Chapitre III Généralités sur les fonctions

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1 Chapitre III décembre 0 Table des matières Notions de fonctions Définition Représentation graphique Applications aux équations Résolution algébrique d équation Résolution graphique d équation Variations d une fonction Définitions Tableau de variation Extremums Programmes Le mot fonction est emprunté sous la forme simplifiée funcion (70) au latin functio "accomplissement, exécution", en français courant. Au 8ème Euler (707-78) propose l idée qu une suite de courbes, donc d expressions, représentait une fonction. C est Leibniz (66-76) qui utilise le mot fonction pour la première fois en mathématiques en 67, mais la première définition fut donnée par J.Bernouilli (6-70). Pour le symbolef(.), il a été introduit par Euler en 7 dans Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae.

2 Chapitre. NOTIONS DE FONCTIONS.. Définition Définition : Fonction Une fonction f d un ensemble I dans un ensemble J est un objet mathématique qui à tout élément dei associe un unique élément dej, notéf(x). L ensemble I est l ensemble de définition def. Le nombref(x) est l image dexpar la fonctionf. C est un élément dej. Le nombrexest un antécédent def(x) parf. Notation : Pour expliciter l expression de la fonction ainsi que les ensembles qu elle lie, on utilise la notation f : I J x f(x) Exemples :. Associer à tout élève de la classe sa pointure de chaussures définit une fonction p de l ensemble des élèves de la classe dans l intervalle[0;0]. L image de parpest la pointure 0. Réciproquement, et sont deux antécédents de 0 parf.. Associer à tout nombre réelxson carré définit une fonctiong de l ensemble des nombres, noté R dans l ensemble des nombres positifs, noté R +. Le nombre 6 est l image de par g,et sont deux antécédents de 6 parf.. Associer à tout nombre entier n un de ses diviseurs n est pas une fonction. En effet, un entier peut avoir plusieurs diviseurs et donc plusieurs images par cette opération. Par contre, associer à tout nombre entier positif le nombre de ses diviseurs positifs définit une fonction bien connue en arithmétique, appelée ϕ. Son ensemble de définition est l ensembles des entiers positifs, noté N. Par exemple, l image de 6 par ϕ est car 6 a diviseurs qui sont,,,6. Exercice résolu : On considère la fonctionf définie par. Quel est l ensemble de définition def?. Calculer l image de6parf. f : R R + x x +. Déterminer un (ou les) antécédent(s) de6parf.. D après la notationf : R R +, on a donc D f = R, ensemble de tous les nombres.. f(6) = 6 + = 76. L image de6parf est 76.

3 Cours de mathématiques nd Suite de la solution :. On cherche x tel quef(x) = 6. f(x) = 6 x + = 6 x = x = x = ±. Les antécédents de6parf estet. Function In mathematics a function is a relation between a given set of elements (the domain ) and another set of elements (the codomain ), which associates each element in the domain with exactly one element in the codomain. The elements so related can be any kind of thing (words, objects, qualities) but are typically mathematical quantities, such as real numbers. Image and preimage under a function If f is a function and x an element of its domain, then y = f(x) is the image ofxunder f. Conversely, the numberxis know as the preimage ofy under functionf... Représentation graphique Définition : représentation graphique Soitf une fonction définie sur un ensemblei et (O;I,J) un repère du plan. La représentation graphique de la fonction f est l ensemble des points M du plan de coordonnées (x,y) avecx I et y = f(x). Cet ensemble est souvent noté C f. f(x) J images ( ) x;f(x) antécédents O I x Graph of a function The graph of a function f is the collection of all ordered pairs (x,f(x)). In particular, ifxis a real number, graph means the graphical representation of this collection, in the form of a curve on a Cartesian plane. Graphing on a Cartesian plane is sometimes referred to as curve sketching. Définition : Tableau de valeurs d une fonction Pour tracer la représentation graphique d une fonction, on établit un tableau de valeur de la fonction.

4 Chapitre Remarque : L utilisation de la calculatrice permet de gagner beaucoup de temps. Voir module. Exercice résolu : Soit f : [- ;] R x x x. Dresser un tableau de valeur de la fonction f de pas sur[;].. Tracer la représentation graphique def. (Unité carreau sur chaque axe). Déterminer graphiquement l (les) antécédent(s) de?. Le pointade coordonnées(,8) appartient-il à C f?. f() = () () = ; f( ) = ( ) ( ) =,... On obtient le tableau de valeurs : x f(x) - -. Graphiquement : On trace la droite d équation y =. Elle coupe C f en deux points dont les abscisses sont. et.. Les antécédents de sont. et... f() = = 9. Les coordonnées (; 8) ne vérifient pas l équation de la courbe donc le pointan appartient pas à C f.. Remarque : la recherche d antécédents par la méthode graphique ne permet pas d obtenir des valeurs exactes mais seulement des approximations. Dans l exemple ci-dessus, les valeurs exactes des antécédents deparf sont + 7 et 7.. APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS.. Résolution algébrique d équation Rappel : On sait déjà résoudre trois types d équations par le calcul : Les équations du premier degré. Ce sont toutes les équations du typeax+b et celles qui s y ramènent après développement, réduction ou transposition.

5 Cours de mathématiques nd Exercice résolu : Résoudre l équationx+ = x+ (x+). x+ = x+ (x+) x+ = x+ x0 xx+x = 0 6x = 8 x = 8 6 = Les équations produits : Ce sont les équations du type p q = 0 et toutes les équations s y ramenant après transposition ou factorisation. Exercice résolu : Résoudre l équation(x+)(x+) = (x+)(x+). (x+)(x+) = (x+)(x+) (x+)(x+) (x+)(x+) = 0 (x+)[(x+) (x+)] = 0 (x+)(x ) = 0 Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul. x+ = 0 OU x = 0 x = x = x = x = Les équations du typex = a dont les solutions sont a et a. Exercice résolu : Résoudre l équationx + =. x + = x = x = x = ±.. Résolution graphique d équation Il y a des équations que l on ne sait pas (encore) résoudre par le calcul. On utilise alors une méthode graphique pour avoir une approximation d une solution. Nous traiterons des exemples pour être plus clair.

6 Chapitre Exemple : Résoudre l équation : x x = On trace la représentation graphique de la fonction f(x) = x x. y = C f Résoudre l équation f(x) = x x = revient à chercher les points qui ont pour image par f. Graphiquement, les solutions semblent être et. On note : S = {;}. Exemple : Résoudre l inéquation x x On trace la représentation graphique de la fonction f(x) = x x. C f y = Résoudre l inéquation f(x) = x x revient à chercher les points qui ont une image inférieure à. Graphiquement, les solutions semblent être tous les nombres compris entre 0 et inclus. On note : S = [0;]. Exemple : Résoudre l équation : x x = x On trace la représentation graphique de la fonction f(x) = x x et de g(x) = x. C f C g Résoudre l équation f(x) = x x = x = g(x) revient à chercher les points qui ont la même image par f et par g. Graphiquement, cela revient à chercher les abscisses des points d intersection de la courbe C f et de la courbe C g. S = {0;}. Exemple : Résoudre l inéquation : x x > x On trace la représentation graphique de la fonction f(x) = x x et deg(x) = x. C f C g Résoudre l inéquation f(x) = x x > x = g(x) revient à chercher les points dont l image par f est supérieure à l image par g, c est à dire les abscisses pour lesquels la courbe C f est situé au dessus de la courbe C g. Graphiquement, les solutions semblent être tous les nombres avant 0 exclus et aprèsexclus. On note S =] ;0[ ];+ [ Remarques : La méthode présente deux inconvénients : La valeur obtenue par lecture graphique n est qu une approximation de la solution cherchée. Pour savoir si c est la valeur exacte, il faut faire une vérification. 6

7 Cours de mathématiques nd La méthode ne donne que les solutions visibles dans la fenêtre affichée. Ainsi, on ne peut pas savoir si on a trouvé toutes les solutions où s il en existe d autres. Cependant elle a un énorme avantage : il y a des équations que l on ne sait pas (encore) résoudre par le calcul. On utilise alors une méthode graphique pour avoir une approximation d une solution. Définition : Tableau de signe Lorsque l on résout l équation f(x) 0 ; on donne la solution sous la forme d un tableau appelé tableau de signe de la fonction f. Exercice résolu 6 : Dresser le tableau de signe de la fonction dont la représentation graphique est donnée cidessous. x f(x), Solve by graphing Equations and inequations involving one or more functions can be solved by graphing. The solutions found under that method are most of the time approximate values.. VARIATIONS D UNE FONCTION.. Définitions Increasing and decreasing functions A function f is called increasing, if for all x and y such that x y one has f(x) f(y), so f preserves the order. Likewise, a function is called decreasing if, whenever x y, then f(x) f(y), so it reverses the order. Graphically, the curve of an increasing function grows right upward (and right downward for an decreasing function.) 7

8 Chapitre.. Tableau de variation Définition : Tableau de variation Le tableau de variation d une fonction f résume les variations de la fonction en partageant l ensemble de définition de la fonction en intervalles sur lesquels la fonction est monotone. Variations table The variations table is a typically French method, so the term doesn t really exist in English. We will still use it, as it s a very efficient tool in many situations... Extremums Définition 6 : Maximum-Minimum Le maximum d une fonction sur un intervallei est la plus grande valeur def(x) quand x décriti. Le minimum d une fonction sur un intervallei est la plus petite valeur de f(x) quand x décriti. Extrema The maximum and minimum of a function are the largest and smallest value the function takes within a given interval (local extremum) or on the function domain in its entirety (global extremum). Exercice résolu 7 : On donne ci-dessous la représentation graphique d une fonction f. Décrire les varaitions de f. C f f est définie sur [ ;6] f est croissante sur [ ; ] [.; 6] f est décroissante sur [ ;.] Le maximum def sur [ ;6] est obtenue pourx =. Le maximum def sur [ ;6 ] est obtenue pourx = 6. Le minimum def sur [ ;6] est obtenue pourx =.. 8

9 Cours de mathématiques nd Suite de la solution : Le tableau de variation de la fonction f est : x, 6 f. PROGRAMMES Rappel des notions vues lors des années précédentes Classe de cinquième Repérage dans le plan. Dans le plan muni d un repère orthogonal : lire les coordonnées d un point donné; placer un point de coordonnées données. Connaître et utiliser le vocabulaire : origine, coordonnées, abscisse, ordonnée. Initiation à la notion d équation. Tester si une égalité comportant un ou deux nombres indéterminés est vraie lorsqu on leur attribue des valeurs numériques. Classe de quatrième Calcul littéral Calculer la valeur d une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. Développement : Réduire une expression littérale à une variable, du type: x (x), x x+x... Développer une expression de la forme (a+b)(c+d). Résolution de problèmes conduisant à une équation du premier degré à une inconnue. Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une inconnue. 9

10 Chapitre Classe de troisième Notion de fonction Image, antécédent, notations f(x), x f(x). Déterminer l image d un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique. Toute définition générale de la notion de fonction et la notion d ensemble de définition sont hors programme. Fonctions affines et linéaires Calculs d images et d antécédents. Représentations graphiques. Coefficient directeur et ordonnée à l origine. Programme de seconde 0

11 Cours de mathématiques nd Images, antécédents, courbes représentatives : reprise et approfondissement des notions vues au collège. Étude qualitative de fonctions : Fonction croissante, fonction décroissante, maximum, minimum d une fonction sur un intervalle. Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d une fonction définie par une courbe. Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations. Lorsque le sens de variation est donné, par une phrase ou un tableau de variations : comparer les images de deux nombres d un intervalle; déterminer tous les nombres dont l image est supérieure(ou inférieure) à une image donnée. Fonctions de référence : Fonctions affines et fonctions linéaires. Donner le sens de variation d une fonction affine. Donner le tableau de signes de ax + b pour des valeurs numériques données de a et b. Variations de la fonction carré, de la fonction inverse. Connaître les variations des fonctions carré et inverse. Représenter graphiquement les fonctions carré et inverse. Études de fonctions : Fonctions polynômes de degré. Connaître les variations des fonctions polynômes de degré (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes. Fonctions homographiques. Identifier l ensemble de définition d une fonction homographique. Résolutions graphiques et algébriques d équations et d inéquations.