Chapitre 1 METHODES DE CALCUL NUMERIQUE

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1 Chpitre METHODES DE CALCUL NUMERIQUE Le clcul umérique, c'est vrimet le b..-b des mthémtiques et c'est pourquoi o vous e fit fire ps ml u collège. Comme il y eu les vcces, e ous leurros ps, il y u risque importt que vous yez tout oublié (e soyos ps ïfs, le chier de Mths de l' derier est soit prti e cedres près voir servi à llumer le brbecue, soit il sert à cller l tble sur lquelle est posée l cosole de jeux que vous e quittez plus depuis trois mois comme e témoiget ss doute vos yeux déjà rougis, si, si, e dites ps le cotrire!). Heureusemet, ous sommes là, pour vous remémorer ce que vous 'uriez ps du oublié cr e secode vos professeurs imet bie démrrer sur les chpeux de roues, cosidért que tout ç est cquis et qu ils ot plus le devoir de le refire. Nous o décidé de vous le rppeler, premièremet prce qu o vous ime bie, deuxièmemet prce qu o se met à votre plce : que fire si o e souviet plus d ue techique de clcul, d ue méthode de simplifictio, bref si o e sit plus commet clculer! Tout est là, oui tout (ouf!), cr grâce à Method S : ucu risque d mésie! (Alors, soulgé?) Pour égyer ce chpitre, ous l'vos grémeté des plus belles bourdes clcultoires que vous e devez jmis fire! (voir prtie Erreurs). E ttedt l boe rigolde, ttchez vos ceitures, éteigez votre cosole (ou votre lecteur MP), serrez les dets : et oui, il fut y ller mitet!. Nombres METHODE : Commet écrire u ombre déciml positif e ottio scietifique? C est ce qu utiliset les igéieurs et les physicies (c est doc icotourble!). Nous o le fit, prce que l ottio scietifique est très utilisée e Chimie, Mécique Electricité. L idée est l suivte : doer u ordre de grdeur ux ombres et ux choses. Pr exemple l tome est de l ordre de l ifiimet petit, plus précisémet de l ordre du omètre soit 9 mètre. Les glxies pr cotre sot de l ordre de l ifiimet grd : l ôtre pr exemple, c est-à-dire l voie lctée u dimètre de l ordre de mètre! Rie à voir, doc. Voyos mitet e détil commet fire. Tout ombre déciml positif peut s'écrire sous l forme vec : <

2 Chpitre et etier. Cette écriture s'ppelle ottio scietifique (ou igéieure) et ds l'écriture, s'ppelle l'ordre de grdeur. Tout d'bord il fut bie coître vos puissces de, cr o v les utiliser tout le temps! , 0,0 0,00 0,000 0,0000 0, , Voici u moye tout simple de s'e souveir : o compte le ombre de zéros! Pr exemple : comporte zéros près le, c'est doc. Pr exemple : 0,00000 comporte zéros e tout (ttetio à bie compter le zéro vt l virgule), c'est doc (Attetio, l puissce est égtive cr le ombre est etre 0 et ). Bie, et esuite, que fire? ) Repérer etre quelles puissces de cosécutives se trouve le ombre. b) E déduire ue fctoristio pr l première puissce de, pour trouver le ombre. c) E déduire. Exemple : Ecrire,78 e ottio scietifique.,78 est etre et 0, doc o v fctoriser pr ce qui doe :,78 =,78 et doc :,78 =,78. Fcile, o? Exemple : Ecrire les ombres suivts e ottio scietifique. ), b) c) d) 0,9998 e) 0, f) 0,0 ), est etre 0 et 00, doc :, =, 0 et doc :, =,. Termié! b) est etre 00 et 000 d'où : =,0 00 soit : =,0. c) est etre 0000 et d'où : = 9, puis : = 9, d) 0,9998 est etre 0, et, d'où : 0,9998 = 9,998 0, d'où : e) 0, est etre 0,00000 et 0,0000 d'où : 0,000000=,00 0,00000 soit : 0,000000=,00. f) 0,0 est etre 0,0 et 0, d'où : 0,0 =, 0,0 soit : 0,998 9,998 =. 0,0, =. REMARQUE : Avec u peu d'hbitude, vous 'urez même plus besoi d'écrire toutes ces étpes pour trouver le résultt. Evidemmet, il fut s'etrîer!

3 Méthodes de clcul umérique METHODE : Commet doer ue vleur pprochée d'u ombre? Pour commecer, ue vleur pprochée c'est ue vleur troquée. Il 'y d'illeurs ps qu'u seul type de vleur pprochée : il y les vleurs pprochées pr défut (légèremet e dessous), pr excès (légèremet u dessus) et rrodie (l plus proche de l vleur). Voyos cel! Le plus simple est d'étudier u exemple : π=,9... (à l clcultrice) Si o demde ue vleur pprochée à près, o grde les deux premiers chiffres près l virgule (c'est-à-dire et ), et pour le troisième : ) o pred pour ue vleur pprochée pr défut, ce qui doe :,. b) o pred pour ue vleur pprochée pr excès, ce qui doe :,. c) o pred pour ue vleur rrodie cr 9 est plus proche de 00 que de 0, ce qui doe,. Exemple : Doer les vleurs pprochées de ) pr défut. b) pr excès. c) rrodie. à près. A l clcultrice, =,... ) l vleur pprochée à près pr défut de est :,. b) l vleur pprochée à près pr excès de est :,. c) l vleur rrodie à près de est :, cr est plus proche de 000 que de Exemple : Doer les vleurs pprochées de ) pr défut. b) pr excès. c) rrodie. à près. A l clcultrice, =,... ) l vleur pprochée à près pr défut de est :,. b) l vleur pprochée à près pr excès de est :,. c) l vleur rrodie à près de est :, cr est plus proche de 000 que de 000.

4 Chpitre. Commet simplifier ue expressio umérique? METHODE : Détermier le PGCD du umérteur et du déomiteur Là, o fit ppel à vos (très) vieux souveirs de e (voir Method s Troisième), c'est à dire à l'lgorithme d'euclide, Euclide que l'o slue u pssge (efi ps lui mis so œuvre mthémtique fodtrice!). Ds cet lgorithme (hyper fu) qui cosiste à effectuer des divisios euclidiees successives, le PGCD est le derier reste o ul. Esuite e divist umérteur et déomiteur pr ce PGCD obteu, o obtiet l frctio irréductible cherchée! (Remrque : o progrmmer l lgorithme d Euclide ds le Chpitre 9) Exemple : Simplifier "le plus possible" (mettre sous forme irréductible) les frctios suivtes : ) 9 b) 7 c) 0 8 d) 0 ) Effectuos l divisio euclidiee de pr 9 (c'est à dire vec reste et quotiet). O obtiet : = Effectuos esuite l divisio euclidiee de 9 pr 8, o obtiet : 9 = L divisio doe u reste ul, le derier reste o ul est doc : 8 et doc PGCD,9 = 8. O divise doc le umérteur et le déomiteur pr 8, ce qui doe : = =. Termié! 9 8 b) O obtiet : PGCD(,7) = d'où : c) O obtiet : PGCD( 0,8) = 7 d'où : d) O obtiet : PGCD( 0,) = d'où : 7 7 = = = = = =. 8 8 METHODE : Simplifier petit à petit Divisez (le plus possible) umérteur et déomiteur pr puis pr, puis pr,... à l fi vous obtiedrez l simplifictio souhitée! Icovéiet de cette méthode : c'est prfois u peu log! Exemple : Simplifier "le plus possible" (mettre sous forme irréductible) les frctios suivtes :

5 Méthodes de clcul umérique ) 9 b) 7 c) 0 8 d) ) = = = = = = = = = = b) = = c) = = = d) = = 8 8 METHODE : Utiliser les règles sur les frctios Il s'git d'utiliser les règles suivtes, pour 0, b 0, c 0 et d 0 : ) = b b) b d d = = c) b = = d) c = = c c b c b c c b c b c b b b b d c Exemple : Simplifier "le plus possible" (mettre sous forme irréductible) les frctios suivtes : 0, ) b) c) 0,7 d), e), f) 0,7 g) 0, 0, 0,, 7 0,7 0, 0, ) = = =. b) = = = =. 0, 0, 0,7 c), = = = =. d) = = = = =. 0,, , 9 9 e) 0,7 = = = =. f) = = =. 0,7 8 0 g) = = = =. 0,

6 Chpitre METHODE : Utiliser les règles sur les puissces O utilise les règles suivtes, pour 0, b 0 (et, m etiers) : ) 0 = b) m e) ( ) m = c) m m = + d) b = b g) b = b = f) m m = Exemple : Simplifier "le plus possible" (mettre sous forme irréductible) les frctios suivtes : 7 ) b) c) 7 d) ) = = = = = = b) = = = = = =. 8 9 c) ( ) ( ) = = ( ) = = ( 9) = = = = =. 0 0 d) = ( ) = = = ( ) = = = =. METHODE 7 : Utiliser les règles sur les rdicux O utilise les règles suivtes : ) b = b b) = (si b 0) b b Il est utile (voire idispesble) de bie coître les rcies crrées suivtes :

7 Méthodes de clcul umérique ,0 0,000 0, , 0,0 0,00 Exemple : Simplifier les rdicux suivts : 8, 7,,,. 8 = = = 7 = 9 = 9 = = = = = = = = = 9 7 = 9 7 = 7 7 Exemple : Simplifier les rdicux suivts :, 0,, 8,, 0. = = = 0 = = = = = = = 8 = 7 = 7 = 7 = = = 0 = = = = Exemple : Simplifier les rdicux suivts : 0, 7, 8. 0 = = 7 = = = 8 = 9 = 9 = Exemple : Simplifier les rdicux suivts : 00, 00, 0.000, 0.000, = 0 = 0 = = 0 00 = 0 = 0 = = = 000 = 000 = 0 = = 000 = 000 = 0 = = = = 00 = 000 Exemple : Simplifier les rdicux suivts : = = = = = = 9 9 = = = 0 0, 9,,, 0. = =

8 8 Chpitre Exemple : Simplifier les rdicux suivts : 0,0, 0,000. O obtiet : 0,0 = 0,0 = 0,0 = 0, = 0, et 0,0009 = 9 0,000 = 9 0,000 = 0,0= 0,0 METHODE 8 : Utiliser l ottio scietifique L'écriture sous l forme (voir méthode ) permet souvet de simplifier des expressios (il e fut ps hésiter à l utiliser! E mths, o trville rremet pour rie!) Exemple : Simplifier le plus possible les frctios suivtes : ) 0, b) 000 ( 000) 0,00009,9,9 ) = = 9 9 = 0, = 000,, b) ( ) ( ) = = = = =, 000 METHODE 9 : Utiliser l'expressio cojuguée L'expressio cojuguée de b est + b (bie sûr celle de + b est b ). + b b = b = b. Esuite, o utilise le fit que : Exemple : Simplifier le plus possible les frctios suivtes : ) b) c) 7 7 d) ) ( ) = = = = + +