RAPPELS SUR LES FONCTIONS

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1 T ale STI Fonctions : rappels 008/009 RAPPELS SUR LES FONCTIONS Table des matières I Fonctions affines I. Variations I. Signe deax +b I. Tableaux de signes II Fonctions de référence II. Fonction carré II. Fonction inverse II. Fonction cube II. Fonction racine carrée II.5 Représentation graphique III Fonctions sinus et cosinus 5 III. Défintions III. Valeurs remarquables III. Variations et courbe représentative III.. Fonction sinus III.. Fonction cosinus III. Dérivation III.5 Equations trigonométriques IV Fonction polynôme 7 IV. Fonction polynôme de degrén IV. Egalité de deux polynômes IV. Racine d un polynôme IV. Factorisation IV.5 Identification des coefficients V Second degré 9 --

2 T ale STI Fonctions : rappels 008/009 I Fonctions affines I. Variations Définition a etbsont deux réels donnés. La fonction définie sur R parf(x) =ax +b est appelée fonction affine, une équation de cette droite esty=ax +b où : Le réelaest le coefficient directeur de cette droite. Le réel b est l ordonnée à l origine. Propriété Sia>0,f est croissante sur R. Sia<0,f est décroissante sur R. Sia = 0,f est constante sur R. Exemple La fonctionf définie parf(x) = x + est croissante. La fonctionf définie parf(x) = x + est décroissante. La fonctionf définie parf(x) = 5 est constante. I. Signe deax +b Suivant le signe du coefficient directeur a, on obtient lestableaux de signes suivants : a>0 x b a + signe deax +b 0 + a<0 x b a + variations + 0 I. Tableaux de signes On utilise un tableau de signes lorsque l on veut résoudre une inéquations composée d un produit ou d un quotient de facteurs Soit l inéquation (x )( x 5) 0. On constuit le tableau de signes de la façon suivante : dans la première colonne, on met les différents facteurs de l inéquation on place en abscisses les solutions des équations x 5 + x 0 + x (x )( x 5) pour déterminer les colonnes, on résout les équations x = 0 x= x 5 = 0 x= 5 Enfin, on résout l inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solution négatives ou nulles S =] ; 5] [ ; + [ --

3 T ale STI Fonctions : rappels 008/009 II Fonctions de référence II. Fonction carré Propriété La fonction carré définie sur R parf(x) =x de dérivéef (x) = x est strictement décroissante sur ] ; 0] et strictement croissante sur [0; + [. Tableau de variations : x 0 + f (x) f ց ր 0 Dans un repère (O; i ; j ), la courbe représentative de la fonction carré est une parabole de sommeto qui admet l axe des ordonnées comme axe de symétrie, ce qui caractérise une fonction paire. II. Fonction inverse Propriété La fonction inverse définie sur R parf(x) = x de dérivéef (x) = x ] ; 0 [ et sur ] 0 ; + [. est strictement décroissante sur Tableau de variations : x 0 + f (x) 0 + f ց ց 0 Dans un repère (O; i ; j ), la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole qui admet l origine O du repère comme centre de symétrie, ce qui caractérise une fonction impaire. II. Fonction cube Propriété La fonction cube définie sur R parf(x) =x, de dérivéef (x) = x est strictement croissante sur R. --

4 T ale STI Fonctions : rappels 008/009 Tableau de variations : x 0 + f (x) + + ր f 0 ր La courbe de la fonction cube dans un repère orthogonal est une cubique, cette fonction est impaire. II. Fonction racine carrée Propriété 5 La fonction racine carrée définie sur R + parf(x) = x, de dérivéef (x) = x croissante sur [O; + [. est strictement Tableau de variations : x 0 + f (x) + + f ր 0 II.5 Représentation graphique 8 f(x) =x 7 5 f(x) = x f(x) = x f(x) =x

5 T ale STI Fonctions : rappels 008/009 III Fonctions sinus et cosinus III. Défintions Définition Soitxun réel, il lui correspond un unique pointm de (C) tel quexsoit une mesure en radians de ( OA, OM). Le cosinus dex, noté cosx, est l abscisse dem dans le repère (O; i ; j ). Le sinus dex, noté sinx, est l ordonnée dem dans le repère (O; i ; j ). cosx et sinx sont donc respectivement l abscisse et l ordonnée du pointm dans le repère (O; i ; j ) ( ) cosx On note :M sinx M sinx j x i 0 cosx Propriété cos x + sin x = cosx et sinx III. Valeurs remarquables x 0 sinx 0 cosx

6 T ale STI Fonctions : rappels 008/009 III. Variations et courbe représentative III.. Fonction sinus Tableau de variations sur l intervalle [ 0; ] de la fonction sinus et représentation graphique sur R : x 0 sin(x) ր ց 0 0 III.. Fonction cosinus Tableau de variations sur l intervalle [ 0; ] de la fonction cosinus et représentation graphique su R : x 0 cosx 0 III. Dérivation Propriété 7 Les deux fonctions sont définies et dérivables sur R et pour toute fonctionudérivable suri, on a : cos (u) = u sin(u) sin (u) =u cos(u) en particulier cos (x) = sin(x). et en particulier sin (x) = cos(x). --

7 T ale STI Fonctions : rappels 008/009 III.5 Equations trigonométriques Propriété 8 Soitαune réel fixé, alors l équation : sinx = sinα a pour solutionsx =α + k etx = α+k,k Z. cosx = cosα a pour solutionsx =α + k etx = α + k,k Z. α+k sinx α +k α +k α α cosx Exemple Résolution d équations trigonométriques : ( cos(x) = cos ) cos(x) = sin(x) = sin sin(x) = ( 5 ) { } S = + k, + k. { } S = + k, + k. S = { } + k, 5 + k. { S = + k, } + k. α +k IV Fonction polynôme IV. Fonction polynôme de degré n Définition On appelle fonction polynôme de degréntoute fonctionp définie sur R de la forme : P(x) =a n x n +a n x n + +a p x p + +a x +a x +a 0 a 0,a,...,a n sont appelés coefficients dep. Le termea p x p un le monôme de degrép. n =deg(p). Exemple La fonctionp définie parp (x) = 7x 5x + x est une fonction polynôme de degré. La fonction affineax +b aveca 0 est une fonction polynôme de degré. La fonction constantek aveck 0 est une fonction polynôme de degré 0. La fonctionqdéfinie par :Q(x) =x +x+ x n est pas une fonction polynôme. -7-

8 T ale STI Fonctions : rappels 008/009 Propriété 9 SoientP etqdes fonctions polynômes non nulles, alors : deg(pq) =deg(p) +deg(q). deg(p +Q) max[deg(p) ;deg(q) ]. Remarque L inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s annuler. IV. Egalité de deux polynômes Théorème SoientP etqdeux fonctions polynômes,p =Q signifie que : deg(p) =deg(q), les coefficients des termes de même degré dep etqsont égaux. Cas particulier :P = 0 est le polynôme nul, ce qui signifie que tous ses coefficients sont nuls. Exemple Les polynômesp (x) = x x + etr(x) =ax +bx +c sont égaux pour a = b = c =. IV. Racine d un polynôme Définition On appelle racine d une fonction polynômep toute solutionx 0 de l équationp(x) = 0 Exemple 5 Les racines de la fonction polynômep définie sur R par :P (x) = (x )(x + )(x ) sont, et Les fonctions polynômes du er degréax +b admettent toutes une seule racinex 0 = b a Certaines fonctions polynômes n ont aucune racine réelle. Par exemplex + qui est strictement positif IV. Factorisation Théorème Si une fonction polynômep à coefficients réels de degrénaune racine réellex 0 alors on peut factoriser P(x) par (x x 0 ) et on obtient P(x) = (x x 0 )Q(x) ouqest une fonction polynôme de degré (n ). Remarque On peut essayer de remplacer la variablexpar,, 0... et si la valeur du polynôme est 0, on dit qu on a trouvé une «racine évidente». -8-

9 T ale STI Fonctions : rappels 008/009 IV.5 Identification des coefficients On considère le polynômef défini par :f(x) = x x +x + x +. Une solution évidente estx 0 =. donc, il existe un polynômeg de degré = tel que pour tout réelx: f(x) = (x + )g(x) = (x + )(ax +bx +cx +d) =ax +bx +cx +dx +ax +bx +cx +d =ax + (b +a)x + (c +b)x + (d +c)x +d Les polynômes x x +x +x+ etax +(b+a)x +(c+b)x +(d+c)x+d sont égaux, leurs coefficients le sont aussi : a = b +a = c +b = d +c = d = donc : a = b = c = 5 d = Conclusion : f(x) = (x + )(x x + 5x + ) V Second degré Théorème Soit =b ac le discriminant du trinômeax +bx +c. <0 : l équation n a pas de solution réelle et on ne peut pas factoriser. = 0 : l équation a une solution doublex 0 = b a. le trinôme se factorise sous la formea(x x 0 ). >0 : l équation possède solutions réelles :x = b a le trinôme se factorise sous la formea(x x )(x x ). etx = b +. a Exemple Soit l équation x +x+ = 0. =b ac = ( ) = 5. Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles : x = b = 5 a = x = b + = + 5 a { S = ; } ( et la forme factorisée dep est :P (x) = x + )( x ). =. Soit l équation x +x+ = 0. =b ac = 5 =. Le discriminant est négatif, il n y a pas de solution réelle. S = etp ne se factorise pas. -9-

10 T ale STI Fonctions : rappels 008/009 Soit l équation x + 5x = 0. =b ac = = 0. Le discriminant est nul, il y a une solution double :x 0 = b a = 5. { S = 5 } ( et la forme factorisée dep est :P (x) = x + 5. ) Théorème Le trinômeax +bx +c est du signe deasauf entre ses racines lorsqu elles existent. Exemple 7 f(x) = x +x+ : Le discrimiant est positif,f est du signe dea =, donc négative sauf entre ses racines et. f(x) = 5x + x + = 0 : Le discrimiant est négatif,f est du signe dea = 5, donc positive sur R. f(x) = x + 5x = 0 : Le discrimiant est nul,f est du signe dea =, donc positive sur R et nulle enx 0 =