Chapitre VII : Dispersion, absorption et paquet d onde

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1 Spéciale PSI - Cours "Physique des ondes" 1 Phénomènes linéaires de propagaion unidimensionnels dispersifs Objecifs : Chapire VII : Dispersion, absorpion e paque d onde Phénomènes de dispersion e d absorpion Paque d onde : viesse de phase e viesse de groupe 1. Dispersion e absorpion 1.1. Posiion du problème Nous nous plaçons dans un cas unidimensionnel. Dans les chapires précédens, les ondes éudiées vériaien l équaion de d Alember : s 1 s v 0 Dans une elle siuaion, les ondes planes progressives monochromaiques (OPPM) soluions de l équaion de propagaion s écriven s(m,) s m cos (k ) La relaion de dispersion es dans ce cas pariculièremen simple : k v e la viesse de phase es indépendane de la pulsaion : v k v Nous allons mainenan éudié le cas où la relaion de dispersion es plus compliquée e évenuellemen à soluions complees. 1.. Equaion de propagaion Nous éudions la propagaion de vibraions ransversales dans une corde en enan compe d un amorissemen dû au froemens de la corde avec l air. Nous pouvons reprendre la méhode du cours Phénomènes de propagaion unidimensionnels non dispersifs : Vibraions ransversales d une corde : y M F(+d/,) T(,) G P T(+d,) s(,) s(+d,) M 0 G 0 P 0 +d +d/ Avec les mêmes noaions : Bilan des forces : acion de la corde siuée avan M : T (, ) ; acion de la corde siuée au delà de P : T ( + d, ) ; amorissemens modélisés par une force opposée au déplacemen de la corde e proporionnelle à sa viesse : F (µd) 1 v Appliquons le héorème du cenre d inerie au sysème : ma cenre d inerie f. Nous obenons alors : (µd) s ( + d/,) T ( + d, ) T (, )+ F soi µ s ( + d/,) T ( + d, ) T (, ) µ d v

2 Physique des ondes. Chapire VII : Dispersion, absorpion e paque d onde en faisan endre d vers zéro, il vien : µ s (, ) T (, ) L équaion se projee alors sur les aes O e Oy : µ s (,) [T (,)] µ v (, ) µ s y (,) [T y(,)] µ v y (, ) µ s (,) µ s y (,) µ v (, ) [T (,)cos((,))] µ s (,) [T (,)sin((,))] µ s y (,) Nous supposons que les vibraions son d ampliudes faibles : T T 0 e l angle es rès faible : µ s (,) [1] T 0 µ s (,) µ s (,) µ s y (,) [(,)] T 0 µ s y (,) nous avons oujours sy(,) : µ s y (, ) [ (, )] T 0 µ s y (, ) T 0 posons u s y ; l équaion de propagaion es : sy(,) µ s y (, ) s y (, ) T 0 µ s y (, ) u + 1 u v u 0avec v T0 µ 1.3. Soluions de l équaion de propagaion Décomposiion en OPPM Nous admeons le résula suivan : Lorsque l équaion de propagaion es linéaire nous recherchons les soluions en les décomposan en une superposiion d ondes planes progressives monochromaiques soluions de l équaion de propagaion (décomposiion harmonique) Veceur d onde complee Nous cherchons une soluion de l équaion de propagaion précédene de la forme : u (, ) U () e j U () e j + 1 U () e j v U () e j 0 U () e j j U () e j v d U () d e j 0 d U () + j d + v U () 0 La soluion es donc de la forme : U () U + e jk + U e jk avec k v + j Dispersion e absorpion Posons k e (k) e k m (k) Une onde du ype u (, ) U 0 e j(k) es soluion de l équaion de propagaion si k es lié à par la relaion de dispersion. u (, ) U 0 e j(k) U 0 e j((k +jk )) U 0 e k e j(k ) La parie réelle k de k *e la viesse de phase v k ;siv dépend de alors des ondes de pulsaions di,érenes ne se propagen pas à la même viesse : le milieu es dispersif. La parie imaginaire k de k modi*e l ampliude de l onde par un faceur eponeniel e k. Sauf cas pariculier (milieu ampli*caeur) le erme e k es décroissan e radui l absorpion du milieu.

3 Physique des ondes. Chapire VII : Dispersion, absorpion e paque d onde 3. Paque d ondes Nous nous plaçons dans le cas simplié d un milieu sans absorpion : k es réel..1. Caracère non physique de l OPPM Par déniion, l onde plane progressive monochromaique s(m,) s m cos (k ) à une eension innie: ceyped onde n a ni débu ni n, il es impossible de l associer à un cas physique réel avec une source e une dae d émission. De plus, l énergie associée à ce ype d onde es innie. L onde plane progressive monochromaique es un modèle praique pour l éude des phénomènes de propagaion mais elle n es pas associée à un cas réel. Nous cherchons dans la suie un modèle mahémaique permean la localisaion de l onde... Onde localisée..1. Superposiion de deu OPPM Soien deu ondes planes progressives monochromaiques : Posons : s 1 (, ) s m cos (k 1 1 ) e s (, ) s m cos (k ) avec k 1 k ( 1 ) e k k ( ) (relaion de dispersion) k k 1 k ; k m k 1 + k nous éudions le cas pariculier où m ce qui implique k m ; 1 ; m 1 + k ( m ). L ampliude de l onde résulane s écri s(, ) s 1 (, )+s (, ) s m cos (k 1 1 )+s m cos (k ) (k1 1 )+(k ) (k1 1 ) (k ) s m cos cos s(, ) [s m cos (k )] cos (k m m ) nous obenons un (double) phénomène de baemens : à un insan donné, nous avons une onde foncion sinusoïdale à variaion spaiale rapide (de période /k m )don l ampliude es une foncion sinusoïdale à variaion spaiale lene (de période /k) ; même résula en un poin donné lorsque varie. Le signal rapide se propage à la viesse de phase v m k m Le signal len (l enveloppe) se propage à la viesse de groupe v g k d dk

4 Physique des ondes. Chapire VII : Dispersion, absorpion e paque d onde 4... Cas de N ondes Dans le cas précéden nous pouvons considérer que l onde es un peu plus localisée : elle possède une ampliude imporane au voisinage des venres. Pour se rapprocher davanage d une onde réelle nous pouvons augmener le nombre d OPPM à sommer : N s (, ) s m cos (k n n ) avec n m + n e k n k ( n ) nn comme précédemen nous supposons que la largeur specrale de l onde es faible : N m Un observaeur placé en 0voi alors d un paque de N +1ondes : N1 N N10 N0..3. Paque d ondes localisé D après l éude précédene, la superposiion de N +1 OPPM de pulsaions séparées de es une onde périodique de période T Pour obenir une onde réellemen localisée, donc non périodique, il fau prendre le cas limie T c es à dire 0 mais avec une innié d onde à sommer pour conserver un signal non nul. Un paque d ondes localisé dans le emps e l espace es une superposiion d OPPM à répariion coninue de fréquences : s (, ) 1 + A ( ) e j(k) d avec k k ( ) 0 dans le cas pariculier où A ( ) a ( ) es réel : s (, ) a ( )cos(k ) d.3. Dispersion Soi une onde s se propagean dans un milieu e vérian l équaion d onde de d Alember : s 1 v s 0

5 Physique des ondes. Chapire VII : Dispersion, absorpion e paque d onde 5 la relaion de dispersion k v donne une viesse de phase v k v indépendane de la pulsaion Dans ce cas, oues les OPPM d un paque d onde se propagen à la même viesse : la propagaion n es pas dispersive : le paque d onde se propage sans déformaion. Dans un milieu dispersif la viesse de phase v dépend de la pulsaion e le paque d onde se déforme. Propagaion sans dispersion Propagaion avec dispersion

6 Physique des ondes. Chapire VII : Dispersion, absorpion e paque d onde 6.4. Viesse de groupe Soi un paque d onde de la forme : s (, ) 1 + A ( ) e j(k) d Soi m la pulsaion moyenne du specre e sa largeur. Posons : 0 m e v g d dk m Dans le cas d un specre éroi ( m )ed unmilieupeudispersifnousavons dk k ( ) k ( m )+ k k m + d m v g L onde s écri alors : s (, ) F 1 + A ( ) e j(k) d 0 1 A ( m + ) e j v g k m+ vg ( m+) d ( ) A ( m + ) e j vg e j(k m m ) d ( ) A ( m + ) e j vg d ( ) A ( m + ) e j vg d ( ) e j(kmm) e j(kmm) e j(k m m ) La vibraion apparaî donc comme une onde de pulsaion moyenne m modulée en ampliude par le erme F déplace à la viesse v g. Un paque d ondes de faible largeur specrale auour de m se déplace, dans un milieu où la dispersion n es pas rop imporane, à la viesse de groupe (viesse du goupe d ondes) v g d dk m Cee viesse de groupe es la viesse de propagaion de l informaion (e de l énergie). 3. Eercices v g qui se Eercice n 01 :Eede peau dans un méal On éudie la propagaion dans un méal d une onde plane monochromaique élecromagnéique de pulsaion e veceur d onde k, don le champ élecrique es noé : E (r, ) E0 e j( k.r) avec E0 réel Le domaine specral envisagé correspond à des ondes cenimériques. Pour les applicaions numériques, on se placera dans le cas du cuivre de conducivié # 0 6, S. m 1 en régime indépendan du emps. 1) Quel es l ordre de grandeur de la fréquence des ondes éudiées? Que peu-on penser de la conducivié #, a priori complee, du méal dans ce domaine de fréquences? Comparer les ampliudes des veceurs densié de couran élecrique de conducion j vc e densié de couran de déplacemen j vd. Écrire la forme approchée des équaions de Mawell dans le milieu méallique pour le cadre de nore éude. ) Quelle es la relaion de dispersion des ondes élecromagnéiques dans le méal? Donner l epression du champ élecromagnéique de l onde, qui se propage dans la direcion de l ae (O), à croissans, dans le méal qui occupe la zone >0. 3) Déerminer la puissance moyenne cédée par l onde au méal dans un volume cylindrique élémenaire, de secion S perpendiculaire à (O), don les faces planes son siuées au abscisses e + d. 4) La comparer au 1u du veceur de Poyning à ravers la surface délimian ce volume e vérier le bilan énergéique local aendu. Eercice n 0 : Oscillaions de la densié de charge dans un méal ou un plasma

7 Physique des ondes. Chapire VII : Dispersion, absorpion e paque d onde 7 Pour décrire les propriéés élecriques d un méal, on adope le modèle du gaz d élecrons libres (élecrons de conducion) dans une marice d ions posiifs e es. Seule l ineracion du champ élecromagnéique avec les élecrons es pour l insan considérée, le rese de la maière éan assimilé au vide. Les élecrons son supposés non relaivises, leurs ineracions muuelles son négligées, les peres d énergie par collision avec le réseau son modélisées par une force d amorissemen m v. La densié élecronique es n 0 à l équilibre ; sa valeur n hors équilibre rese rès proche de cee valeur n 0. 1) Éablir l équaion diérenielle lian le veceur densié volumique de couran élecrique j v e le champ élecrique E. ) En déduire l équaion régissan l évoluion de la densié volumique de charge élecrique ' v au sein du milieu. 3) Un milieu méallique es iniialemen perurbé : sa répariion de charges iniiale fausse localemen sa neuralié élecrique globale. Quel ordre de grandeur peu-on prévoir pour le emps de reour à la neuralié élecrique du milieu méallique? 4) Monrer que si on néglige les forces d amorissemen, il peu eiser dans le gaz d élecrons un mode propre d oscillaions de charges, de pulsaion p à préciser ( p es la pulsaion de plasma). 5) Calculer p pour le sodium e l aluminium (en considéran que ous les élecrons de valence d un aome deviennen élecrons de conducion) don les concenraions aomiques son C Na, m 3 e C Al 6, m 3. Siuer ces valeurs dans le specre élecromagnéique. Données : pour l élecron e 1, C (module) e m 9, kg. 6) Pour un plasma, où les collisions son négligées, discuer l in1uence du possible mouvemen des ions, de masse M e de charge e, surlavaleurde p. Évaluer e commener l ordre de grandeur de la modicaion apporée à la valeur de la pulsaion de plasma par la prise en compe des mouvemens des ions. Eercice n 03 : Ondes longiudinales e ransverses dans un plasma Dans un plasma de densié élecronique n 0 à l équilibre, on s inéresse à la propagaion d une O.P.P.M. élecromagnéique don le champ élecrique es noé : E (r, ) E 0 e j( k.r) 1) Ecrire l équaion du mouvemen des charges, non relaivise, les collisions au sein du plasma éan négligées. Pourquoi peu-on négliger le mouvemen des ions? ) Eablir, en régime sinusoïdal éabli, l epression du veceur densié de couran élecrique en foncion du champ de l onde. Quelle es la conducivié du plasma? 3) Quelle es la relaion lian k, e E imposée par l équaion de propagaion de l onde? Eplicier celle-ci en séparan les composanes longiudinale E // e ransverse E du champ élecrique, don l ampliude es : E 0 E 0 // + E 0 4) Que peu-on dire des ondes longiudinales suscepibles d eiser au sein du plasma? 5) Quelle es la relaion de dispersion caracérisan la propagaion des ondes ransverses? 6) Quelle serai l in1uence des phénomènes de collision, modélisés par l ajou d une force de dissipaion d énergie dans l équaion du mouvemen des charges, sur les ondes longiudinales d une par, les ondes ransverses d aure par? 7) Dans le cas des ondes ransverses, les graphes des paries réelle e imaginaire du nombre d onde complee son racés cidessous en adopan les valeurs numériques n m 3 e 10 3 s. Le premier diagramme fai apparaîre le résula d éude en diagramme log-log sur une large gamme de pulsaions. Le second es racé en échelle linéaire dans une zone plus resreine. Que dire de l in1uence des collisions pour ces ondes? Dénir une zone de ransparence pour cee propagaion. Que peu-on penser de la dispersion pour des ondes ransmises enre un saellie e la Terre à ravers le plasma ionosphère modélisé ici, si les fréquences uilisées son de l ordre du GHz? Eercice n 04 : Propagaion d une onde dans le plasma inersellaire

8 Physique des ondes. Chapire VII : Dispersion, absorpion e paque d onde 8 Le plasma inersellaire es consiué d élecrons de masse m, de charge élecrique e, de densié pariculaire n, e d ions de charge élecrique q e de densié pariculaire N. La densié de charge oale es nulle. Le mouvemen des ions es négligé e celui des élecrons, non relaivises es décri par le veceur v. Avec ces hypohèses, on cherche des soluions des équaions de Mawell (à l eclusion de champs saiques) sous la forme d ondes planes monochromaiques de veceur d onde k don le champ élecrique es noé : E (r, ) E 0 e j( k.r) 1) Monrer que le champ magnéique de l onde es aussi décri par une onde plane de mêmes pulsaion e veceur d onde. Quelle es la srucure du rièdre E, B, k de l onde? ) Déerminer l ampliude j v0 du veceur densié volumique de couran j v de l onde j v (r, ) j v0 e j( k.r) en foncion de celle du champ élecrique de l onde. 3) En éudian le mouvemen des élecrons, eprimer la consane elle que j v j E. 4) En déduire la relaion de dispersion (k) lian la pulsaion de l onde e la norme de son veceur d onde. 5) En posan + 0 c K, calculer les viesses de phase e de groupe de l onde en foncion de k e K. Quelle es la relaion lian ces viesses? 6) Deu rains d ondes de longueurs d onde. 1 e. son émis au même insan par un obje sellaire siué à disance L. En supposan K. 1 e K. 1, monrer que ces signau son reçus avec un décalage 1 à déerminer en foncion de L, K, c e des longueurs d onde. 1 e.. Eercice n 05 : Propagaion des ondes radio enre l ionosphère e la erre Les ondes élecromagnéiques d un émeeur son ré1échies par l ionosphère e aussi par la erre. On se propose d eaminer les condiions de cee propagaion guidée en assimilan, dans la région éudiée, la erre e l ionosphère à deu plans conduceurs parfais parallèles, disans de h (h 300km). On rappelle que : A l inérieur d un conduceur parfai le champ élecromagnéique es nul : E in B in 0 Au voisinage (rès près) de la surface d un conduceur, les champs vérien les condiions au limies suivanes : E e E in n e ; B e B in µ 0 j s n e Dans ces relaions n e désigne le veceur uniaire normal au conduceur dirigé vers l eérieur, 1 e j s représenen les charges e courans superciels qui peuven prendre naissance à la surface du conduceur du fai de la présence du champ élecromagnéique à son voisinage. Parmi les srucures de champs pouvan se propager, on ne s inéressera qu à la srucure die ransverse élecrique (T.E.) orhogonale à la direcion O de propagaion. Cee srucure es dénie, en noaion complee, par un champ élecrique de la forme : E g (r, ) E g (y, z) e j(kg) 1) Ecrire l équaion de Mawell Gauss vériée par le champ élecrique dans l amosphère enre les deu plans z 0e z h e déduire que E g (y, z) ne dépend en fai que de la seule coordonnée z. ) Eablir l équaion de propagaion du champ élecrique E g. Démonrer, en inégran l équaion de propagaion, que le champ élecrique E g esdelaforme: nz E g E g0 sin cos ( k g ) e y (n N) h Commener la forme de l epression obenue e le fai que E g0 soi indépendan de. 3) En ne reenan que le mode dominan (n 1), en déduire la relaion de dispersion des ondes guidées : kg c 1 c où c es une pulsaion de coupure à eplicier en foncion de c e h. Calculer numériquemen f c c / (). Les ondes rayonnées par France Iner grandes ondes, de fréquence f 164 khz, peuven-elles se propager dans l amosphère enre l amosphère e la erre?