Les principes fondamentaux du dénombrement

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Danièle Laurin
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1 Ls princips ondamntaux du dénombrmnt 16 sptmbr 2016

2 1 2 xmp xmps 3 xmp actori xmp arrangmnt 4 dinition xmps

3 xmp Comptr L nombr d ds ttrs du mot ELFE n st pas 4! car i y a dux E qu on n doit pas distingur. xmp actori xmp arrangmnt

4 xmp Comptr xmp actori xmp arrangmnt Faisons choix d distingur s dux E, on obtint aors arbr suivant Dans ct arbr, on s aprçoit qu orsqu on «oubi» s numéros chaqu mot st obtnu dux ois

5 ? Comptr xmp actori xmp arrangmnt En Utiisant idé dévoppé dans xrcic précédnt, on rgard nombr d mots qu on put écrir n utiisant touts ttrs du mot LILLIAD Un idé st d considrr qu s ttrs sont distincts, c st à dir s rmpacr par L, I, L, L, I, A, D par L 1, I 1, L 2, L 3, I 2, A, D d comptr nombr d d cs 7 symbos distincts. Après i aut «oubir» s numéros. Sumnt i y a pusiurs manièrs d réaisr mot LILLIAD avc L 1, I 1, L 2, L 3, I 2, A, D par xmp L 2 I 2 L 1 L 3 I 1 AD. d combin d açons put on écrir LILLIAD à partir d L 1, I 1, L 2, L 3, I 2, A, D?.

6 xmp actori xmp arrangmnt 7! ds symbos L 1, I 1, L 2, L 3, I 2, A, D 3! d L 1, L 2, L 3 2! d I 1, I 2 7! 3!2!

7 xmp actori xmp arrangmnt Pus généramnt, s i y a n objts n 1 d un prmir typ, n 2 d un scond typ,..., t s i y a n r d un r typ où n 1 + n n r = n aors i y a n! n 1!n 2!...n r! arrangmnts d cs objts t qu on n put pas distingur s objts d mêm typ

8 Nombr d chmins Comptr xmp actori xmp arrangmnt Détrminz nombr d chmins aant d (2, 1) à (7, 4) t qu absciss soit croissant (n onction du tmps) ordonné soit croissant toujours, on consrv ntièr un ds coordonnés. C st à dir qu on rst sur quadriag t qu on ait ds pas soit vrs a droit soit vrs haut

9 Grâc à un codag On transorm probèm d comptag ds chmins, n un probèm d comptag d mots. on cod s pas à droit par D, on cod s pas vrs haut par H xmp actori xmp arrangmnt (a) HDDDHDHD (b) DDHHHDDD Ca rvint donc à comptr s mots d 8 ttrs sur aphabt {D, H} qui continnnt xactmnt 5 occurncs d D t 3 occurncs d H. 8! 5!3!

10 xrcic d programmation Comptr xmp actori xmp arrangmnt écrir un onction python nommé num_chmin paramétré par s coordonnés ds dux points (4 ntirs) t qui rnvoi a ist d tous s mots par xmp >>> num_chmin(2,1,3,4) [ DHHH, HDHH, HHDH, HHHD ] Indication (attndr d avoir vu a récursivité n AP2

11 Exmp ds carts Comptr dinition xmps Comptag du nombr d mains d 5 carts au pokr On considér qu un ju d pokr st cartésin d H = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; V ; D; R} par C = { ; ; ; } main On app main choix d 5 carts dans paqut sans tnir compt d ordr d cs 5 carts. Combin y a-t-i d mains d 5 carts diérnts?

12 dinition xmps On dispos d n objt distincts. k désign un ntir natur inériur à n. On app combinaison d k objts parmi n tout sction d k objts choisis dans s n objts. avc aucun réérnc à ordr dans qu s k objts choisis sont rangés. L nombr d combinaisons st noté ( n k). comm nombr d d k objt st k! on n déduit qu ( ) n = Ak n k k!

13 dinition xmps ( n k ) = Ak n k! = n! k!(n k)!, 0 k n. Rmarqu ancinn notation d ( n p), qu on rncontr ncor dans ds ivrs st C p n

14 Consi Comptr dinition xmps Lorsqu on a aair avc un probèm d dénombrmnt, on doit s dmandr qu st importanc d ordr dans probèm. Lorsqu ordr import, on doit pnsr n trms d prmutation t d arrangmnt, t à. Lorsqu ordr n st pas important, s combinaisons puvnt jour un rô cé dans a résoution du probèm

15 Un individu organis un rpas sti pour ds mmbrs d un association caritativ. À caus d a tai d sa maison i n put invitr qu onz ds 20 mmbrs d association. dinition xmps

16 Un individu organis un rpas sti pour ds mmbrs d un association caritativ. À caus d a tai d sa maison i n put invitr qu onz ds 20 mmbrs d association. L ordr n st pas important donc i put invitr "s onz chancux" d ( 20 11) açons. dinition xmps

17 dinition xmps Un individu organis un rpas sti pour ds mmbrs d un association caritativ. À caus d a tai d sa maison i n put invitr qu onz ds 20 mmbrs d association. L ordr n st pas important donc i put invitr "s onz chancux" d ( 20 11) açons. Toutois après arrivé ds 11, i doit s instar autour d un tab t c st un probèm d arrangmnt.

18 dinition xmps Un individu organis un rpas sti pour ds mmbrs d un association caritativ. À caus d a tai d sa maison i n put invitr qu onz ds 20 mmbrs d association. L ordr n st pas important donc i put invitr "s onz chancux" d ( 20 11) açons. Toutois après arrivé ds 11, i doit s instar autour d un tab t c st un probèm d arrangmnt. Mahursmnt, aucun éémnt d a théori ds combinaisons t d put aidr à gérr probèm ds 9 onsés qui n ont pas été invités!

19 Un étudiant passant un xamn d histoir, doit traitr 7 ds dix sujts proposés. dinition xmps

20 dinition xmps Un étudiant passant un xamn d histoir, doit traitr 7 ds dix sujts proposés. I n y a aucun considération sur ordr, par conséqunt étudiant put répondr à xamn d ( ) 10 = 10! 7 7!3! = = 120

21 Combin d mots diérnts put on écrir avc s ttr d GHISSIGNIES? dinition xmps

22 Combin d mots diérnts put on écrir avc s ttr d GHISSIGNIES? L nombr d arrangmnts ds ttrs d GHISSIGNIES st 11! 3!3!2!1!1!1! = dinition xmps

23 Combin d mots diérnts put on écrir avc s ttr d GHISSIGNIES? L nombr d arrangmnts ds ttrs d GHISSIGNIES st 11! 3!3!2!1!1!1! = Mais combin sont ts qu i n y ait pas dux I côt à côt? dinition xmps

24 Combin d mots diérnts put on écrir avc s ttr d GHISSIGNIES? dinition xmps L nombr d arrangmnts ds ttrs d GHISSIGNIES st 11! 3!3!2!1!1!1! = Mais combin sont ts qu i n y ait pas dux I côt à côt? Si on oubi s I i y a 8! 3!2!1!1!1! = 3360 manièr d arrangr s ttrs rstants.g.h.s.s.g.n.e.s. I rst à pacr s I. I aut donc choisir 3 points parmi s 9 qui ont été intrcaés ntr s ttrs qui n sont pas ds I

25 dinition xmps En programmation, on considèr crtains arrangmnts, appés chains composés d symbos choisis dans un aphabt prédéini. Par xmp si aphabt st constitué d {0, 1, 2} aors 01 11, 21, 12 t 20 sont 5 ds nu chains d onguur 2 Parmi s 27 chains d onguur trois on trouv 000, 012, 202, t 110. On déinit poids d un chain n aisant a ds chirs. Par xmp : poids(12) = 3, poids(22) = 4, poids(101) = 2, poids(210) = 3, poids(222) = 6.

26 dinition xmps Parmi s 3 10 chaîns d onguur 10, on souhait détrminr combin ont un poids pair. D ts chaîns continnnt un nombr pair d 1 I y a six cas à nvisagr. aucun "1" (0 st pair) : 1024 = 2 10 mots possibs 2 ois "1" : ( ) mots possibs 4 ois "1" : ( ) mots possibs 6 ois "1" : ( ) mots possibs 8 ois "1" : ( ) mots possibs 10 ois "1" : 1 = ( 10) 2 0 mots possibs puis on additionn tous cs résutats puisqu s cas nvisagés sont dux à dux disjoints.

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