Rapport final VALIDATION NUMERIQUE DE L HOMOGENEISATION D'UNE EQUATION DE CONVECTION DIFFUSION AVEC ALEA DANS LE SECOND MEMBRE

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1 Sepembre 6 Sage de fn d éude Promoon 6 Rappor fnal VALIDAIO UMRIQU D L HOMOGISAIO D'U QUAIO D COVCIO DIFFUSIO AVC ALA DAS L SCOD MMBR Rédaceur : Fard SMAI nreprse : Insu Camlle Jordan Modélsaon Mahémaque pour l'nvronnemen ueur : Alan Bourgea e Olver Gpoulou Correspondan CL : Abdel-Malek Zne

2 Sommare OMCLAUR DS GRADURS PHYSIQUS... 3 PRSAIO PROBLMAIQU... 4 I. PHYSIQU DU PROBLM : RASPOR MILIU PORUX... 9 I./ DSCRIPIO D U MILIU PORUX HORI D LA COIUI... 9 I./ CIRCULAIO D FLUIDS MILIU PORUX... I.3/ COVCIO (OU ADVCIO)... I.4/ DISPRSIO CIMAIQU... I.5/ DIFFUSIO MOLCULAIR... I.6/ DISPRSIO HYDRODYAMIQU OPRAUR D RASPOR... I.7/ SORPIO RASPOR... 3 I.8/ DGRADAIO SPOA DS COMPOSS RADIOACIFS... 4 II. MODLISAIO D U PROBLM YP RSOLUIO UMRIQU... 6 II./ MODLISAIO DU PROBLM YP... 6 II./ RSOLUIO UMRIQU DU PIR CAS... 9 III. HOMOGISAIO DU PROBLM ALAOIR : PRSAIO RSULAS HORIQUS... III./ IRODUCIO A L HOMOGISAIO... 3 III..a/ Présenaon générale de la méhode... 3 II..b/ Mse en œuvre de la méhode : paramérage du problème de sockage... 5 III./ IRODUCIO D U RM SOURC ALAOIR... 7 III..a/ Défnon d un cadre probablse général... 7 III..b/ Défnon d un cas parculer... 8 III.3/ HOMOGISAIO DU PROBLM ALAOIR... 9 IV. VALIDAIO UMRIQU : DVLOPPM DU PROBLM ALAOIR SUR U CAS PARICULIR... 3 IV./ DFIIIOS DS PROBLMS DAILL HOMOG... 3 IV./ CALCUL DS PRMIRS MOMS D u Ε (Ω) IV..a/ Calcul du momen d ordre IV..b/ Mse en œuvre du calcul des momens d ordre e...37 IV..c/ Quelques résulas numérques e nerpréaons IV.3/ CALCUL D L RRUR R LS SOLUIOS DAILL HOMOGIS... 4 IV.3.a/ Calcul de la moyenne de l erreur... 4 IV.3.b/ Mse en œuvre du calcul de l erreur IV.4/ VALIDAIO DU GAI APPOR PAR L HOMOGISAIO COCLUSIO GRAL PRSPCIVS AX : DAILS DS MAILLAGS POUR LS GOMRIS DAILL HOMOGIS... 5 BIBLIOGRAPHI... 54

3 omenclaure des grandeurs physques Symbole Descrpon Dmenson Q v Déb volumque L 3 - K Conducvé hydraulque ou perméablé h Charge hydraulque L L - p Presson ML - - ρ Masse volumque ML -3 g Accéléraon de la pesaneur LM - z Profondeur L V Vesse de Darcy L - k Perméablé nrnsèque L μ Vscosé dynamque ML - - C Concenraon massque ML -3 D Dsperson cnémaque L - D L Dsperson longudnale L - D Dsperson ransversale L - α L Dspersvé longudnale L α Dspersvé ransversale L * D Dffuson moléculare effecf L - D d Dffuson moléculare en eau lbre L - D Dsperson hydrodynamque L - Q erme de source volumque ML -3 - ω Porosé ad. K d Coeffcen de sorpon M - L 3 R Faceur de reard ad. λ Consane de désnégraon radoacve - 3

4 Présenaon e problémaque La geson des déches nucléares es un problème complee e mulple de par la dversé des déches consdérés e les conranes de sureé nécessares ([][3][4]). L'orgne de ces déches es varée : pour la France on peu consdérer que plus de la moé des déches nucléares provennen de l'ndusre élecronucléare un quar de la recherche le rese éan essenellemen produ par le seceur de la défense. Oure leurs dverses orgnes on caégorse les déches selon deu crères prncpau : l'acvé e la durée de ve. On dsngue ans les déches à rès Fable Acvé (FA de à Bq/g) Fable Acvé (FA à Bq/g) Moyenne Acvé (MA à mllons Bq/g) e Haue Acvé (HA mllards Bq/g). On parle de déche à ve coure pour ceu conenan des soopes avec une pérode radoacve (emps nécessare à la désnégraon de 5% de la quané présene de l soope) nféreure à 3 ans de déches à ve longue pour les aures. L'objecf de la geson des déches qu ls soen nucléares ou chmques es de proéger l homme e son envronnemen conre oue émsson ou dssémnaon de maères dangereuses l s'ag donc d'soler les déches an qu'ls son acfs. Le sockage es ans au cœur du problème de la geson des déches radoacfs. Les déches de rès fable acvé qu réunssen par eemple des déches mnérau neres (béon gravas erres ) e ndusrels (plasques ferralles ) ssus des nsallaons nucléares voen leur nveau d'acvé dmnuer jusqu'à un nveau proche de la radoacvé naurelle en quelques dzanes d'années. A l'nverse les déches de haue acvé à ve longue qu son ssus des combusbles usés nécessen d'êre confnés pendan des pérodes de emps de l'ordre du mllon d'années avan de rerouver une radoacvé équvalene à celle du mleu naurel. Leur sockage es donc soums à des conranes supplémenares elles que la garane d'une fablé à rès long erme l enfoussemen des déches es une des réponses possbles à ces egences. Le raval présené se sue dans une problémaque de confnemen en mleu géologque de déches de Haue Acvé e à Ve Longue (HAVL). Les déches ans désgnés ne son pas purs e conennen à la fos des radonuclédes à ve coure généralemen en quané mporane e des radonuclédes à ve longue en quané moyennemen à rès mporane la pérode de cerans des soopes conenus dépassan la cenane de mllers d'années. Ces déches son condonnés en vue de leur enreposage c'es-à-dre qu'ls son soldfés pour ceu qu se présenen sous une forme dspersable pus placés dans des coneneurs. Ces coneneurs auss appelés auss cols varen selon les déches auquels ls son desnés mas leur prncpe général rese oujours le même : les déches son prs dans une marce (ypquemen composée de cmen e/ou de bume) le coneneur lu-même éan consué de béon ou d acer. Le sockage do répondre à cerans mpérafs parm lesquels : s'opposer à la crculaon d'eau lmer le relâchemen des radonuclédes hors des cols e les mmoblser à l'néreur du sockage lu-même rearder e aénuer la mgraon dans le mleu géologque des radonuclédes qu auraen éé relâchés par les déches. Pour répondre à ces objecfs les organsmes concernés - le CA (Commssara à l nerge Aomque) l ADRA (Agence 4

5 Fg. Srucure d un sockage des déches nucléares en mleu géologque profond Fg. Composon d une zone de sockage des déches nucléares en mleu géologque profond 5

6 Fg. 3 Srucure d un module : alvéoles + galere m Oforden 4 m 5 m Callovo-Oforden (argle) 6 m Insallaon de sockage Dogger Fg. 4 Implanaon du sockage dans le mleu géologque 6

7 aonale pour la geson des Déches RadoAcfs) e l IRS (Insu de Radoproecon e de Sûreé aonale) - on éudé enre aure le sockage en mleu géologque e ms à prof les propréés de ceranes couches géologques. L'archecure du sockage envsagée se défn sur pluseurs échelles. Le sockage se décompose en pluseurs zones de sockage (fgure ) desnées à recevor dfférens ypes de déches. Chaque zone es composée de modules (fgure ) qu son relés par des galeres de lason e raversés par des galeres d'accès. Les modules son consués d'alvéoles (fgure 3) connecées au galeres d'accès e qu conennen les cols à enreposer. Les alvéoles son des cavés souerranes creusées dans la formaon géologque leur archecure précse vare selon la zone de sockage pour s'adaper au ype de déches reçus e à leur condonnemen. Cee nsallaon a éé conçue sur un seul nveau e avec une fable eenson vercale afn de pouvor s'nsérer dans une formaon géologque d'argle (couche du Callovo-Oforden) ou en mamsan les épasseurs d'argle suées au-dessus e au-dessous du sockage (fgure 4). Cee confguraon perme d'eploer au meu la rès fable perméablé de l argle e donne ans à la couche du Callovo-Oforden un rôle de barrère qu s oppose à la crculaon de l'eau e à la mgraon des radonuclédes. an donné les échelles de emps consdérées (jusqu'à un mllon d'années) la fue des cols ne peu-êre néglgée l es donc essenel de pouvor évaluer commen se propageraen les radonuclédes s ls venaen à êre lbérés dans le mleu géologque. Compe enu encore une fos des emps ms en jeu ans que de l'ampleur de l'nsallaon ces résulas ne son pas drecemen accessbles par des voes epérmenales ; l es donc nécessare de passer par l'élaboraon d'un modèle physque e le calcul de ses soluons. La modélsaon physque du problème que l on décrra dans la premère pare de ce rappor s'eprme en ermes d'équaons au dérvées parelles e l'on dspose donc de dverses méhodes pour obenr des soluons numérques au problème. Il es ans possble de smuler les conséquences de la sore des radonucléodes des cols. Cec perme une premère esmaon des rsques en consdéran le pre cas où ou les cols relâchen de la même manère e au même momen leur conenu. Cependan ce pre cas n'es pas forcémen représenaf de la réalé car l subsse beaucoup d'ncerudes sur les données du modèle. n effe le conenu eac des cols n'es pas connu à l'avance e peu varer d'un cols à l'aure. Il en va de même de la manère don les cols relâchen les radonuclédes. nfn le mleu géologque présene lu auss une cerane varablé qu l n'es pas possble de décrre complèemen à cause des grandes dmensons du domane : l nsallaon s éend sur une surface de l ordre du klomère carré e se sue à 5 mères de profondeurs se qu rend nenvsageable une caracérsaon ehausve du mleu géologque. L'nroducon de ces aléas dans le modèle s elle le rapproche de la réalé le rend auss plus complee pusqu'on abandonne la modélsaon enèremen déermnse du pre cas pour adoper une représenaon sochasque qu prend en compe les varablés du modèle. Ben que le problème sochasque admee en prncpe une soluon eace de naure aléaore cee dernère n'es pas faclemen accessble en praque e on cherchera alors à évaluer ceranes de ses caracérsques elles que la moyenne la varance ou des momens d'ordres plus élevés. Le raval présené c se resren à l éude des aléas sur les sources de radonuclédes chaque couche géologque éan consdérée comme complèemen déermnée. Parallèlemen à la queson de la varablé du modèle la smulaon d un cas donné e déermnse peu poser elle auss des problèmes du pon de vue du emps de calcul e de la mémore. n effe la descrpon déallée de l nsallaon de sockage me en jeu des échelles de alles rès dfférenes : le se comple s éend sur des dmensons de l ordre du klomère 7

8 ands que les cols suscepbles de relâcher les radonuclédes on une alle de l ordre du mère. Cec mplque qu une modélsaon complèe de la géomére de l nsallaon représene un coû en mémore rès mporan. A cela s ajoue que le emps de résoluon du sysème numérque es drecemen lé à la fnesse de la descrpon. Au fnal la smulaon du problème comple e déallé représene un coû en mémore e en emps de calcul conséquen qu nécesse de mere en œuvre des echnques nformaques e de calcul spécfques comme par eemple le calcul parallèle. Une aure manère d aborder cee dffculé es de résoudre un problème qu so mons coûeu mas qu rese proche du problème orgnal ; cec nécesse des développemens mahémaques préalables afn de caracérser formellemen la dsance qu ese enre les soluons des deu problèmes. L approche reenue s appue sur le grand nombre de sources de radonuclédes e sur la régularé de leur dsposon : le nouveau problème es en fa vu comme une lme du problème nal dans lequel le nombre de sources endra vers l nfn. On peu en effe mere en évdence un pe paramère (par eemple la alle d un cols sur la alle du sockage) e fare un développemen asympoque e un changemen d échelle dans le problème pour ensue passer à la lme quand le pe paramère end vers zéro. Cee echnque de d homogénésaon perme ans de défnr un problème où les déals à pee échelle dsparassen pour ne consdérer qu une unque source lme que l on qualfe d homogène. Ce problème homogène ne compore alors plus qu une seule échelle caracérsque ce qu rend sa résoluon beaucoup plus économque en emps e en mémore. La premère pare de ce rappor décr donc la modélsaon physque ms en jeu c'es-àdre le problème du ranspor d élémen radoacf en mleu poreu. La seconde pare éabl le problème ype qu sera éudé dans la sue du raval e les echnques numérques ulsées pour la résoluon de ce problème. On nrodu la echnque de l homogénésaon e les aspecs aléaores du problème dans la rosème pare afn de présener les résulas héorques de l homogénésaon du problème aléaore. nfn dans une quarème pare on développe une éude du problème aléaore dans un cas parculer qu perme une valdaon numérque des résulas de la rosème pare. Dans le raval présené c on se lmera à l éude du cas bdmensonnel. 8

9 I. Physque du problème : ranspor en mleu poreu. Les sols peuven êre assmlés à des mleu poreu conenan une cerane proporon d eau. La mgraon des espèces chmques dans les sols s y fa par le bas de l eau qu ls conennen : les espèces chmques son dssoues dans l eau e les sols perméables permeen la crculaon de l eau e des espèces. On peu dsnguer deu ypes de conrbuons essenelles dans la mgraon d une espèce. D une par un mouvemen d ensemble poré par la crculaon de l eau dans le mleu (convecon) ; d aure par une endance à homogénéser la concenraon cee endance proven de deu mécansmes dsncs : la dsperson cnémaque e la dffuson moléculare. Selon la naure des espèces e du mleu d aures phénomènes peuven encore nfluencer la mgraon. On recense dans cee pare les dfférens mécansmes nervenan dans la propagaon de radonuclédes dans une formaon géologque ([][]) afn de formuler le modèle de base qu servra de référence dans la sue de nore éude. I./ Descrpon d un mleu poreu e héore de la connué n oue généralé un mleu poreu es un maérel consué par une marce solde e des vdes appelés pores. La fracon volumque de vde d une roche défn sa porosé oale. Ces vdes peuven êre occupés par de l eau de l ar ou d aures fludes. Dans nore conee on ne s néressera unquemen au mleu saurés en eau c'es-à-dre dans lesquels ous les vdes son rempls d eau. Les mleu poreu naurels son caracérsés par une erême compleé de la dsrbuon des pores rrégulères auss ben en forme qu en alle. Ans s en héore l es possble de décrre ce sysème à l échelle du pore les fores héérogénéés renden cee descrpon naegnable lorsque la alle du sysème augmene. Ce consa force à envsager une appromaon du sysème qu so plus facle à manpuler que cee descrpon mcroscopque. C es ce que propose la héore de la connué. Dans cee héore le sysème physque réel dscre es remplacé par un sysème connu dans lequel les propréés physques le décrvan varen connumen dans l espace. L hypohèse sous-jacene es qu un sysème physque réel qu présene des varaons rès rapdes à pee échelle peu êre appromé par un sysème dans lequel l évoluon spaale des propréés éudées es suffsammen régulère pour permere l ulsaon du calcul dfférenel pour décrre les processus s y déroulan. Dans la représenaon connue des mleu poreu la valeur d une varable physque en chaque pon résule d une moyenne de la propréé physque réelle sur un volume élémenare représenaf. Les dmensons d un el volume son généralemen grandes par rappor à la alle du gran mas pees par rappor à la longueur caracérsque sur laquelle les quanés consdérées varen. 9

10 I./ Crculaon de fludes en mleu poreu Pour décrre le ranspor d espèces chmques en mleu poreu une premère condon es de savor commen l eau qu es le veceur de ces espèces dssoues s écoule dans le mleu. On peu caracérser un mleu poreu par deu grandeurs : sa porosé cnémaque e sa perméablé nrnsèque. Le volume poreu dans lequel l eau peu crculer es nféreur au volume vde oal la porosé cnémaque correspond ans à la fracon de la porosé oale conenan l eau qu peu crculer. Cec eclu donc les volumes correspondan à l eau aachée à la surface des grans par le jeu des forces d aracon moléculare au pores non connecés au réseau global e au pores en cul-de-sac dans lesquels l eau es quas mmoble. La perméablé nrnsèque es défne par la lo de Darcy. La lo de Darcy es une lo emprque obenue pour un flu monodmensonnel à ravers une colonne de sable homogène e s écr : dh Q v KA (I.) dl avec Q v le déb (L 3 - ) K une consane appelée conducvé hydraulque ou perméablé (L - ) A l are de la secon perpendculare à l écoulemen (L ) dh/dl le graden de charge hydraulque. La charge hydraulque en un pon s eprman de manère générale ans : p h + z (I.) ρ g avec p la presson (ML - - ) ρ la masse volumque (ML -3 ) g l accéléraon de la pesaneur (L - ) e z la profondeur (L). S on dvse le déb Q par la secon A on oben une vesse v de vesse de Darcy correspondan à une vesse fcve pusqu elle suppose que oue la surface y comprs la marce parcpe à l écoulemen. La vesse moyenne du flude dans les pores es égale à la vesse de Darcy dvsée par la porosé cnémaque. On généralse cee lo au cas générale rdmensonnel e ansorope pour obenr : r V K. grad (I.3) avec cee fos V r la vesse de Darcy vecorelle (L - ) e K le enseur de perméablé (L - ). Dans le cas d un flude ncompressble el que l eau la conservaon de la masse en régme permanen donne la relaon suvane : ( h) ( K. grad( h) ) dv (I.4) Cee dernère epresson perme avec la donnée de condons lmes au bords du domane de déermner la charge hydraulque h e par conséquen la vesse de Darcy V r. La perméablé K dépend des caracérsques du mleu ans que des caracérsques du flude. On peu défnr une perméablé nrnsèque (L ) k ne dépendan que de la srucure e de la connecvé des pores à ravers la relaon : ρg K k (I.5) μ avec g l accéléraon de pesaneur ρ la masse volumque du flude e μ la vscosé dynamque du flude (ML - - ).

11 I.3/ Convecon (ou advecon) La convecon es le mécansme le plus nuf de déplacemen l consse en l enranemen des élémens en soluon par le flude qu se déplace. L équaon de ranspor par convecon pure dans un mleu monodmensonnel es la suvane : C C U (I.6) avec C la concenraon de l espèce (ML -3 ) e U la vesse moyenne lnéare du flude (L - ). Dans cee suaon pour une réparon spaale donnée de la concenraon l allure de cee réparon es conservée dans le emps e avance smplemen à la même vesse que celle du flude. Dans le cas rdmensonnel l équaon de ranspor par convecon pure en mleu poreu deven alors avec V r la vesse de Darcy : (. ) C dv V C ou dans le cas d un flude ncompressble : C V. grad ( C) (I.7). (I.8) I.4/ Dsperson cnémaque Du fa de la mcrosrucure du mleu la vesse du flude vare en amplude e en drecon au sen du mleu poreu. Cee varaon des vesses à pee échelle enrane une dluon du solué appelée dsperson cnémaque. Les prncpales causes de ces varaons de vesses son les suvanes : - profls des vesses parabolques nulles sur les paros e mamales sur l ae des capllares nergrans ; - dmenson varable des pores qu a pour conséquence une varaon des vesses d une secon à l aure ; - chemnemen localemen dfféren plus ou mons long par rappor à la drecon de la vesse moyenne. Ans du fa du mélange causé par la varablé assocée au mouvemen de l eau dans le mleu les groupes de parcules son connumen séparés pendan la crculaon du flude. Il en résule un éalemen longudnal e ransversal de la concenraon auour du fron convecf pur. On peu décrre ce phénomène par une lo phénoménologque smlare à la lo de Fck où le coeffcen de dsperson (L - ) s eprme sous une forme ensorelle symérque de second ordre D qu peu s eprmer ans dans le cas rdmensonnel :

12 D D L D D (I.9) où les drecons prncpales du enseur son lées à l écoulemen. On défn ans D L le coeffcen de dsperson longudnal (L - ) dans le sens de l écoulemen e D le coeffcen de dsperson ransversal (L - ) dans les deu drecons perpendculare à l écoulemen. Ces deu coeffcens son proporonnels à la vesse lnéare de Darcy V r ls peuven donc s écrre ans : r D L α L V r (I.) D α V où α L e α représenen la dspersvé respecvemen longudnale e ransversale (L). La dspersvé es une propréé caracérsque du mleu poreu mas égalemen du champ de vesse. I.5/ Dffuson moléculare Conraremen à la dsperson cnémaque la dffuson moléculare peu se dérouler ndépendammen de la convecon. C es un phénomène physque lé à l agaon moléculare. Dans un flude au repos le mouvemen brownen envoe des parcules dans oues les drecons de l espace. S la concenraon n es pas homogène c'es-à-dre qu l ese un graden de concenraon enre deu pons vosns le pon ayan la concenraon la plus élevée enverra en moyenne plus de parcules dans oues les drecons que l aure pon. La résulane sera donc un ransfer de parcules des zones à concenraon élevée vers les zones à concenraon fable selon la lo de Fck classque où le coeffcen scalare de dffuson moléculare (L - ) radu la proporonnalé du flu massque au graden de concenraon. Dans les mleu poreu la présence de grans ralen la dffuson car les ons doven alors suvre des chemns plus longs que dans l eau lbre. Le coeffcen de dffuson moléculare d effecf D * (L - ) en compe de ce phénomène e es assocé au coeffcen en eau lbre D d (L - ). n oure le coeffcen dépend de la naure de l on de la empéraure de la presson e de la composon du flude. I.6/ Dsperson hydrodynamque e opéraeur de ranspor Dans la praque la dffuson moléculare e la dsperson cnémaque ne peuven pas êre dssocées. C es pourquo elles son généralemen décres par une équaon unque lo de dffuson de Fck avec un coeffcen de dffuson commun le enseur D appelé

13 coeffcen de dsperson hydrodynamque (L - ) regroupan le coeffcen de dffuson moléculare e la dsperson cnémaque : Ce qu s écr encore : DL D D D avec D D L α V L α V [ α L ( V ) + ( I ( V )] * D D I + V α + D + D * * (I.) (I.) avec VV j ( V ) j (I.3) V La varaon de la concenraon dans le emps e l espace due unquemen à la dsperson hydrodynamque dans un mleu poreu s écr alors : C dsperson dv ( D. gradc) (I.4) On peu ans écrre l équaon générale du ranspor d une espèce par convecondffuson dans un mleu poreu avec un erme source Q (ML -3 - ): C dv ( D grad( C) V. C) + Q.. (I.5) On rédura cee écrure en nrodusan l opéraeur de ranspor L ( C) : avec C + L ( C) Q (. V C) ( C) dv D grad( C) (I.6) L.. (I.7) I.7/ Sorpon e ranspor Le cas déal de la convecon-dffuson pure es raremen renconré en praque l es par eemple fréquen que le solué neragsse avec la marce du mleu poreu on parle alors de sorpon. Il ese dfférens phénomènes de sorpon on peu cer pour eemple l adsorpon qu consse en l accumulaon d élémens sur l nerface enre la soluon e le solde ou encore la chmsorpon dans laquelle le solué es ncorporé sur un sédmen par une réacon chmque. La modélsaon de ces phénomènes peu mener à des équaons assez complees cependan lorsque les concenraons de solué son rès fables comme c es le cas dans la 3

14 problémaque de l enfoussemen des déches radoacfs des modèles smples peuven êre formulés. De manère générale le phénomène de sorpon ndu un erme source dans l équaon de ranspor : C + L( C) Qsorpon ( C). (I.8) Sous les hypohèses de rès fable concenraon e d une cnéque quas nsananée de la réacon de sorpon ce erme source prend la forme suvane : ρ s C Qsorpon ( C) K d (I.9) ω avec ρ s la masse volumque du mleu poreu ω sa porosé e K d le coeffcen de sorpon (M - L 3 ) qu es caracérsque de la réacon de sorpon ce coeffcen es nul en l absence de ou phénomène de sorpon posf snon. L équaon peu donc s écrre comme une équaon de convecon-dffuson sans erme source mas où apparaî un faceur de reard consan R : avec C R + L( C) (I.) R ρ s + K d. (I.) ω La sorpon enrane ans un phénomène de reard : l y a une réducon de la vesse apparene du solué. I.8/ Dégradaon sponanée des composés radoacfs Un élémen radoacf possède un noyau nsable suscepble de se scnder en deu ce qu produ deu nouveau aomes eu-mêmes poenellemen nsables. La scsson d un noyau aomque es un phénomène aléaore plus précsémen la probablé de désnégraon d un aome sur un emps donné es proporonnel à ce emps. Le coeffcen de proporonnalé éan caracérsque de l élémen. A l échelle macroscopque l évoluon de la concenraon d un élémen radoacf résule d une moyenne sur la désnégraon aléaore de chaque aome. Cee évoluon su donc une lo déermnse : dcradoacf λcradoacf (I.) d avec λ la consane de dégradaon de l élémen ( - ). On défn auss la pérode de l élémen () log / λ qu correspond au emps nécessare pour que la concenraon so rédue de moé. 4

15 L équaon de ranspor pour un composé radoacf nègre donc ce phénomène de dégradaon sponanée e se réécr : C R + λ C + L( C) (I.3) so en présence d un erme source : C R + L( C) + RλC Q. (I.4) Cee dernère équaon caracérse donc l évoluon de la concenraon d une espèce radoacve dans un mleu poreu. Les hypohèses essenelles dans l élaboraon de ce modèle physque on éé : la sauraon en lqude du mleu poreu ; une rès fable concenraon dans le mleu ; e une réacon de sorpon quas nsananée. C es dans ce cadre que nous nous suerons désormas e nous ulserons donc sysémaquemen l équaon (I. 4) pour modélser la mgraon d un radonucléde dans les sols. 5

16 II. Modélsaon d un problème ype e résoluon numérque. Dans la premère pare nous avons présené les équaons physques décrvan le phénomène de mgraon d un radonucléde dans un mleu géologque. ous allons manenan précser les caracérsques physques e la géomére afn de formuler un modèle comple pour la smulaon d une fue de radonucléde dans l nsallaon de sockage. Ce modèle consuera le problème ype qu sera éudé dans oue la sue de ce raval ([]). Compe enu de la srucure srafée horzonalemen du mleu e du sockage lumême on se lme c à une descrpon bdmensonnelle du problème dans un plan vercal coupan les alvéoles dans leur longueur. L objecf éan de caracérser un comporemen global e de valder une approche héorque sur ce comporemen la géomére envsagée es smplfée en néglgean cerans déals de l nsallaon (galeres pus ) e du mleu géologque. On décrra ensue le logcel e les echnques de résoluon numérque employées ans que les résulas obenus pour la smulaon du pre cas où oues les alvéoles relâchen smulanémen le radonucléde dans le mleu. II./ Modélsaon du problème ype On consdère un mleu poreu G sauré e le ranspor d un radonucléde dans ce mleu duran un emps rég par l équaon de ranspor suvane : où C R dv * D D I + V ( D. grad( C) V. C) + RλC Q dans G [ ; ] [ α L ( V ) + α ( I ( V )] - C es la concenraon du radonucléde en soluon (ML -3 ) - V r la vesse de Darcy (L - ) - λ la consane de dégradaon ( - ) - R le faceur de reard - D le enseur de dsperson hydrodynamque (L - ) * - D le coeffcen de dffuson moléculare effecf (L - ) - α L la dspersvé longudnale (L) - α la dspersvé ransversale (L) - Q un erme source (ML -3 - ). (II.) 6

17 Le domane G correspond à une modélsaon bdmensonnelle du mleu géologque e du sockage. Ce mleu se décompose en couches sédmenares qu se son déposées enre - 5 mllons e -35 mllons d années. Les prncpales couches son de la plus haue à la plus profonde : - le Kmmérdgen marneu d une cenane de mères d épasseur consué de marne e de calcare argleu ; - la formaon calcare de l Oforden moyen à supéreur d envron 3 mères d épasseur ; - la formaon argleuse du Callovo-Oforden d une épasseur d envron mères ; - la formaon calcare du Dogger épasse de quelques cenanes de mères e qu repose sur une couche d argle. Pour smplfer la géomére du domane on consdérera unquemen la couche du Callovo- Oforden dans laquelle s nsère l nsallaon de sockage ans que ses deu couches vosnes (Oforden e Dogger). On supposera de plus que ces couches son d une épasseur consane e que leurs nerfaces son parfaemen horzonales. Fg. II. - Modélsaon de la géomére du domane (dmensons données en mères) 7

18 On smplfe de même le sockage en néglgean ou le réseau de galeres e l on ravalle dans un plan qu coupe une sére d alvéoles dans leur longueur. Ces alvéoles qu conennen les cols de déches son consdérées comme homogènes drecemen nsérées dans la formaon argleuse e présenan les mêmes caracérsques physques que cee formaon argleuse. Le erme source Q es ssu d une moyenne de la quané d agens lbérés par une alvéole à un nsan donné sur le volume de l alvéole. an donné que le problème de ranspor e le problème de Darcy son découplés on se donnera drecemen un champ de vesse pour l écoulemen pluô que de résoudre l équaon de Darcy mune de condons au lmes en charge hydraulque. Les valeurs des dfférenes grandeurs physques nervenan dans le modèle son rassemblées dans le ableau II. e les dmensons du domane son précsées dans la fgure II. ([]). * D (m /an) α L (m) α (m) R Oforden Callovo-Oforden (argle) Dogger ab. II. Coeffcens de dsperson e de reard pour l ode 9 dans les dfférenes couches géologques Le radonucléde consdéré es l ode 9 (I 9 ) don la pérode radoacve es de 57 - mllons d années ( λ log ( ) 57-6 an ). Les condons nales son une concenraon nulle sur ou le domane à. La manère don ce soope es relâché dans le mleu en cas de fue es donnée en fgure II.. Le erme de source volumque Q correspond à la fue de la ème alvéole s écr alors : Q (II.) V ( ) ( ) f ( ) alvéole V le volume d une alvéole ( ) avec la varable d espace la varable de emps alvéole f l évoluon emporelle du relâchemen par une alvéole du radonucléde e la foncon ndcarce de la ème alvéole qu vau dans le domane de l alvéole e alleurs. Pour la suaon de du pre cas où oues les alvéoles relâchen smulanémen le radonucléde le erme source Q s eprme donc : Q ( ) Q ( ) (II.3) 8

19 5-4 relâchemen de l' I 9 par module moles/ans emps (ans) Fg. II. Relâchemen de I 9 par un module II./ Résoluon numérque du pre cas oues les smulaons effecuées dans cee éude son faes avec le logcel Casem ([5]). Ce programme développé par le Commssara franças à l nerge Aomque (CA) es un code de calcul pour la résoluon des équaons au dérvés parelles par la echnque des élémens fns e des volumes fns ([][][3]). C es un code de calcul modulare qu comprend un programme de mallage un programme de calcul e un programme de vsualsaon. L nerface es assurée par le langage GIBIA perme une cerane souplesse d ulsaon. Les calculs présenés dans ce raval on éé effecués au Cenre pour le Développemen de Calcul Scenfque Parallèle (CDCSP hps://cdcsp.unv-lyon.fr) sur un bprocesseur Inel Xeon 3. GHz dsposan de 3 Go de RAM. an donné la géomére du problème on peu consrure un mallage srucuré composé de malles recangulares e enèremen défn par l ulsaeur (une descrpon précse du mallage es donnée en annee). Cec nous assure de pouvor produre un mallage de qualé don on conrôle asémen le rappor d ansorope (c nféreur à sur la quas-oalé du mallage). La fgure II.3 présene le mallage consru pour le problème ype on consae que ce mallage es rès dense au nveau des sources ; cec es névable s l on souhae sasr ous les déals de la géomére ou en conservan des malles élémenares avec une ansorope rasonnable. La echnque d homogénésaon présenée dans la pare suvane perme jusemen de conourner cee dffculé en proposan un problème possédan une géomére plus smple e donc d ulser un mallage plus grosser. 9

20 Fg. II.3 Mallage du problème ype Le logcel Cas3M perme d ulser dfférenes echnques d élémens fns pour la résoluon de l équaon du ranspor en mleu poreu. ore cho s es poré sur la méhode des élémens fns mes hybrdes (FMH) défne par les foncons bases de l espace de Ravar homas de plus bas degré (ordre ). Cee echnque présene pluseurs nérês pour nore problème : - le blan de masse es conservé localemen au nveau de chaque élémen ; - le calcul smulané des champs de concenraon e du graden avec le même ordre de convergence ; - la connué des flu à ravers les facees ; - les enseurs plens de dffuson-dsperson son faclemen manpulés. Cee méhode présene malgré ou auss quelques nconvénens els qu un nombre d nconnues relavemen grand (une nconnue par facee) ou un schéma non monoone. La méhode des FMH ([]) repose sur la formulaon me du problème qu fa apparaîre la concenraon e son graden (le flu) à ravers deu équaons couplées que l on résou smulanémen en consdéran la concenraon e le flu comme deu nconnues. Cee approche se dsngue d une approche plus drece où l on cherchera drecemen à résoudre l équaon de degré supéreur unquemen en concenraon dans ce cas le flu se calculera alors dans un deuème emps comme le graden de la concenraon (ce qu condu à une pere d un degré de régularé sur le graden). La echnque des élémens fns mes hybrdes perme de résoudre le problème ssu de la formulaon me en se ramenan à un sysème lnéare de alle plus pee. L dée essenelle de la echnque consse à relâcher la conrane de connué de la composane du flu normale au facees e à rénrodure cee conrane par le bas d un mulplcaeur de Lagrange sur chaque facee. On peu monrer que le nouveau problème es alors équvalen au premer e que par eemple pour le cas bdmensonnel avec des élémens rangulares la alle du sysème lnéare à résoudre es rédue d envron 4% par rappor au sysème ssu drecemen de la formulaon me. La fgure II.4 présene les résulas de la smulaon du pre cas avec une vesse de Darcy unforme sur ou le domane : V. 9 m/an e V m/an. y

21 Fg. II.4 Smulaon du pre cas : champ de concenraon (mol/m 3 ) en I 9 en dfférens emps Au emps 3785 ans les sources on fn de relâcher le radonucléde qu se manen à l emplacemen des alvéoles du fa de la rès fable perméablé de la couche d argle. Jusqu à 44 ans on consae que le radonucléde es oujours confner dans la couche d argle qu rempl donc sa foncon. Au-delà le radonucléde commence à se propager dans les couches calcares on consae l effe convecf qu favorse l ascenson de l espèce. A 6 ans la concenraon en I 9 aen une concenraon de l ordre de -6 mol/m 3 dans une large pare des couches calcares au dessus e en dessous de l nsallaon de sockage l essenel du radonucléde lbéré rese malgré ou concenré dans la couche d argle auour du sockage.

22 III. Homogénésaon du problème aléaore : présenaon e résulas héorques. On ven de vor commen l es possble d aborder le problème déermnse du pre cas où ous les conaneurs se meraen à fur smulanémen. La smulaon de ce pre cas fourn des nformaons essenelles pour l évaluaon des rsques en cas de fues dans l nsallaon de sockage. On es cependan lon du comporemen réalse de l nsallaon or des nformaons sur un comporemen de fue plus ypque son ou auss mporanes pour la concepon de l nsallaon de sockage. Afn de s approcher d un comporemen plus réalse l es nécessare de prendre en compe les ncerudes qu esen dans les caracérsques du modèle. On se resren c au ncerudes lées au erme source c'es-à-dre celles qu concernen le conenu des cols e la manère don l es lbéré au cours du emps dans le mleu en cas de fue. Il s ag donc d nrodure un aspec aléaore dans le erme source. S cee nroducon d aléas dans la modélsaon la rend plus proche de la réalé l fau cependan noer que le comporemen ne se caracérse alors plus par une smple smulaon du modèle pusque l évoluon de la concenraon dans le domane deven elle auss aléaore. Cee caracérsaon passe désormas par le calcul des momens de la concenraon en an que varable aléaore ; on s néressera plus parculèremen au deu premers momens c'es-à-dre la moyenne e la covarance. Un aure aspec du problème résde dans le coû de sa résoluon numérque. On a vu que le mallage nécessare à une bonne smulaon compore un grand nombre d élémens cec à cause de la grande dsparé des échelles de alle : d un côé le domane consdéré qu s éend sur pluseurs klomères de l aure les sources qu on une alle de l ordre du mère. Cela enraîne de fors coûs en mémore e en emps de calcul. S l es évdemen nécessare de conserver un mamum de déals quand on souhae observer le comporemen de la soluon à promé de ces déals (champ proche) on peu se demander s cela rese nconournable lorsqu on s néresse à un comporemen global sur l ensemble du domane (champ lonan). Dans le cadre de l éude du champ lonan l homogénésaon perme précsémen de formuler un problème approché où les déals à pee échelle son lssés. La géomére deven alors plus smple e la résoluon du nouveau problème beaucoup mons coûeuse. La premère secon de cee pare présene la méhode d homogénésaon e commen elle peu êre mse en œuvre pour raer nore problème. La seconde secon rae du caracère aléaore du problème e en décr les causes physques ans que sa modélsaon. Fnalemen l applcaon des echnques d homogénésaon au problème aléaore e ses résulas héorques son présenés dans la rosème secon.

23 III./ Inroducon à l homogénésaon III..a/ Présenaon générale de la méhode L homogénésaon ([4][5][6]) de pérodque es une méhode qu consse à mere en évdence dans un problème où apparaî un pe paramère caracérsan la pérode un comporemen moyen vers lequel on end lorsque le pe paramère end vers zéro. On peu donc dsnguer deu éapes dans le processus d homogénésaon d une par rechercher le problème d homogénésé correspondan à ce comporemen moyen par eemple à l ade de echnques de développemen asympoque e d aure par éablr la convergence de la soluon du problème nale vers celle du problème homogénésé. On es donc face à un problème décr par une équaon au dérvées parelles de la forme rouver u H el que (III.) A u f dans Ω où > es un pe paramère caracérsan la pérode P du problème A es un opéraeur don les coeffcens son P-pérodques e le second membre f es lu auss P-pérodque. oons que pusque la pérode es rès pee cela sgnfe que A e f on des varaons rès rapdes. Pour un problème ben posé u es unque e l on peu donc écrre formellemen u ( A ) f. (III.) On cherche ans un modèle homogénésé plus smple qu donne une descrpon correce du phénomène global (comporemen macroscopque) ou en néglgean les déals plus fns qu peuven l êre (comporemen mcroscopque). Pour cela l fau d abord s assurer que u converge (dans un espace adéqua) lorsque noons u cee lme. La queson es H alors de savor s l ese un opéraeur A el que pour f la lme de f (au sens des dsrbuons) on a La dffculé résde c dans le fa que éa nul. u H ( A ) f. H A n es pas forcémen égale à ce que vaudra (III.3) A s Une méhode pour obenr l équaon homogénésée ulse les développemens asympoques à double échelle. L dée es c de séparer les comporemens mcroscopque e macroscopque en défnssan deu varables d espace l une lene (échelle macroscopque) : e l aure rapde (échelle mcroscopque) : y / (ou de manère plus générale y g( / ) ). y mesure les varaons à l néreur d une pérode e mesure les varaons à l néreur de oue la régon. On cherche alors un développemen asympoque de u u de la forme : ( y) + u ( y) + u ( ) +... u y (III.4) où les u son P-pérodques en y. La sére du second membre n es pas nécessaremen convergene le développemen asympoque es à comprendre au sens où pour ou n on a : 3

24 u n u n ( y) + o( ). (III.5) L dée es de consdérer les varables lene e rapde comme deu varables ndépendanes ce qu amène à redéfnr l opéraeur de dérvaon : d d ce qu donne donc en applquan (III.6) à (III.5) : + y (III.6) du u u u u u (III.7) d y y y Il s ag ensue d njecer le développemen asympoque de u e de ses dérvées dans l équaon d orgne pus d denfer les ermes de même pussance pour obenr un sysème d équaons au dérvées parelles sur les u. ypquemen l équaon d ordre le plus fable concerne les u y e dans des cas classques on peu monrer avec des argumens de pérodcé que u y. n ce sens u décr le comporemen macroscopque de la soluon selon la varable lene les ermes suvans apporan des correcons sur cee évoluon globale (vor fgure III.). Il fau alors encore ravaller avec le sysème d équaon pour en erare l équaon homogénésée caracérsan u. Une aure approche possble pour obenr l équaon homogénésée consse à ravaller sur la formulaon varaonnelle du problème d orgne. On consdère encore le développemen asympoque de u e l aspec mul échelles du problème la echnque en alors dans le cho de foncons es de forme spécale : les équaons locales son obenus avec des foncons es dépendan foremen de la varable rapde (y) ands que l équaon homogène s oben en prenan des foncons es dépendan unquemen de la varable lene (). Fg. III. Comporemen de u sur pluseurs échelles 4

25 Le développemen asympoque à double échelle perme ans de suggérer formellemen la lme de u e l équaon qu elle vérfe cependan ce résula n es pas encore démonré à ce sade. Pour le démonrer une méhode habuelle de de l énerge ulse pour le passage à la lme dans les fonconnelles la connué fable e plus parculèremen les echnques de compacé par compensaon [7] pour le passage à la lme de cerans produs. Il arrve en effe que l on dove éuder la lme d un produ don les deu membres ne convergen que fablemen or dans ce cas la lme du produ n es pas à pror le produ des lmes. Grâce à des rensegnemens supplémenares sur les bornes de ceranes combnasons de dérvées la compacé par compensaon perme néanmons le passage à la lme dans cerans de ces produs. La méhode d homogénésaon perme de cee manère de proposer un problème macroscopque smple équvalen à un problème nal comporan de fores héérogénéés au nveau mcroscopque. La force de cee méhode résde dans l dée de consdérer le pe paramère qu en praque es fé comme varable e de déermner alors le comporemen lme du problème pour un nfnmen pe. éanmons le paramère rese non nul dans les fas e la soluon homogénésée n es qu une appromaon de la soluon réelle. C es pourquo le résula de convergence peu êre compléer par une esmaon de la vesse de convergence. Cee nformaon supplémenare appore en effe une borne sur l erreur commse lorsque l on assmle la soluon homogénésée à la soluon eace ; sans cee nformaon l n es pas possble d affrmer à pror la valdé de l appromaon fae. S dans cerans domanes comme pour les maérau composes où l homogénésaon présene un grand nérê une vérfcaon epérmenale de la lo de comporemen globale es parfos possble ce n es pas oujours le cas e spécalemen dans nore problémaque sur le confnemen de déches en mleu géologque. ous verrons par la sue que ce ype d esmaon a pu êre éabl pour nore problème. II..b/ Mse en œuvre de la méhode : paramérage du problème de sockage Pour revenr à nore problème de sockage ([8][9]) la pérodcé se sue dans la dsposon rès régulère des sources. oons déjà que cee pérodcé n es pas présene dans oues les drecons de l espace mas seulemen dans les drecons horzonales ; de plus la zone où se rouve l héérogénéé n a qu une fable eenson vercale. Cec n empêche pas de mere en œuvre la méhode de l homogénésaon mas nécesse d adaper la echnque à cee ansorope. Pour passer du problème ype décr dans la pare II à un problème paraméré par nous allons consdérer que le nombre de source qu es de 5 dans le problème ype es un nombre varable n e le paramère que l on consdère sera alors / n. L dée es de fer les dmensons hors de l nsallaon de sockage e d ajouer de plus en plus de sources. Cela mplque que le alle d une source vare avec : pour une longueur fée L de l nsallaon la pérode es donc L e les n sources on une longueur que l on peu noer L s avec < s <. Pour plus de généralé on consdérera que le rappor enre la longueur e la haueur d une source peu lu auss dépendre de e l on écrra donc la haueur d une source sous la forme L γ s avec γ >. Remarquons que s l on fe la quané de maère relâchée par une source ndépendammen de alors la soluon dverge quand end vers zéro pusque la quané de Q la maère nrodue end vers l nfn. Pour le cas déermnse s l on consdère ( ) quané de maère présene dans le mleu à un nsan donnée e f () la varaon de la densé de maère relâchée par une source on a la relaon : 5

26 dq d ( nombre de sources) [( volume d' une source) f ] n γ ( Ls Ls ) n L ss γ L s s f f γ f. (III.8) Or le plus naurel pour défnr nore famlle de problèmes ndcée par es que la quané de maère njecée dans le mleu au cours du emps so ndépendane de. Cela nous donne γ donc que f do êre ndépendan de. Or f ( ) es auss proporonnel à f () la quané de maère relâchée par une alvéole au fnal pour pouvor reser cohéren avec le problème ype de la pare II on oben f de la forme : f () γ f ( ) V alvéole. (III.9) S l on reven au formalsme de l équaon (III.) du débu de cee secon la soluon du problème déermnse selon es donnée par u ( A ) f (III.) où l on ven de spécfer un f à parr duquel on peu défnr f. La dépendance effecve de l opéraeur A à dépend de la manère don son modélsées les sources. n effe s les caracérsques physques de l emplacemen de la source son dfférenes de celles du mleu ou encore s au leu d un erme de source volumque le relâchemen es modélser comme un flu à ravers les paros de la source les emplacemens des sources devenan des rous dans le domane Ω alors l opéraeur A dépend effecvemen de e l y a leu de chercher un H opéraeur homogénésé A. Ces modélsaons on éé éudées dans la suaon déermnse du pre cas [8] cependan on cherche désormas à prendre en compe l aspec aléaore des sources. Ans pour smplfer l éude héorque de la soluon aléaore u ( ω ) on consdère que les sources présenen les mêmes caracérsques physques que le mleu envronnan (cf la défnon du problème ype). C'es-à-dre qu on ne ravalle plus sur le cas général u ( ω ) ( A ) f ( ω ) mas sur un cas smplfé avec un opéraeur consan A : u ( ω ) A f ( ω). (III.) (III.) Le bu éan cee fos de rouver une soluon lme u déermnse e qu corresponde à une source lme elle auss déermnse f va la relaon : u A f. (III.) A propremen parler l ne s ag donc plus eacemen d homogénésaon pusqu l n y a plus d équaon homogénésée à chercher malgré cela nous connuerons à employer ce erme car c es ben dans cee opque que nous ravallons cee éude servan de base pour raer l nroducon d élémens aléaores dans le modèle à homogénéser. 6

27 III./ Inroducon d un erme source aléaore L nsallaon de sockage es prévue pour recevor des déches qu provennen pour une grande par de combusbles nucléares usagés e ous les déches qu elle es desnée à accuellr ne son pas encore produs à l heure acuelle. Or les echnques employées dans les cenrales nucléares e les combusbles ulsés son en consane évoluon l n es donc pas possble de prévor de manère eace la composon des déches que le sockage conendra une fos rempl. Cela sgnfe que le conenu des dfférens cols de déches présene des varaons dans la naure des composans e dans leurs concenraons. Un aure faceur d ncerude résde dans le relâchemen des radonuclédes par une alvéole. n effe l archecure d un cols ou d une alvéole es complee e le relâchemen résule de pluseurs phénomènes els que l usure des jons la corroson des méau ou la fssuraon des béons ous ces élémens éan de naure probablse. Par eemple la fgure II. monre l évoluon emporelle du relâchemen qu ser de référence pour le cas déermnse cee évoluon a éé consrue comme le comporemen ypque du relâchemen e nègre les dfférens faceurs menonnés. D un pon de vue général on peu dsnguer deu aspecs essenels qu présenen une varablé : le momen de déclenchemen du relâchemen e la manère don l s effecue dans le emps. Comme dans le cadre déermnse on supposera que chaque source es homogène ben qu ayan désormas chacune un comporemen propre. C'es-à-dre que pour une réalsaon donnée le comporemen d une source es enèremen déermné par l évoluon du relâchemen dans le emps. III..a/ Défnon d un cadre probablse général Afn de pouvor raer de manère rgoureuse le problème aléaore on formalse la varablé du erme source de la manère suvane. on défn les sysèmes dynamques ergodques dscres ( z ) z I avec I Z. Par défnon chaque sysème dynamque ergodque sur Ω es une applcaon : Ω Ω elle que : A parr d un espace de probablé sandard ( Ω F P) - z préserve la mesure P pour ou z c'es-à-dre que pour ou ( A) P( A) z P ; z A F on a - z es ergodque c'es-à-dre que pour ou A F nvaran par z on a P ( A) ( P( A) ). On suppose de plus que ( z ) z a la propréé de groupe : pour ou z e z z + z z o z e Id par rappor à l orgne.. Cee propréé radu l ndépendance de ( ) z On défn le erme source aléaore correspondan à la source par : Q ( ω ) ( ) f ( ) es l ndcarce de la source e f ( ) z ( ). ω (III.3) où ω une varable aléaore que l on suppose unformémen bornée c'es-à-dre qu l ese Λ > e C > els que pour ou ω e pour ou : 7

28 le erme source oale s écr alors : f Λ ( ω ) Ce ( ω ) Q ( ω ). Q On défn enfn la foncon de covarance de f ( ω ) f ( ) ( s y) f ( ) f ( ) ~ par / ω ~ ~ ~ ~ [( )( f ( y s) f ( y s) )] R (III.4) (III.5) (III.6) sur laquelle on formule l hypohèse suvane qu radu l absence de corrélaon au-delà d une cerane échelle : R Λ mn( s) R( s y) e R( y) R( y) e l ese R el que R( y) s y > R. L hypohèse que f ( ) pour ou y ω so unformémen bornée n es pas rès conragnane sur le plan de la modélsaon physque pusque la quané oale de maère à relâcher par une alvéole es fne e que de plus les comporemens eponenellemen décrossans sur les emps longs son fréquens dans les phénomènes d usures. De même l hypohèse R qu radu l absence de corrélaons au-delà d une cerane dsance es rasonnable s l on consdère la décrossance rapde de la concenraon de radonucléde auour de leur leu d émsson e s l on suppose le mleu géologque sable dans le emps. III..b/ Défnon d un cas parculer On peu consdérer un cas parculer de cee formulaon générale dans lequel les f ω prend la forme : sources son ndépendanes enre elles e où le erme ( ) ( ω ) α( ω ) f ( ( ω )) f (III.7) c'es-à-dre que le comporemen générque du relâchemen es oujours le même e que l aléa pore sur l amplude e le momen de déclenchemen du relâchemen. an donné que le emps nécessare au relâchemen oal des radonuclédes par une alvéole es de l ordre 3 années (cf fgure II.) so un emps rès pe devan les emps consdérés (jusqu à 6 années) l allure du relâchemen sur ce laps de emps a rès peu d nfluence sur la mgraon des radonuclédes à grande échelle. Consdérer que le relâchemen su un comporemen générque nvaran à une dlaaon e une ranslaon près n es donc pas une resrcon rès fore. Dans ce conee la varable aléaore α ( ω ) radu l ncerude sur la concenraon nale en radonucléde conenu dans une alvéole e la varable aléaore ( ω ) correspond au emps de déclenchemen de la fue. On supposera de plus que α ( ω ) e ( ω ) son ndépendanes. Afn de respecer l hypohèse (III.4) on consdérera que α ( ω ) es borné. On verra de plus dans la pare suvane que seules l espérance e la varance de α ( ω ) qu son donc ben défnes nervennen dans les calculs. Supposer α ( ω ) borné n es absolumen pas une lmaon éan donné qu une alvéole es une encene fne qu ne peu conenr qu une quané fne de radonucléde. On se donnera par conre la densé de probablé de la lo de ω ω es un emps de déclenchemen l es à valeur posve de ( ) f. an donné que ( ) 8

29 plus l do auss êre borné pour respecer l hypohèse (III.4). Le suppor de f es donc borné e nclus dans R +. Une lo classque pour modélser la durée de ve d un obje es la lo de Webull don la densé s écr β β β s s f W () s ep s (III.8) k k k où β > es le paramère de forme e k > es le paramère d échelle. Pour β < le au de panne es décrossan dans le emps (phénomène de moralé nfanle ) ; pour β le au de panne es consan ce qu suggère une cause oalemen aléaore ; pour β > le au de panne es crossan ce qu correspond à un phénomène d usure. Pour nore problème on sera conran de fer les paramères β e k de manère arbrare pour pouvor effecuer les calculs numérques ; en effe on ne dspose acuellemen pas d éudes sasques permean d esmer ces paramères. Le paramère de forme a éé fé à β pour modélser une usure modérée e le paramère d échelle a éé prs de sore que l espérance de la durée de ve 5 4 so de 5. c es à dre k 87.. oons enfn que le suppor de la densé de la lo de Webull n es pas borné à droe afn de respecer effecvemen l hypohèse (III.) on peu consdérer une densé de même forme mas qu so denquemen nulle après un emps donné. On prendra par eemple f δ f [ δ ] W (III.9) avec défn par la relaon δ + f W δ δ. (III.) Pour nos calculs on prendra δ 3. On fera auss les paramères sur α ( ω ) de manère arbrare à [ α ] [ α ] e Var. C'es-à-dre que l on consdère que la courbe de relâchemen de la fgure II. es un comporemen moyen e que l ncerude sur le conenu de l alvéole es fable. Remarquons que la modélsaon de l aléa proposée par ce cas parculer es relavemen appromave cependan l objecf vsé en défnssan ce cas n es pas pour l nsan de fournr des résulas quanafs précs mas de valder une démarche e de fournr des ndcaons qualaves eploables. III.3/ Homogénésaon du problème aléaore Les résulas menonnés dans cee secon son ssus d un arcle de A. Bourgea e A.L. Pansk en cours de rédacon [9]. 9

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