Chapitre 11 : Statistiques

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1 Chapitre 11 : Statistiques Objectifs : *Savoir faire une étude statistiques d un problème * Connaitre tous les outils statistiques à disposition ( fréquence, effectif cumulé croissant, représentations graphiques, moyenne, étendue, médiane, quartile, écart interquartile, diagramme en boite, variance, écart-type). Concrètement : * On effectue des études statistiques dans de nombreux domaines. Etude des notes d une classe, répartition des salaires dans une entreprise, propagation et évolution d une maladie, *On trouve deux sortes d études statistiques : les études sérieuses qui exploitent les paramètres efficacement et les études statistiques erronées dont les résultats mathématiques sont justes mais leur interprétation est fausse. I. Notions de bases (rappel) 1) Vocabulaire et calcul de fréquences Dans une étude statistique, on recueil des données sur un caractère d individus d une population. Le caractère étudiée prend alors un ensemble de valeurs qui peuvent être numériques ( on dit alors que le caractère est quantitatif) ou non ( on dit que le caractère est qualitatif). Le nombre d individus chez lequel on observe un caractère est appelé effectif. Exemples : 1) On s intéresse à une population d individus d élève de 15 ans. On étudie comme caractère les prénoms. On s intéressera ici à la répartition de 4 prénoms dans un lycée de 15 élèves de 15ans : Mohammed, Camille, Lucie, Valentin et les autres. Prénom x i Mohammed Camille Lucie Valentin Autres Nombre d élèves n i Effectif cumulé croissant 5 fréquence Fréquences cumulées croissantes

2 2) On s intéresse aux résultats d une classe de trente élèves de seconde au dernier DS. On étudie comme caractère les notes. Notes x i Nombre d élèves n i Effectif cumulé croissant fréquence Fréquences cumulées croissantes Dans l exemple 1, le caractère est qualitatif et dans le 2 il est quantitatif. La fréquence s exprime parfois en pourcentage ( il suffit de multiplier par 1 les résultats suivants). La dernière case des effectifs cumulés croissants donne l effectif total de la série. La dernière case des fréquences cumulées croissantes doit être de 1 (1 en pourcentage) environ ( car les arrondis de chaque valeur peuvent entrainer un petit écart). 2) Regroupement des données en classe Il est parfois intéressant de regrouper les données dans des intervalles appelés classes. Notes x i [ ;9[ [9 ;11[ [11 ;13[ [13 ;2[ Nombre d élèves n i Effectif cumulé croissant fréquence Fréquences cumulées croissantes La différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur d une classe est appelée amplitude de la classe. (9-=9 l amplitude de la classe est 9)

3 3) Représentation graphique a) Nuage de points et diagramme en batons : L abscisse est la valeur du caractère x i et l ordonnée est soit la fréquence f i soit l effectif n i b) Courbe de fréquences cumulées : L abscisse est la valeur du caractère x i et l ordonnée est la fréquence cumulée croissante. 1,5 1,5 5 1 c) Histogramme : L abscisse est la valeur du caractère ( donnée en classe) et l ordonnée est soit la fréquence f i soit l effectif n i [;2[ [2;4[ [4;6[ [6;8[ d) Diagramme à secteurs ou diagramme circulaire ( camembert) : On trace un cercle puis chaque secteur angulaire est proportionnel à l effectif : Notes x i [ ;9[ [9 ;11[ [11 ;13[ [13 ;2[ Total Nombre d élèves n i angle( ) 36 [;9[ [9;11[ [11;13[ [13;2[

4 II. Calcule des paramètres à la calculatrice III. Paramètres de position 1) Moyenne Définition : La moyenne x d'une série statistique dont les valeurs du caractère sont x 1, x 2,, x k, les effectifs correspondants sont n 1, n 2,, n k et les fréquences associées sont f 1, f 2,, f k est égale à : Exemple : La moyenne des notes des élèves dans l exemple précédent : Interprétation : Si tous les élèves de la classe avaient eu la même note, ils auraient tous eu 1,5. Remarque :Pour une série regroupée en classes, on obtient une valeur approchée de la moyenne de la série en prenant pour x i les centres des classes. (pour [ ;9[ : on prend =4,5)

5 2) Médiane Définition : Pour obtenir la médiane d'une série, on range les valeurs de la série dans l'ordre croissant. La médiane est la valeur qui partage la série en exactement deux populations d'effectif égal. Remarques : Pour une série regroupée en classes, la classe à laquelle appartient la médiane est appelé classe médiane. Pour les calculs, une méthode efficace est de prendre l effectif total. *Si il est impair, on le divise par deux et on arrondi à l entier supérieur : ce qui nous donne la valeur correspondant à la médiane. *Si il est pair, on le divise par deux et la valeur correspondant de la médiane est comprise entre la position que l on vient de trouver et la suivante. Exemple :Pour les notes, l effectif total est de 3. 3/2=15 donc la médiane se situe entre la 15 ème et la 16 ème valeur c est-à-dire entre 1 et 1 donc med =1. (Si on utilise les notes regroupées en classe, la classe médiane est [9 ;11[). Interprétation : On en déduit que dans cette classe de seconde la moitié des élèves ont plus de 1 et l autre moitié moins de 1. 3) Quartiles Définitions : Le premier quartile Q 1 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25% des valeurs sont inférieures ou égales à Q 1. Le troisième quartile Q 3 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75% des valeurs sont inférieures ou égales à Q 3. Remarque : Pour les calculs, une méthode efficace est de prendre l effectif total et de le multiplier par ¼ (ou ¾). L arrondi à l entier supérieur du résultat donne le rang du quartile. Exemple : Pour les notes précédentes : Interprétation : Dans cette classe de seconde, au moins 25% des élèves ont eu moins de 9 et au moins 75% des élèves ont eu moins de 12.

6 III. Paramètres de dispersion 1) Etendue Définition : L étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série. Exemple : L étendue des notes de la classe de seconde est de 13. 2) Ecart interquartile Définition : L'écart interquartile d'une série statistique de premier quartile Q 1 et de troisième quartile Q 3 est égal à la différence Q 3 - Q 1. Exemple : Pour la série des notes, l'écart interquartile est égal à: Q 3 - Q 1 = Remarque : L'écart interquartile d'une série mesure la dispersion autour de la médiane. L'écart interquartile n'est pas influencé par les valeurs extrêmes de la série. Interprétation : Dans la classe de seconde, il y a au moins 5% des élèves qui ont eut entre 9 et 12 Exercices : Indice PES 211 Bordas 2,3,4p17+act3 et 4p165 2) Variance Définitions : - La variance V d'une série statistique de moyenne x dont les valeurs du caractère sont x 1, x 2,, x k et les effectifs correspondants sont n 1, n 2,, n k est égale à :... k k n1 x1 x n2 x2 x n x x V n n... n L'écart-type d'une série statistique de variance V est égal à : V k Exemple : Pour la série étudiée dans le chapitre, la variance est égale à : 7,67 2,77 L'écart-type possède la même unité que les valeurs de la série. Ainsi pour la série étudiée, l'écart-type est environ égal à 2,77 points

7 Remarque : L'écart-type exprime la dispersion des valeurs d'une série statistique autour de sa moyenne. Les valeurs extrêmes influence l'écart-type. Interprétation : La moyenne était de 1,5. Pour être plus précis, on peut dire que, en moyenne, les élèves ont eu des notes entre 7,73 et 13,27 Exercices : Indice PES 211 Bordas 13,15,16p171+act2p164 IV. Diagramme en boîte Ce type diagramme porte également le nom de boîte à moustaches ou diagramme de Tukey. John Wilder Tukey (1915 2) était un statisticien américain. Dans certains cas, on remplace le minimum et le maximum par le premier et le neuvième décile. Exercices : Indice PES 211 Bordas 5,9,1,18,21p171+26,27p172+45p174+52,54,58p176+61p177+69,71,72,74p18+tp4p186 Exercices supplémentaires : Indice PES 211 Bordas 1,6,7,8,11,12,14,17,19,2p171+22,23,24,25,28,29,3,31,32,33p172+p173+4,41,42,43,44p174+ p175+53,55,56,57,59p176+6,62,63,64,65,66,67,68p177+p178,179+7,73,76p181+77p182

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