Chapitre 1.1a Les oscillations

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1 Chapre 1.1a Les oscllaons La cnémaque La cnémaque es l éue u mouvemen un obje en foncon u emps. Pour ce fare, nous avons recours au conceps e poson, vesse e accéléraon : Poson : ( uné : m Vesse : v ( uné : m/s ccéléraon : a ( uné : m/s L objecf e la cnémaque es e éfnr ces ros foncons u emps. Ces équaons formen ensemble les équaons u mouvemen. Grâce au calcul fférenel e négral, l ese les relaons mahémaques enre ces foncons 1 : Relaon avec la érvée : ( ( e a ( v v ( ( Relaon négrale : v ( v a ( e ( v ( La cnémaque avec une accéléraon consane Consérons une accéléraon consane e la forme ( a a. Nous pouvons reconsrure oues les équaons u MU à parr e l équaon fférenelle suvane : ( a e a (accéléraon consane 1 v ( v a ( v ( v a (Remplacer ( ( [ ] ( v v a v ( v a a a (Résoure l négrale (Évaluer l négrale + ( v ( ( ( v + a (Remplacer ( ( v [ ] ( v a + (Résoure l négrale 1 + v + a (Évaluer l négrale 1 Rappel e mécanque : Physque XXI Volume, chapre 1.13 e 1.1 Rappel e mécanque : Physque XXI Volume, chapre 1.6 Référence : Marc Ségun, Physque XXI Volume C Page 1 Noe e cours régée par : Smon Vézna

2 L oscllaeur harmonque smple (OHS L oscllaeur harmonque smple OHS es une équaon fférenelle 3 relan la poson à l accéléraon a e la façon suvane : a ω À l ae es relaons fférenelles relan (, v ( e ( pouvons évelopper l OHS e la façon suvane : a enre elles, nous v a ω ω (Défnon e l accéléraon, a v / ( / ω (Défnon e la vesse, / ω (Dérvée secone, ( v / / / Nous avons c une équaon conenan unquemen une référence au concep e poson ans que sa érvée secone par rappor au emps. La soluon e cee équaon fférenelle es une équaon u mouvemen ( assocé à un obje qu sub une accéléraon e la forme a ω. Pour soluonner cee équaon fférenelle parculère, l fau : rouver une équaon ( elle que «érvée eu fos» par rappor à, elle es égale à elle-même mulplée par la consane ω. Cho #1 : e ω e ωe ( ( ω Vérfcaon : e ω Concluson : Ce cho n es pas vale, car ω ω. Cho # : sn ( ω + φ ω ω ω Vérfcaon : Concluson : ( sn( ω + φ ( ω cos( ω + φ ω sn ( ω + φ ω Le cho # es juceu e la foncon es une soluon parculère e l équaon fférenelle e l OHS Cee soluon pore le nom e mouvemen harmonque smple (MHS. 3 Une équaon fférenelle es une relaon mahémaque enre une ou pluseurs foncons nconnues e leurs érvées. Référence : Marc Ségun, Physque XXI Volume C Page Noe e cours régée par : Smon Vézna

3 Le mouvemen harmonque smple (MHS L équaon u mouvemen harmonque smple MHS es la soluon à l équaon fférenelle e l oscllaeur harmonque smple OHS e elle es représenée mahémaquemen à l ae une foncon snusoïale. Les conons e poson nale e e vesse nale v nécessare à la escrpon complèe u mouvemen ( son écres à l néreur es paramères amplue e e consane e phase φ : ( ( ω +φ sn où ( : Poson e l obje selon l ae (m Preuve : : mplue u mouvemen (m ω : Fréquence angulare (ra/s : emps (s φ : Consane e phase (ra La preuve éallée relan le MHS ( ( ω +φ < > - Le sysème masse-ressor es un OHS, le mouvemen es onc un MHS. sn comme éan la soluon la plus générale à l OHS a ω es réalsée au chapre 1.1c. On y rouve égalemen les relaons relan e v au paramères e φ. Paramères e l équaon u mouvemen harmonque smple Le mouvemen harmonque smple ulse la foncon snus pour eprmer la poson en foncon u emps. Essayons e meu comprenre les paramères ulsés pour écrre ce mouvemen. mplue : L amplue es la poson mamale aene uran le mouvemen. Cee poson osclle snusoïalemen enre e +. E : ( m 1 1 ( 1sn ω ( s ( m ( m 5 5 sn ( ω ( 5sn ω ( s ( s Référence : Marc Ségun, Physque XXI Volume C Page 3 Noe e cours régée par : Smon Vézna

4 Péroe : La péroe représene le emps requs pour effecuer une oscllaon complèe. Cee conon es vérfée lorsque l obje reven à sa poson nale avec la même vesse (moule e orenaon. E : ( m ( m sn ( m 3 ( ω ( s ( s ( s 1 s 5 s Consane e phase φ : La consane e phase joue le rôle e conon nale sur la poson à. On ulse la consane e phase pour ajuser l argumen e la foncon snus afn e ben fare corresponre e v à. E : ( m sn ( ω ( m ( m φ sn sn ( ω + φ 3 ( ω + / ω ( ra ω ( ra / ω ( ra ( m sn ( ω + ( m sn( ω + 3 / ω ( ra 3 / ω ( ra ( m sn ( ω / ( m sn ( ω / ω ( ra ω ( ra Référence : Marc Ségun, Physque XXI Volume C Page Noe e cours régée par : Smon Vézna

5 Fréquence angulare ω : La fréquence angulare ω représene la vesse à laquelle une oscllaon complèe peu êre effecuée. Une oscllaon es compléée après raans parcourus ans la foncon snus uran une péroe complèe. ns, on peu reler la fréquence angulare ω e la péroe grâce à l epresson suvane : où ou ω ω ω : Fréquence angulare (ra/s : Cycle comple en raan e la foncon snus e l oscllaon (ra : Cycle comple emporel e l oscllaon, péroe (s Poson en foncon e : (secone ( m sn ( ω Poson en foncon e ω : (raan ( m sn ( ω 3 ( s 3 ω ( ra Suaon 1 : Du graphque à l équaon. Dans un sysème bloc-ressor, la poson u bloc es onnée par le graphque c-conre. On ésre éermner la valeur es paramères qu permeen e écrre le mouvemen u bloc à l ae e la foncon sn(ω.,1,1 (m 6 8 (s À parr u graphque, on peu lre l amplue e la péroe e l oscllaon :,1 m e 8 s On peu manenan évaluer la fréquence angulare : ω ω ω ra/s 8 ( Nous avons ans l équaon u mouvemen suvane : sn( ω,1sn Référence : Marc Ségun, Physque XXI Volume C Page 5 Noe e cours régée par : Smon Vézna

6 Suaon : De l équaon au graphque. La poson un moble en foncon u emps es onnée par l équaon,5 sn(,98 + 3/ où es en mères, es en secones e la phase u snus (la parenhèse es en raans. On ésre racer le graphque ( pour 1 s. À parr e l équaon, nous pouvons éfnr l amplue, la fréquence angulare e la consane e phase :,5 m ω,98 ra/s φ 3 / Nous pouvons évaluer manenan la péroe e l oscllaon : ω Évaluons la poson à : 6, s ω (,98,5sn(,98( + 3 /,5sn( 3 /,5 m ns, nous pouvons représener cee foncon grâce au graphque suvan : ( 1,6 s (m,5 Déphasage emporel, /,5 1,6 3,,8 6, 8 9,6 (s Remarque : Un éphasage e φ 3 / es équvalen à un éphasage e φ / (m,5 Déphasage angulare, Φ - /,5 ω (ra Référence : Marc Ségun, Physque XXI Volume C Page 6 Noe e cours régée par : Smon Vézna

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