VI. Statistique descriptive.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "VI. Statistique descriptive."

Transcription

1 VI. Statstque descrptve. 1. Avat - propos : le sge sommatore. Soet x 1, x,...x : réels x 1 + x x = x Remarquos : Proprétés. 1 x = x j j1 1. x = x + x 1 p 1. kx = k x 1 1 p1 3. ( x y ) = x + y 1 Exercces Motrer ( x y ) 1 1. Décomposer ( x y ) 1 (p < ) = x + x y 1 3. Motrer : ( x a) x a y Démotrer (par récurrece) ( 1) a) = 1 b) 3 = 1 1. Statstque : rappel des élémets vus e quatrème..1 Gééraltés Statstque est u terme souvet recotré das le lagage courat actuellemet: o e trouve das les jouraux, à la T.V, das le domae scetfque, poltque, écoomque... Das ce chaptre, ous evsageros les règles de base permettat de rassembler les doées, calculer les valeurs cetrales et de dsperso mas auss ous chercheros à avor u regard crtque face aux chffres. E effet, l faut se redre compte que les etreprses peuvet utlser les doées à leur avatage. A partr de mêmes doées de départ, o peut mettre e évdece des choses tout à fat dfféretes. Exemple carcatural : das ue premère classe, sur 5 élèves, l y e a 7 qu ot plus de 85% et das ue secode classe, tous les élèves ot mos de 85%. S o s'arrête à ces chffres, o pourrat crore que la premère classe est plus forte que la deuxème. S o regarde u peu plus lo, tous les élèves de la deuxème classe ot etre 65 et 75%, alors que les 18 restat das la premère ot mos de 65%. Alors, quelle est la melleure des deux classes? O remarque que suvat deux pots de vue dfférets, o peut trer des coclusos très dfféretes. U autre exemple pourrat être l'terprétato des mêmes chffres d'ue equête sur les effets de la cgarette par des médecs ou par les fabrquats de cgarettes. Ef, avat de passer à la formalsato, preos quelques exemples où la démarche statstque sera employée. Exemple 1 Ue use fabrque ampoules électrques par jour. O désre coaître la proporto d'ampoules défectueuses das la producto. Commet s'y predre? Tester toutes les ampoules? Soluto exacte : Soluto statstque : mettre chacue de ampoules das u soquet et les tester. chosr 1000 ampoules parm les (échatllo) Les tester pour obter la soluto exacte pour ces 1000 ampoules Cosdérer cette soluto comme estmateur de la proporto exacte. 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 1

2 Exemple tré de la pharmacologe: U médec désre tester l'effet d'u médcamet sur le rythme cardaque; 50 malades cardaques sot choss et tratés avec ce médcamet. O ote pour chacu d'eux l'augmetato du taux de pulsatos. Esute, après avor examé ces résultats, le médec fère que ce médcamet aura les mêmes effets sur tous les futurs patets. Exemple 3 Sodages d'opo. Pour prédre le résultat d'électos e Frace, l'sttut chost 100 persoes sur votats. Le résultat de cette prédcto s'avère souvet vérfé. A travers ces exemples, ous voyos doc que le traval du statstce comportera tros partes - L'échatlloage et la collecte des doées (les résultats sot aléatores) - L'aalyse des doées. - L'férece à propos d'u plus grad esemble de doées: la populato. Remarques sur l'échatlloage: 1. Cet échatlloage est souvet dspesable pour dfféretes rasos: - coût trop élevé - facteur temps (ex : cela predrat trop de temps de tester ampoules) - talle de la populato (ex : ampoules, votats) - accessblté de la populato. - ature destructve de l'observato (tester la durée de ve d'ampoules: o e peut les tester toutes pour vor combe de temps elles résstet). L'échatllo 'est pas toujours représetatf de la populato - O peut parfos tomber das ue catégore spécfque (ex : o va au hasard das la rue pour fare ue étude de la talle des ges, et o crose ue équpe de basketteurs) - Le cas le plus fréquet: certas élémets de la populato 'ot aucue chace de fgurer das l'échatllo. U exemple typque de cette stuato est doé par les électos amércaes de 1936 etre Roosevelt et Lado. "Lterary dgest" avat terrogé pluseurs (3) mllos de persoes et avat prédt ue vctore de Lado avec u écart record. Or le résultat fut exactemet verse. Cette erreur état due au fat que l'échatllo avat été chos das les auares téléphoques. Or, au sortr de la crse, peu ombreux étaet les démocrates qu pouvaet se permettre u tel luxe. Ces types d'erreur sot très dffcles à évter. U échatllo 10 fos plus grad e doera pas écessaremet des résultats 10 fos melleurs. De même à partr de résultats statstques, l faudra se méfer: s das u jeu o a 95% de chaces de gager, l restera toujours 5% de chaces de perdre et o e peut doc prévor à l'avace s o va gager ou perdre!. Démarche statstque : Formalsato. La statstque recuelle et étude des observatos sur des esembles de même ature (persoes, amaux, objets...) L'esemble étudé est appelé populato Souvet l'étude 'est fate que sur ue parte de la populato appelée échatllo. L'étude se fat sur u trat de la populato appelé caractère. O recotre deux types de caractères Quattatf ( ex : mesure de températures, talle d'ue persoe, âge...) Qualtatf ( ex : professo, couleur des cheveux, moye de locomoto...) Parm les caractères quattatfs, deux stuatos peuvet se préseter: caractères dscrets : ombres eters ( ex: ombre d'efats das ue famlle, ombre de buts d'ue recotre de football,...) caractères cotus : toutes les valeurs d'u tervalle sot possbles ( ex : talle ou pods d'ue persoe...) 3. Aalyse de doées : varable statstque à caractère dscret 3.1 Présetatos umérques. Preos comme exemple la populato des recotres de football d'u week-ed dot les résultats sot publés das les pages sportves d'u joural doé. Comme varable statstque, ous predros le ombre total de buts marqués au cours de chacue des recotres. Nous costtuos as u échatllo de 50 recotres, ce qu ous doe les ombres suvats: VI - CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

3 Ce tableau as préseté appelé tableau brut 'est pas très parlat. Nous allos doc ordoer ces résultats pour obter le tableau ordoé Cette écrture reste quad même lourde, et l paraît plus téressat de 'écrre qu'ue seule fos les résultats se répétat e reteat le ombre de fos qu'ls apparasset. Nous allos as obter le tableau groupé. Nombre de buts Nombre de recotres Das ce tableau, les dfféretes valeurs du caractère sot désgées par x (modaltés) L'effectf des membres présetat le caractère x est désgé par r (Répéttos) = p 1 r est la somme des effectfs des dfféretes modaltés et vaut l'effectf total de l'échatllo. p est le ombre de modaltés dstctes. Das otre exemple, les x sot les valeurs 0, 1,, 3... les r sot les valeurs 7, 7, 15, 7,... le ombre de modaltés = 9 Af d'avor ue dée plus précse de la proporto das laquelle u résultat apparaît, ous pouvos calculer sa fréquece.(f ) exemple : 0, 1, et 3 ot ue fréquece égale à 7/50 a pour fréquece 15/50.. Nous pouvos auss ous demader combe de matches ot eu u ombre de buts féreur ou égal à la valeur cosdérée et obter as les effectfs cumulés. exemple : a pour effectf cumulé 9 3 a pour effectf cumulé 36 De là o dédura faclemet les fréqueces cumulées (F ): proportos des résultats féreurs ou égaux à ue valeur doée. Toutes ces valeurs sot rassemblées das le tableau recesé. Modaltés (Nbre de buts ) x Effectfs (Nbre de recotres) r fréqueces f effectfs cumulés R fréqueces cumulées F 0 7 7/50 7 7/ / / /50 9 9/ / / / / / /50 6 / / / /50 8 / /50 Mas cette présetato e ous motre pas ecore faclemet les résultats: les représetatos graphques serot plus explctes. 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 3

4 Représetatos graphques Le dagramme e bâtoets. O porte e abscsse les dfférets résultats et o trace sur ces valeurs des "bâtoets" de hauteurs proportoelles aux effectfs de chaque modalté O obtedrat u dagramme équvalet à l'échelle près 6 s o portat e ordoée les fréqueces respectves des 4 dfféretes modaltés Le polygoe des effectfs. Ce dagramme s'obtet de maère semblable au précédet. O porte e abscsse les dfférets résultats et e ordoée, les effectfs correspodats et o rele les pots obteus. A ouveau, o obtet u dagramme équvalet à l'échelle près e portat e ordoée les fréqueces au leu des effectfs Le dagramme e pyramde. Ce dagramme est semblable au dagramme e bâtoets : o verse smplemet l'abscsse et l'ordoée Le dagramme crculare Appelé parfos dagramme e camembert, ce derer est u dagramme d'are : la surface de chaque secteur crculare est proportoelle à la répétto de la modalté qu'l représete VI - 4 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

5 3.3 Valeurs cetrales. E observat les tableaux et graphques, ous pouvos ous poser dfféretes questos quat au résultat global. Est-ce la moyee arthmétque des valeurs ( c-à-d la somme des résultats dvsée par le ombre de résultats ) ou la valeur qu apparaît le plus souvet? ou ecore la valeur telle qu'l y at autat de résultats féreurs à celu-c que de résultats supéreurs. E fat, ces tros valeurs ot chacue leur mportace x p 1 r x est la moyee de l'échatllo (p est le ombre de résultats dstcts). Das otre cas x =,66. Le mode d'ue sére statstque est la valeur qu apparaît le plus souvet. Das otre exemple le mode est la valeur 3. La médae d'ue sére statstque est la valeur telle qu'l y at au maxmum 50 % des résultats strctemet féreurs à celle-c et au maxmum 50 % de résultats qu lu sot strctemet supéreurs Das otre cas, la médae vaut. E effet, 14 1 des résultats sot strctemet féreurs à et des résultats sot strctemet supéreurs à Parfos deux valeurs pourraet être cosdérées comme médae : das ce cas, o predra pour médae, la moyee etre ces deux valeurs. 3.4 Idces de dsperso. U derer pot d'observato est ecore fort utle : la répartto des résultats. Sot-ls groupés autour de la valeur cetrale ou au cotrare fortemet dspersés? Quatre élémets ous doet des réposes à ces questos. 1. L'étedue d'u tableau statstque est la dfférece etre la plus grade valeur et la plus pette. Notre exemple : l'étedue = 8. Les écarts à la moyee des dfférets résultats sot les dfféreces e valeur absolue etre la moyee et ces valeurs = x - x x Ecarts à la moyee La varace d'ue sére statstque, otée est la moyee arthmétque des carrés des écarts à la moyee. p s = 1 r ( x x) Das otre exemple s = Ef l'écart type, oté s est la race carrée de la varace. Das otre exemple : s = Remarque : parfos, les maches utlset 1 au leu de 1. (Parfos, o trouvera ue touche s -1 ). Il suffra alors de multpler les résultats par 1 4. Groupemet des doées e classes. Parfos, le ombre de résultats dfférets devet trop mportat. C'est le cas pour ue sére statstque à valeurs dscrètes dot le ombre de valeurs dstctes est grad mas c'est surtout le cas pour ue sére statstque à valeurs cotues. Nous allos alors dvser les résultats e classes, et esute fare le même traval que das le cas précédet. Chaque classe est désgée par sa valeur cetrale. Quelques otatos préalables. L'étedue d'ue classe est la dfférece etre ses extrémtés. La valeur cetrale d'ue classe sera otée x et vaut le cetre de l'tervalle ( ème classe) Les répéttos ou effectfs des classes : ombre d'élémets de cette classe oté r pour la ème classe. Le ombre de classes oté p L'effectf de la sére statstque qu vaut la somme des répéttos oté. 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 5

6 La fréquece d'ue classe : f = r La fréquece cumulée de chaque classe qu est la somme des fréqueces de cette classe et de celles qu la précèdet. F s = f 1 + f +...+f s = s 1 f Proprété : Das ue sére statstque d'effectf total compreat p classes d'effectfs respectfs r 1, r,...r p (, p N) E effet p f 1 p f 1 = 1 = f 1 + f +...+f p = r r r r r r 1 p Tableau recesé d'ue sére statstque groupée par classes. O a mesuré e cm la talle de 54 efats; Cela a doé les résultats suvats Comme das le paragraphe précédet, ous allos ordoer ces résultats, mas surtout les grouper e classes et calculer esute les répéttos des classes, leurs fréqueces, leurs fréqueces cumulées. L'esemble de ces valeurs est reprs das le tableau recesé qu sut. classes valeurs cetrales x Répéttos r Rép. cumulées R Fréqueces f Fréq. cumulées. F [11,118[ 115 / / [118,14[ / / [14,130[ / / [130,136[ / / [136,14[ / / [14,146] / /54 = 1 Il 'y a pas vramet de méthodes pour détermer le ombre de classes. Certas chossset de predre (.5 4 )classes, d'autres (log ) classes. Le plus souvet, o chost u ombre de classes comprs etre 5 et Représetatos graphques d'ue sére statstque groupée par classes. p 4..1 Hstogramme. O remplace le dagramme e bâtoets par l'hstogramme qu est u dagramme d'ares. E abscsse o porte les dfféretes classes, et sur chaque classe, o costrut u rectagle dot la surface est proportoelle au ombre d'élémets de la classe. Les hauteurs des rectagles e serot doc pas proportoelles aux effectfs des classes lorsque celles-c e sot pas toutes de même largeur. (c'est le cas de la derère classe c) Le graphque obteu e remplaçat les effectfs par les fréqueces est le même à l'échelle près. = efats VI - 6 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

7 4.. Polygoe des effectfs. Comme das le cas de statstques dscrètes, o peut obter le polygoe des effectfs à partr de l'hstogramme e relat les cetres des côtés supéreurs des rectagles précédets. Remarque : O covet parfos de compléter l'hstogramme par classes de même ampltude à effectf ul, l'ue à gauche et l'autre à drote des classes extrêmes et o jot par des segmets de drote les mleux de toutes les bases supéreures des rectagles as obteus Dagramme cumulatf. O e coaît les fréqueces cumulées que des extrémtés des classes. Etre ces pots, o e coaît pas les fréqueces cumulées exactes. C'est pourquo, après avor placé ces pots, o les rejot par des segmets de drotes qu doet des valeurs approchées des fréqueces cumulées des valeurs téreures aux classes. A ouveau, o obtet u dagramme équvalet à partr des effectfs cumulés plutôt qu'à partr des fréqueces cumulées Valeurs cetrales d'ue sére statstque groupée e classes. Le mode est la classe dot la fréquece est maxmale : c la classe [130,136] ou la classe de 133 La moyee est smplemet la moyee arthmétque de la sére e rameat toutes les valeurs d'ue même 1 classe à la valeur cetrale de celle-c c.-à-d. x p 1 r x où est l'effectf total de la sére, p le ombre de classes, r la répétto de la ème classe et x la valeur cetrale de celle-c. Das otre exemple : x = 1 ( ) = la médae est la valeur telle que 50% des effectfs sot supéreurs à celle-c et 50% lu sot féreurs c.-à-d. la valeur dot la fréquece cumulée vaut 0.5 Das otre exemple, elle e peut être détermée drectemet mas sera approxmée à partr du dagramme cumulatf. E effet e repreat ue parte de celu-c, ous obteos le graphque 0,796 D c-cotre Les tragles ABC et ADE sot semblables et doc AC BC B 0,5 AE DE AC AC AC 0,46 E A C 0. AC =1. et Med la médae vaut doc = Remarque : La drote x = Med partage l'hstogramme e partes de surfaces égales. O peut de même détermer les premer et trosème quartles: : valeurs dot les fréqueces cumulées valet respectvemet 0.5 et 0.75, c.-à-d. valeurs telles que 5% ou 75% de l'effectf leur sot féreurs. O procédera comme pour la médae pour les détermer. L'tervalle terquartle = la dfférece etre le trosème et le premer quartle (q 3 - q 1) ; das cet tervalle se stue 50% de l'effectf total. Et de même, o peut motrer que les drotes x = q 1, x = q et x = q 3 partaget l'hstogramme e 4 partes égales. 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 7

8 fréqueces cumulées (%) 4.4 Idces de dsperso d'ue sére statstque groupée e classes. Comme das le cas d'u tableau o groupé e classes, 3 dces de dsperso serot employés : l'étedue, la varace et l'écart type. L'étedue d'u tableau est la dfférece etre les deux valeurs extrêmes. Das otre exemple : l'étedue vaut : = 34 Mas cette valeur e doe pas ue boe dcato sur la dsperso des valeurs du caractère. La varace est la moyee des carrés des écarts à la moyee c.-à-d. : = 1 r ( x x) Das otre exemple : s = Ef l'écart type est comme précédemmet la race carrée de la varace. Cec ous permet de retrouver ue cohérece das les utés : la varace das otre exemple est exprmée e cm tads que l ' écart - type sera exprmé e cm. Das otre exemple s = Remarque L'écart-type predra tout so ses lors de l'étude de certaes dstrbutos dtes "ormales". O costatera e effet que pour ces dstrbutos : la surface de l'hstogramme comprse etre la moyee mos u écart-type et la moyee plus u écart-type vaut 68% de la surface totale de l'hstogramme. la surface de l'hstogramme comprse etre la moyee mos écart-type et la moyee plus écart-type vaut 95% de la surface totale de l'hstogramme. la surface de l'hstogramme comprse etre la moyee mos 3 écart-type et la moyee plus 3 écart-type vaut 99 % de la surface totale de l'hstogramme. 5. Iterprétato des résultats 5.1 Tous les dcateurs 'ot pas le même térêt Selo la stuato tratée les élémets à observer serot dfférets. Preos u exemple : le tableau suvat décrt la répartto des accdets de la route selo les heures de la jourée. O souhate dégager les tedaces essetelles des ces formatos. trache horare [0,3[ [3,6[ [6,9[ [9,1[ [1,15[ [15,18[ [18,1[ [1,4[ (e heures) ombre d'accdets O costate drectemet qu'u calcul de moyee serat c sas térêt : affrmer que les accdets de la route ot leu e moyee à 14h04 'a pas de ses. Cepedat, les resegemets relatfs à la répartto sot plus téressats. U graphque des fréqueces cumulées ous permet de le vor : p 1 10 trache horare fréqueces fréqueces cumulées [0,3[ [3,6[ [6,9[ [9,1[ [1,15[ [15,18[ [18,1[ [1,4[ heures VI - 8 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

9 Iterprétato : La classe horare [15,18[ est la plus dagereuse (0,8% des accdets) : c'est le mode de la sére. Quelques pots sgfcatfs sur le graphque : les pots d'ordoées 50, 5 et 75. Leurs abscsses (obteues par lecture sur le graphque) ous permettet d'affrmer que les accdets se répartsset selo le schéma : 5% 5% 5% 5% 0h 10h 15h 18h40 4h Et ous voyos as tout l'térêt des quartles (10h et 18h40) et de la médae (15h) O peut résumer cette courte étude par "Accdets : la pérode ore : 15h 18h40 Das la jourée, s u accdet sur deux se produt etre 10h et 18h40, c'est etre 15h et 18h40 qu'a leu le quart des accdets." Remarquos cepedat que das d'autres cas, la recherche de la médae 'a pas de ses. 5. Iterprétato d'dcateurs statstques Lors d'u exame, les otes suvates ot été obteues (après remse e ordre) : ote effectf La calculatrce ous fourt les résultats suvats : x = 9.75 et =,75 U échatllo est cosdéré comme "ormal" lorsque evro 30% des résultats sot hors de l'tervalle [ x -, x +] et 5% e dehors de l'tervalle [ x -, x +] Vérfos s l'échatllo obteu est "ormal". [ x -, x +] correspod à l'tervalle [6.9 ;1.5] otes sot stuées hors de cet tervalle, sot 7,5% de l'effectf des otes [ x -, x +] correspod à l'tervalle [4.;15.3] 4 otes sot stuées hors de cet tervalle, sot 5% de l'effectf. Nous pouvos schématser cette stuato sur le polygoe des effectfs L'écart-type apparaît as comme ue sorte d'étalo de dsperso La "ormalté" défe das ce problème sera explctée ultéreuremet. Les statstces ot recou et répertoré des réparttos dtes ormales comme celles cocerat les talles d'dvdus, leur pods, les caractérstques d'objets fabrqués par ue mache 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 9

10 6. Exercces gééraux 6.1 Statstque à caractère qualtatf Das les deux stuatos qu suvet, calculer l'effectf total et les fréqueces des dfféretes modaltés. Tracer le dagramme à rectagles as que le dagramme à secteurs Exercce 1 Das la populato des mltares e servce actf à l'armée belge à la date du 15/07/83, o a relevé le ombre de ceux-c das chaque domae Exercce Das u sttut d'esegemet, o a relevé le ombre d'élèves das chaque cycle: 6. Statstques à caractère dscret. Das les exercces suvats: 1. Former : a) le tableau ordoé (s écessare) b) le tableau des effectfs (et/ou des fréqueces) c) le tableau des effectfs cumulés (et/ou des fréqueces cumulées). Représeter : a) le dagramme e bâtos des effectfs (et/ou des fréqueces) b) le polygoe des effectfs cumulés (et/ou des fréqueces cumulées) 3. Détermer : a) les valeurs extrêmes, le(s) modes(s), la médae, les quartles, la moyee. b) l'étedue, la varace, l'écart - type. c) précser le ses de ces dfférets paramètres e focto du cotexte Exercce 1 Modaltés Effectfs terre 3480 ar mer 4760 Cycles Effectfs Observato 40 oretato 186 détermato 13 Das u carré de harcots o récolte 140 gousses et o compte le ombre de gras das chacue des gousses cuelles. Les résultats obteus sot : Exercce A la sorte d'ue chaîe de fabrcato, o tre chaque jour u lot de 1000 pèces prses au hasard et l'o poursut cette opérato pedat 100 jours. Das chaque lot, o compte les pèces défectueuses. Au bout de 100 jours, o a obteu: 6..3 Exercce 3 O a calculé le ombre de mllers de klomètres parcourus par dx peus de chacue des marques A et B avat usure. Les résultats suvats ot été obteus : Nbre de pèces defectueuses Nbre de lots A B VI - 10 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

11 6.3 Statstques à caractère groupé. Das les exercces suvats 1. Former a) le tableau ordoé (s écessare) b) le tableau groupé des effectfs (et/ou des fréqueces) c) le tableau groupé des effectfs cumulés (et/ou des fréqueces cumulées). Représeter a) l'hstogramme des effectfs (et/ou des fréqueces) b) le dagramme des effectfs cumulés (et/ou des fréqueces cumulées) 3. Détermer a) les valeurs extrêmes, la (les) classes(s) modale(s), la médae, les quartles, la moyee b) l'étedue, la varace, l'écart type c) précser le ses de ces dfférets paramètres e focto du cotexte Exercce 1 La sére suvate représete le quotet tellectuel de 100 efats: Grouper ce tableau e 9 classes, e preat pour lmtes de classes 55, 65, 75, Exercce Les élèves de deux classes dfféretes ot passé des tests cotés sur 100. Voc les résultats: Classe A Classe B Grouper ces tableaux e preat pour lmtes de classes 15, 5, Répodre esute aux questos et comparer les résultats Exercce 3 Pour comparer deux lots de blé cultvés, l'u avec egras, l'autre sas egras, o a mesuré les logueurs de quelques éps prélevés au hasard. Les résultats exprmés e cetmètres et au mllmètre près, sot rassemblés cdessous: Grouper ces tableaux e preat pour lmtes de classes 7 ; 7.5 ; 8 ;... 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 11

12 6.3.4 Exercce 4 Les mesures de la talle des dvdus d'ue populato d'u pett batrace ot four les résultats suvats: Exercce 5 Le tableau c-cotre ous doe le ombre de demades d'admsso, vetlé par âges, adressées par les trbuaux de la jeuesse à ue sttuto de la régo de Mos durat ue pérode détermée Exercce 6 Voc le relevé des âges des habtats d'ue commue à ue date précse Exercce 7 Voc, relevé e 1981, u sodage effectué sur u échatllo de votures de toursme pour lesquelles o a observé le klométrage parcouru au momet de la mse hors crculato Exercce 8 Les valeurs suvates doet le pods e kg des 40 membres d'u club sportf. Grouper ces doées e classes d'extrémtés 4, 50, 58, 66, 74, 80 avat d'e fare l'étude statstque complète. 6.4 Exercces varés Exercce 1 Talle e mm Nombre Talle e mm Nombre 11 à à à à à à à à 6 15 à 16 5 à à à à à 5 1 âges ombre de demades [1,3[ 1 [3,5[ 6 [5,7[ 3 [7,9[ [9,11[ 4 [11,13[ 6 [13,15[ 19 [15,17[ 5 [17,19[ 6 [19,0] 10 Ages (e aées) [0,10[ 48 [10,0[ 4 [0,30[ 60 [30,40[ 106 [40,50[ 94 [50,60[ 67 [60,70[ 43 [70,100] 40 Nombre d'hab. Klométrage (e 10 3 km) Nombre de votures [0,0[ 400 [0,40[ 650 [40,60[ 850 [60,80[ 800 [80,100[ 1600 [100,10[ 400 [10,140[ 00 [140,00] ) Iterrogé sur les performaces de sa voture, du pot de vue de la cosommato, Mr Dupot a calculé à pluseurs reprses la quatté d'essece (e ltres ) cosommée e 100 km. Il fourt les doées suvates, VI - 1 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

13 présetées par ordre crossat. : 4.05 ; 4.1 ; 4.0 ;4.5 ; 4.63 ; 4.76 ; 4.81 ; 5.03 ; 5.35 ; 5.50 ; 5.63 ; 5.78 ; 5.91 ; 6.00 ; 6.00 ; 6. ; 6.34 ; 6.4 ; 6.65 ; 7.17 ; 7.17 ; 7.44 ; 7.44 ; a) Regroupez ces valeurs e classes d'ampltude égale, les lmtes de la premère classe état [4.00 ; 5.00[. b) Calculez deux mesures de dsperso. ) Mr. Dupot dt de sa voture qu'elle est "sobre et régulère". Justfez cette apprécato e vous référat aux calculs que vous veez d'effectuer et dtes à quelles mesures se rapportet les qualfcatfs employés par Mr Dupot. 3) E supposat que Mr Dupot a payé so essece au prx costat de 3 fr/ltre, combe paye-t-l, e moyee, pour l'essece que sa voture cosomme e 100 km? 4) Mr Durad s'est lvré aux mêmes calculs que Mr Dupot. Sa voture cosomme e moyee 8 ltres aux 100 km, et l'écart-type de cette cosommato est de..9 ltres. Qualfez e deux mots la voture de Mr Durad, du pot de vue de sa cosommato Exercce Ue equête est meée pour u magaze auprès des lycées : "Combe fumez-vous de cgarettes par jour? Le tableau c-cotre e doe les résultats : a) Quelles rasos peuvet explquer le pourcetage de "sas répose"? Par la sute, o décde de e pas ter compte de cette doée (autremet dt, o cosdère la ouvelle sére statstque, dédute de la précédete e e reteat que les lycées ayat effectvemet répodu) b) Doez le tableau des fréqueces de cette ouvelle sére et représetez so hstogramme. c) Quelle est la moyee de la sére obteue? Exercce L'apttude à la lecture a été étudée chez les garços de 7 à 11 as. Le temps (secodes) ms pour lre u texte à haute et tellgble vox a été mesuré. Les résultats sot représetés das le tableau c-cotre: a)quelle est la médae de cette dstrbuto? b)quels e sot les quartles? c) Quelle est la moyee? d) Quel est l'écart - type? e) Que représete cocrètemet chacu de ces ombres? f) Ce groupe d'efats vous paraît-l homogèe e ce qu cocere la varable étudée? Justfez votre répose Exercce 4 Cgarettes : Fréqueces (Nb d'élèves) 0 à 5 35% 6 à 10 30% 11 à 15 10% 16 à 0 9% 1 à 5 % sas répose 14% Durée de lecture Nombre d'efats [5,30[ 1 [30,35[ 58 [35,40[ 5 [40,45[ 41 [45,50[ 19 [50,55[ 5 [55,60[ 3 [60,65[ 37 [65,70[ 7 [70,75] 11 Deux treurs X et Y s'affrotet e vue d'ue sélecto lors d'ue épreuve comportat vgt trs sur cble : Les résultats obteus par les treurs sot doés par le tableau ccotre.: Y X a) La moyee par tr permet-elle de départager les deux cocurrets? b) Repredre la questo précédete e e teat compte que des 10 melleurs trs. c) Calculer l'écart - type de chacue des séres du tableau. Quel est le treur le plus réguler? 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 13

14 6.4.5 Exercce 5 Cosdérer le dagramme c-cotre dquat les otes obteues das ue classe à u devor de statstque : les affrmatos suvates sot vraes ou fausses? a) La classe est surchargée. b) 40% des élèves ot ue ote féreure ou égale à 10 c) La moyee de la classe est égale à 11 d) Il y a autat de otes supéreures à la moyee de la classe que de otes qu lu sot féreures. effectfs otes Exercce 6 Ue mache remplt automatquemet des paquets de tabac. O prélève u échatllo de la producto; après pesée, o obtet la dstrbuto des masses des paquets suvate : 1. Calculer la moyee et l'écart-type de la dstrbuto des masses des paquets de tabac.. fare u ouveau tableau doat les effectfs par classe d'ampltude g et repredre les calculs précédets avec la sére as obteue. 3. Explquer la dfférece (sesble) etre les écarts types trouvés aux questos 1 et 4. Cette mache est-elle fable? Exercce 7 O doe la répartto d'u groupe d'efats par talles (e cm) 1. Tracer l'hstogramme de cette répartto.. Calculer la moyee x. 3. Calculer l'écart-type, pus le pourcetage d'efats ayat ue talle comprse etre : a) x - et x + b) x - et x + Que peut-o e coclure? Masse e grammes effectfs mos de 38 0 mos de 39 3 mos de mos de mos de mos de mos de mos de 4 84 mos de mos de mos de plus de 44 0 Talle (e cm) Effectf 80 à mos de à mos de à mos de à mos de à mos de à mos de exercce 8 Ue coservere almetare fabrque des plats cusés ms e barquettes automatquemet. "les pods ets" de produt de 60 barquettes sot cosgés c-dessous (e grammes) L'apparel de remplssage est e bo état de marche s 80 g x 840 g et 10g et s la proporto de barquettes hors de l'tervalle [ x -, x + ] e dépasse pas 30%. Motrer que l'apparel est défectueux. VI - 14 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

15 6.4.9 exercce 9 Das u cetre thermal, o a relevé la masse perdue (exprmée e kg) par les clets sur ue durée de 15 jours. Les valeurs obteues sot reprses das le tableau c-cotre a) Combe de persoes ot fréqueté ce cetre durat ces 15 jours? b) Représete l'hstogramme des effectfs c) Représete le polygoe des fréqueces cumulées d) Déterme la moyee arthmétque, la classe modale et la médae (de maère précse) e) Déterme l'étedue, la varace et l'écart-type. f) S ce cetre veut récompeser les 18% de ses clets qu ot perdu le plus de pods, déterme la masse mmale à perdre. 7. Statstque à varables Nous sommes souvet cofrotés à des doées etre lesquelles ous essayos d'établr des les telles que : La talle et le pods d'u groupe d'dvdus. le budget vacaces et les reveus des famlles Le pods des récoltes et la durée d'esolellemet ou la quatté de plue reçue Mas commet à partr de ces doées, trer des coclusos, exprmer le le qu les ut? Preos deux exemples qu ous servrot référece. 7.1 Exemple 1 Des élèves ot préseté u exame de mathématque et u exame de physque. Les résultats sot les suvats : Elèves N : Cote e math (sur 0) : x Cote e physque (sur 0): y Au vu de ces résultats, o peut se poser dfféretes questos : Les élèves forts e physque sot-ls forts e math? Y a-t-l u le etre la cote de mathématque et celle de physque? Et s ou, commet exprmer ce le? 7. Exemple U professeur de mathématques a flmé avec ue caméra umérque so fls e tra de lacer u ballo. E regardat cet eregstremet avec arrêts sur mages, l repère les doées présetées c-dessous. durée (e s) Hauteur (e cm) Commet, à partr de ces doées détermer ue focto h(t) qu exprme la hauteur du ballo e focto du temps? 8. Représetatos graphques Pour se fare ue melleure dée des problèmes, représetos les doées sur des graphques. 8.1 Exemple 1 Pour le premer exemple, ous obteos le graphque suvat (uage de pots) Masse (e kg) [0, [ [, 4[ [4, 6[ [6, 8[ [8, 1[ Effectfs 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 15

16 (hauteur e (m) cotes e physque cotes e mathématque 8. Exemple E procédat comme pour le premer exemple, ous obteos : ,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 temps (e s) 8.3 Observatos : E regardat ces graphques, ous costatos que le type de focto à ajuster sera dfféret selo les doées : pour le premer exemple, s o peut ajuster ue focto, l s'agrat plutôt d'ue focto du premer degré tads que das le secod, o chosrat ue focto du secod degré. 8.4 Gééralsato Lorsque ous avos u uage de pots (x, y ), dfféretes stuatos peuvet se préseter. a) Les pots sot dsposés de faço quelcoque : o dra que les caractères x et y sot dépedats. b) Les pots sot dsposés autour d'ue certae courbe : o pourra fare u "ajustemet graphque", c'est à dre tracer au meux cette courbe. La courbe la plus smple que l'o pusse obter est ue drote. Parfos l s'agra d'ue parabole, d'ue focto du trosème degré, ou d'autres foctos que ous seros ameés à étuder ultéreuremet. c) Tracer cette courbe à ma levée est très arbtrare, c'est pourquo, ous allos développer des procédures de calcul. 9. Ajustemet léare Das u premer temps, ous allos cosdérer des stuatos du gere du premer exemple, où le type de focto à ajuster est ue focto du premer degré. VI - 16 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

17 cotes e physque Ajustemet graphque "à vue" O trace ue drote qu ous semble la plus près possble des pots du uage. E preat deux pots de la drote, ous pouvos obter rapdemet so équato. S ous utlsos cette techque e classe das le premer exemple, ous costatos que pluseurs élèves peuvet obter des drotes et doc des équatos dfféretes. C'est doc ue méthode rapde mas très approxmatve Drote de Mayer O ordoe les pots de la sére de maère crossate selo les x et o dvse le uage e deux partes coteat le même ombre d'élémets (à ue uté près s les doées sot e ombre mpar). Das chaque sous-uage, o calcule le pot moye. La drote qu passe par ces deux pots est appelée drote de Mayer Das otre exemple, ous obteos 55 P 1 x 1, y 1 = 7, : pot moye des 6 premers pots 6 77 P x, y =,1 : pot moye des 5 derers pots 5 La drote P 1 P (drote de Mayer) a pour équato y = x Le graphque c-dessous repred à la fos les doées et la drote de Mayer Doées Drote de Mayer Pots moyes cotes e mathématque Ces méthodes, s elles ous permettet de détermer ue drote qu s'approche des doées e ous permettet pas de détermer "la melleure drote d'approxmato". Nous allos mateat défr des crtères qu vot permettre de décder quelle est cette "melleure drote" Ajustemet par la méthode des modres carrés. Preos ue stuato où ous avos pots : M 1, M,...M de coordoées respectves : (x 1, y 1 ) (x, y )...(x, y ) et sot d y = ax + b : la drote cherchée. (le graphque a été réalsé pour le cas de 3 pots) M y 1 1 M 3 y 3 y M x 1 x x 3 1 ère dée : chercher a et b pour que la somme des dstaces des pots M à la drote d sot la plus pette possble. E réalsat ces calculs, o obtet ue stuato très complquée. (Il faut alors mmser projecto orthogoale de M sur la drote. 1 M M' où M' est la 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 17

18 ème dée : o peut auss evsager de mmser la somme des carrés des dstaces des M à la drote cherchée, mas là auss cela reste très complqué 3 ème dée : O décompose le problème e partes plus smples Cosdéros d'abord P les pots d'tersecto des drotes parallèles à OY meées par M P 3 (le graphque c-cotre llustre ue stuato où o 'a que 3 pots) O veut que la somme des carrés des dstaces P P sot la plus pette M y 1 1 M 3 possble: c'est pourquo o appelle cette méthode la méthode des modres carrés. La drote obteue porte le om de drote de régresso de y e x. Esute, o cosdérera les pots d'tersecto des drotes parallèles à OX y 3 y M meées par M (vor graphque page suvate) et o mmsera la somme des carrés des dstaces M Q pour obter la drote de régresso de x e y. S ces drotes sot proches, (cofodues lorsque les pots sot algés), P 1 x 1 x x 3 c'est que l'ajustemet léare est "bo" pour la stuato étudée. Il faudra doc défr u coeffcet qu mesure l'écart etre les deux drotes : c'est le coeffcet de corrélato léare. ** Détermato de la drote de régresso de y e x : (pour formato) O veut mmser la somme :S = M 1P 1 + M P M P = M P = ( y ax b) 1 1 Nous allos mmser cette somme das le cas où o a tros pots. (O peut gééralser cette démostrato.) 3 1 S = ( y ax b) = (y 1 - ax 1 - b) + (y - ax - b) + (y 3 - ax 3 - b) = 3b - b(y 1 + y + y 3 -ax 1 -ax -ax 3 ) + y1 y y3 + a ( 1 x + x + x 3 ) a (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 ) E supposat a fxé, o cherche parm toutes les valeurs de b celle qu mmse la somme. O vot qu'l s'agt d'u trôme du secod degré e b, le mmum est doc attet pour b = ( y1 y y3 ax1 ax ax3) = y 1 y y 3 a x 1 x x 3 = y ax Nous avos as exprmé b e focto de a et de la moyee des x et y Et d y = ax + y ax y - y = a (x - x ) Nous observos que le pot moye de coordoée ( x, y ) d Das otre exemple : x = = 10,81818 et y = = 10,4545 et b = 10, ,8181 a S ous détermos la valeur de a, ous auros mmédatemet celle de b. E reportat la valeur de b trouvée das la somme à mmser, ous obteos : S a = [y 1 - ax 1 -( y ax )] + [y - ax -( y ax )] + [y 3 - ax 3 -( y ax )] = [(y 1 - y )-a(x 1 - x )] + [(y - y )-a(x - x )] + [(y 3 - y )-a(x 3 - x )] E ordoat cette expresso selo les pussaces de a, ous obteos : S a = a [(x 1 - x ) + (x - x ) + (x 3 - x ) ] - a [(x 1 - x ) (y 1 - y )+(x - x ) (y - y ) + (x 3 - x ) (y 3 - y ) ] +(y 1 - y ) + (y - y ) + (y 3 - y ) : ue focto du secod degré e a. Elle admet u mmum pour VI - 18 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

19 a = ( x x)( y y) ( x x)( y y) ( x x)( y y) ( x1 x) ( x x) ( x3 x) ( x1 x)( y1 y) ( x x)( y y) ( x3 x)( y3 y) = 3 ( x1 x) ( x x) ( x3 x) 3 Le déomateur de la fracto est la varace de la varable x et le umérateur est appelé covarace de x et y. et doc a = cov( x, y ) = var( x) (x x)(y 1 y) (x x) = (x x)(y 1 1 y) (x x) Ce résultat peut se gééralser au cas de observatos. Nous avos doc a = cov( x, y ) : coeffcet agulare de la drote de régresso de y e x. var( x) Cette drote mmse la 1 pour équato : y - y = a (x - x ) M P De même, la drote de régresso d' de x e y mmse la. Comme ous avos vu qu'elle passe par le pot moye ( x, y ) elle a doc 1 M Q O démotre de même que so coeffcet agulare a' = var( y ) cov( x, y) passe par le pot moye ( x, y ); elle a doc pour équato : y - y = a' (x - x ) O déft r = a a' = (cov( x, y)) var( x) var(y) cov(x, y) D'où l'o dédut : le coeffcet de corrélato léare r = (x) (y) et que d' O peut motrer que 0 < r < 1 Ce coeffcet permet de mesurer "l'écart" etre d et d'. S les drotes sot cofodues, a = a' et r = 1. S la dépedace léare est mauvase, r est élogé de 1. O cosdère que s r < 0.87, l 'y a pas de dépedace léare. Il y a ue corrélato postve etre les varables lorsque les varatos des deux varables se produset das le même ses (les petes des drotes de régresso sot postves) Il y a ue corrélato égatve etre les varables lorsque les varatos des deux varables se produset das le ses cotrare (les petes des drotes de régresso sot égatves) Das la pratque, ces calculs sot raremet effectués. La plupart des calculatrces scetfques actuelles permettet de détermer les drotes de régresso de faço très asée. 9. Sythèse sur les drotes de régresso y 1 y 3 y M 1 Q Q 3 Q 1 M M 3 x 1 x x 3 P 3 y 1 y 3 y M 1 P M M 3 y 1 y 3 y M 1 Q 1 M Q 3 3 Q M P 1 x 1 x x 3 x 1 x x 3 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 19

20 1. Covarace cov (x, y) = 1 1 ( x x)( y y). La drote de régresso de y e x : d y = ax + b mmse la M P d le pot moye : ( x, y ) et a = cov(x, y) = var( x) (x x)(y y) (x x) 3. La drote de régresso de x e y : d' y = a'x + b' mmse la M Q d' le pot moye : ( x, y ) et a' = 4. Le coeffcet de corrélato r r = a r = cov ( x, y ) (0 < r < 1) a' s( x) s( y) var( y) cov(x, y) 1 1 (y y)(x (y y) 1 x) d y - y = a (x - x ) d' y - y = a' (x - x ) S r < 0.87 : la dépedace léare est mauvase. S 0.87 < r < 1 l'ajustemet léare est bo et ue des drotes de régresso peut être prse comme ajustemet. 9.3 Applcato Reveos mateat à l'exemple 1 proposé plus haut. Nous allos calculer les drotes de régresso pour cet exemple et le coeffcet de corrélato léare. La calculatrce ous fourt drectemet les résultats : x = y = as que : a = 0,8867 b = 7,3316 et r = Nous avos as la drote de régresso de y e x : d 1 y = 0.8 x Pour détermer la drote de régresso de x e y, ous ous servros de la relato : r = a a a' = qu ous doe : a' = = a' r Or cette drote compred le pot moye ( x, y ) Et o a l'équato de d y =.1 (x - 10,8) y =.1 x Le graphque c-dessous repred les pots (x, y ) as que les drotes d 1 et d. x (cotes e math.) y (cote e phys.) VI - 0 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

21 (hauteur e (m) Observ d1 d Le coeffcet de corrélato r = 0.37 état élogé de 1, le décalage etre ces deux drotes est mportat : o cosdère doc qu'l 'y a pas de dépedace léare. 10. Ajustemet quadratque. Das le secod exemple proposé, ous voulos ajuster ue courbe du secod degré. Nous pouvos égalemet procéder par tâtoemet : par exemple e résolvat u système de 3 équatos à 3 coues (e preat 3 des pots des doées) qu se ramèe rapdemet à u système de deux équatos à coues pusque l'o coaît l'ordoée à l'orge. Comme das le cas d'u ajustemet léare, selo les pots choss, ous auros pluseurs paraboles possbles. Das le cas qu ous occupe, o peut se référer aux formules de cématque vues au cours de physque. A ouveau, comme das le pot précédet, l va fallor chosr parm toutes les possbltés la "melleure courbe". Cepedat, ous e développeros pas c les méthodes mathématques qu permettet de chosr cellec, ous ous coteteros d'utlser otre calculatrce. Das l'exemple proposé, ous obteos : h(t) = t t qu est comme ous pouvos le vérfer égalemet assez proche des valeurs trouvées par tâtoemets. Graphquemet, ous obteos : , 0,4 0,6 0,8 1 1, temps (e s) doées ajustemet 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 1

22 11. Exercces Exercce 1 Ue frme productrce de véhcules spécaux etrepred ue étude statstque de ses coûts de producto. Ue collecte de doées est résumée das le tableau suvat : Représeter graphquemet ces doées détermer les drotes de régresso assocées à celles-c. 11. Exercce Le tableau c-cotre doe quelques chffres sur le toursme e Europe : Allemage 4,9 450 O demade 1 de costrure le uage de pots et de dre s u ajustemet léare paraît vrasemblable. d'établr les équatos des drotes de régresso de y e x et de x e y 3 de desser ces drotes Espage Frace Itale Susse 4,1 5,5 8,6 4, de calculer le coeffcet de corrélato et d'dquer ce que sgfe c ce coeffcet Exercce 3 La drecto commercale d'ue etreprse dustrelle a augmeté régulèremet ses dépeses publctares pedat pluseurs aées. a) A partr du tableau c-cotre, comparer la progresso du chffre d'affares avec les dépeses e détermat les drotes de régresso et le coeffcet de corrélato. b) Tracer le uage de pots correspodat et les drotes de régresso. c) Estmez les dépeses publctares à cosetr pour attedre comme chffre d'affare. Cette estmato est-elle fable? d) Peut-o estmer le chffre d'affares auquel o peut s'attedre s l'etreprse augmete so budget publctare jusque 3 000? Justfer 11.4 Exercce 4 Nombre d'utés produtes : x Coût global de producto. : y (e 10 3.) But : doser les trtes das l'eau af de détermer l'dce de polluto Cocetrato (mg/l) Absorbace orgaque de l'eau avat et après laguage (stato de Sart-Berard) 0 0 (Expéreces réalsées das les classes de bologe applquée du collège) O établt doc ue gamme étalo e trates allat de 0 à 5 mg de trates par ltre Les résultats des mesures étalos sot doés das le graphque ccotre a) Doer ue expresso de l'absorbace e focto de la cocetrato (drote de régresso) b) Exprmer la cocetrato e focto de l'absorbace. b) S l'absorbace vaut 0.40, estmer la valeur de la cocetrato e trates. Pays Nombre total de tourstes arrvat (e mllos.) Recette totale (e 10 6 ) Aée Dép. pub. (e ) Chffres d'affares (e ) VI - CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

23 11.5 Exercce 5 Das u ace rapport sur la cojocture écoomque, o relève le tableau c-cotre : a) Détermer les drotes de régresso de cette sére statstque. b) Calculer so coeffcet de corrélato? Que pouvez-vous coclure? c) S l'dce des prx vaut 155, peut-o prévor le taux des salares? Cette prévso est-elle fable? Justfer. Frace taux des salares horares dce d'esemble des prx de détal Mars Ju Sept Déc Mars Ju Sept Déc Mars Ju Sept Exercce 6 U test permet de mesurer l'apttude à la lecture d'efats e focto de leur âge. x représete l'âge et y la durée de lecture (e secodes) a) Détermer les équatos des drotes de régresso b) L'hypothèse : plus l'âge augmete, plus la durée dmue est-elle vérfée? Justfer. x y Exercce 7 Ue socété a ms au pot u produt. Ue equête meée auprès de 500 persoes a motré ue relato etre le prx x proposé (e ) pour ce produt et le ombre de clets dsposés à l'acheter à ce prx. Les résultats de cette equêtes sot doés das le tableau c-cotre. a) Costrure le uage de pots b) Détermer les drotes de régresso et les tracer sur le graphque. c) Iterpréter le coeffcet de corrélato. d) S o proposat le produt à 30, à combe peut-o estmer le ombre de persoes qu e achèteraet? Cette estmato est-elle fable? Pourquo? Prx (e ) Nombre de clets Exercce 8 Preos la stuato fctve où l'o mesure la productvté d'u groupe de travalleurs de hut heures à quze heures : Das ce tableau, o vot la productvté croître tout au log de la jourée pour dmuer sous l'fluece de la fatgue e f de jourée. O amerat savor s la productvté est focto de l'heure de la jourée. Représeter graphquemet la stuato et utlser l'ajustemet le plus appropré. Heure du jour Productvté 8 1,0 9 13, , ,4 1 14, , , ,0 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 3

Statistique à 2 variables

Statistique à 2 variables Statstque à varables. Exemples Nous sommes souvet cofrotés à des doées etre lesquelles ous essayos d'établr des les telles que : La talle et le pods d'u groupe d'dvdus. le budget vacaces et les reveus

Plus en détail

Statistique. 3 ème Maths Mai 2010 A. LAATAOUI. I. Introduction :

Statistique. 3 ème Maths Mai 2010 A. LAATAOUI. I. Introduction : Statstque 3 ème Maths Ma 00 A LAATAOUI I Itroducto : La statstque est ue scece ayat pour objet l étude des phéomèes socau surtout ceu doat leu à des varatos ou ceu e pouvat être suffsammet maîtrsés que

Plus en détail

I. Moyenne, variance et écart-type d une série statistique

I. Moyenne, variance et écart-type d une série statistique I Moyee, varace et écart-type d ue sére statstque Sére statstque dscrète : Eemple d ue sére statstque dscrète : Preos le cas d ue classe de élèves qu réalset u devor oté sur 5 La sére statstque dscrète

Plus en détail

Serie statistique double

Serie statistique double Sere statstque double Dstrbutos margales Actvté U relevé statstque des talles (e cm) et des pods Y (e kg) d u échatllo de 00 élèves a perms de costrure le tableau suvat : Y [0, 5[ [5, 50[ [50, 55[ [55,

Plus en détail

Chapitre 1. Résumé d une distribution statistique

Chapitre 1. Résumé d une distribution statistique Chaptre. Résumé d ue dstrbuto statstque.. Cocepts de base de la statstque descrptve Populato = O appelle populato assocée à ue épreuve l esemble des résultats possbles d ue «épreuve». E statstques, le

Plus en détail

Nombre de Clients [0 ; 50[ 72. x i. n i [ 50 ; 100 [ 90 [100 ; 150 [ 126 [150 ; 200 [ 54 [200 ; 250 [ 18

Nombre de Clients [0 ; 50[ 72. x i. n i [ 50 ; 100 [ 90 [100 ; 150 [ 126 [150 ; 200 [ 54 [200 ; 250 [ 18 1 U commerçat a relevé le motat des dépeses e euros de chaque clet au cours d ue semae. Motat des dépeses Clets [0 ; 50[ 72 x x - x ) - x )² -x ) ² [ 50 ; 100 [ 90 [100 ; 150 [ 126 [150 ; 200 [ 54 [200

Plus en détail

Bac blanc de mathématiques

Bac blanc de mathématiques Termale st2s le mercred 09/03/2016 Durée : 2 heures Bac blac de mathématques Exercce 1 : 6 pots Le tableau c-dessous doe le ombre d aboemets au servce de téléphoe moble e Frace etre f 2001 et f 2009, exprmé

Plus en détail

Chapitre III : Les caractéristiques de dispersion

Chapitre III : Les caractéristiques de dispersion Chaptre III : Les caractérstques de dsperso Les caractérstques de tedace cetrale e sot pas toujours suffsates pour caractérser ue sére statstque, car séres peuvet avor Mo= Me = x alors qu elles sot dstrbuées

Plus en détail

CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4

CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4 page1/6 CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4 Dosser "Défcece" 1) = 30 pour les groupes. Les classes sot d'ampltudes dfféretes doc...utlser la desté (rappel : desté = effectf/ampltude). Durée

Plus en détail

Saïd Chermak. Master 2012 MAGE. Statistique descriptive à une variable

Saïd Chermak. Master 2012 MAGE. Statistique descriptive à une variable Statstque descrptve à ue varable LES SAVOIRS La statstque est ue méthode scetfque qu recuelle, ordoe, aalyse et terprète des doées umérques. Pour ue melleure lsblté, ces doées sot représetées graphquemet.

Plus en détail

Séries chronologiques

Séries chronologiques Séres chroologques Rappel : Détermato de l équato d ue drote passat par pots. ( so équato peut se mettre sous la forme y ax + b ) ex : Détermato de l équato de la drote passat par les pots : A ( - ; -5

Plus en détail

Comment représenter les variables aléatoires (données)? Paramètres descriptifs. Quels sont les paramètres descriptifs de la position?

Comment représenter les variables aléatoires (données)? Paramètres descriptifs. Quels sont les paramètres descriptifs de la position? Paramètres descrptfs Cours VETE043- Aée académque 06-07 Commet représeter les varables aléatores (doées)? Représetato sythétque Tables de fréqueces Représetato graphque Dagrammes de fréqueces Paramètres

Plus en détail

LEÇON N 6 : Loi de Poisson, loi normale.

LEÇON N 6 : Loi de Poisson, loi normale. LEÇON N 6 :. Pré-requs : Probabltés : défto, calculs et probabltés codtoelles ; Lo bomale cf. leço o 5) ; Noto de varables aléatores dscrètes et cotues cf. leços o 4 et 7), et proprétés assocées : espérace,

Plus en détail

Correction Exercices du MODULE 1 : M1Exo4b Distribution statistique à un caractère

Correction Exercices du MODULE 1 : M1Exo4b Distribution statistique à un caractère Exo Math Stat Correcto exercces du Module Dstrbuto statstque à u caractère MExo4b Correcto Exercces du MODULE : MExo4b Dstrbuto statstque à u caractère Exercce Mexo4 b Objectf : Cet exercce trate du calcul

Plus en détail

[ ] IV.- Espérance mathématique de l estimateur  : Nous avons ( ) ε. alors l espérance mathématique sera : soit

[ ] IV.- Espérance mathématique de l estimateur  : Nous avons ( ) ε. alors l espérance mathématique sera : soit Itroducto à l écoométre S6-EF sc. éco. & gesto Prof. Mohamed El Meroua IV.- Espérace mathématque de l estmateur  : A ˆ A + X X X Nous avos ( ε alors l espérace mathématque sera : E ( E( A + E[ ( X X X

Plus en détail

La valeur acquise par un capital au bout d'une année est donc obtenue en multipliant ce capital par (1 + i). Par suite, le capital C1

La valeur acquise par un capital au bout d'une année est donc obtenue en multipliant ce capital par (1 + i). Par suite, le capital C1 LGL Cours de Mathématques 26 Exemples de sutes das le domae des faces 1) Itérêts composés O place 1. à térêts composés au taux de 4,5 % par a. Détermer le captal dspoble à la f de chaque aée et ce pedat

Plus en détail

PRINCIPES DES STATISTIQUES INFERENTIELLES

PRINCIPES DES STATISTIQUES INFERENTIELLES Chaptre 3 PRINCIPES DES STATISTIQUES INFERENTIELLES Bases de la statstque féretelle PLPSTA0 0 Chaptre 3 1. Problématque. Objectfs des statstques féretelles.1 Estmato poctuelle. Estmato par tervalles.3

Plus en détail

STATISTIQUES A UNE VARIABLE

STATISTIQUES A UNE VARIABLE Cours et exercces de mathématques ) Itroducto et vocabulare STATISTIQUES A UNE VARIABLE La statstque est la scece qu cosste à réur des doées chffrées, à les aalyser, à les commeter et à les crtquer Ue

Plus en détail

Leçon 08 : Statistiques Terminale. Altitude (x i ) Températures ( y i )

Leçon 08 : Statistiques Terminale. Altitude (x i ) Températures ( y i ) Leço 08 : Statstques Termale E premer leu, l te faut relre les cours de premère sur les statstques à ue varable, l a tout u lagage à se remémorer : étude d u échatllo d ue populato, mode, moee et médae

Plus en détail

Annexe 2 Note méthodologique sur le calcul des évolutions de bases, taux et produits de la fiscalité directe locale

Annexe 2 Note méthodologique sur le calcul des évolutions de bases, taux et produits de la fiscalité directe locale Mstère de l téreur, de l outre-mer ublcato : «le gude statstque de et des collectvtés terrtorales la fscalté drecte locale 2007» Aexe 2 Note méthodologque sur le calcul des évolutos de bases, taux et produts

Plus en détail

BTS BLANC Mai ; on pose A. en fonction de an. puis écrire an

BTS BLANC Mai ; on pose A. en fonction de an. puis écrire an BTS BLANC Ma 0 Epreuve : Mathématques Géérales et Applquées Flère : DA / ARLE Durée: heures NB : Chaque parte dot être tratée sur des copes dfféretes I- MATHEMATIQUES GENERALES Exercce a b Sot le Sot la

Plus en détail

Améliorer la productivité

Améliorer la productivité Maurce Pllet Amélorer la productvté Déploemet dustrel du toléracemet ertel, 00 SBN : 978---54754- Commet calculer ue tolérace ertelle 75 Nous avos doc u toléracemet par tervalle sur les exgeces foctoelles

Plus en détail

Pondichéry Avril 2014 Série S Exercice.

Pondichéry Avril 2014 Série S Exercice. Podchéry Avrl 04 Sére S Exercce Le pla complexe est mu d u repère orthoormé ( O; uv, ) Pour tout eter aturel, o ote A le pot d affxe z déf par : O déft la sute ( ) z z 0 = et + = + z 4 4 r par r = z pour

Plus en détail

Lois de probabilités liées aux tirages de boules dans une urne Approche sondage : échantillonnage et estimation dans une population finie

Lois de probabilités liées aux tirages de boules dans une urne Approche sondage : échantillonnage et estimation dans une population finie Los de probabltés lées aux trages de boules das ue ure Approche sodage : échatlloage et estmato das ue populato fe Das le ouveau programme de secode, retrée 2009, sot scrtes les otos d'tervalle de fluctuato

Plus en détail

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 4 : Simulation - Régression

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 4 : Simulation - Régression L Meto Iformatque UE Probabltés Chaptre 4 : Smulato - Régresso Notes de cours rédgées par Rége Adré-Obrecht, Jule Pquer I- Smulato de varables aléatores. Itroducto Das certaes expéreces «réelles», où le

Plus en détail

MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE OUI NON

MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE OUI NON BAC BLANC MATIERE : MATHEMATIQUES OBLIGATOIRE CLASSE de : Termale S SALLE : Grade Permaece PROFESSEUR : Mle GUIHENEUF ATE : Vedred javer 6 HEURE ébut : 8 h HEURE f : h MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE

Plus en détail

Une urne contient 5 boules rouges, 5 boules blanches et 6 boules bleues.

Une urne contient 5 boules rouges, 5 boules blanches et 6 boules bleues. Lycée Paul Gaugu CPGE-EC Aée 04/05 Exercces «basques» Fche N : Exercces sur les varables aléatores réelles dscrètes Exercce. : O cosdère deux dés dscerables be équlbrés. O ote X la varable aléatore égale

Plus en détail

- x)(y i. - y) (x i. r = - x) 2 (y i. - y) 2. (x- a) (d - c) + c b- a. + a (0.1) (1,1) C.L. (0.0) (1,0) Masse salairiale des x % gagnant le moins.

- x)(y i. - y) (x i. r = - x) 2 (y i. - y) 2. (x- a) (d - c) + c b- a. + a (0.1) (1,1) C.L. (0.0) (1,0) Masse salairiale des x % gagnant le moins. Résumé statstque.6 Le coeffcet de corrélato Corrélato etre deux composats: pod/talle d'u dvdu. r = å å =1 x - xy - y å x - x y - y =1 =1 La valeur se stuera etre -1 corrélato égatve/versée et 1corrélato

Plus en détail

I. Qu est-ce qu une variable aléatoire?

I. Qu est-ce qu une variable aléatoire? I. Qu est-ce qu ue varable aléatore?. Défto : Sot ue expérece aléatore dot l esemble des résultats possbles (l uvers est oté Ω. Ue varable aléatore est ue focto X allat de Ω sur R, c est-à-dre que c est

Plus en détail

Partie 1. Corrigé de CCIP 2000 par Pierre Veuillez

Partie 1. Corrigé de CCIP 2000 par Pierre Veuillez Corrgé de CCIP 2000 par Perre Veullez Das tout le problème, désge u eter aturel o ul. O cosdère ue ure U coteat boules umérotées de à. O tre ue boule au hasard das U. O ote k le uméro de cette boule. S

Plus en détail

arlesrcomplexesraurbacr2014r==corriges=z

arlesrcomplexesraurbacr2014r==corriges=z arlesrcomplexesraurbacr0r==corriges= Nouvelle-Calédoe ovembre 0 5 pots Proposto : Pour tout eter aturel : ( + ) = () VRAI! ( ) doc d où ( ) ( ) ( ) ( ) Sot (E) l équato ( )( + 8) = 0 où désge u ombre complexe

Plus en détail

Terminales S Exercices sur les nombres complexes Page 1 sur 6

Terminales S Exercices sur les nombres complexes Page 1 sur 6 Termales S Exercces sur les ombres complexes Page sur 6 Exercce : ) Calculer, et 5 6 7 ) E dédure, et ) Détermer les eters pour lesquels est a) u réel, b) est u magare pur, c) égal à Exercce : Ecrre sous

Plus en détail

TD Techniques de prévision pour la Gestion de production

TD Techniques de prévision pour la Gestion de production Orgasato et gesto dustrelle Page / 6 TD Techques de prévso pour la Gesto de producto er Exercce Vetes d u rayo de jouraux das u supermarché Javer Févrer Mars Avrl Ma Ju Jullet Août Septembre Octobre Novembre

Plus en détail

PRO 1 EXPRO010 EXPRO019

PRO 1 EXPRO010 EXPRO019 Exercces résolus de mathématques. PRO 1 EXPRO010 EXPRO019 http://www.matheux.be.tf Jacques ollot 1 avrl 03 www.matheux.be.tf - PRO 1-1 - EXPRO010W Ue ure cotet boules blaches ( 4) et 10 boules ores. O

Plus en détail

a. Le symbole se lit «sigma» ; l écriture Ex : 2 Fréquences en % ( f i x 100) 11,1 % 29,6 % 59,3 % 100 %!!!!

a. Le symbole se lit «sigma» ; l écriture Ex : 2 Fréquences en % ( f i x 100) 11,1 % 29,6 % 59,3 % 100 %!!!! Cours : Statstques I. Itroducto Classe de ère S O a vu que our caractérser ue sére statstque, o utlse des : - aramètres de tedace cetrale : - la moyee ; - la médae. Ils ermettet d dquer la «osto» de la

Plus en détail

On applique le théorème de Pythagore au triangle AIE est rectangle en I AI 2 IE 2 AE 2 IE IE 1 2

On applique le théorème de Pythagore au triangle AIE est rectangle en I AI 2 IE 2 AE 2 IE IE 1 2 Exercce Lba 6 4 pots O cosdère u solde ADECBF costtué de deux pyramdes detques ayat pour base commue le carré ABCD de cetre I. Ue représetato e perspectve de ce solde est doée e aexe (à redre avec la cope).

Plus en détail

Module : STATISTIQUE (1 e année) Document de cours

Module : STATISTIQUE (1 e année) Document de cours ESCE-Lyo Méthodes Quattatves Module : STATISTIQUE ( e aée) par Robert Chapelo, chargé de cours et de TD Documet de cours Fare de la statstque, c'est : - collecter des doées, - trater ces doées pour e redre

Plus en détail

Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x

Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x Probabltés A) Varable aléatore et lo de probablté Varable aléatore Défto : O cosdère l'esemble E des ssues d'ue expérece aléatore Défr ue varable aléatore X sur cet esemble, c est assocer u ombre à chaque

Plus en détail

Cours (Terminale) Probabilités (révisions 1 ère )

Cours (Terminale) Probabilités (révisions 1 ère ) Cours (Termale) Probabltés (révsos ère ) Quelques rappels et complémets sur les esembles Uo de deux esembles O appelle «uo de deux esembles E et F» l esemble oté E F dot les élémets sot costtués des élémets

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES EXERCICES CORRIGES

NOMBRES COMPLEXES EXERCICES CORRIGES Cours et exercces de mathématques NOMRES COMPLEXES EXERCICES CORRIGES Exercce. O doe = + et = + Ecrre sous forme algébrque les complexes suvats : = ; Exercce. Calculer, et = ; = ; = ; 5 006 009 E dédure

Plus en détail

Eléments de statistique descriptive

Eléments de statistique descriptive G Elémets de statstque Elémets de statstque descrptve. Itroducto.. Défto Statstques, brache des mathématques qu a pour objet la collecte, le tratemet et l aalyse de doées umérques relatves à u esemble

Plus en détail

Statistiques II Sc. Éco. & Gestion (S3) Pr. M. El Merouani 3-Notation ensembliste des événements :

Statistiques II Sc. Éco. & Gestion (S3) Pr. M. El Merouani 3-Notation ensembliste des événements : wwwelmerouajmdocom Statstques II Sc Éco & Gesto S r M El Meroua Chaptre : roaltés I Itroducto : -Epreuve ou expérece : O appelle épreuve ou expérece ue certae acto que l o peut répéter pluseurs fos ar

Plus en détail

XVII. Les nombres complexes.

XVII. Les nombres complexes. XVII. Les ombres complexes.. Itroducto Progressvemet, ous avos agrad les esembles de ombres e passat de N à Z pus à Q et ef à R. Ces agradssemets ot doé la possblté de résoudre de plus e plus d'équatos.

Plus en détail

Polynésie Juin 2010 Série S Exercice. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O; uv, )

Polynésie Juin 2010 Série S Exercice. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O; uv, ) Polyése Ju 00 Sére S xercce Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormal drect ( O; uv, ) Prérequs Parte A Resttuto orgasée de coassaces Sot u ombre complexe tel que = a+ b où a et b sot deux ombres

Plus en détail

Devoir de contrôle n 1. 4 ème Maths 1 Radès. Répondre par Vrai au Faux aux questions propositions suivantes. Aucune justification n est demandée.

Devoir de contrôle n 1. 4 ème Maths 1 Radès. Répondre par Vrai au Faux aux questions propositions suivantes. Aucune justification n est demandée. Lycée Ib Khaldou Devor de cotrôle ème Maths Radès ( heure) Mr ABIDI Fard Mathématques Mercred 9 Novembre 0 Exercce : ( pots) Répodre par Vra au Faux aux questos propostos suvates Aucue justfcato est demadée

Plus en détail

LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES

LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES Prcpes et Méthodes de la Bostatstque Chaptre 5 LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES A-LA LOI NORMALE Présetato La dstrbuto ormale, dte ecore de Laplace-Gauss, est pour des rasos qu apparaîtrot plus lo, la plus

Plus en détail

STATISTIQUES. La taille moyenne d un jeune enfant est donnée, en fonction de son âge (en mois), dans le tableau suivant :

STATISTIQUES. La taille moyenne d un jeune enfant est donnée, en fonction de son âge (en mois), dans le tableau suivant : STATISTIQUES Cours Termale ES O observe que, das certas cas, l semble ester u le etre deu caractères statstques quattatfs (deu varables) sur ue populato ; par eemple, etre le pods et la talle d u ouveau-é,

Plus en détail

2. On présente ensuite une proposition : l'équiprobabilité à chaque étape entraîne l'équiprobabilité sur l'ensemble des résultats.

2. On présente ensuite une proposition : l'équiprobabilité à chaque étape entraîne l'équiprobabilité sur l'ensemble des résultats. rbre de déombremet et arbre de probablté Pla du documet. O présete tout d'abord la règle du produt pour les arbres de déombremet avec, e cas partculer, le cardal d'u produt cartése d'esembles fs.. O présete

Plus en détail

1. Test d indépendance du KHI-2

1. Test d indépendance du KHI-2 1. Test d dépedace du HI- Ecrre ue focto qu réalse le test d dépedace du kh-. Etrée : x et y, deux vecteurs, de type factor Sorte : statstque de test, degrés de lberté, p-value Idcatos : Vous devez vérfer

Plus en détail

2.1 Variable aléatoire Fonction de répartition Fonction de masse et de densité...2

2.1 Variable aléatoire Fonction de répartition Fonction de masse et de densité...2 - Varables aléatores et dstrbutos - Chaptre : Varables aléatores et dstrbutos. Varable aléatore.... Focto de répartto....3 Focto de masse et de desté....4 Dstrbuto cojote de varables aléatores...5.4. Dstrbuto

Plus en détail

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet.

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet. ère S Cotrôle du mard 7 javer 05 ( heures) D C N Le barème est doé sur 0 O répodra drectemet sur la cope foure avec le sujet U certa ombre de questos écesste ue recherche préalable au broullo O e rédgera

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES CORRIGES Exercice n 1.

NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES CORRIGES Exercice n 1. NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES CORRIGES Exercce. O doe = + et = + Ecrre sous forme algébrque les complexes suvats : = ; = ; = ; = ; 5 = Exercce. Calculer, et E dédure la valeur de 006 et de 009, pus les

Plus en détail

RADIOPROTECTION CIRKUS. Sommaire

RADIOPROTECTION CIRKUS. Sommaire RADIOPROTECTION CIRKUS Documet techque Radoprotecto Crkus 89 D boulevard du Fer 74000 Aecy www.rpcrkus.org - cotact@rpcrkus.org Assocato lo 1901 créée le 9 mars 010 W91300355 - Eregstrée à la préfecture

Plus en détail

Résumé de statistique I

Résumé de statistique I Résumé de statstque I Etude de doées statstques : Ce qu ous téresse lorsqu o a des doées statstque ou ue dstrbuto de celles-c : Le cetre : o o Moyee : mesures o robustes Médae : mesures robustes La dsperso

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * * SESSION 003 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MAHEMAIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrces sot terdtes * * * NB : Le caddat attachera la plus grade mportace à la clarté, à la précso et à la cocso de la

Plus en détail

Programmation linéaire en nombres entiers

Programmation linéaire en nombres entiers Programmato léare e ombres eters Itroducto Problème de programmato léare e ombres eters (P) M Suet à = = c a = b =,, m 0, eter =,, Eemple M z = Suet à, + 0 5 0 0, eter F(P) = domae réalsable de P Itroducto

Plus en détail

Séries de Fourier 12-1

Séries de Fourier 12-1 Séres de Fourer 1-1 Sommare 1. Applcato de classe C 1 par morceaux 1 1.1. Applcato de classe C 1 par morceaux 1 1.. Applcato -pérodque C 1 par mcx. 1 1.3. pérato sur les applcatos C 1 par mcx 1. Sére de

Plus en détail

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 3 : Variables aléatoires réelles

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 3 : Variables aléatoires réelles L Meto Iformatque UE Probabltés Chaptre 3 : Varables aléatores réelles Notes de cours rédgées par Rége Adré-Obrecht, Jule Pquer, Serge Solovev Sot (, A, P) Ω et X : Ω R ue varable aléatore. I. Varable

Plus en détail

EXERCICES CORRIGES. Partie 1 : Suites numériques = 4

EXERCICES CORRIGES. Partie 1 : Suites numériques = 4 EXERIES ORRIGES Parte : Sutes umérques Exercce : Ue sute arthmétque est telle que la somme de ses premers termes est égale à 8 et la somme de ses 6 premers termes est égale à 7 68. alculer le 5 ème terme

Plus en détail

Exercice 1 : Analogie entre équilibres acido-basiques et équilibres de complexation (Application du Principe de Le Châtelier).

Exercice 1 : Analogie entre équilibres acido-basiques et équilibres de complexation (Application du Principe de Le Châtelier). Bla UE 1C G. EXERCICES BILAN Exercce 1 : Aaloge etre équlbres acdo-basques et équlbres de complexato (Applcato du Prcpe de Le Châteler). Objectfs de l'exercce - Coassaces/Compéteces testées das cet exercce

Plus en détail

Module 4 - Leçon 01 - Budget des ventes 1. Introduction - Recherche de la tendance générale

Module 4 - Leçon 01 - Budget des ventes 1. Introduction - Recherche de la tendance générale Cotrôle de gesto Budget des vetes Module 4 - Leço - Budget des vetes Itroducto - Recherche de la tedace géérale - Itroducto Le budget des vetes est le premer budget opératoel à établr. Il est cosdéré comme

Plus en détail

Ift Chapitre 7. Introduction. aux valeurs propres et aux vecteurs propres

Ift Chapitre 7. Introduction. aux valeurs propres et aux vecteurs propres Ift 4 Chaptre 7 Itroducto au valeurs propres et au vecteurs propres Ift4 Chaptre 7 Défto : S A est ue matrce de, alors u vecteur o ul est dt vecteur propre de A s A est appelé valeur propre de A, et vecteur

Plus en détail

NOTATIONS ET FORMULAIRE

NOTATIONS ET FORMULAIRE Uversté PARIS DESCARTES Lcece de Psychologe L1 ADP1- Resp : Mrelle LAGARRIGUE page 1/5 PROTOCOLE SUR U ECHA TILLO NOTATIONS ET FORMULAIRE Esemble des sujets de l échatllo S { s 1 ; s ;.; s } (1) Varable

Plus en détail

Série d'exercices *** 4 ème Maths Lycée Secondaire Ali Zouaoui LES N. COMPLEXES " Hajeb Laayoun "

Série d'exercices *** 4 ème Maths Lycée Secondaire Ali Zouaoui LES N. COMPLEXES  Hajeb Laayoun Sére d'exercces *** 4 ème Maths Lycée Secodare Al ouaou LES N COMPLEXES " Hajeb Laayou " I / L esemble des ombres complexes : Défto : O appelle esemble des ombres complexes, et o ote C, l esemble des ombres

Plus en détail

MAT4081 Chapitre 3 Régression 3 Transformation de variables

MAT4081 Chapitre 3 Régression 3 Transformation de variables MAT408 Chaptre 3 Régresso 3 Trasformato de varables Les graphques ou les techques dagostques peuvet révéler des volatos des hypothèses de la régresso léare : hétéroscédastcté, par exemple, ou absece de

Plus en détail

MATHEMATIQUES. Semestre 2. Statistiques à deux variables COURS. Cours en ligne : sur section DUT Maths S2.

MATHEMATIQUES. Semestre 2. Statistiques à deux variables COURS. Cours en ligne : sur  section DUT Maths S2. Départemet TECHNIQUES DE COMMERCIALISATION MATHEMATIQUES Semestre 2 Statstques à deux varables COURS Cours e lge : sur http://jff-dut-tc.weebly.com secto DUT Maths S2. IUT de Sat-Etee Départemet TC J.F.Ferrars

Plus en détail

BTS C.G. 1996. B) Retour au problème concret: Le nombre d'appartements commercialisé est nécessairement un entier entre 2 et 20.

BTS C.G. 1996. B) Retour au problème concret: Le nombre d'appartements commercialisé est nécessairement un entier entre 2 et 20. BTS CG 996 Eercce : (0 pots) Ue agece mmoblère evsage de commercalser u programme de costructo d'appartemets Deu projets lu sot soums: Projet P : Le coût de producto de appartemets ( eter et 0 )est doé

Plus en détail

Méthode du simplexe: préliminaires. 2. Programmation linéaire. Solution de base. Méthode du simplexe: préliminaires. b. Méthode du simplexe

Méthode du simplexe: préliminaires. 2. Programmation linéaire. Solution de base. Méthode du simplexe: préliminaires. b. Méthode du simplexe Méthode du smplee: prélmares Modèles de recherche opératoelle (RO). Programmato léare b. Méthode du smplee Das le cas où l y a ue fté de solutos, la méthode d élmato de Gauss-Jorda permet d detfer tros

Plus en détail

Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x

Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x Probabltés A) Varable aléatore et lo de probablté Varable aléatore Défto : O cosdère l'esemble des ssues d'ue expérece aléatore Défr ue varable aléatore X sur cet esemble, c est assocer u ombre à chaque

Plus en détail

Divisibilité et congruences. Corrigés d exercices

Divisibilité et congruences. Corrigés d exercices Dvsblté et cogrueces Corrgés d exercces Les exercces du lvre corrgés das ce docuet sot les suvats : Page 445 : N 1, 5 Page 459 : N 45 Page 449 : N 10 Page 460 : N 51, 5, 55, 57 Page 451 : N 16 Page 461

Plus en détail

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

STATISTIQUE DESCRIPTIVE Statstque descrtve ECS STATISTIQUE DESCRIPTIVE I Vocabulare de la statstque descrtve ) Poulato La statstque descrtve est ue scece qu recuelle et aalyse des formatos sur u esemble f, dot le cardal est souvet

Plus en détail

Exercice n 1 1) Par associativité de l intersection des événements, et à l aide de la formule des probabilités conditionnelles,

Exercice n 1 1) Par associativité de l intersection des événements, et à l aide de la formule des probabilités conditionnelles, CONCOURS EMIA Sceces CONCOURS 0 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Corrgé o offcel rédgé par Jea-Gullaume CUAZ, esegat au Lycée Mltare de Sat-Cyr, jgcuaz@hotmalcom Eercce ) Par assocatvté de l tersecto des évéemets,

Plus en détail

= exportations du pays i en produit k

= exportations du pays i en produit k CHELE, Comptes harmosés sur les échages et l écoome modale LES INDICATEURS Les dcateurs reteus ot été choss e se fodat sur l'expérece acquse das les travaux du CEPII, et après avor cofroté les méthodes

Plus en détail

Statistique descriptive

Statistique descriptive SOMMAIRE Gééraltés :... I.Déftos :... II.Apport de la statstque aux écoomstes :... III. Les lmtes de la méthode statstque :... IV.Le vocabulare utlsé e statstque :...3 V.Quelque symboles mathématques utlsés

Plus en détail

SOMMAIRE. Généralités :...2

SOMMAIRE. Généralités :...2 SOMMAIRE Gééraltés :... I. Déftos :... II. Apport de la statstque au écoomstes :... III. Les lmtes de la méthode statstque :... IV. Le vocabulare utlsé e statstque :...3 V. Quelques symboles mathématques

Plus en détail

Le cours Interprétation physique de la dérivée

Le cours Interprétation physique de la dérivée Il est égalemet possble de procéder à la «dérvato umérque» d ue sute de valeurs {(t ; f )}. La sute dérvée est elle-même costtuée de couples {(t ; f )} ; la valeur f de correspodat au tau de varato mesuré

Plus en détail

MODULE : STATISTIQUES ROYAUME DU MAROC OFPPT RESUME THEORIQUE & GUIDE DE TRAVAUX PRATIQUES SECTEUR : TERTIAIRE

MODULE : STATISTIQUES ROYAUME DU MAROC OFPPT RESUME THEORIQUE & GUIDE DE TRAVAUX PRATIQUES SECTEUR : TERTIAIRE OFPPT ROYAUME DU MAROC مكتب التكوين المهني وإنعاش الشغل Offce de la Formato Professoelle et de la Promoto du Traval DIRECTION RECHERCHE ET INGENIERIE DE FORMATION RESUME THEORIQUE & GUIDE DE TRAVAUX PRATIQUES

Plus en détail

Gilles Leborgne 31 mai Rappel de dérivation 1. i=1 x i e i et y = n

Gilles Leborgne 31 mai Rappel de dérivation 1. i=1 x i e i et y = n 1 Notes de cours de l'isima, premère aée http://wwwsmafr/ leborge Méthode des modres carrés : melleure approxmato léare Glles Leborge 31 ma 2005 Table des matères 1 Rappel de dérvato 1 2 Cas 1-D 2 21 Les

Plus en détail

MODULE : STATISTIQUES

MODULE : STATISTIQUES OFPPT ROYAUME DU MAROC مكتب التكوين المهني وإنعاش الشغل Offce de la Formato Professoelle et de la Promoto du Traval DIRECTION RECHERCHE ET INGENIERIE DE FORMATION RESUME THEORIQUE & GUIDE DE TRAVAUX PRATIQUES

Plus en détail

COURS SUR LES MELANGES EN FILATURE DE COTON PARTIE 07. Section IV ELEMENTS DE STATISTIQUES APPLIQUES EN FILATURE

COURS SUR LES MELANGES EN FILATURE DE COTON PARTIE 07. Section IV ELEMENTS DE STATISTIQUES APPLIQUES EN FILATURE COURS SUR LES MELANGES EN FILATURE DE COTON PARTIE 07 Secto IV ELEMENTS DE STATISTIQUES APPLIQUES EN FILATURE 7.7. Elémets de statstques 7.7.. Caractérstques de posto. Moyee arthmétque La moyee est la

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BLANC MATHÉMATIQUES

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BLANC MATHÉMATIQUES BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BLANC SESSION 06 MATHÉMATIQUES Sére STL Durée de l épreuve : 4 heures Coeffcet : 4 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrces électroques de poche sot autorsées, coformémet à la réglemetato

Plus en détail

Concours général 2014 pb 3 : chiffres et lettres

Concours général 2014 pb 3 : chiffres et lettres Cocours gééral 014 pb 3 : chffres et lettres 1 Le sujet U mot de logueur est ue sute de lettres choses parm les l0 lettres A, B, C, D, E, F, G, H, I, J Par exemple, BEC, IJCD, AFFICHAGE, ABCDEFGHIJ sot

Plus en détail

Alain MORINEAU

Alain MORINEAU www.deeov.com Ala MORINEAU Cet artcle est ue reprse et u extrat de l artcle «Note sur la Caractérsato Statstque d'ue Classe et les Valeurs-tests», publé das la revue Bullet Techque du Cetre de Statstque

Plus en détail

Niveau 7C 05 février Solution. L x y z ( utilisation du théorème de. (x y z) x y z 2xy 2xz 2yz

Niveau 7C 05 février Solution. L x y z ( utilisation du théorème de. (x y z) x y z 2xy 2xz 2yz Olympades Natoales de Mathématques 07 Sélectos régoales er tour Nveau 7C 05 févrer 07 Durée 3 h Exercce (4 pots) ) Vérfer que, pour tous réels x, y, z o a : (x y z) x y z xy xz yz. Soluto ) La somme des

Plus en détail

IR homogène de degré α ( α IR ). (0.5 pt.)

IR homogène de degré α ( α IR ). (0.5 pt.) Javer 05 ( heures et 0 mutes) a) Sot IN 0 \ {} Défr : sous-esemble boré de IR sous-esemble covee de IR b) Soet les sous-esembles suvats de IR : A [-4,0] [0,] B {(,y) IR : + y 9} Représeter graphquemet,

Plus en détail

Semestre : 4 Module : Méthodes Quantitatives III Elément : Mathématiques Financières Enseignant : Mme BENOMAR

Semestre : 4 Module : Méthodes Quantitatives III Elément : Mathématiques Financières Enseignant : Mme BENOMAR Semestre : 4 Module : Méthodes Quattatves III Elémet : Mathématques Facères Esegat : Mme BENOMAR Elémets du cours Itérêts smples, précompte, escompte et compte courat Itérêts composés Autés Amortssemets

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes haptre 6 termale S Les ombres complexes 1 hstorque et créato : N Z ID Q R es esembles ot été costruts au fl de l hstore grâce à u même problème : certaes équatos ot des solutos das u esemble doé mas d

Plus en détail

Variables j.. p. Xij

Variables j.. p. Xij L alyse e Composates Prcpales (CP) O possède u tableau rectaulare de mesure dot les coloes sot des varables quattatves (mesuratos, taux, statos clmatques) et dot les les représetet des dvdus statstques

Plus en détail

Nombres complexes Sessions antérieures

Nombres complexes Sessions antérieures ème aée Maths Nombres complexes Sessos atéreures Aée scolare 9 - A LAATAOUI Exercce N (SP) Das le pla complexe P rapporté à u repère orthoormé ( Ouv ; ; ) o cosdère les pots A et B d affxes respectves

Plus en détail

II - Notions de probabilité. 19/10/2007 PHYS-F-301 G. Wilquet 1

II - Notions de probabilité. 19/10/2007 PHYS-F-301 G. Wilquet 1 II - Notos de probablté 9/0/007 PHYS-F-30 G. Wlquet Ue varable aléatore est ue varable dot la valeur e peut être prédte avec certtude mas dot la probablté d occurrece d ue valeur (varable dscrète) ou d

Plus en détail

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet.

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet. ère S Cotrôle du mard 7 javer 05 ( heures) D C N Le barème est doé sur 0 O répodra drectemet sur la cope foure avec le sujet U certa ombre de questos écesste ue recherche préalable au broullo O e rédgera

Plus en détail

M : Zribi. 4 ème Maths Chapitre 1. 1) Ensemble des nombres complexes : Activité 1:

M : Zribi. 4 ème Maths Chapitre 1. 1) Ensemble des nombres complexes : Activité 1: LSMarsa Elradh 1) Esemble des ombres complexes : Actvté 1: Résoudre das IN pus das Z l équato 5+x=1 ; résoudre das Z pus das Q l équato 3x=2 ; résoudre das Q pus das IR l équato : x²=2 Résoudre das IR

Plus en détail

3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'ECHANTILLONS

3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'ECHANTILLONS 3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'EHATILLOS Das de ombreuses alcatos ratques du calcul des robabltés, o retrouve u ou luseurs des schémas de trages robablstes d'échatllos que ous allos exoser. Le cadre gééral

Plus en détail

Quelques éléments de statistiques

Quelques éléments de statistiques Quelques élémets de statstques Avat-propos Ces quelques élémets coceret essetellemet les statstques au programme das l esegemet secodare. Ils preet appu sur les documets utlsés par M. ARTIGUES, IA-IPR

Plus en détail

Analyse de régression

Analyse de régression Itroducto à la régresso Aalyse de régresso La régresso est utlsée pour estmer ue focto f( ) décrvat ue relato etre ue varable explquée cotue,, et ue ou pluseurs varables explcatves,. = f(,, 3,, )+ε Remarque

Plus en détail

2. Statistique descriptive

2. Statistique descriptive - -. Statstque descrptve. Statstque descrptve «Ctoyes! Cessez de crore yeu fermés les statstces! Appreez à jauger» «Les corrélatos qu vous motret que plus l y a de médecs plus o meurt jeue!». Quelques

Plus en détail

Chapitre 8 Corrélation et régression linéaire simple. José LABARERE

Chapitre 8 Corrélation et régression linéaire simple. José LABARERE UE4 : Bostatstques Chaptre 8 Corrélato et régresso léare smple José LABARERE Aée uverstare 20/202 Uversté Joseph Fourer de Greoble - Tous drots réservés. Pla I. Corrélato et régresso léare II. Coeffcet

Plus en détail

ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES SIMPLES

ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES SIMPLES ANALYSE DES DONNÉES TEST DU KHI-DEUX ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES SIMPLES Perre-Lous Gozalez Mesure de la laso etre deux varables qualtatves Kh deux Equête : Êtes-vous «pas du tout d accord»

Plus en détail

Statistiques. Ne pas oublier - la légende sur les axes - les unités - un titre pour le diagramme

Statistiques. Ne pas oublier - la légende sur les axes - les unités - un titre pour le diagramme Statistiques I. Tableaux d effectifs, de fréqueces : 1. Calculer la fréquece d'ue valeur ou d'ue classe : Diviser l effectif de la valeur par l effectif total fréquece La somme des fréqueces est 1 (ou

Plus en détail

Limites de fonctions (1) Approche intuitive ; limites des fonctions de référence. 1 ère S. II. La fonction carrée. 1 ) Tableau de variation

Limites de fonctions (1) Approche intuitive ; limites des fonctions de référence. 1 ère S. II. La fonction carrée. 1 ) Tableau de variation ère S Lmtes de foctos () Approche tutve ; tes des foctos de référece II. La focto carrée ) Tableau de varato Das ce chaptre, o lasse provsoremet de côté les dérvées. I. Itroducto ) Rappel Déà vu : oto

Plus en détail