Probabilités conditionnelles

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1 Chapitre 6 Probabilités conditionnelles Exercice 6.1. QCM page 360 (4, 5, 6, 7, 1, 2, 3), rappels de Première (page 475) 6.1 Définition des probabilités conditionnelles Exercice 6.2. partie page pproche par les fréquences relatives u cours de N expériences, l événement H a eu lieu n fois. Parmi ces n expériences, l événement a accompagné k fois l événement H, la fréquence relative f de l événement conditionné par l événement H (sachant que H est réalisé) est k n. La fréquence relative de H pour les N expériences est f H = n N. La fréquence relative de H pour les N expériences est f H = k N. On a : f = f H f H car k k n = N n N Définition On se place dans un univers Ω muni d une loi de probabilité P. Définition 11. et H sont des événements de Ω. La probabilité de H n est pas nulle. La probabilité de sachant H est : P H () = P ( H) P (H) Exemple : Une urne contient deux boules blanches B 1 et B 2 et une noire N, indiscernables au toucher. Une personne tire successivement et sans remise deux boules de l urne. Considérons les événements («la première boule tirée est blanche») et B («la deuxième boule tirée est blanche»). L univers est formé des 6 événements élémentaires : (B 1,B 2 ), (B 1,N), (B 2,B 1 ), (B 2,N), (N,B 1 ), (N,B 2 ). Il est muni d une loi P équirépartie. B = {(B 1,B 2 ),(B 2,B 1 )} = {(B 1,B 2 ),(B 2,B 1 ),(B 1,N),(B 2,N)} La probabilité de B sachant que s est réalisé est : P (B) = Remarque 1 : P H () est souvent noté P (/H). 87 P ( B) P () = = 1 2.

2 PROBBILITÉS CONDITIONNELLES 88 Remarque 2 : P H est une nouvelle probabilité, dont l univers est H : P H (H) = 1 Pour tout événement B de Ω : P H (B) = 1 P H (B). Remarque 3 : P H () P ( H) Conséquence de la définition : P ( H) = P (H) P H () Exercice 6.3. L univers est formé de 60 résultats possibles. On a schématisé ci-dessous ma répartition des résultats possibles au sein de chacun des trois événements X, Y et Z. Pour chaque question, déterminer la (ou les) proposition(s) exacte(s). 1. (a) P (X) = ; (b) P (X) = 60 ; (c) P (Y ) = (a) P (X Y ) = ; (b) P (X Y ) = 37 ; (c) P (X Y ) = (a) P (Y Z) = 5 6 ; (b) P (Z) = 1 2 ; (c) P (Y Z) = (a) P Y (X) = 8 25 ; (b) P Z(Y ) = ; (c) P 17 X (Y ) = 35 Exercice 6.4. Parmi les phrases suivantes, repérer celles qui définissent une probabilité conditionnelle % des individus de cette population sont bilingues. 2. Parmi les anglicistes de cette population, 30% sont trilingues % de cette population parle anglais et espagnol. 4. Cette population est composée d individus de 9 nationalités différentes % des européens de cette population sont bilingues. Exercice 6.5. On considère une loterie, dont certains tickets sont gagnants. Dans cette loterie, il y a des tickets rouges, et d autres tickets. On tire au hasard un ticket de cette loterie, on note R l événement «le ticket tiré est rouge» et G l événement «le ticket tiré est gagnant». Traduire en termes de probabilités les phrases suivantes. 1. «Le quart des tickets rouges sont gagnants.» 2. «Le tiers des tickets gagnants sont rouges.» 3. «Un ticket sur cinq est rouge et gagnant.» 4. «Un ticket perdant sur cinq est rouge.» Exercice 6.6. Dans un restaurant, on a constaté que : 80% des clients prennent un café ; 40% des clients prennent un dessert, dont les 3 4 prennent aussi un café. 1. On choisit un client du restaurant au hasard.

3 PROBBILITÉS CONDITIONNELLES 89 (a) Quelle est la probabilité qu il prenne un dessert et un café? (b) Quelle est la probabilité qu il ne prenne ni dessert ni café? 2. On choisit un client qui a pris un café. Quelle est la probabilité qu il n ait pas pris de dessert? 3. Sachant qu un client n a pas pris de café, quelle est la probabilité qu il n ait pas pris de dessert? Exercice 6.7. Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : trois bleues et deux rouges. On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l urne. Calculer les probabilités que : 1. la seconde boule tirée soit bleue sachant que la première est rouge ; 2. la seconde boule tirée soit rouge sachant que la première est bleue ; 3. la première boule tirée soit bleue sachant que la seconde est rouge ; 4. la première boule tirée soit bleue sachant que les deux boules tirées sont de même couleur. Exercice 6.8. Marius est un joueur de pétanque averti. Lorsqu il «tire» sur une boule pour la chasser du jeu, il la touche six fois sur dix lors du premier essai. S il a échoué à son premier essai, il recommence et réussit le second tir huit fois sur dix. Quelle est la probabilité que Marius essuie un double échec? Exercice 6.9. Dans la population d une ville, on a relevé que, au cours des six derniers mois : 25% des individus ne sont pas allés au cinéma ; 50% d individus sont allés une seule fois au cinéma, et 70% d entre eux ont vu un film français ; 25% d individus sont allés deux fois ou plus au cinéma, et 80% d entre eux ont vu un film français. On interroge au hasard un individu dans la ville en question : quelle est la probabilité qu il ait vu un film français au cours des six derniers mois? Exercice À un carrefour doté d un feu tricolore, on a remarqué que : 2% des véhicules s arrêtent au feu vert ; 65% des véhicules s arrêtent au feu orange (comme le code de la route le demande) ; 97% des véhicules s arrêtent au feu rouge. On décide d observer le comportement d un véhicule se présentant au carrefour. On admet que l état du feu, à l arrivée du véhicule, est aléatoire, et que la probabilité que le feu soit vert est de 0,6, celle qu il soit orange de 0,1 et celle qu il soit rouge de 0,3. 1. Quelle est la probabilité que le véhicule observé s arrête? 2. Le véhicule est passé. Quelle est la probabilité qu il l ait fait au feu rouge? Exercice Denis le jardinier entretient le jardin de René. Denis : «Deux fois sur trois, si j arrose le matin, il pleut le soir.» René : «Oui, mais quand vous n arrosez pas le matin, c est-à-dire trois jours sur quatre, il ne pleut pas le soir quatre fois sur cinq!» rnaud arrive un soir à l improviste dans le jardin de René. Quelle est la probabilité qu il pleuve? Exercice Calculer les probabilités des événements et B connaissant les trois égalités : P (B) = 2P () ; P ( B) = 0,5 ; P (B) = 0,5. Exercice page 376

4 CHPITRE 6. PROBBILITÉS CONDITIONNELLES Formule des probabilités totales Propriété 2. Les événements H 1, H 2,..., H n forment une partition de Ω (figure 6.1). Cela signifie que H 1 H 2 H n = Ω et que les H i sont disjoints deux à deux. lors pour tout événement : P () = P H1 () P (H 1 ) + P H2 () P (H 2 ) + + P Hn () P (H n ) Ω H1 H2 H3 H4 H9 H10 H5 H8 H7 H6 Figure 6.1 Partition de l univers Démonstration. = ( H 1 ) ( H 2 ) ( H n ). est la réunion de tous ces événements disjoints donc P () = P ( H 1 ) + P ( H 2 ) + + P ( H n ) P () = P H1 () P (H 1 ) + P H2 () P (H 2 ) + + P Hn () P (H n ) Exemple : Soient trois urnes identiques, la première contenant deux boules blanches et une noire, la seconde trois boules blanches et une noire et la troisième deux boules blanches et deux noires. On choisit au hasard une urne et on en tire une boule. Trouver la probabilité de tirer une boule blanche. Considérons les trois événements suivants : H 1 : «on choisit la première urne» ; H 2 : «on choisit la deuxième urne» ; H 3 : «on choisit la troisième urne», et : «tirage d une boule blanche». Les hypothèses étant équiprobables : P (H 1 ) = P (H 2 ) = P (H 3 ) = 1 3 Les probabilités conditionnelles de sous ces hypothèses sont respectivement : P H1 () = 2 3 ; P H2 () = 3 4 ; P H3 () = 1 2 La formule des probabilités totales donne : P () = = On représente une telle situation à l aide d un arbre pondéré :

5 PROBBILITÉS CONDITIONNELLES 91 Exercice Trois machines fabriquent des ampoules électriques dans les proportions suivantes : 20% pour la machine, 50% pour B, 30% pour C. Les fiabilités respectives des machines, B, C sont 0,9 ; 0,95 et 0,8 (autrement dit : la probabilité pour qu une ampoule fabriquée par soit bonne est 0,9...). On achète une ampoule ; elle est bonne. Quelle est la probabilité qu elle ait été fabriquée par? Note : Le problème posé ci-dessus est un exemple de recherche de la «probabilité des causes» ; ce type de problème fut posé et résolu par Thomas BYES ( ). Exercice , 56 page 385 (dépistage) 6.3 Evénements indépendants Définition 12. Deux événements et B sont dits indépendants si P ( B) = P () P (B). Cela revient à dire (pour et B de probabilités non nulles) que P B () = P () ou que P (B) = P (B). utrement dit, savoir que B est réalisé n intervient pas dans le calcul de la probabilité de. Exemple 1. On tire une carte d un jeu de 32 cartes. On note l événement «tirer un as», et B l événement «tirer un carreau». On calcule d une part : P ( B) = = D autre part : P () P (B) = 4 On a P ( B) = P () P (B). Cela signifie que les deux événements sont indépendants. Exemple 2. On jette un dé icosaédrique dont les vingt faces sont numérotées de 1 à 20. On note C l événement «tirer un multiple de cinq», et T l événement «tirer un multiple de trois». C = {5; 10; 15; 20} et T = {3; 6; 9; 12; 15; 18}. On calcule d une part : P (C T ) = P ({15}) = D autre part : P (C) P (T ) = = On a P (C T ) P (C) P (T ). Cela signifie que les deux ne sont pas indépendants. (ttention! Par contre, ils sont compatibles car C T ). Proposition 16. Si deux événements et B sont indépendants, alors il en est de même pour et B.

6 PROBBILITÉS CONDITIONNELLES 92 Démonstration. (à connaître) On utilise le fait que B et B sont disjoints. Exercice , 30 page 379 ; 56 page 385 ; 31, 36, 38 page 379 ; 57 page 385 ; 63 page 387 (devoir maison) Exercice page 386 (suites et probabilités) Exercice Sondages et questions indiscrètes. «vez-vous déjà volé dans un supermarché?» Lors d un sondage posant cette question, la sincérité des réponses n est pas garantie. On peut procéder ainsi pour inciter les «sondés» à être sincères : Soit π la proportion des gens ayant déjà volé. On propose à une personne interrogée une carte comportant deux affirmations contraires : (1) J ai déjà volé et (2) Je n ai jamais volé. La personne choisit à l aide d une roulette la question à laquelle elle va répondre par vrai ou faux. L enquêteur ne saura donc pas à quelle question elle a répondu. Soit λ la probabilité de répondre vrai. Montrer que λ = πp + (1 π)(1 p) En déduire π en fonction de p et λ en supposant que p 0,5. Note : Dans la pratique, on estime λ en prenant la fréquence de réponses vrai au sondage ; l estimation de π qui en résulte est d autant meilleure que p est voisin de 0 ou de 1 (mais pas trop, pour ne pas éveiller les soupçons!). Figure 6.2 Sondages et questions indiscrètes Exercice Imaginons deux caisses remplies de pièces : l?une contient 999 pièces en chocolat et 1 pièce d?or. Dans l?autre, ces proportions sont i nversées : 999 pièces d?or et 1 en chocolat. Quelqu?un tire au sort une caisse, puis dans cette caisse prend au hasard une pièce. Sans nous indiquer quelle caisse a été tirée, on nous informe que la pièce sortie est en chocolat. Certes, il est tout à fait possible que le choix de la seconde caisse en soit la ń cause ż : cependant, il semble clair que la caisse choisie est bien plus vraisemblablement la première. Est-ce vrai? 6.4 Une loi de probabilité discrète : la loi binomiale (rappels) Loi de Bernoulli Définition 13. Une expérience de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux issues contraires et. Exemple : pile ou face, succès ou échec, sortie d un six ou non avec un dé,... La loi de Bernoulli est donc, en notant p = P () : p 1 p

7 CHPITRE 6. PROBBILITÉS CONDITIONNELLES 93 p 1 p Loi binomiale On répète n expériences de Bernoulli identiques et indépendantes (où P () = p et P () = 1 p). La loi binomiale de paramètres n et p est la loi du nombre d apparitions de. Soit X la variable aléatoire égale au nombre d apparitions de. Pour tout entier k compris entre 0 et n : ( ) n P (X = k) = p k (1 p) n k k Démonstration. On répète n expériences indépendantes. }{{... }} {{... } k n k } {{... } }{{... } n k k 4... La probabilité d une liste comportant k réalisations de (et donc n k réalisations de ) est, d après le principe multiplicatif : p k (1 p) n k. Le nombre de ces listes est le nombre de façons de choisir k places parmi n, soit ( ) n k Propriété 3. On admet que l espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p est np et que sa variance est np(1 p). Exemple : Un candidat doit remplir un Q.C.M. composé de trois questions. Pour chacune d elles il est proposé quatre réponses possibles (dont une seule est correcte à chaque fois). On suppose que le candidat répond au hasard. Déterminons la loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre k de réponses correctes. Chaque question correspond à une expérience de Bernoulli, où deux événements seulement sont possibles : J (réponse juste) et F (réponse fausse). P (J) = 0,25 et P (F ) = 0,75. Les trois expériences étant indépendantes (car le candidat répond au hasard), X suit une loi binomiale de paramètres 3 et 0,25. On représente ceci sur un arbre pondéré : 0,25 0,75 J F 0,25 0,75 0,25 0,75 J F J F 0,25 0,75 0,25 0,75 0,25 0,75 0,25 0,75 J F J F J F J F

8 PROBBILITÉS CONDITIONNELLES 94 Pour k {0; 1; 2; 3}, P (X = k) = ( 3 k) 0,25 k 0,75 3 k. Exercice et 5 page 390 k P (X = k) ( 3 4 ) ( 3 4 )2 3 ( 1 4 )2 3 4 ( 1 4 ) Exercice Dans une station service, il y a trois pompes, B et C qui délivrent chacune du gazole et du sans-plomb. Une enquête statistique sur la clientèle a permis d établir que sur 1000 clients, 400 vont se servir à la pompe, 350 se servent à la pompe B et les autres à la pompe C. Lorsqu un client est à la pompe, la probabilité qu il prenne du gazole est 0,7. Lorsqu un client est à la pompe B, la probabilité qu il prenne du gazole est 0,4. Lorsqu un client est à la pompe C, la probabilité qu il prenne du gazole est 0,5. On admet que si le client ne prend pas du gazole, alors il prend du sans-plomb. On définit les événements suivants : : «le client se sert à la pompe» ; B : «le client se sert à la pompe B» ; C : «le client se sert à la pompe C». On note G l événement «le client prend du gazole». 1. Traduire les données de l énoncé par un arbre de probabilités ; indiquer les différentes probabilités sur les branches de cet arbre. 2. Un client se présente à la station. Montrer que la probabilité qu il prenne du gazole est égale à 0, Un client a pris du gazole. Calculer la probabilité qu il se soit présenté à la pompe. 4. Dix clients se présentent à la station, on suppose que leurs choix sont indépendants. Calculer la probabilité qu ils soient aussi nombreux à prendre du gazole que du sansplomb. Exercice Sur son trajet, M. Dubois rencontre six feux tricolores non coordonnés. À son arrivée devant un feu, la probabilité que M. Dubois soit contraint de s arrêter est de 1 3, et la probabilité qu il puisse passer sans s arrêter est de 2 3. On suppose que l état des différents feux est indépendant de celui des autres. 1. Calculer la probabilité, qu un jour donné, M. Dubois effectue sont trajet sans aucun arrêt aux feux. 2. Quelle est la probabilité que M. Dubois s arrête au moins une fois à un feu au cours du trajet? 3. Déterminer la probabilité que M. Dubois s arrête deux fois exactement aux feux au cours du trajet. 4. On appelle S l événement : «M. Dubois rencontre les six feux au rouge». Caractériser par une phrase l événement contraire S de S, et calculer sa probabilité. Exercice (marche aléatoire, algorithme)