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1 Options Méthode : devant chaque paragraphe solution : insérer un champ (fonction -paragraphe masqué) Condition "avecs" par exemple ou masquer une section contenant les paragraphes voulus. Pour modifier les conditions : cliquer et changer la (menu conditionnel - Champs) solutions 0 avecs / avec formules : avecf 1 Compétences Historique Variables utilisées Barème L.Adamcik - C.Chuon - D.Dray - A.Haddad - F.Leon /3

2 n d'anonymat DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES SECONDE 2013 le sujet est à rendre avec la copie La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation de la copie. Calculatrice autorisée. Durée de l épreuve : 2 heures Exercice 1 Statistiques 5,5 points Afin de tester l'efficacité d'un médicament contre le stress, 60 patients, ayant environ 16,5 de pression artérielle, ont accepté de participer à un essai clinique. Après tirage au sort, la moitié des patients (constituant le groupe M) ont pris le médicament pendant un mois, l'autre moitié (constituant le groupe P), un placebo (comprimé neutre). Les patients ne savent pas s'ils prennent le médicament ou le placebo. Les mesures de pression artérielle concernant les patients des deux groupes, après le mois d'essai clinique, sont indiquées ci- dessous : Groupe M Pression artérielle , , Effectifs Groupe P Les données détaillées de ce groupe ne sont pas transmises. Seuls quelques indicateurs sont communiqués : La médiane est de 16,5. Q1 = 16 et Q3 = 17 La minimale est de 14 et la maximale est de 17,5. 1. Déterminer, en détaillant votre calcul, la moyenne de cette série. x= , , donc x=14,4 2. Déterminer, sans l aide de la calculatrice, les s de la médiane, du premier et du troisième quartile du groupe M. En complétant le tableau précédent : Pression artérielle , , Effectifs Effectifs Cumulés Croissants Au moins 25 % des s sont inférieures ou égales à Q 1 : 30 4 =7,5 donc Q 1 =13,5 ; Au moins 50 % des s sont inférieures ou égales à M : 30 2 =15 donc M=14 ; L.Adamcik - C.Chuon - D.Dray - A.Haddad - F.Leon 1/3

3 Au moins 75% des s sont inférieures ou égales à Q 3 : =22,5 donc Q 3 = En utilisant les données dire si les phrases suivantes sont vraies ou fausses. Justifier. Phrase 1 : Au moins 75% des patients du groupe M ont une pression artérielle inférieure ou égale à 15. vrai : définition de Q 3 Phrase 2 : Le groupe ayant pris le médicament a un écart interquartile plus petit que celui du groupe qui a pris le placebo. Groupe M : Q 3 Q 1 =15 13,5=1,5 ; groupe P : Q 3 Q 1 =17 16=1, la phrase est fausse. Phrase 3 : Au moins 50% des patients ayant pris le placebo ont une pression artérielle comprise entre 16 et 17. Vrai : définition de l'intervalle interquartile. 4. En utilisant les données dire si le médicament semble avoir une réelle efficacité. Argumenter Le médicament semble efficace : au moins 50 % des malades l'ayant pris ont une pression inférieure ou égale à 14 alors que tous ceux qui ont pris le placebo ont une pression artérielle supérieure ou égale à 14. Exercice 2 Vrai-Faux Préciser pour chaque affirmation suivante si elle est vraie ou fausse. On justifiera soigneusement 4 points 1. Si IA = IB, alors I est le milieu du segment [AB]. FAUX : I est un point de la médiatrice du segment[ab]., alors les vecteurs u et v sont colinéaires. 39 ) 2. Si, dans un repère, u = ( 18 26) et v = ( 27 VRAI : 18 39=702 et 26 ( 27 )= Si x 2 9, alors x 3. FAUX : Si x 2 9, alors x 3 ou x 3. Exercice 3 Fonction Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la représentation graphique d une fonction B. 13,5 points L.Adamcik - C.Chuon - D.Dray - A.Haddad - F.Leon 2/3

4 PARTIE A : LECTURES GRAPHIQUES Avec la précision permise par le graphique, et en laissant apparent les «pointillés de lecture», répondre aux questions suivantes : 1. Donner l ensemble de définition de B. B est définie sur [0; 40] 2. Donner l image de 36 par la fonction B. 36 a pour image Donner le(s) antécédent(s) de 300 par la fonction B. Les antécédents de 300 sont 0 et Dresser le tableau de variation complet de la fonction B. x variations de 100 B La fonction B admet-elle un maximum? Si oui, donner sa. La fonction B admet comme maximum 100 pour x= Dresser le tableau de signe de la fonction B. x signe de B (x ) Résoudre : a) B (x )= 100 b) B (x ) 150 B (x )= 100 pour x=6 ou x=34 L.Adamcik - C.Chuon - D.Dray - A.Haddad - F.Leon 3/3

5 B (x ) 150 pour x [0; 4 ] [36 ; 40 ] PARTIE B : FONCTION BÉNÉFICE Un artisan fabrique entre 0 et 40 objets par jour. Tous les objets fabriqués sont vendus. Son bénéfice est le résultat de la différence entre la recette résultant de la vente de ces objets et les coûts de production (entretien des machines, électricité, contrats d'assurance, etc...) Ce bénéfice, en euros, est fonction du nombre d'objets fabriqués chaque jour. Son expression est B (x )= x x 300 où x est le nombre d'objets fabriqués un jour donné. La courbe représentative de B est celle tracée en début d exercice. 1. Vérifier en détaillant les calculs que B (x )=100 ( x 20) 2 Posons C (x )=100 (x 20) 2 =100 (x 2 40 x+400)= x x 300 ; donc B (x )=100 ( x 20 ) 2 2. Vérifier en détaillant les calculs de la factorisation que B (x )=(30 x )( x 10). (30 x )( x 10 )=30 x x x= x x Répondre aux questions suivantes après avoir la forme de B (x ) qui vous semble la mieux adaptée. a) Déterminer le nombre d objets à fabriquer et à vendre pour réaliser un bénéfice nul. On cherche à résoudre B (x )=0, avec la forme B (x )=(30 x )( x 10 ) on trouve x =30 ou x=10. b) Déterminer le bénéfice réalisé par l artisan à l issue de la vente de 28 objets. On cherche B (28), avec par exemple, la forme B (x )=(30 x )( x 10 ) on trouve B (28)=( 30 28) (28 10)=2 18=36. c) Déterminer le nombre d objets à fabriquer et à vendre pour réaliser un bénéfice de 96 euros. On cherche à résoudre B (x )=96, avec B (x )=100 ( 20 x ) 2 on a : 96=100 ( 20 x ) 2 4 (20 x ) 2 =0 2 2 (20 x ) 2 =0 ( 2 (20 x )) (2+(20 x ))=0 ( 18+x) (22 x )=0. Le produit est nul si un des facteurs est nul, donc x=18 ou x=22. Exercice 4 Algorithme Voici un algorithme de calcul. Données : A, B, C et D (nombres entiers) Traitement 1. N est le nombre qui s écrit ABCD 2. si (A D ) alors 3. X prend la A 4. A prend la D 5. D prend la X 6. fin si 7. si (B C) alors 8. X prend la B 9. B prend la C 10. C prend la X 11. fin si 12. P est le nombre qui s'écrit ABCD Sortie 13. afficher le résultat de N+P 1. Faire fonctionner cet algorithme avec A=2 ; B=0 ; C=1 et D=3. Que valent alors les nombres N et P? Qu affiche l algorithme? 2. Faire fonctionner cet algorithme avec A=2 ; B=0 ; C=0 et D=9. Que valent alors les nombres N et P? Qu affiche l algorithme? 5 points Pour détailler le raisonnement, ceux qui le souhaitent peuvent s'aider de tableaux de la forme : ligne n de A de B de C de D de N de X de P L.Adamcik - C.Chuon - D.Dray - A.Haddad - F.Leon 4/3

6 ligne n de A de B de C de D de N de X de P l'algorithme affiche donc (= ) ligne n de A de B de C de D de N de X de P l'algorithme affiche donc (= ) Exercice 5 Géométrie repérée On munit le plan d un repère orthonormé (O, i, j ) d unité graphique le centimètre. On considère les points A(0 ; 1), B(2 ; 5), C( 1 ; 1) et D( 3 ;3). 1. Placer les points A, B, C et D dans le repère. a) Calculer les coordonnées des vecteurs AD et CB. AD= ( ( 1)) = ( 3 4) et CB= ( 2 ( 1) 5 1 ) = ( 3 4) b) En déduire, en justifiant, la nature de ADBC AD= CB donc ABDC est un parallélogramme. 12 points 2. Placer le point E symétrique de A par rapport à C. a) Calculer les coordonnées de E. par définition : C=m [AE ] donc x {x A +x E C = 2 y C = y +y A E 2 { x E =2 x C x A y E =2 y C y A { x E =2 ( 1) 0 y E =2 1 ( 1 ) { x E = 2 y E =3 b) Montrer que AE= 20. AE= (x E x A ) 2 +(y E y A ) 2 donc AE= ( 2 0 ) 2 +(3 ( 1)) 2 = 4+16= Vous admettrez que AB=2 10 et BE=2 5 a) Montrer que le triangle ABE est rectangle isocèle. AB 2 =(2 10) 2 =4 10=40 et BE 2 =(2 5) 2 =4 5=20. Donc BE=AE, ABE est isocèle en E ; de plus (théorème de Pythagore) AB 2 =BE 2 +AE 2, le triangle ABE est rectangle en E. b) En déduire les coordonnées du centre du cercle (C) circonscrit au triangle ABE. Justifier la réponse. Le centre du cercle circonscrit est le milieu de [AB], c'est le point de coordonnées ( x +x A B ; y +y A B 2 2 ) =(1 ;2) c) Construire ce cercle (C). L.Adamcik - C.Chuon - D.Dray - A.Haddad - F.Leon 5/3

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