A H A H. Exercices de 4 ème Chapitre 2 - Droites, cercles et triangles Énoncés. Exercice 1

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1 xercices de 4 ème hapitre 2 - Droites, cercles et triangles Énoncés xercice 1 ur les figures suivantes, les droites repassées en gras sont parallèles. ndiquer, si possible, le numéro du théorème à appliquer parmi les trois théorèmes suivants : héorème 1 : «i dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.» héorème 2 : «i dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés alors sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté.» héorème 3 : «i dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.» olorier en vert le triangle considéré. xercice 2 ur le dessin ci-contre, on sait que (H) // (). ontrer que est le milieu du segment []. xercice 3 n utilisant le codage du dessin ci-contre, montrer que () et (H) sont parallèles. H H xercice 4 1. onstruire un triangle HN tel que H = 2,3 cm ; N = 3 cm et NH = 4 cm. onstruire le point symétrique du point par rapport à H et le point symétrique du point par rapport à N. 2. ontrer que les droites (HN) et () sont parallèles. 3. alculer. Page 1 sur 9

2 xercice 5 xercices de 4 ème hapitre 2 - Droites, cercles et triangles est un parallélogramme tel que = 2 cm et = 1,8 cm. 1. Que peut-on dire des droites (U) et ()? Justifier. 2. ontrer que U est le milieu du segment []. 3. alculer U. U xercice 6 H est un trapèze dont les côtés [H] et [] sont parallèles. H 1. ontrer que (H) et (P) sont parallèles. 2. ontrer que (P) et () sont parallèles. P xercice 7 Rayer les réponses qui ne conviennent pas. Dans un triangle, une... passe forcément par un sommet. bissectrice hauteur médiane médiatrice Dans un triangle, une... passe forcément par le milieu d'un côté. bissectrice hauteur médiane médiatrice Les trois... d'un triangle se coupent en un seul point. bissectrices hauteurs médianes médiatrices L'intersection des... est le centre d'un cercle lié au triangle. bissectrices hauteurs médianes médiatrices Une... ne peut exister que dans un triangle. bissectrice hauteur médiane médiatrice L'axe de symétrie d'un triangle isocèle est une... du triangle. bissectrice hauteur médiane médiatrice xercice 8 oit un triangle R avec, J, et L les milieux respectifs de [R], [R], [R] et [RJ]. 1. ontrer que L= 1 2 J 2. ontrer que J = n déduire que L= 1 4 xercice 9 ur la figure ci-contre, on a = 6 cm. 1. Démontrer que les droites (D) et (F) sont parallèles. 2. Démontrer que F est le milieu de []. 3. n déduire les mesures de [], [F] et [F]. D G F Page 2 sur 9

3 xercices de 4 ème hapitre 2 - Droites, cercles et triangles xercice onstruire un triangle U quelconque. 2. Placer L milieu de [U], N milieu de [] et milieu de [U]. est le point d'intersection de (L) et de (N). 3. La droite (L) est-elle forcément une médiane du triangle LN? Justifier la réponse. xercice 11 est un triangle quelconque. est le milieu de []. J est le milieu de []. est le symétrique de par rapport au point. La parallèle à () passant par J coupe () en. J 1. Faire le dessin. 2. Démontrer que est le milieu de []. 3. Démontrer que les droites () et () sont parallèles. 4. Que représente le point d'intersection des droites () et () pour le triangle? 5. Quelle donnée de l'énoncé n'a pas été utile dans ce problème? xercice Le point est situé à... cm de la droite (d '). La distance du point à la droite (d) vaut... cm. La distance du point à la droite (d) vaut... cm. Le point est situé à... cm de la droite (d '). 2. La distance du point à la droite (d') est... cm. Le point est situé à... cm la droite (d'). Parmi les points, J et, le point le plus proche de (d) est cm 1 cm ( d' ) ( d' ) J xercice 13 R est un triangle rectangle en R et est le pied de la hauteur issue de R. La distance du point R à la droite () est la longueur R. De la même façon, quelle est la distance a] du point à la droite (R)? b] du point à la droite (R)? c] du point à la droite (R)? d] du point à la droite (R)? R Page 3 sur 9

4 xercices de 4 ème hapitre 2 - Droites, cercles et triangles xercice 14 ur la figure ci-contre, est le pied de la perpendiculaire à la droite (d) passant par. 1. onstruire en vert l'ensemble des points situés à 1 cm de la droite (d). 2. onstruire en bleu l'ensemble des points situés à 2 cm du point. 3. xiste-t-il des points situés à la fois à 1 cm de la droite (d) et à 2 cm du point? i oui, indiquer combien et les marquer en rouge sur la figure. 1,5 cm xercice 15 Les droites (d) et (d') sont deux tangentes au cercle. onstruire le centre de ce cercle. ( d' ) xercice 16 Le but de cet exercice est de construire un cercle () qui passe par et tel que la droite (d) soit tangente à () au point. n appellera le centre du cercle (). 1. ompléter le schéma ci-dessous à main levée puis le coder. 2. Que dire du point pour []? Justifie. 3. Que dire des droites (d) et ()? Justifie. 4. n déduire la construction du cercle. (d) xercice 17 onstruire le triangle R tel que R = 5 cm ; ÔR=40 et ÔR = ur cette figure, construire le triangle R tel que soit le centre du cercle inscrit dans ce triangle. 2. Quelle est la nature du triangle R? Justifier. 3. Démontrer que = R. Page 4 sur 9

5 xercices de 4 ème hapitre 2 - Droites, cercles et triangles xercice Démontrer que les points, P et Q sont alignés. 2. achant que DP = 3,6 cm, combien mesure le segment [Q]? Justifier. D P Q (d 2 ) xercice 19 Deux triangles isocèles bleus de sommets principaux et U recouvrent presque entièrement le quadrilatère RU. Le point U appartient-il à la bissectrice de R? Justifier. R U xercice racer un cercle de centre. oit un point du cercle et un autre point du cercle tel que =. 2. onstruire le point N symétrique de par rapport à. 3. Peut-on affirmer avec certitude que la droite (N) est tangente au cercle en? Justifier. Page 5 sur 9

6 xercices de 4 ème hapitre 2 - Droites, cercles et triangles orrigés xercice 1 xercice 2 Dans le triangle, comme (H) est parallèle au côté [] et qu'elle passe par le milieu H du côté [], alors (H) passe par le milieu de []. Donc est le milieu du segment []. xercice 3 Dans le triangle, comme (H) passe par le milieu H du côté [] et par le milieu du côté [], alors (H) est parallèle au troisième côté donc (H) est parallèle à (). xercice 4 1. Voir ci-contre. 2. omme et sont les symétriques de par rapport à respectivement N et H alors N et H sont les milieux respectifs de [] et []. Dans le triangle : comme (HN) passe par les milieux des côtés [] et [] alors (HN) // (). N 3. Dans le triangle, comme [HN] a pour extrémités les milieux des côtés [] et [] alors on a = 2 NH donc = 8 cm. H xercice 5 1. omme est un parallélogramme, alors ()//() donc (U) // (). 2. Dans le triangle, comme (U) passe par le milieu du côté [] et est parallèle au côté [] alors (U) coupe [] en son milieu. Donc U est le milieu de []. 3. Dans le triangle, comme [U] a pour extrémités les milieux des côtés [] et [] alors on a = 2 U donc U = 1 cm. xercice 6 1. Dans le triangle H : comme (P) passe par les milieux des côtés [] et [H] alors (P) // (H). 2. omme (P) et () sont toutes deux parallèles à une même droite (H) alors (P) // (). Page 6 sur 9

7 xercices de 4 ème hapitre 2 - Droites, cercles et triangles xercice 7 Dans un triangle, une... passe forcément par un sommet. bissectrice hauteur médiane Dans un triangle, une... passe forcément par le milieu d'un côté. médiane médiatrice Les trois... d'un triangle se coupent en un seul point. bissectrices hauteurs médianes médiatrices L'intersection des... est le centre d'un cercle lié au triangle. bissectrices médiatrices Une... ne peut exister que dans un triangle. hauteur médiane L'axe de symétrie d'un triangle isocèle est une... du triangle. bissectrice hauteur médiane médiatrice xercice 8 1. Dans RJ, comme [L] a pour extrémités les milieux des côtés [R] et [RJ] alors L= 1 2 J. R 2. Dans R, comme [J] a pour extrémités les milieux des côtés [R] et [R] alors J = 1 2. J 3. omme L= 1 2 J et J = 1 2 alors L= donc L= 1 4. xercice 9 1. Dans le triangle F, comme (D) passe par les milieux des côtés [] et [F] alors (D) est parallèle au troisième côté. D'où (D) (F). 2. Dans D, comme (GF) passe par le milieu du côté [D] et est parallèle au côté [D] alors (GF) coupe [] en son milieu. Donc F est le milieu de []. 3. omme et F sont les milieux respectifs de [F] et [] alors = F et F = F. Par conséquent, [], [F] et [F] mesurent chacun 1 = 2cm. 3 xercice Voir ci-contre. 3. Dans le triangle L, comme (N) passe par le milieu N de [] en étant parallèle au côté [L] alors elle coupe le troisième côté [L] en son milieu. Donc est le milieu de [L]. omme le segment [N] a pour extrémités les milieux des côtés [] et [L] alors on a N = 1 2 L. N L U De même, dans le triangle LU, on démontre que = 1 2 UL. omme on sait que L = LU alors N =, d'où est le milieu de [N]. (L) est donc bien une médiane du triangle LN. Page 7 sur 9

8 xercices de 4 ème hapitre 2 - Droites, cercles et triangles xercice Voir ci-contre. 2. Dans le triangle, comme (J) passe par le milieu J de [] en étant parallèle à [] alors elle coupe [] en son milieu. Donc est le milieu de []. 3. omme est le symétrique de par rapport à alors est le milieu de []. Dans le triangle, comme () passe par les milieux des côtés [] et [] alors () est parallèle à (). J 4. omme et sont les milieux respectifs des côtés [] et [] alors () et () sont des médianes du triangle. Le point d'intersection des droites () et () est le centre de gravité du triangle. 5. La donnée de l'énoncé qui n'était pas nécessaire était le fait que est le milieu de []. e problème aurait été traité de la même façon si avait été placé n'importe où sur []. xercice Le point est situé à 2 cm de la droite (d'). La distance du point à la droite (d) vaut 2 cm. La distance du point à la droite (d) vaut 0,5 cm. Le point est situé à 1,5 cm de la droite (d'). 2. La distance du point à la droite (d') est 0 cm. Le point est situé à 1 cm la droite (d'). Parmi les points, J et, le point le plus proche de (d) est. xercice 13 a] La distance du point à la droite (R) est R. b] La distance du point à la droite (R) est. c] La distance du point à la droite (R) est R. d] La distance du point à la droite (R) est. xercice n a construit en vert l'ensemble des points situés à 1 cm de la droite (d). 2. n a construit en bleu l'ensemble des points situés à 2 cm du point. 3. Les points situés à la fois à 1 cm de la droite (d) et à 2 cm du point existent et se situent à l'intersection du cercle bleu avec la droite verte. xercice 15 ( d' ) Page 8 sur 9

9 xercices de 4 ème hapitre 2 - Droites, cercles et triangles xercice n veut obtenir un dessin qui ressemble à ça : 2. omme est équidistant de et alors est sur la médiatrice de []. 3. omme (d) est tangente en au cercle de centre alors (d) (). 4. Pour construire le cercle, on trace la perpendiculaire à (d) passant par, puis on trace la médiatrice de [] ; ces deux droites se coupent en. n peut alors tracer le cercle de centre et de rayon. (d) xercice Voir ci-contre. R 2. omme est le centre du cercle inscrit au triangle alors () et (R) sont les bissectrices respectives des angles R et R alors on a R=80 et R=50. omme la somme des angles du triangle R vaut 180 alors R mesure = 50. omme R =50 et R =50 alors le triangle R est isocèle de base [R]. 3. omme R est isocèle en alors la bissectrice de R est confondue avec la médiatrice de [R] donc () est la médiatrice de [R]. omme appartient à la médiatrice de [R] alors = R. xercice omme P et Q sont tous les deux équidistants des droites (d 1 ) et (d 2 ) alors P et Q appartiennent à la bissectrice de l'angle formé par ces droites. omme appartient également à cette bissectrice alors, P et Q sont alignés. 2. Dans le triangle Q, comme [DP] a pour extrémités les milieux des côtés [] et [Q] alors Q = 2DP donc Q = 7,2 cm. xercice 19 omme (UR) ( R ) et (U ) ( ) alors UR est la distance de U à (R) et U est la distance de U à (). omme la distance de U à (R) est différente de la distance de U à () alors U n'appartient pas à la bissectrice de R. xercice Voir ci-contre. 3. omme et appartiennent au cercle de centre alors =. omme = alors est équilatéral. omme N est le symétrique de par rapport à alors = N. N omme  et ÂN sont supplémentaires alors ÂN mesure = omme N est isocèle en alors N mesure =30. 2 omme ÔN =Ô + N alors ÔN mesure = 90. omme () est perpendiculaire à (N) en alors (N) est la tangente au cercle en. Page 9 sur 9

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