +,5 (Dsrbuer l négrale (,5 ( [ ] (Facorser les consanes es négrales,5 (Résoure l négrale sur v ( ( ( ( ( (,5 (Évaluer l négrale (,5 + (Isoler ( (,5 + (,8 (Remplacer, 8 (,5 + +, 8 (Réécrure Voc une représenaon graphque e nos eu équaons u mouvemen : v (m/s Graphque e v ( : Graphque e ( (m : 4 5 (s 4 5 (s Référence : Marc Ségun, Physque XXI Volume A Page Noe e cours régée par : Smon Vézna

4 Suaon B : Équaon u mouvemen une accéléraon consane. Un moble se éplace avec une accéléraon consane a. À, le moble occupa la poson e se éplaça à la vesse v. On ésre évaluer (a l équaon e la vesse u moble e (b l équaon e la poson u moble. (a À parr e la verson négrale e la vesse, évaluons l équaon e la vesse. Pusque la vesse connue es eprmée à, ulsons comme borne nféreure à l négrale : v ( v a ( v ( v a ( (Bornes : v ( v a (Remplacer ( a v ( v a ( [ ] a (Facorser consane v v a (Résoure l négrale v ( v a ( ( ( (Évaluer l négrale v ( a + v (Isoler ( v (b À parr e la verson négrale e la poson, évaluons l équaon e la poson. Pusque la poson connue es eprmée à, ulsons comme borne nféreure à l négrale : ( v ( ( v ( (Bornes : ( ( a + v (Remplacer v ( a + v ( a + v ( a + v [ ] ( (Dsrbuer e facorser (Résoure l négrale ( ( a + ( ( ( v (Évaluer l négrale ( a + v (Isoler ( + Remarque : On réalse que l on reombe eacemen sur les équaons u MUA. Référence : Marc Ségun, Physque XXI Volume A Page 4 Noe e cours régée par : Smon Vézna

5 Résumé e la cnémaque Voc un cour résumé es relaons esans enre la poson, la vesse e l accéléraon : Poson ( ( érvée ( Vesse v ( ( érvée v ( Poson ( v + négrale v Vesse ( v Accéléraon a ( ( a + négrale a Accéléraon Eercces Eercce A : La voure joue éléguée. À, une voure joue éléguée es suée à 5 m. Sur un nervalle e emps enre e s, sa vesse es onnée par la foncon v ( où v es en mères par secone e es en secone. Évaluez la poson e la voure à s. Eercce B : La parcule accélérée. L accéléraon une parcule es onnée par l équaon a (. Sachan que 4 m e v m/s, calculez (a l accéléraon à 5 s, (b la vesse à 5 s e (c la poson à 5 s. Eercce C : La vesse u moble. La vesse un moble en foncon u emps es onnée par l équaon suvane : v,4 + ( a Évaluez la foncon qu perme évaluer l accéléraon u moble. b De comben e mères s es-l éplacé enre s e s? Référence : Marc Ségun, Physque XXI Volume A Page 5 Noe e cours régée par : Smon Vézna

6 Soluons Eercce A : La voure joue éléguée. À parr e l équaon e base : ( v ( v ( (Bornes : (Remplacer v ( (Facorser consane (Résoure l négrale ( ( (Évaluer l négrale 4 (Calcul : On peu manenan soler nore poson ( ( m Référence : Marc Ségun, Physque XXI Volume A Page 6 Noe e cours régée par : Smon Vézna

7 Eercce B : La parcule accélérée. À parr e l équaon e l accéléraon, nous pouvons évaluer l accéléraon à 5 s : a ( 5 ( 5 ( 5 a 5 a 5 m/s (a À parr e l équaon e l accéléraon, nous pouvons évaluer l équaon e la vesse : v ( v a ( v ( v (Remplacer ( a v ( v (Remplacer ( v ( v ( a v (Résoure l négrale ( ( v (Évaluer l négrale v + v (Isoler v ( ( v + (Remplacer v m/s ( On peu évaluer manenan la vesse à 5 s : v ( 5 ( 5 + v ( 5 5 m/s 9,5 v (b À parr e l équaon e vesse, nous pouvons évaluer l équaon e la poson : ( v ( ( + ( + [ ] (Remplacer v ( (Résoure l négrale ( + (Évaluer l négrale ( + + (Isoler ( ( (Remplacer m 4 On peu évaluer manenan la poson à 5 s : ( 5 ( 5 + ( ( 5 5 m 76,5 (c Référence : Marc Ségun, Physque XXI Volume A Page 7 Noe e cours régée par : Smon Vézna

8 Eercce C : La vesse u moble. À parr e l équaon e vesse, nous pouvons évaluer l équaon e l accéléraon : a ( v ( ( (,4 + (Remplacer ( a ( ( (,4 + a v (Dsrbuon e facorsaon (,4( + ( a (Évaluer les érvées a + (a (Smplfcaon (,8 On peu évaluer le éplacemen grâce à l équaon e la vesse e la noon négrale : ( v ( v ( (Borne : (,4 + (Remplacer v (,4 + (Dsrbuon e facorsaon,4 + (Résoure l négrale ( ( ( ( +,4 (Évaluer Inégrale (,467 ( (Calcul + 5, 467 (Calcul Pusque nous cherchons le éplacemen enre e s, nous avons le résula suvan : 5,467 m (b Référence : Marc Ségun, Physque XXI Volume A Page 8 Noe e cours régée par : Smon Vézna

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