VI. Statistique descriptive.

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1 VI. Statstque descrptve. 1. Avat - propos : le sge sommatore. Soet x 1, x,...x : réels x 1 + x x = x Remarquos : Proprétés. 1 x = x j j1 1. x = x + x 1 p 1. kx = k x 1 1 p1 3. ( x y ) = x + y 1 Exercces Motrer ( x y ) 1 1. Décomposer ( x y ) 1 (p < ) = x + x y 1 3. Motrer : ( x a) x a y Démotrer (par récurrece) ( 1) a) = 1 b) 3 = 1 1. Statstque : rappel des élémets vus e quatrème..1 Gééraltés Statstque est u terme souvet recotré das le lagage courat actuellemet: o e trouve das les jouraux, à la T.V, das le domae scetfque, poltque, écoomque... Das ce chaptre, ous evsageros les règles de base permettat de rassembler les doées, calculer les valeurs cetrales et de dsperso mas auss ous chercheros à avor u regard crtque face aux chffres. E effet, l faut se redre compte que les etreprses peuvet utlser les doées à leur avatage. A partr de mêmes doées de départ, o peut mettre e évdece des choses tout à fat dfféretes. Exemple carcatural : das ue premère classe, sur 5 élèves, l y e a 7 qu ot plus de 85% et das ue secode classe, tous les élèves ot mos de 85%. S o s'arrête à ces chffres, o pourrat crore que la premère classe est plus forte que la deuxème. S o regarde u peu plus lo, tous les élèves de la deuxème classe ot etre 65 et 75%, alors que les 18 restat das la premère ot mos de 65%. Alors, quelle est la melleure des deux classes? O remarque que suvat deux pots de vue dfférets, o peut trer des coclusos très dfféretes. U autre exemple pourrat être l'terprétato des mêmes chffres d'ue equête sur les effets de la cgarette par des médecs ou par les fabrquats de cgarettes. Ef, avat de passer à la formalsato, preos quelques exemples où la démarche statstque sera employée. Exemple 1 Ue use fabrque ampoules électrques par jour. O désre coaître la proporto d'ampoules défectueuses das la producto. Commet s'y predre? Tester toutes les ampoules? Soluto exacte : Soluto statstque : mettre chacue de ampoules das u soquet et les tester. chosr 1000 ampoules parm les (échatllo) Les tester pour obter la soluto exacte pour ces 1000 ampoules Cosdérer cette soluto comme estmateur de la proporto exacte. 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 1

2 Exemple tré de la pharmacologe: U médec désre tester l'effet d'u médcamet sur le rythme cardaque; 50 malades cardaques sot choss et tratés avec ce médcamet. O ote pour chacu d'eux l'augmetato du taux de pulsatos. Esute, après avor examé ces résultats, le médec fère que ce médcamet aura les mêmes effets sur tous les futurs patets. Exemple 3 Sodages d'opo. Pour prédre le résultat d'électos e Frace, l'sttut chost 100 persoes sur votats. Le résultat de cette prédcto s'avère souvet vérfé. A travers ces exemples, ous voyos doc que le traval du statstce comportera tros partes - L'échatlloage et la collecte des doées (les résultats sot aléatores) - L'aalyse des doées. - L'férece à propos d'u plus grad esemble de doées: la populato. Remarques sur l'échatlloage: 1. Cet échatlloage est souvet dspesable pour dfféretes rasos: - coût trop élevé - facteur temps (ex : cela predrat trop de temps de tester ampoules) - talle de la populato (ex : ampoules, votats) - accessblté de la populato. - ature destructve de l'observato (tester la durée de ve d'ampoules: o e peut les tester toutes pour vor combe de temps elles résstet). L'échatllo 'est pas toujours représetatf de la populato - O peut parfos tomber das ue catégore spécfque (ex : o va au hasard das la rue pour fare ue étude de la talle des ges, et o crose ue équpe de basketteurs) - Le cas le plus fréquet: certas élémets de la populato 'ot aucue chace de fgurer das l'échatllo. U exemple typque de cette stuato est doé par les électos amércaes de 1936 etre Roosevelt et Lado. "Lterary dgest" avat terrogé pluseurs (3) mllos de persoes et avat prédt ue vctore de Lado avec u écart record. Or le résultat fut exactemet verse. Cette erreur état due au fat que l'échatllo avat été chos das les auares téléphoques. Or, au sortr de la crse, peu ombreux étaet les démocrates qu pouvaet se permettre u tel luxe. Ces types d'erreur sot très dffcles à évter. U échatllo 10 fos plus grad e doera pas écessaremet des résultats 10 fos melleurs. De même à partr de résultats statstques, l faudra se méfer: s das u jeu o a 95% de chaces de gager, l restera toujours 5% de chaces de perdre et o e peut doc prévor à l'avace s o va gager ou perdre!. Démarche statstque : Formalsato. La statstque recuelle et étude des observatos sur des esembles de même ature (persoes, amaux, objets...) L'esemble étudé est appelé populato Souvet l'étude 'est fate que sur ue parte de la populato appelée échatllo. L'étude se fat sur u trat de la populato appelé caractère. O recotre deux types de caractères Quattatf ( ex : mesure de températures, talle d'ue persoe, âge...) Qualtatf ( ex : professo, couleur des cheveux, moye de locomoto...) Parm les caractères quattatfs, deux stuatos peuvet se préseter: caractères dscrets : ombres eters ( ex: ombre d'efats das ue famlle, ombre de buts d'ue recotre de football,...) caractères cotus : toutes les valeurs d'u tervalle sot possbles ( ex : talle ou pods d'ue persoe...) 3. Aalyse de doées : varable statstque à caractère dscret 3.1 Présetatos umérques. Preos comme exemple la populato des recotres de football d'u week-ed dot les résultats sot publés das les pages sportves d'u joural doé. Comme varable statstque, ous predros le ombre total de buts marqués au cours de chacue des recotres. Nous costtuos as u échatllo de 50 recotres, ce qu ous doe les ombres suvats: VI - CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

3 Ce tableau as préseté appelé tableau brut 'est pas très parlat. Nous allos doc ordoer ces résultats pour obter le tableau ordoé Cette écrture reste quad même lourde, et l paraît plus téressat de 'écrre qu'ue seule fos les résultats se répétat e reteat le ombre de fos qu'ls apparasset. Nous allos as obter le tableau groupé. Nombre de buts Nombre de recotres Das ce tableau, les dfféretes valeurs du caractère sot désgées par x (modaltés) L'effectf des membres présetat le caractère x est désgé par r (Répéttos) = p 1 r est la somme des effectfs des dfféretes modaltés et vaut l'effectf total de l'échatllo. p est le ombre de modaltés dstctes. Das otre exemple, les x sot les valeurs 0, 1,, 3... les r sot les valeurs 7, 7, 15, 7,... le ombre de modaltés = 9 Af d'avor ue dée plus précse de la proporto das laquelle u résultat apparaît, ous pouvos calculer sa fréquece.(f ) exemple : 0, 1, et 3 ot ue fréquece égale à 7/50 a pour fréquece 15/50.. Nous pouvos auss ous demader combe de matches ot eu u ombre de buts féreur ou égal à la valeur cosdérée et obter as les effectfs cumulés. exemple : a pour effectf cumulé 9 3 a pour effectf cumulé 36 De là o dédura faclemet les fréqueces cumulées (F ): proportos des résultats féreurs ou égaux à ue valeur doée. Toutes ces valeurs sot rassemblées das le tableau recesé. Modaltés (Nbre de buts ) x Effectfs (Nbre de recotres) r fréqueces f effectfs cumulés R fréqueces cumulées F 0 7 7/50 7 7/ / / /50 9 9/ / / / / / /50 6 / / / /50 8 / /50 Mas cette présetato e ous motre pas ecore faclemet les résultats: les représetatos graphques serot plus explctes. 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 3

4 Représetatos graphques Le dagramme e bâtoets. O porte e abscsse les dfférets résultats et o trace sur ces valeurs des "bâtoets" de hauteurs proportoelles aux effectfs de chaque modalté O obtedrat u dagramme équvalet à l'échelle près 6 s o portat e ordoée les fréqueces respectves des 4 dfféretes modaltés Le polygoe des effectfs. Ce dagramme s'obtet de maère semblable au précédet. O porte e abscsse les dfférets résultats et e ordoée, les effectfs correspodats et o rele les pots obteus. A ouveau, o obtet u dagramme équvalet à l'échelle près e portat e ordoée les fréqueces au leu des effectfs Le dagramme e pyramde. Ce dagramme est semblable au dagramme e bâtoets : o verse smplemet l'abscsse et l'ordoée Le dagramme crculare Appelé parfos dagramme e camembert, ce derer est u dagramme d'are : la surface de chaque secteur crculare est proportoelle à la répétto de la modalté qu'l représete VI - 4 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

5 3.3 Valeurs cetrales. E observat les tableaux et graphques, ous pouvos ous poser dfféretes questos quat au résultat global. Est-ce la moyee arthmétque des valeurs ( c-à-d la somme des résultats dvsée par le ombre de résultats ) ou la valeur qu apparaît le plus souvet? ou ecore la valeur telle qu'l y at autat de résultats féreurs à celu-c que de résultats supéreurs. E fat, ces tros valeurs ot chacue leur mportace x p 1 r x est la moyee de l'échatllo (p est le ombre de résultats dstcts). Das otre cas x =,66. Le mode d'ue sére statstque est la valeur qu apparaît le plus souvet. Das otre exemple le mode est la valeur 3. La médae d'ue sére statstque est la valeur telle qu'l y at au maxmum 50 % des résultats strctemet féreurs à celle-c et au maxmum 50 % de résultats qu lu sot strctemet supéreurs Das otre cas, la médae vaut. E effet, 14 1 des résultats sot strctemet féreurs à et des résultats sot strctemet supéreurs à Parfos deux valeurs pourraet être cosdérées comme médae : das ce cas, o predra pour médae, la moyee etre ces deux valeurs. 3.4 Idces de dsperso. U derer pot d'observato est ecore fort utle : la répartto des résultats. Sot-ls groupés autour de la valeur cetrale ou au cotrare fortemet dspersés? Quatre élémets ous doet des réposes à ces questos. 1. L'étedue d'u tableau statstque est la dfférece etre la plus grade valeur et la plus pette. Notre exemple : l'étedue = 8. Les écarts à la moyee des dfférets résultats sot les dfféreces e valeur absolue etre la moyee et ces valeurs = x - x x Ecarts à la moyee La varace d'ue sére statstque, otée est la moyee arthmétque des carrés des écarts à la moyee. p s = 1 r ( x x) Das otre exemple s = Ef l'écart type, oté s est la race carrée de la varace. Das otre exemple : s = Remarque : parfos, les maches utlset 1 au leu de 1. (Parfos, o trouvera ue touche s -1 ). Il suffra alors de multpler les résultats par 1 4. Groupemet des doées e classes. Parfos, le ombre de résultats dfférets devet trop mportat. C'est le cas pour ue sére statstque à valeurs dscrètes dot le ombre de valeurs dstctes est grad mas c'est surtout le cas pour ue sére statstque à valeurs cotues. Nous allos alors dvser les résultats e classes, et esute fare le même traval que das le cas précédet. Chaque classe est désgée par sa valeur cetrale. Quelques otatos préalables. L'étedue d'ue classe est la dfférece etre ses extrémtés. La valeur cetrale d'ue classe sera otée x et vaut le cetre de l'tervalle ( ème classe) Les répéttos ou effectfs des classes : ombre d'élémets de cette classe oté r pour la ème classe. Le ombre de classes oté p L'effectf de la sére statstque qu vaut la somme des répéttos oté. 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 5

6 La fréquece d'ue classe : f = r La fréquece cumulée de chaque classe qu est la somme des fréqueces de cette classe et de celles qu la précèdet. F s = f 1 + f +...+f s = s 1 f Proprété : Das ue sére statstque d'effectf total compreat p classes d'effectfs respectfs r 1, r,...r p (, p N) E effet p f 1 p f 1 = 1 = f 1 + f +...+f p = r r r r r r 1 p Tableau recesé d'ue sére statstque groupée par classes. O a mesuré e cm la talle de 54 efats; Cela a doé les résultats suvats Comme das le paragraphe précédet, ous allos ordoer ces résultats, mas surtout les grouper e classes et calculer esute les répéttos des classes, leurs fréqueces, leurs fréqueces cumulées. L'esemble de ces valeurs est reprs das le tableau recesé qu sut. classes valeurs cetrales x Répéttos r Rép. cumulées R Fréqueces f Fréq. cumulées. F [11,118[ 115 / / [118,14[ / / [14,130[ / / [130,136[ / / [136,14[ / / [14,146] / /54 = 1 Il 'y a pas vramet de méthodes pour détermer le ombre de classes. Certas chossset de predre (.5 4 )classes, d'autres (log ) classes. Le plus souvet, o chost u ombre de classes comprs etre 5 et Représetatos graphques d'ue sére statstque groupée par classes. p 4..1 Hstogramme. O remplace le dagramme e bâtoets par l'hstogramme qu est u dagramme d'ares. E abscsse o porte les dfféretes classes, et sur chaque classe, o costrut u rectagle dot la surface est proportoelle au ombre d'élémets de la classe. Les hauteurs des rectagles e serot doc pas proportoelles aux effectfs des classes lorsque celles-c e sot pas toutes de même largeur. (c'est le cas de la derère classe c) Le graphque obteu e remplaçat les effectfs par les fréqueces est le même à l'échelle près. = efats VI - 6 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

7 4.. Polygoe des effectfs. Comme das le cas de statstques dscrètes, o peut obter le polygoe des effectfs à partr de l'hstogramme e relat les cetres des côtés supéreurs des rectagles précédets. Remarque : O covet parfos de compléter l'hstogramme par classes de même ampltude à effectf ul, l'ue à gauche et l'autre à drote des classes extrêmes et o jot par des segmets de drote les mleux de toutes les bases supéreures des rectagles as obteus Dagramme cumulatf. O e coaît les fréqueces cumulées que des extrémtés des classes. Etre ces pots, o e coaît pas les fréqueces cumulées exactes. C'est pourquo, après avor placé ces pots, o les rejot par des segmets de drotes qu doet des valeurs approchées des fréqueces cumulées des valeurs téreures aux classes. A ouveau, o obtet u dagramme équvalet à partr des effectfs cumulés plutôt qu'à partr des fréqueces cumulées Valeurs cetrales d'ue sére statstque groupée e classes. Le mode est la classe dot la fréquece est maxmale : c la classe [130,136] ou la classe de 133 La moyee est smplemet la moyee arthmétque de la sére e rameat toutes les valeurs d'ue même 1 classe à la valeur cetrale de celle-c c.-à-d. x p 1 r x où est l'effectf total de la sére, p le ombre de classes, r la répétto de la ème classe et x la valeur cetrale de celle-c. Das otre exemple : x = 1 ( ) = la médae est la valeur telle que 50% des effectfs sot supéreurs à celle-c et 50% lu sot féreurs c.-à-d. la valeur dot la fréquece cumulée vaut 0.5 Das otre exemple, elle e peut être détermée drectemet mas sera approxmée à partr du dagramme cumulatf. E effet e repreat ue parte de celu-c, ous obteos le graphque 0,796 D c-cotre Les tragles ABC et ADE sot semblables et doc AC BC B 0,5 AE DE AC AC AC 0,46 E A C 0. AC =1. et Med la médae vaut doc = Remarque : La drote x = Med partage l'hstogramme e partes de surfaces égales. O peut de même détermer les premer et trosème quartles: : valeurs dot les fréqueces cumulées valet respectvemet 0.5 et 0.75, c.-à-d. valeurs telles que 5% ou 75% de l'effectf leur sot féreurs. O procédera comme pour la médae pour les détermer. L'tervalle terquartle = la dfférece etre le trosème et le premer quartle (q 3 - q 1) ; das cet tervalle se stue 50% de l'effectf total. Et de même, o peut motrer que les drotes x = q 1, x = q et x = q 3 partaget l'hstogramme e 4 partes égales. 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 7

8 fréqueces cumulées (%) 4.4 Idces de dsperso d'ue sére statstque groupée e classes. Comme das le cas d'u tableau o groupé e classes, 3 dces de dsperso serot employés : l'étedue, la varace et l'écart type. L'étedue d'u tableau est la dfférece etre les deux valeurs extrêmes. Das otre exemple : l'étedue vaut : = 34 Mas cette valeur e doe pas ue boe dcato sur la dsperso des valeurs du caractère. La varace est la moyee des carrés des écarts à la moyee c.-à-d. : = 1 r ( x x) Das otre exemple : s = Ef l'écart type est comme précédemmet la race carrée de la varace. Cec ous permet de retrouver ue cohérece das les utés : la varace das otre exemple est exprmée e cm tads que l ' écart - type sera exprmé e cm. Das otre exemple s = Remarque L'écart-type predra tout so ses lors de l'étude de certaes dstrbutos dtes "ormales". O costatera e effet que pour ces dstrbutos : la surface de l'hstogramme comprse etre la moyee mos u écart-type et la moyee plus u écart-type vaut 68% de la surface totale de l'hstogramme. la surface de l'hstogramme comprse etre la moyee mos écart-type et la moyee plus écart-type vaut 95% de la surface totale de l'hstogramme. la surface de l'hstogramme comprse etre la moyee mos 3 écart-type et la moyee plus 3 écart-type vaut 99 % de la surface totale de l'hstogramme. 5. Iterprétato des résultats 5.1 Tous les dcateurs 'ot pas le même térêt Selo la stuato tratée les élémets à observer serot dfférets. Preos u exemple : le tableau suvat décrt la répartto des accdets de la route selo les heures de la jourée. O souhate dégager les tedaces essetelles des ces formatos. trache horare [0,3[ [3,6[ [6,9[ [9,1[ [1,15[ [15,18[ [18,1[ [1,4[ (e heures) ombre d'accdets O costate drectemet qu'u calcul de moyee serat c sas térêt : affrmer que les accdets de la route ot leu e moyee à 14h04 'a pas de ses. Cepedat, les resegemets relatfs à la répartto sot plus téressats. U graphque des fréqueces cumulées ous permet de le vor : p 1 10 trache horare fréqueces fréqueces cumulées [0,3[ [3,6[ [6,9[ [9,1[ [1,15[ [15,18[ [18,1[ [1,4[ heures VI - 8 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

9 Iterprétato : La classe horare [15,18[ est la plus dagereuse (0,8% des accdets) : c'est le mode de la sére. Quelques pots sgfcatfs sur le graphque : les pots d'ordoées 50, 5 et 75. Leurs abscsses (obteues par lecture sur le graphque) ous permettet d'affrmer que les accdets se répartsset selo le schéma : 5% 5% 5% 5% 0h 10h 15h 18h40 4h Et ous voyos as tout l'térêt des quartles (10h et 18h40) et de la médae (15h) O peut résumer cette courte étude par "Accdets : la pérode ore : 15h 18h40 Das la jourée, s u accdet sur deux se produt etre 10h et 18h40, c'est etre 15h et 18h40 qu'a leu le quart des accdets." Remarquos cepedat que das d'autres cas, la recherche de la médae 'a pas de ses. 5. Iterprétato d'dcateurs statstques Lors d'u exame, les otes suvates ot été obteues (après remse e ordre) : ote effectf La calculatrce ous fourt les résultats suvats : x = 9.75 et =,75 U échatllo est cosdéré comme "ormal" lorsque evro 30% des résultats sot hors de l'tervalle [ x -, x +] et 5% e dehors de l'tervalle [ x -, x +] Vérfos s l'échatllo obteu est "ormal". [ x -, x +] correspod à l'tervalle [6.9 ;1.5] otes sot stuées hors de cet tervalle, sot 7,5% de l'effectf des otes [ x -, x +] correspod à l'tervalle [4.;15.3] 4 otes sot stuées hors de cet tervalle, sot 5% de l'effectf. Nous pouvos schématser cette stuato sur le polygoe des effectfs L'écart-type apparaît as comme ue sorte d'étalo de dsperso La "ormalté" défe das ce problème sera explctée ultéreuremet. Les statstces ot recou et répertoré des réparttos dtes ormales comme celles cocerat les talles d'dvdus, leur pods, les caractérstques d'objets fabrqués par ue mache 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 9

10 6. Exercces gééraux 6.1 Statstque à caractère qualtatf Das les deux stuatos qu suvet, calculer l'effectf total et les fréqueces des dfféretes modaltés. Tracer le dagramme à rectagles as que le dagramme à secteurs Exercce 1 Das la populato des mltares e servce actf à l'armée belge à la date du 15/07/83, o a relevé le ombre de ceux-c das chaque domae Exercce Das u sttut d'esegemet, o a relevé le ombre d'élèves das chaque cycle: 6. Statstques à caractère dscret. Das les exercces suvats: 1. Former : a) le tableau ordoé (s écessare) b) le tableau des effectfs (et/ou des fréqueces) c) le tableau des effectfs cumulés (et/ou des fréqueces cumulées). Représeter : a) le dagramme e bâtos des effectfs (et/ou des fréqueces) b) le polygoe des effectfs cumulés (et/ou des fréqueces cumulées) 3. Détermer : a) les valeurs extrêmes, le(s) modes(s), la médae, les quartles, la moyee. b) l'étedue, la varace, l'écart - type. c) précser le ses de ces dfférets paramètres e focto du cotexte Exercce 1 Modaltés Effectfs terre 3480 ar mer 4760 Cycles Effectfs Observato 40 oretato 186 détermato 13 Das u carré de harcots o récolte 140 gousses et o compte le ombre de gras das chacue des gousses cuelles. Les résultats obteus sot : Exercce A la sorte d'ue chaîe de fabrcato, o tre chaque jour u lot de 1000 pèces prses au hasard et l'o poursut cette opérato pedat 100 jours. Das chaque lot, o compte les pèces défectueuses. Au bout de 100 jours, o a obteu: 6..3 Exercce 3 O a calculé le ombre de mllers de klomètres parcourus par dx peus de chacue des marques A et B avat usure. Les résultats suvats ot été obteus : Nbre de pèces defectueuses Nbre de lots A B VI - 10 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

11 6.3 Statstques à caractère groupé. Das les exercces suvats 1. Former a) le tableau ordoé (s écessare) b) le tableau groupé des effectfs (et/ou des fréqueces) c) le tableau groupé des effectfs cumulés (et/ou des fréqueces cumulées). Représeter a) l'hstogramme des effectfs (et/ou des fréqueces) b) le dagramme des effectfs cumulés (et/ou des fréqueces cumulées) 3. Détermer a) les valeurs extrêmes, la (les) classes(s) modale(s), la médae, les quartles, la moyee b) l'étedue, la varace, l'écart type c) précser le ses de ces dfférets paramètres e focto du cotexte Exercce 1 La sére suvate représete le quotet tellectuel de 100 efats: Grouper ce tableau e 9 classes, e preat pour lmtes de classes 55, 65, 75, Exercce Les élèves de deux classes dfféretes ot passé des tests cotés sur 100. Voc les résultats: Classe A Classe B Grouper ces tableaux e preat pour lmtes de classes 15, 5, Répodre esute aux questos et comparer les résultats Exercce 3 Pour comparer deux lots de blé cultvés, l'u avec egras, l'autre sas egras, o a mesuré les logueurs de quelques éps prélevés au hasard. Les résultats exprmés e cetmètres et au mllmètre près, sot rassemblés cdessous: Grouper ces tableaux e preat pour lmtes de classes 7 ; 7.5 ; 8 ;... 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 11

12 6.3.4 Exercce 4 Les mesures de la talle des dvdus d'ue populato d'u pett batrace ot four les résultats suvats: Exercce 5 Le tableau c-cotre ous doe le ombre de demades d'admsso, vetlé par âges, adressées par les trbuaux de la jeuesse à ue sttuto de la régo de Mos durat ue pérode détermée Exercce 6 Voc le relevé des âges des habtats d'ue commue à ue date précse Exercce 7 Voc, relevé e 1981, u sodage effectué sur u échatllo de votures de toursme pour lesquelles o a observé le klométrage parcouru au momet de la mse hors crculato Exercce 8 Les valeurs suvates doet le pods e kg des 40 membres d'u club sportf. Grouper ces doées e classes d'extrémtés 4, 50, 58, 66, 74, 80 avat d'e fare l'étude statstque complète. 6.4 Exercces varés Exercce 1 Talle e mm Nombre Talle e mm Nombre 11 à à à à à à à à 6 15 à 16 5 à à à à à 5 1 âges ombre de demades [1,3[ 1 [3,5[ 6 [5,7[ 3 [7,9[ [9,11[ 4 [11,13[ 6 [13,15[ 19 [15,17[ 5 [17,19[ 6 [19,0] 10 Ages (e aées) [0,10[ 48 [10,0[ 4 [0,30[ 60 [30,40[ 106 [40,50[ 94 [50,60[ 67 [60,70[ 43 [70,100] 40 Nombre d'hab. Klométrage (e 10 3 km) Nombre de votures [0,0[ 400 [0,40[ 650 [40,60[ 850 [60,80[ 800 [80,100[ 1600 [100,10[ 400 [10,140[ 00 [140,00] ) Iterrogé sur les performaces de sa voture, du pot de vue de la cosommato, Mr Dupot a calculé à pluseurs reprses la quatté d'essece (e ltres ) cosommée e 100 km. Il fourt les doées suvates, VI - 1 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

13 présetées par ordre crossat. : 4.05 ; 4.1 ; 4.0 ;4.5 ; 4.63 ; 4.76 ; 4.81 ; 5.03 ; 5.35 ; 5.50 ; 5.63 ; 5.78 ; 5.91 ; 6.00 ; 6.00 ; 6. ; 6.34 ; 6.4 ; 6.65 ; 7.17 ; 7.17 ; 7.44 ; 7.44 ; a) Regroupez ces valeurs e classes d'ampltude égale, les lmtes de la premère classe état [4.00 ; 5.00[. b) Calculez deux mesures de dsperso. ) Mr. Dupot dt de sa voture qu'elle est "sobre et régulère". Justfez cette apprécato e vous référat aux calculs que vous veez d'effectuer et dtes à quelles mesures se rapportet les qualfcatfs employés par Mr Dupot. 3) E supposat que Mr Dupot a payé so essece au prx costat de 3 fr/ltre, combe paye-t-l, e moyee, pour l'essece que sa voture cosomme e 100 km? 4) Mr Durad s'est lvré aux mêmes calculs que Mr Dupot. Sa voture cosomme e moyee 8 ltres aux 100 km, et l'écart-type de cette cosommato est de..9 ltres. Qualfez e deux mots la voture de Mr Durad, du pot de vue de sa cosommato Exercce Ue equête est meée pour u magaze auprès des lycées : "Combe fumez-vous de cgarettes par jour? Le tableau c-cotre e doe les résultats : a) Quelles rasos peuvet explquer le pourcetage de "sas répose"? Par la sute, o décde de e pas ter compte de cette doée (autremet dt, o cosdère la ouvelle sére statstque, dédute de la précédete e e reteat que les lycées ayat effectvemet répodu) b) Doez le tableau des fréqueces de cette ouvelle sére et représetez so hstogramme. c) Quelle est la moyee de la sére obteue? Exercce L'apttude à la lecture a été étudée chez les garços de 7 à 11 as. Le temps (secodes) ms pour lre u texte à haute et tellgble vox a été mesuré. Les résultats sot représetés das le tableau c-cotre: a)quelle est la médae de cette dstrbuto? b)quels e sot les quartles? c) Quelle est la moyee? d) Quel est l'écart - type? e) Que représete cocrètemet chacu de ces ombres? f) Ce groupe d'efats vous paraît-l homogèe e ce qu cocere la varable étudée? Justfez votre répose Exercce 4 Cgarettes : Fréqueces (Nb d'élèves) 0 à 5 35% 6 à 10 30% 11 à 15 10% 16 à 0 9% 1 à 5 % sas répose 14% Durée de lecture Nombre d'efats [5,30[ 1 [30,35[ 58 [35,40[ 5 [40,45[ 41 [45,50[ 19 [50,55[ 5 [55,60[ 3 [60,65[ 37 [65,70[ 7 [70,75] 11 Deux treurs X et Y s'affrotet e vue d'ue sélecto lors d'ue épreuve comportat vgt trs sur cble : Les résultats obteus par les treurs sot doés par le tableau ccotre.: Y X a) La moyee par tr permet-elle de départager les deux cocurrets? b) Repredre la questo précédete e e teat compte que des 10 melleurs trs. c) Calculer l'écart - type de chacue des séres du tableau. Quel est le treur le plus réguler? 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 13

14 6.4.5 Exercce 5 Cosdérer le dagramme c-cotre dquat les otes obteues das ue classe à u devor de statstque : les affrmatos suvates sot vraes ou fausses? a) La classe est surchargée. b) 40% des élèves ot ue ote féreure ou égale à 10 c) La moyee de la classe est égale à 11 d) Il y a autat de otes supéreures à la moyee de la classe que de otes qu lu sot féreures. effectfs otes Exercce 6 Ue mache remplt automatquemet des paquets de tabac. O prélève u échatllo de la producto; après pesée, o obtet la dstrbuto des masses des paquets suvate : 1. Calculer la moyee et l'écart-type de la dstrbuto des masses des paquets de tabac.. fare u ouveau tableau doat les effectfs par classe d'ampltude g et repredre les calculs précédets avec la sére as obteue. 3. Explquer la dfférece (sesble) etre les écarts types trouvés aux questos 1 et 4. Cette mache est-elle fable? Exercce 7 O doe la répartto d'u groupe d'efats par talles (e cm) 1. Tracer l'hstogramme de cette répartto.. Calculer la moyee x. 3. Calculer l'écart-type, pus le pourcetage d'efats ayat ue talle comprse etre : a) x - et x + b) x - et x + Que peut-o e coclure? Masse e grammes effectfs mos de 38 0 mos de 39 3 mos de mos de mos de mos de mos de mos de 4 84 mos de mos de mos de plus de 44 0 Talle (e cm) Effectf 80 à mos de à mos de à mos de à mos de à mos de à mos de exercce 8 Ue coservere almetare fabrque des plats cusés ms e barquettes automatquemet. "les pods ets" de produt de 60 barquettes sot cosgés c-dessous (e grammes) L'apparel de remplssage est e bo état de marche s 80 g x 840 g et 10g et s la proporto de barquettes hors de l'tervalle [ x -, x + ] e dépasse pas 30%. Motrer que l'apparel est défectueux. VI - 14 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

15 6.4.9 exercce 9 Das u cetre thermal, o a relevé la masse perdue (exprmée e kg) par les clets sur ue durée de 15 jours. Les valeurs obteues sot reprses das le tableau c-cotre a) Combe de persoes ot fréqueté ce cetre durat ces 15 jours? b) Représete l'hstogramme des effectfs c) Représete le polygoe des fréqueces cumulées d) Déterme la moyee arthmétque, la classe modale et la médae (de maère précse) e) Déterme l'étedue, la varace et l'écart-type. f) S ce cetre veut récompeser les 18% de ses clets qu ot perdu le plus de pods, déterme la masse mmale à perdre. 7. Statstque à varables Nous sommes souvet cofrotés à des doées etre lesquelles ous essayos d'établr des les telles que : La talle et le pods d'u groupe d'dvdus. le budget vacaces et les reveus des famlles Le pods des récoltes et la durée d'esolellemet ou la quatté de plue reçue Mas commet à partr de ces doées, trer des coclusos, exprmer le le qu les ut? Preos deux exemples qu ous servrot référece. 7.1 Exemple 1 Des élèves ot préseté u exame de mathématque et u exame de physque. Les résultats sot les suvats : Elèves N : Cote e math (sur 0) : x Cote e physque (sur 0): y Au vu de ces résultats, o peut se poser dfféretes questos : Les élèves forts e physque sot-ls forts e math? Y a-t-l u le etre la cote de mathématque et celle de physque? Et s ou, commet exprmer ce le? 7. Exemple U professeur de mathématques a flmé avec ue caméra umérque so fls e tra de lacer u ballo. E regardat cet eregstremet avec arrêts sur mages, l repère les doées présetées c-dessous. durée (e s) Hauteur (e cm) Commet, à partr de ces doées détermer ue focto h(t) qu exprme la hauteur du ballo e focto du temps? 8. Représetatos graphques Pour se fare ue melleure dée des problèmes, représetos les doées sur des graphques. 8.1 Exemple 1 Pour le premer exemple, ous obteos le graphque suvat (uage de pots) Masse (e kg) [0, [ [, 4[ [4, 6[ [6, 8[ [8, 1[ Effectfs 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 15

16 (hauteur e (m) cotes e physque cotes e mathématque 8. Exemple E procédat comme pour le premer exemple, ous obteos : ,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 temps (e s) 8.3 Observatos : E regardat ces graphques, ous costatos que le type de focto à ajuster sera dfféret selo les doées : pour le premer exemple, s o peut ajuster ue focto, l s'agrat plutôt d'ue focto du premer degré tads que das le secod, o chosrat ue focto du secod degré. 8.4 Gééralsato Lorsque ous avos u uage de pots (x, y ), dfféretes stuatos peuvet se préseter. a) Les pots sot dsposés de faço quelcoque : o dra que les caractères x et y sot dépedats. b) Les pots sot dsposés autour d'ue certae courbe : o pourra fare u "ajustemet graphque", c'est à dre tracer au meux cette courbe. La courbe la plus smple que l'o pusse obter est ue drote. Parfos l s'agra d'ue parabole, d'ue focto du trosème degré, ou d'autres foctos que ous seros ameés à étuder ultéreuremet. c) Tracer cette courbe à ma levée est très arbtrare, c'est pourquo, ous allos développer des procédures de calcul. 9. Ajustemet léare Das u premer temps, ous allos cosdérer des stuatos du gere du premer exemple, où le type de focto à ajuster est ue focto du premer degré. VI - 16 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

17 cotes e physque Ajustemet graphque "à vue" O trace ue drote qu ous semble la plus près possble des pots du uage. E preat deux pots de la drote, ous pouvos obter rapdemet so équato. S ous utlsos cette techque e classe das le premer exemple, ous costatos que pluseurs élèves peuvet obter des drotes et doc des équatos dfféretes. C'est doc ue méthode rapde mas très approxmatve Drote de Mayer O ordoe les pots de la sére de maère crossate selo les x et o dvse le uage e deux partes coteat le même ombre d'élémets (à ue uté près s les doées sot e ombre mpar). Das chaque sous-uage, o calcule le pot moye. La drote qu passe par ces deux pots est appelée drote de Mayer Das otre exemple, ous obteos 55 P 1 x 1, y 1 = 7, : pot moye des 6 premers pots 6 77 P x, y =,1 : pot moye des 5 derers pots 5 La drote P 1 P (drote de Mayer) a pour équato y = x Le graphque c-dessous repred à la fos les doées et la drote de Mayer Doées Drote de Mayer Pots moyes cotes e mathématque Ces méthodes, s elles ous permettet de détermer ue drote qu s'approche des doées e ous permettet pas de détermer "la melleure drote d'approxmato". Nous allos mateat défr des crtères qu vot permettre de décder quelle est cette "melleure drote" Ajustemet par la méthode des modres carrés. Preos ue stuato où ous avos pots : M 1, M,...M de coordoées respectves : (x 1, y 1 ) (x, y )...(x, y ) et sot d y = ax + b : la drote cherchée. (le graphque a été réalsé pour le cas de 3 pots) M y 1 1 M 3 y 3 y M x 1 x x 3 1 ère dée : chercher a et b pour que la somme des dstaces des pots M à la drote d sot la plus pette possble. E réalsat ces calculs, o obtet ue stuato très complquée. (Il faut alors mmser projecto orthogoale de M sur la drote. 1 M M' où M' est la 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 17

18 ème dée : o peut auss evsager de mmser la somme des carrés des dstaces des M à la drote cherchée, mas là auss cela reste très complqué 3 ème dée : O décompose le problème e partes plus smples Cosdéros d'abord P les pots d'tersecto des drotes parallèles à OY meées par M P 3 (le graphque c-cotre llustre ue stuato où o 'a que 3 pots) O veut que la somme des carrés des dstaces P P sot la plus pette M y 1 1 M 3 possble: c'est pourquo o appelle cette méthode la méthode des modres carrés. La drote obteue porte le om de drote de régresso de y e x. Esute, o cosdérera les pots d'tersecto des drotes parallèles à OX y 3 y M meées par M (vor graphque page suvate) et o mmsera la somme des carrés des dstaces M Q pour obter la drote de régresso de x e y. S ces drotes sot proches, (cofodues lorsque les pots sot algés), P 1 x 1 x x 3 c'est que l'ajustemet léare est "bo" pour la stuato étudée. Il faudra doc défr u coeffcet qu mesure l'écart etre les deux drotes : c'est le coeffcet de corrélato léare. ** Détermato de la drote de régresso de y e x : (pour formato) O veut mmser la somme :S = M 1P 1 + M P M P = M P = ( y ax b) 1 1 Nous allos mmser cette somme das le cas où o a tros pots. (O peut gééralser cette démostrato.) 3 1 S = ( y ax b) = (y 1 - ax 1 - b) + (y - ax - b) + (y 3 - ax 3 - b) = 3b - b(y 1 + y + y 3 -ax 1 -ax -ax 3 ) + y1 y y3 + a ( 1 x + x + x 3 ) a (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 ) E supposat a fxé, o cherche parm toutes les valeurs de b celle qu mmse la somme. O vot qu'l s'agt d'u trôme du secod degré e b, le mmum est doc attet pour b = ( y1 y y3 ax1 ax ax3) = y 1 y y 3 a x 1 x x 3 = y ax Nous avos as exprmé b e focto de a et de la moyee des x et y Et d y = ax + y ax y - y = a (x - x ) Nous observos que le pot moye de coordoée ( x, y ) d Das otre exemple : x = = 10,81818 et y = = 10,4545 et b = 10, ,8181 a S ous détermos la valeur de a, ous auros mmédatemet celle de b. E reportat la valeur de b trouvée das la somme à mmser, ous obteos : S a = [y 1 - ax 1 -( y ax )] + [y - ax -( y ax )] + [y 3 - ax 3 -( y ax )] = [(y 1 - y )-a(x 1 - x )] + [(y - y )-a(x - x )] + [(y 3 - y )-a(x 3 - x )] E ordoat cette expresso selo les pussaces de a, ous obteos : S a = a [(x 1 - x ) + (x - x ) + (x 3 - x ) ] - a [(x 1 - x ) (y 1 - y )+(x - x ) (y - y ) + (x 3 - x ) (y 3 - y ) ] +(y 1 - y ) + (y - y ) + (y 3 - y ) : ue focto du secod degré e a. Elle admet u mmum pour VI - 18 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

19 a = ( x x)( y y) ( x x)( y y) ( x x)( y y) ( x1 x) ( x x) ( x3 x) ( x1 x)( y1 y) ( x x)( y y) ( x3 x)( y3 y) = 3 ( x1 x) ( x x) ( x3 x) 3 Le déomateur de la fracto est la varace de la varable x et le umérateur est appelé covarace de x et y. et doc a = cov( x, y ) = var( x) (x x)(y 1 y) (x x) = (x x)(y 1 1 y) (x x) Ce résultat peut se gééralser au cas de observatos. Nous avos doc a = cov( x, y ) : coeffcet agulare de la drote de régresso de y e x. var( x) Cette drote mmse la 1 pour équato : y - y = a (x - x ) M P De même, la drote de régresso d' de x e y mmse la. Comme ous avos vu qu'elle passe par le pot moye ( x, y ) elle a doc 1 M Q O démotre de même que so coeffcet agulare a' = var( y ) cov( x, y) passe par le pot moye ( x, y ); elle a doc pour équato : y - y = a' (x - x ) O déft r = a a' = (cov( x, y)) var( x) var(y) cov(x, y) D'où l'o dédut : le coeffcet de corrélato léare r = (x) (y) et que d' O peut motrer que 0 < r < 1 Ce coeffcet permet de mesurer "l'écart" etre d et d'. S les drotes sot cofodues, a = a' et r = 1. S la dépedace léare est mauvase, r est élogé de 1. O cosdère que s r < 0.87, l 'y a pas de dépedace léare. Il y a ue corrélato postve etre les varables lorsque les varatos des deux varables se produset das le même ses (les petes des drotes de régresso sot postves) Il y a ue corrélato égatve etre les varables lorsque les varatos des deux varables se produset das le ses cotrare (les petes des drotes de régresso sot égatves) Das la pratque, ces calculs sot raremet effectués. La plupart des calculatrces scetfques actuelles permettet de détermer les drotes de régresso de faço très asée. 9. Sythèse sur les drotes de régresso y 1 y 3 y M 1 Q Q 3 Q 1 M M 3 x 1 x x 3 P 3 y 1 y 3 y M 1 P M M 3 y 1 y 3 y M 1 Q 1 M Q 3 3 Q M P 1 x 1 x x 3 x 1 x x 3 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 19

20 1. Covarace cov (x, y) = 1 1 ( x x)( y y). La drote de régresso de y e x : d y = ax + b mmse la M P d le pot moye : ( x, y ) et a = cov(x, y) = var( x) (x x)(y y) (x x) 3. La drote de régresso de x e y : d' y = a'x + b' mmse la M Q d' le pot moye : ( x, y ) et a' = 4. Le coeffcet de corrélato r r = a r = cov ( x, y ) (0 < r < 1) a' s( x) s( y) var( y) cov(x, y) 1 1 (y y)(x (y y) 1 x) d y - y = a (x - x ) d' y - y = a' (x - x ) S r < 0.87 : la dépedace léare est mauvase. S 0.87 < r < 1 l'ajustemet léare est bo et ue des drotes de régresso peut être prse comme ajustemet. 9.3 Applcato Reveos mateat à l'exemple 1 proposé plus haut. Nous allos calculer les drotes de régresso pour cet exemple et le coeffcet de corrélato léare. La calculatrce ous fourt drectemet les résultats : x = y = as que : a = 0,8867 b = 7,3316 et r = Nous avos as la drote de régresso de y e x : d 1 y = 0.8 x Pour détermer la drote de régresso de x e y, ous ous servros de la relato : r = a a a' = qu ous doe : a' = = a' r Or cette drote compred le pot moye ( x, y ) Et o a l'équato de d y =.1 (x - 10,8) y =.1 x Le graphque c-dessous repred les pots (x, y ) as que les drotes d 1 et d. x (cotes e math.) y (cote e phys.) VI - 0 CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

21 (hauteur e (m) Observ d1 d Le coeffcet de corrélato r = 0.37 état élogé de 1, le décalage etre ces deux drotes est mportat : o cosdère doc qu'l 'y a pas de dépedace léare. 10. Ajustemet quadratque. Das le secod exemple proposé, ous voulos ajuster ue courbe du secod degré. Nous pouvos égalemet procéder par tâtoemet : par exemple e résolvat u système de 3 équatos à 3 coues (e preat 3 des pots des doées) qu se ramèe rapdemet à u système de deux équatos à coues pusque l'o coaît l'ordoée à l'orge. Comme das le cas d'u ajustemet léare, selo les pots choss, ous auros pluseurs paraboles possbles. Das le cas qu ous occupe, o peut se référer aux formules de cématque vues au cours de physque. A ouveau, comme das le pot précédet, l va fallor chosr parm toutes les possbltés la "melleure courbe". Cepedat, ous e développeros pas c les méthodes mathématques qu permettet de chosr cellec, ous ous coteteros d'utlser otre calculatrce. Das l'exemple proposé, ous obteos : h(t) = t t qu est comme ous pouvos le vérfer égalemet assez proche des valeurs trouvées par tâtoemets. Graphquemet, ous obteos : , 0,4 0,6 0,8 1 1, temps (e s) doées ajustemet 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 1

22 11. Exercces Exercce 1 Ue frme productrce de véhcules spécaux etrepred ue étude statstque de ses coûts de producto. Ue collecte de doées est résumée das le tableau suvat : Représeter graphquemet ces doées détermer les drotes de régresso assocées à celles-c. 11. Exercce Le tableau c-cotre doe quelques chffres sur le toursme e Europe : Allemage 4,9 450 O demade 1 de costrure le uage de pots et de dre s u ajustemet léare paraît vrasemblable. d'établr les équatos des drotes de régresso de y e x et de x e y 3 de desser ces drotes Espage Frace Itale Susse 4,1 5,5 8,6 4, de calculer le coeffcet de corrélato et d'dquer ce que sgfe c ce coeffcet Exercce 3 La drecto commercale d'ue etreprse dustrelle a augmeté régulèremet ses dépeses publctares pedat pluseurs aées. a) A partr du tableau c-cotre, comparer la progresso du chffre d'affares avec les dépeses e détermat les drotes de régresso et le coeffcet de corrélato. b) Tracer le uage de pots correspodat et les drotes de régresso. c) Estmez les dépeses publctares à cosetr pour attedre comme chffre d'affare. Cette estmato est-elle fable? d) Peut-o estmer le chffre d'affares auquel o peut s'attedre s l'etreprse augmete so budget publctare jusque 3 000? Justfer 11.4 Exercce 4 Nombre d'utés produtes : x Coût global de producto. : y (e 10 3.) But : doser les trtes das l'eau af de détermer l'dce de polluto Cocetrato (mg/l) Absorbace orgaque de l'eau avat et après laguage (stato de Sart-Berard) 0 0 (Expéreces réalsées das les classes de bologe applquée du collège) O établt doc ue gamme étalo e trates allat de 0 à 5 mg de trates par ltre Les résultats des mesures étalos sot doés das le graphque ccotre a) Doer ue expresso de l'absorbace e focto de la cocetrato (drote de régresso) b) Exprmer la cocetrato e focto de l'absorbace. b) S l'absorbace vaut 0.40, estmer la valeur de la cocetrato e trates. Pays Nombre total de tourstes arrvat (e mllos.) Recette totale (e 10 6 ) Aée Dép. pub. (e ) Chffres d'affares (e ) VI - CNDP Erpet - Statstques 7/1/013

23 11.5 Exercce 5 Das u ace rapport sur la cojocture écoomque, o relève le tableau c-cotre : a) Détermer les drotes de régresso de cette sére statstque. b) Calculer so coeffcet de corrélato? Que pouvez-vous coclure? c) S l'dce des prx vaut 155, peut-o prévor le taux des salares? Cette prévso est-elle fable? Justfer. Frace taux des salares horares dce d'esemble des prx de détal Mars Ju Sept Déc Mars Ju Sept Déc Mars Ju Sept Exercce 6 U test permet de mesurer l'apttude à la lecture d'efats e focto de leur âge. x représete l'âge et y la durée de lecture (e secodes) a) Détermer les équatos des drotes de régresso b) L'hypothèse : plus l'âge augmete, plus la durée dmue est-elle vérfée? Justfer. x y Exercce 7 Ue socété a ms au pot u produt. Ue equête meée auprès de 500 persoes a motré ue relato etre le prx x proposé (e ) pour ce produt et le ombre de clets dsposés à l'acheter à ce prx. Les résultats de cette equêtes sot doés das le tableau c-cotre. a) Costrure le uage de pots b) Détermer les drotes de régresso et les tracer sur le graphque. c) Iterpréter le coeffcet de corrélato. d) S o proposat le produt à 30, à combe peut-o estmer le ombre de persoes qu e achèteraet? Cette estmato est-elle fable? Pourquo? Prx (e ) Nombre de clets Exercce 8 Preos la stuato fctve où l'o mesure la productvté d'u groupe de travalleurs de hut heures à quze heures : Das ce tableau, o vot la productvté croître tout au log de la jourée pour dmuer sous l'fluece de la fatgue e f de jourée. O amerat savor s la productvté est focto de l'heure de la jourée. Représeter graphquemet la stuato et utlser l'ajustemet le plus appropré. Heure du jour Productvté 8 1,0 9 13, , ,4 1 14, , , ,0 7/1/013 CNDP Erpet - Statstques VI - 3