Chapitre IV Les oscillations couplées «Les oscillations libres d un système à plusieurs degrés de liberté»

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1 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer MD 8-9 Chre IV es oscllons coulées «es oscllons lbres d un ssèe à luseurs degrés de lberé» Dns ce chre, nous llons coencer r éuder les oscllons lbres d un ssèe écnque à deu degrés de lberé, us on sser u cs de ros degré de lberé ensue on rer les oscllons orcées our on erner vec l ulson du clcul rcel our l éude des vbrons des ssèes à luseurs degré de lberé. IV. es oscllons lbres d un ssèe à DD : Consdérons le ssèe onré c-conre. Dérvons les équons dérenelles du ouveen ; c d d d d Ces deu équons euven êre écre sous l ore rcelle Suvne : reère rce es l rce des coecens d nere e l deuèe es l rce des coecens d élscé. Dns le cs générl, les deu rces récédenes euven êre sous l ore sndrd suvne : { } { } { } q B q Dvsons l reère équon r e l deuèe r on oben,, où e,,. Recherche des réquences rores : Cherchons les soluons des équons dérenelles sous l ore e,,, où,,, ϕ e son les ludes colees, relçons dns les équons dérenelles e dvsons r e on oben les équons u ludes :, qu es ssèe de deu équons lnéres hoogènes e l condon our que ce ssèe ossède une soluon non rvle non nulle,,, es donnée r :

2 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer Déveloons le déernn on oben l équon u réquences rores : 4 K, où K, K es le coecen de coulge. orsque ; ; K : on un découlge << e : le coulge es d lâche >> e end vers l nn ; K : le coulge es d serré les deu sses se délcen coe une seule sse. es rcnes de l équon u réquences rores son les réquences rores du ssèe qu son données r :, [ ± 4K ] vron de en oncon de K es rerésenée sur l gure c-conre., < Recherche des odes rores : Pour chque réquence rore corresond un ode rore e dns chque ode rore du ouveen, chcune des deu sses eecue un ouveen hronque sle vec l êe réquence. K Mode : qu corresond à l réquence rore On oben ce ode en relçn r dns les équons u ludes : >, cr > MD 8-9

3 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer e ror es réel e os, donc l dérence de hse enre e es nulle, c'es-àdre dns ce ode les deu sses e oscllen en hse. n, ϕ e ϕ ϕ e cos ϕ ϕ sn ϕ ϕ, s le ror es réel e os ϕ e lors l re gnre es nulle donc ϕ ϕ. es soluons des équons dérenelles du ouveen dns ce cs son : Re e cos α Re e cos α cos α Mode : qu corresond à l réquence rore On oben ce ode en relçn r dns les équons u ludes : <, cr < e ror es réel e nég, donc l dérence de hse enre e es égle à π c'es-à-dre dns ce ode les deu sses e oscllen en ooson de hse. es soluons des équons dérenelles du ouveen dns ce cs son : Re e cos α Re e cos α cos α soluon générle des deu équons dérenelles es l sueroson lnére des soluons dns les deu odes. cos α cos α cos α cos α es qure consnes rbrres,, α e α son déernées à rr des condons nles c'es-à-dre les vleurs de,, e. IV... ude du ssèe sérque C es le êe ssèe qu vn s vec e e. es équons dérenelles devennen : MD 8-9

4 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer lors, e e le ceur de coulge réquences rores son : e K. es Mode :, les deu ludes son égles. Mode :, les deu ludes son égles, s les délceens son en ooson de hse. es soluons s écrven : cos α cos α cos α cos α ele our l déernon des consnes : Consdérons les condons nles suvnes :, e ; l sse es écrée d une dsnce us relâchée sns vesse nle r conre l sse es oble dns s oson d équlbre. es vesses son données r : sn α sn α sn α sn α lquons les condons nles données c-dessus, on oben : cosα cosα cosα cosα snα snα snα snα 4 e 4 snα snα snα snα snα α, n, π, s on, rendr α, n Donc,, lors. lors, cos cos cos cos cos cos sn sn, π our que les ludes soen réelles. MD 8-9 4

5 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer es oscllons des deu sses son des ouveens de been. IV.. es coordonnées générlsées our un ssèe à deu degré de lberé Prenons le cs du ssèe sérque ré c-dessus e écrvons les équons dérenelles du ouveen sous l ore : MD 8-9 5

6 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer 4 Dénssons deu nouveu rères q e q r : q q lors, les deu équons e 4 rennen les ores : q q q q q q q q, où e son les réquences rores du ssèe. Ces deu équons dérenelles son découlées e chcune d elles es une équon dérenelle d un osclleur hronque sle vec l une des réquences rore du ssèe. es soluons de ces équons son données r : q cos α q cos α es nouvelles coordonnées q e q son elées les coordonnées nurelles ou norles du ssèe e chcune d elles corresond à un ode rore du ssèe. Générlson : es coordonnées norles d un ssèe son des coordonnées dns lesquelles les équons dérenelles devennen des équons ndéendnes. IV..4. ressons des énerges cnéque e oenelle en oncon des coordonnées norles énerge cnéque : rr des eressons des coordonnées norles, on eu obenr les coordonnées générlsées : q q q q q q q q c q q c c où c e c énerge oenelle : son les énerges cnéques dns le ode e le ode resecveen. MD 8-9 6

7 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer q q q q q énerge ole s écr : c c c où q q e q q Il es clr que l énerge ole es l soe des énerges dns le ode e le ode. Monrons nenn que e son consnes de ouveen, our cel clculons leurs dérvées e ulsons les équons dérenelles du ouveen: d q q q cons n e d d q q q cons n e d Cel veu dre que chcune des énerges qu corresonden u odes rores se conserven vec le es e leur soe es uss conservée. On dédu l ndéendnce des odes noru, c'esà-dre l n s d échnge d énerge enre eu. S l un des odes es ecé, oues les res consun le ssèe osclle vec l réquence corresondne à ce ode e l n rî s des oscllons vec le l ure ode ou les ures odes dns le cs génér rce que l s ne eu euven s obenr de l énerge du ode ecé. IV.. Vbrons lbres d un ssèe à ros degré de lberé Coe eele, on v rendre un ssèe coosé de ros sses chrgées sur une corde de sse néglgeble sérée r une dsnce denque e l enson de l corde es gure IV... d équlbre r b. de ouveen r r r r r γ β α Fgure IV.. : Ssèe à ros sses chrgéés sur un l sns sse ;. é d équlbre, b. é de ouveen MD 8-9 7

8 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer Pour éuder le ouveen des ros sses, on v re les slcons suvnes :. les sses vbren vercleen vec de bles ludes.. l enson du l rese consne u cours du ouveen. à l équlbre les sses resen dns une oson horzonle g << es équons dérenelles du ouveen : On lque le rnce ondenl our les ros sses on oben : snα sn β sn β sn γ sn γ snδ Coe les oscllons son de bles ludes, on : snα gα, sn β, sn γ lors les équons dérenelles devennen : Méhode de grnge : On v rer le cs générl, c es à dre lorsque l corde es chrgée vec n sses denques e on nuéroe les sse vec l ndce dscre,,,n r r r r α - Poson d équlbre Fgure IV.. : Ssèe à n sses chrgées sur un l sns sse α MD 8-9 8

9 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer MD énerge cnéque es donnée r : n c. Pus clculons l énerge oenelle our l sse, schn que les orces qu gssen sur cee sse son les coosnes norles des ensons r, qu son données r : sn sn α α, donc, d d sn sn, α α, où sn α e sn α. lors, l eresson de l énerge oenelle deven : d d d,,, Pour n,, d rès les condons u les n le derner ere es nul. êe chose our n on oben our :,, c. D rès ces cs rculers, l énerge oenelle des n sses es donnée r :......, n n n Pour n, on : c e, lors les équons dérenelles son : d d d d d d Ces équons dérenelles euven êre écre sous l ore rcelle suvne : d'élscé des d'nere des coecens rce coecens rce reère rce es dgonle donc le coulge dns ce ssèe n es s un coulge d nere, r conre l deuèe n es s dgonle lors le coulge es un coulge élsque. Recherche des réquences rores Cherchons des soluons sous l ore hronque suvne : e, us on relce dns les équons dérenelles on oben rès vor sler r e :

10 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer MD 8-9, l enseble de ces équons s elle les équons u ludes e de une soluon non-nulle non-rvle s le déernn de l rce suvne es nul : Déveloons le déernn, on oben l équon u réquences rores don les rcnes son les réquences rores du ssèe. Qu donne e les réquences rores son :, e. Recherche des odes rores Pour rouver le ode corresondn à l réquence rore on relce r dns les équons u ludes. Mode :, où dns j, désgne l sse e j désgne le ode. lors,

11 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer équon ; les deu sses e vbren en hse, s l lude de l sse es suéreure à celle de l sse. équon. Rerque : dns le cs générl on ose égl à une consne r eele B qu eu êre déernée en ulsn des condons nles e on ere les ures ludes en oncon d elle. lors, B, donc les deu sses e vbren en hse e vec l êe lude vor gure IV... B B B Fgure IV.. : Conguron des sses dns le ode soluon dns ce ode es donnée r : cos ϕ Mode : On relce r dns les équons u ludes, on oben : j, où dns, désgne l sse e j MD 8-9

12 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer équon ; l sse es oble. équon B ; l sse se délce vec l êe lude que celle de l sse s en ooson de hse vec cee dernère vor gure IV..4. B noeud B Fgure IV..4 : Conguron des sses dns le ode soluon dns ce ode es donnée r : cos ϕ Mode :, où dns désgne le ode. lors, MD 8-9 j, désgne l sse e j équon ; les deu sses e vbren en ooson de hse, s l lude de l sse es suéreure à celle de l sse. équon.

13 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer MD 8-9 donc les deu sses e vbren en hse e vec l êe lude vor gure IV..5. soluon dns ce ode es donnée r : cos ϕ soluon générle s écr : cos cos cos cos cos cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ B B B, qu on eu écrre sous l ore rcelle sous l ore suvne : q q q,où cos B q ϕ es l coordonnée norle. IV.. Vbrons orcées d un ssèe à deu degré de lberé. vbrons orcées non-ores : Un ssèe écnque coosé de deu osclleurs coulés. e reer ssèe e es sous à une orce hronque eéreure e le deuèe ssèe es sous seuleen u coulge. es équons dérenelles son données r : soluons de ces deu équons coulées es l soe des soluons hoogène e rculère, nous cherchons l deuèe. Coe cos qu eu êre écre sous l ore colee e, osons e e relçons dns les équons dérenelles du B B B Fgure IV..5 : Conguron des sses dns le ode F cos

14 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer MD ouveen, on oben les deu équons lgébrques suvnes :, où e,. lors, es deu ludes colees e qu les ludes réelles e des ouveen des sses en oncon de l réquence de l orce ecrce ns que les leurs hses son données r en ulsn l éhode de Krer : On rerque que le dénoneur dns les eressons des deu ludes s l es s égl à zéro n es ure que l équon u réquences rores du ssèe. Vron de s ludes en oncon de l réquence de l orce ecrce :., délceen sque our chcune des deu sses.. les réquences our lesquelles e rennen des vleurs les résonnce dns ce cs e son e, où, son les réquences rores du ssèe. Ic, on deu cs de résonnce.. les réquences our lesquelles les deu sses son obles c'es-à-dre s ou e s. Pour l réquence qu es corse enre e, le délceen de l sse sur lquelle g l orce eéreure es nulle e l lude du ouveen de l sse, rend une vleur nle ;. Phsqueen, ce résul ndque que l orce l orce de rel du u ressor cenrle ressor de coulge es égle en grndeur à l orce ecrce s de sens oosé - ;. Donc l résulne des orces qu gssen sur es nulle lgré qu elle es souse à

15 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer l orce ecrce u êe es l sse vbre en ooson de hse vec l orce. Ce hénoène es rès orne en rque ; bsoron des vbrons. φ -π φ -π Fgure IV.. : vron des ludes e e des dérences des hses φ e φ enre les ouveens des sses e e l orce ecrce resecveen. MD 8-9 5

16 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer MD e sens du ouveen de l sse vre vec l réquence, lorsque l lude es osve l dérence de hse enre le ouveen e l orce es nulle φ, r conre lorsqu elle es négve l dérence de hse es de π. b. vbrons orcées ores : On rerend le êe ssèe qu en. s on joue deu orsseurs α e α lés u sses e resecveen. es équons dérenelles s écrven : α α, qu on eu écrre sous l ore :, où α Ces deu équons rerésenen les vbrons des deu sses e. vec cee écrure, on eu nerréer l reère équon coe én l équon dérenelle du reer osclleur non-coulé vec le second, s sous à l orce e l êe chose our l deuèe elle donne le ouveen du second osclleur qu n es s coulé u reer s sous à l orce. Rége ernen : l es connu que l soluon rculère qu rerésene les oscllons lbres du ssèe es ore, c'es-à-dre qu dsrî rès un cern es susen grnd. On cherche l soluon rculère sous l ore : e,,, où e β es l lude colee de l sse. Subsuons les vesses e les ccélérons dns les équons dérenelles on oben :, e les ludes son données r : nnulon du dénoneur dns les eressons des ludes donne l équon u réquences rores don les rcnes son les réquences rores du ssèe or, ces dernères son dérenes de celles du ssèe non-or ; l équon u réquences rores es colee, donc on cherche des rcnes colees '', ',, ; l re réelle qu es néreure à l réquence rore en l bsence de l orsseen donne l réquence

17 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer d oscllon r l re gnre donne l orsseen de l lude qu relèe l dnuon de l énerge. On eu rouver cleen l lude réelle e l dérence de hse enre le β * I ouveen de l sse e l orce, en ee : e e gβ Re e Re ndquen resecveen l re gnre e l re réelle., où I Pcs de résonnces lude Fgure IV.. : rerésenon de l vron des ludes en oncon de l réquence MD 8-9 7

18 Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer Fgure IV.. MD 8-9 8

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