courbe n 1 courbe n 2 courbe n 3

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1 TES A-B Devoir n 7 mardi 0 mars 05 Eercice. sur.5 points Dans un terrain de camping il y a 3% de français et 68% d étrangers. 70% des français et 30% des étrangers savent jouer à la pétanque. On rencontre, au hasard, une personne de ce camping. On définit les événements : : «cette personne est française» et : «cette personne sait jouer à la pétanque». ) Traduire les données par un arbre de probabilités. ) La personne rencontrée sait jouer à la pétanque. Quelle est la probabilité qu elle soit française? Eercice. sur points On donne la courbe représentative d une fonction f définie sur R. Soit une primitive de f sur R. armi les trois courbes proposées ci-dessous, une est la courbe de. Laquelle? Justifier. courbe n courbe n courbe n 3 Eercice 3. sur 3 points Les deu questions sont indépendantes. 4 ) On donne ci-contre la représentation graphique d une fonction f définie sur [ ; 4] ar simple lecture graphique, et sans justifications, donner : a) le tableau de signes de f() b) le tableau de signes de f () c) le tableau de signes de f ( ) ) On admet que la fonction f est définie par f ( ) 0.5. Déterminer la primitive de f qui s annule pour =

2 Eercice 4. sur.5 points Dans chaque cas, déterminer une primitive de f sur l intervalle I indiqué a) f ( ) sur I = ]0 ;+ [ b) f ( ) e sur I = ]- ; + [ c) f ( ) 0e sur I = ]- ; + [ d) f ( ) e ² sur I = ]- ; + [ Eercice 5. sur 3.5 points On considère une fonction g définie sur [ ; + [ par g () = 0 8ln(). Calculer g ().. Dresser le tableau de variations de g sur l intervalle [0,5 ; + [. 3. Justifier que la fonction G définie sur [0,5 ; + [ par G() = ln() est une primitive de g sur [0,5 ; + [. 4. On pose I G(9) G(3) Montrer que la valeur eacte de I peut s écrire sous la forme a+b ln(3) où a et b sont deu entiers que l on déterminera. Eercice 6. sur 6.5 points Soit C m la fonction définie sur [0 ;40] par C m (q) =.5 e 0,05 q Cette fonction traduit le coût marginal d une usine pour la fabrication d un produit chimique sous forme liquide, q étant la quantité de produit eprimée en milliers de litres et C m (q) eprimé en milliers d euros. ) a) Calculer C m (q) et en déduire le tableau de variations de C m sur [0 ;40]. b) En déduire le signe de C m (q) sur [0 ;40] ) On désigne par C la fonction traduisant le coût total en fonction de la quantité q. On rappelle que le coût marginal est assimilé à la fonction dérivée du coût total. a) En utilisant la question, déterminer les variations de C sur [0 ; 40]. b) Sachant que les coûts fies s élèvent à 30 milliers d euros, déterminer la fonction C. 3) Le pri de vente de ce produit est de 5 par litre. La fabrication quotidienne est vendue en totalité. On admet que le bénéfice noté B(q) s eprime par B(q) = 5q 30 e 0,05q. On définit la fonction h sur [0 ;40] par h(q) = 5 C m (q). a) Etudier les variations de h. b) Justifier que l équation h(q) = 0 a une unique solution α dans [0 ;40] et en donner une valeur approchée au centième. c) Déduire des questions précédentes le signe de h(q) sur [0 ;40] puis les variations de B d) Donner une valeur approchée de B(α) avec deu décimales. Que représente cette valeur pour cette usine?

3 Corrigé du n ) D après le tete : p( ) 0.3 ; p( ) 0.68; p ( ) 0.7 ; p ( ) 0.3 0,7 0,3 0,3 5 pts 0,68 0,3 0,7 ) On doit calculer p (). p( ) Or, p ( ) p ( ) p( ) p( ) p( ) p( ) p( ) 0.4 p ( ) 3 p ( ) 0.48 La probabilité que cette personne soit française, sachant qu elle sait jouer à la pétanque, est 3. Corrigé du n primitive de f : le signe de f nous donne les variations de. - + signe de = f 0 + variations de pts La fonction est représentée par la courbe n, seule à correspondre à ces variations. Corrigé de l eercice 3 a) On regarde la position de la courbe par rapport à l ae des abscisses signe de f() ) b) On regarde les variations de la fonction signe de f () c) On s intéresse à la conveité de la fonction - 4 signe de f ( ) 0 + f ( ) ( ) 0.5 k k Comme () = 0 on a : k 0 3 k 0 k D où : ( ) points

4 Corrigé du n 4 a) f ( ) sur I = ]0 ;+ [ donc ( ) ² ln( ) b) f ( ) e sur I = ]- ; + [ donc ( ) e ² c) f ( ) 0e sur I = ]- ; + [ donc ( ) 0 e 40e d) f ( ) e ² 5 sur I = ]- ; + [ u On pose u ² 5 d où u'. f est de la forme ue ' donc est de la forme e u. ² 5 ( ) e.5 pts Corrigé du n ) g'( ) ) signe de signe de + + signe de g () 0 + variations de g ) 8ln est de la forme uv avec u 8, v ln, u ' 8 ; v' 8ln ' 8ln 8 8ln 8 G'( ) 5 8 8ln ln 8 0 8ln g( ) : G est une primitive de g. 4 ) I = G(9) G(3) = ( ln9) - ( ln3) = ln9 +4 ln3 Or, ln(9) = ln(3²) = ln(3) D où I = ln3 + 4 ln 3 = ln 3. On a : a = 408 et b = pts 0.5 Corrigé du n 4 ' 0, ) ( ),5 0,05 q q Cm q e 0.075e Comme une eponentielle est toujours positive, C m (q) > 0 et donc C m est croissante sur [0,40] C m (0) est donc le minimum de C m sur [0,40] et comme C m (0) =.5 > 0, C m est toujours strictement positive sur [0,40] ) a) C = C m et comme C m est positive, C est strictement croissante sur [0,40] b) C est une primitive de C m sur [0,40]. On pose u = u = C '( q) e donc C( q) e k 30e k u ue ' On sait que C(0) = 30 (les coûts fies) et C(0) = On a donc C(q) = 30 e 0 30e k d où k = pts 3 ) a) h( q) 5 C ( q) 5.5e m h'( q) e 0.075e

5 Cette epression est toujours négative donc h est décroissante strictement sur [0,40] b) On a donc le tableau de variations suivant : h (q) h h(40) - 6. D après ce tableau de variations et la propriété des valeurs intermédiaires, on peut affirmer que l équation h(q) = 0 admet une unique solution dans [0,40] Avec la calculatrice, on a : 4.08 c) D après ce tableau, on déduit : signe de h(q) B( q) 5q 30 e q donc B'( q) e q 5.5 e q h( q) signe de B =h + 0 variations de B 0.40 B( ) B(4.08) 0.40 : ce nombre est le bénéfice maimal pour cette usine, en milliers d euros.