La résolution de problèmes mathématiques

Transcription

1 La résolution de problèmes mathématiques au Cycle 2 Atelier pour les suppléants Valence DDEC 07 / 26

2 Objectifs de l atelier Relire les programmes 2008 et le palier 1 du socle commun pour la résolution des problèmes mathématiques Définir la résolution de problèmes Connaître les différents types de problèmes Favoriser une démarche de résolution

3 La résolution de problèmes mathématiques Socle commun Programmes 2008

4 Programmes 2008 : Mathématiques «L apprentissage des mathématiques développe l imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement.. La résolution de problèmes fait l objet d un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations.»

5 SOCLE COMMUN Palier 1 Les compétences attendues en fin de cycle 2 : NOMBRES et CALCUL : résoudre des problèmes de dénombrement GEOMETRIE : résoudre un problème géométrique GRANDEURS et MESURES : résoudre des problèmes de longueur et de masse ORGANISATION et GESTION DES DONNEES : ORGANISATION et GESTION DES DONNEES : o utiliser un tableau, un graphique o organiser les données d un énoncé

6 Nombres et Calcul Mathématiques Les mots clés Imagination Rigueur Précision Goût du raisonnement Apprentissage progressif Construire le sens des opérations Tableau Graphique Enoncés Problèmes: Dénombrement Géométrique Longueur Masse

7 Programmes 2008 : Mathématiques Nombres et Calcul «Ils apprennent à résoudre des problèmes faisant intervenir ces opérations (addition, soustraction, multiplication). Les problèmes de groupements et de partage permettent une première approche de la division pour des nombres inférieurs à »

8 Progressions 2008 : Mathématiques Nombres et Calcul Résoudre des problèmes simples à une opération. CP Résoudre des problèmes relevant de l addition, de la soustraction et de la multiplication. Approcher la division de deux nombres entiers à partir d un problème de partage ou de groupement. CE1

9 Nombres PALIER et Calcul 1 : Mathématiques Les mots clés Nombres L évaluation est réalisée : -à l écrit ou àl oral -lorsd activités de manipulations Résoudre des problèmes de dénombrement Résoudre des problèmes de dénombrement sur des collections, en utilisantdes groupements. L évaluation consiste en des demandes de dénombrement ou de réalisation de collections d un cardinal donné. Proposer des cardinaux suffisamment grands (> 100) pour que la mise en place de stratégies de groupements s avère nécessaire. Exemple: apporte moi 186 jetons

10 Nombres PALIER et Calcul 1 : Mathématiques Les mots clés Calcul L évaluation est réalisée à l écrit et à l oral en particulier pour la compréhension de l énoncé. Les traces écrites des élèves doivent être analysées et les compétences qu elles démontrent le cas échéant, repérées et validées. Résoudre des problèmes relevant de l addition, de la soustraction et de la multiplication Résoudre des problèmes relevant dans l addition, de la soustraction et de la multiplication L énoncé permet à l élève de comprendre aisément le but du problème (ex : calculer le nombre de jetons restant dans la boîte) Proposer des problèmes qui amènent à effectuer des opérationsdutype:a+b= ;A-B= ;AxB= ;A+B+C= Maisaussidesopérationsdutype:A+ =B;A- =B; -A=B; Ax =B La taille des nombres, la relation entre les nombres, les unités employés, le contexte, la syntaxe, peuvent augmenter la difficulté du problème. Le vocabulaire spécifique (plus que, moins que, autant que ) doit avoir été enseigné et pratiqué avant l évaluation. L énoncé peut comporter des informations inutiles.

11 Nombres et Calcul Les mots clés Mathématiques Nombres et Calcul Problèmes de dénombrement Réalisation de collections Problèmes simples à une opération : Additions Soustractions Multiplications Partage Regroupement Approche de la division Oral Ecrit Manipulation

12 Nombres PALIER et Calcul 1 : Mathématiques Les mots clés Géométrie Résoudre un problème géométrique Résoudre un problème géométrique de reproduction, de construction guidée, de description de figures. L évaluation est réalisée à l écrit ou à l oral, en particulier, pour la compréhension de l énoncé. Les traces écrites des élèves doivent être analysées, et les compétences qu elles démontrent le cas échéant repérées et validées. Proposer des situations du type: - reproduire une figure sur du papier quadrillé, à main levée ou à l aide des instruments -reproduire une figure à l aide du papier calque ou des instruments, sur papier uni - construire une figure à partir d un programme de construction -décrireunefigureenvuedesareproduction

13 Nombres et Calcul Mathématiques Les mots clés Géométrie Problèmes géométriques : - Reproduction - Construction guidée - Description de figures Oral Ecrit

14 Programmes 2008 : Mathématiques Programmes Grandeurs 2008 et mesures «Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix.»

15 Progressions 2008 : Mathématiques Grandeurs et mesures Résoudre des problèmes de vie courante. Résoudre des problèmes de longueur et de masse. CP CE1

16 Nombres et Calcul Les mots clés Mathématiques Grandeurs et mesures Résoudre des Résoudredes problèmes de problèmes de la longueur et de vie courante, de masse longueur, de masse, de durée et de prix. L évaluation est réalisée à l oral et à l écrit en particulier pour la compréhension de l énoncé. Les traces écrites des élèves doivent être analysées et les compétences qu elles démontrent, le cas échéant, repérées et validées. L énoncé permet à l élève de comprendre aisément l objet du problème. Les problèmes peuvent nécessiter des conversions d unité, dans la limite des relations au programme et sans que l usage des décimaux soit nécessaire. La ou les opérations utiles sont celles figurant au programme du cycle.

17 Nombres et Calcul Les mots clés Mathématiques Grandeurs et mesures Problèmes de la vie courante Longueur Masse Durée Prix Opérations : Additions Multiplications Soustractions Oral Ecrit Conversion

18 Programmes 2008 : Mathématiques Organisation et gestion de données «L élève utilise progressivement des représentations usuelles : tableaux, graphiques.»

19 Progressions 2008 : Mathématiques Organisation et gestion des données Lire ou compléter un tableau dans des situations concrètes simples. CP Utiliser un tableau, un graphique. Organiser les informations d un énoncé. CE1

20 Nombres PALIER et Calcul 1 : Mathématiques Les mots clés Organisation et gestion des données L évaluation est réalisée à l oral et à l écrit. Utiliser un tableau, un graphique Organiser les données d un énoncé Utiliser un tableau, un graphique. Elle porte sur le prélèvement d informations et de données, dans un tableau ou un graphique, et non sur la production du tableau ou du graphique. Les nombres et les unités employés sont ceux des programmes. - Compléter un L évaluation est réalisée principalement à l écrit. tableau dans des situations concrètes simples -Organiserles informations d un énoncé Les données figurent dans des documents et des énoncés: - issus de la vie de la classe ou de la vie courante (emploi du temps, relevés de températures ) - en lien avec les autres disciplines L évaluation porte sur les capacités à: - compléter un tableau donné à partir du document - sélectionner dans un document les informations utilesenvuedelestraiter. Les documents et énoncés proposés peuvent comporter des informations inutiles.

21 Nombres et Calcul Les mots clés Mathématiques Organisation et gestion des données Lire Organiser Utiliser Compléter Situations concrètes simples en lien avec : -la vie de classe -la vie courante - les autres disciplines Oral Tableau Ecrit Graphique

22 La résolution de problèmes mathématiques Mise en situation

23 Pierre a 75 œufs à mettre dans des boîtes de 6 œufs. Combien de boîtes peut-il remplir? Du côté de la résolution Niveau 1 : Utilisation de la manipulation, des doigts, du dessin. Niveau 2 : Utilisation des nombres, d additions successives, de soustractions, de multiplications... Niveau 3 : Utilisation d une opération, procédure experte et plus abstraite Procédures personnelles Procédures expertes

24

25

26 La résolution de problèmes mathématiques Démarche de résolution de problèmes

27 La démarche de résolution de problèmes 1 Mise en situation Prise en compte des savoirs et des représentations des élèves 2 Formulation des procédures à tester 3 Mise en commun des procédures 4 Synthèse

28 1 ère étape : La mise en situation Mise en situationà partir : - d objets concrets : jeu de cartes, pions, - d un énoncé (oral ou écrit) - d une situation de la vie de classe ou de la vie courante - d un défi Formulation d un problème à résoudre

29 2 ème étape : Prise en compte des savoirs et des représentations des élèves Temps de recherche Temps de recherche individuelle Les élèves s appuient sur leurs connaissances préalables pour trouver des solutions Temps de recherche en groupe Confrontation entre les élèves Mise en forme d une affiche pour communiquer les solutions Formulation des procédures à tester Selon la nature du problème, les élèves peuvent faire appel à des procédures : Procédures personnelles Utiliser des manipulations concrètes, dessins, schématisation de la situation, dénombrement, essai/erreur, Procédures expertes Utiliser des opérations mathématiques et pouvoir les expliciter

30 3 ème étape : Mise en commun des procédures Présentation des différentes procédures trouvées dans les groupes. Du côté des élèves Confronter Comparer Echanger Argumenter Du côté du maître Questionner Interpeler Inciter à argumenter Valider et invalider les propositions

31 4 ème étape : Synthèse Organiser et structurer : les connaissances les procédures intéressantes

32 La résolution de problèmes mathématiques Définitions Typologies des problèmes

33 DEFINITION Un problème, c est une situation initiale avec un but à atteindre demandant à un sujet d élaborer une suite d actions ou d opérations pour atteindre ce but. La situation proposée est problème si : La solution n est pas disponible d emblée La solution est à construire

34 Les différents types de problèmes Type de problèmes Fonction Quand? Problèmes de recherche «ouvert» Problèmes «complexes» Situation problème Problème d application Problème de réinvestissement Apprendre à chercher (objectif méthodologique) Utiliser conjointement plusieurs connaissances Construire une nouvelle connaissance S entraîner à la maîtrise du sens de la connaissance nouvelle Utiliser une connaissance dans un contexte différent de celui où elle a été abordée Indépendant des apprentissages notionnels Après un travail sur plusieurs connaissances Pour un premier travail sur une nouvelle connaissance Après une phase de construction d une nouvelle connaissance Pour enrichir le sens d une connaissance (champ d application) ou l utiliser conjointement à d autres connaissances

35 La résolution de problèmes mathématiques Des exemples

36 Un exemple «J ai 250 œufs. Combien de boîtes de 6 sont nécessaires pour les ranger?» Problème ouvert? Problème complexe? Situation-problème? Problème de réinvestissement? Problème d application?

37 Un exemple «J ai 250 œufs. Combien de boîtes de 6 sont nécessaires pour les ranger?» Un problème «ouvert»? EN CE1 : Les enfants ne connaissent pas la division (ce n est pas au programme et cela ne sera pas enseigné). Ils sont devant un défi intellectuel à relever. Ils vont utiliser différentes procédures : dessins, calculs partiels, Une situation problème? EN CM1 : Les enfants ne connaissent pas encore la division mais c est la notion que je souhaite introduire par ce problème. L analyse portera sur les procédures utilisées et leurs limites : partages successifs, groupements, Un problème d application? EN CM2 ou 6ème : La division a été étudiée. Les enfants doivent reconnaître un problème de division et utiliser la technique opératoire pour le résoudre.

38 Autres exemples «On dispose de pièces de 50 cts, de 20 cts et de 5cts. Peut on constituer une somme de 5 avec exactement 20 pièces?» Ce problème n a pas de solution A partir de ce constat : on peut relancer la recherche en se demandant quelles sont les sommes possibles et les sommes impossibles à réaliser avec les mêmes conditions. C est un problème «ouvert», un problème pour chercher

39 Autres exemples Six enfants sont assis autour d'une table ronde. Il y a Kader, Benoît, Myriam, Laetitia, Fatima et Paul. Myriam n'est pas assise à côté d'un garçon. Fatima n'est pas assise en face de Benoît. Benoît est assis juste à gauche de Kader. Placez les 6 enfants autour de la table. (source : Pernoux) Ce problème est un problème «ouvert»

40 Autres exemples Nora avait 25 cerises dans son panier. Elle en a mangé 10. Combien y-a-t il de cerises maintenant dans le panier? (source : «Tous en maths!», Nathan ) Ce problème est un problème de réinvestissement sur la soustraction

41 La résolution de problèmes mathématiques Problème ouvert Situation problème Défi math

42

43 Problèmes «Ouverts» Un «problème ouvert» (IREM de Lyon) : désigne une activité scolaire au cours de laquelle élèves sont confrontés à un problème inédit, nouveau dont la solution ne peut être obtenue par l utilisation directe, immédiate de connaissances apprises antérieurement. Il s agit de problèmes qui nécessitent de chercher réellement, d essayer des solutions, de les tester, d argumenter à propos de leur validité. Il n y a pas de solution toute prête, il faut en construire une. les

44 Problèmes «Ouverts» L énoncé est court et ne pose pas de problèmes de compréhension. L énoncé n induit ni la méthode, ni la solution. Pas de questions intermédiaires. La solution ne doit pas être l utilisation ou l application immédiate des dernières notions acquises en cours. Ne relève pas d application de connaissances directes. Ne débouche pas directement sur un apprentissage nouveau

45 Problèmes «Ouverts» Chercher une solution originale, personnelle Mettre l accent sur des objectifs spécifiques d ordre méthodologiques : essayer, organiser sa démarche, argumenter sa solution, Prendre en compte et valoriser les différences entre les élèves : échange, confrontation, débat autour des stratégies Permettre à l enseignant de faire connaître aux élèves ses attentes en matière de résolution de problèmes : le but est de chercher

46 Problèmes «Ouverts» La difficulté ne doit pas résider dans la compréhension de la situation : Commencer la recherche que lorsque les termes et l enjeu du problème sont appropriés par tous les élèves La phase de recherche doit appartenir aux élèves : l aide et les réponses de l enseignant ne peuvent porter que sur la compréhension de l énoncé La mise en commun est avant tout une phase d échanges et de débat autour des solutions proposées par les élèves : affichages La même situation peut être proposée à nouveau aux élèves : permettre aux élèves d essayer des solutions qu ils n ont pas élaborées eux-mêmes.

47

48 Situation-problème La situation-problème est une situation d'apprentissage C'est un moyen d'apprentissage et non le résultat. C'est une stratégie d'enseignement qui favorise l'engagement des élèves. Elle permet la construction des nouveaux savoirs. La situation-problème permet à l enfant de se confronter à un obstacle franchissable (décalage optimal)

49 Situation-problème 1. Elle contient des données initiales qui précisent le contexte de la situation et qui sont utiles pour résoudre le problème. 2. Il y a un but à atteindre (différent de l'objectif d'enseignement) qui donne un sens à la mobilisation et à l'organisation des connaissances. 3. Il y a des contraintes ou des obstacles à surmonter qui exigent une réorganisation des connaissances antérieures et qui amènent l'élève à trouver d'autres moyens, donc à faire des apprentissages. 4. La démarche et la solution ne sont pas évidentes; la personne doit faire une recherche cognitive active pour savoir comment procéder.

50

51

52

53

54 La résolution de problèmes mathématiques Vivre un défi math

55

56 Bibliographie

57 Du côté des instructions officielles

58 Du côté des manuels