Sciences Industrielles pour l Ingénieur

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1 entre d Intérêt 5 : ALIMENTER en énergie ompétences : RESODRE SORES D'ENERGIE ALTERNATIVE SINSOÏDALE : Réseau de distribution monophasé ou triphasé Proposer une méthode permettant la détermination des courants, tensions, puissances, énergies onstruire graphiquement les lois de l'électricité ORS TP TD Problématique Les systèmes industriels ou de la vie courante nécessitent AGIR une ou plusieurs sources d énergie. hacune de ces sources possède des caractéristiques de tension, courant, forme, fréquence, ou débit, pression, etc. qui doivent être adaptées aux actionneurs qui l'utilisent. ette adaptation est un problème complexe, car elle doit s'accompagner d'économies d'énergie maximales, et assurer la sécurité des biens et des personnes amenées à travailler avec ces systèmes. Dans ce cours, on ne s'intéressera qu'aux sources d'énergie électrique alternative sinusoïdale. Les sources d'énergie pneumatique et hydraulique ont été étudiées précédemment, et les sources d'énergie électriques continues feront l'objet des cours suivants. Exemple : alimentation de la capsuleuse : Disjoncteur différentiel Source alternative sinusoïdale monophasée 0 V, 50 Hz Disjoncteur onvertisseur alternatif continu (redresseur) Source alternative sinusoïdale triphasée, 0 V, fréquence variable I/ RAPPELS SR LA MODELISATION DES GRANDERS ALTERNATIVES SINSOÏDALES En tout point d'un circuit électrique alimenté en sinusoïdal, les signaux sont des grandeurs sinusoïdales du temps, de même fréquence f mais déphasées les unes par rapport aux autres. / Représentation temporelle d'une grandeur alternative sinusoïdale (courant, tension, puissance) s(t) S..sin(.t ) avec : S. : amplitude S : valeur efficace : pulsation en rad/s : phase à l'origine PGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - -

2 / Représentation complexe A toute fonction sinusoïdale d'amplitude S. et de phase instantanée.t nous pouvons faire correspondre la fonction complexe définie par : j t j t j s t S. cos t j sin t S. e S. e e où j est l'imaginaire pur : j = -. ds t j t j Dérivons cette fonction complexe par rapport à t : j S. e e j s t dt En notation complexe, la dérivation par rapport au temps devient une multiplication par j. alculons la primitive de la fonction complexe s t : j j En notation complexe, l'intégration par rapport au temps devient une division par j. j t j s t.dt S. e e s t Application à la notation de grandeurs électriques j Au signal sinusoïdal s t S..sin( t ), on associe le nombre complexe S S e dont le module est égal à S et dont l argument est égal à. On l appelle amplitude complexe associée à s(t). On s affranchit du terme.t, commun à toutes les grandeurs sinusoïdales du même circuit. Les lois du continu sont alors applicables en remplaçant les u(t) et i(t) par leurs amplitudes complexes et I. / Représentation vectorielle (Fresnel) La figure ci-contre représente un vecteur S tournant à vitesse angulaire constante autour de son origine O dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. L évolution de la projection de ce vecteur sur l'axe vertical en fonction du temps (ou de l'angle.t+φ, ce qui revient au même) est représentée sur le graphe de droite. Il s'agit du vecteur de Fresnel. La norme de ce vecteur est égale à l'amplitude ou à la valeur efficace du signal ; on choisira pour la suite la valeur efficace : S S ; l'angle polaire est à tout instant égal à la phase instantanée du signal.t+ φ. ependant, lorsqu'on ne compose que des signaux de même pulsation, on ne s'intéresse en fait qu'aux déphasages relatifs. Il n'est donc pas nécessaire de faire tourner la figure. On se contente donc d'un vecteur fixe ayant pour norme la valeur efficace S du signal et pour angle polaire sa phase à l origine φ. On le note : S (S ; ). S S O Ox est l axe de référence des phases x L'intérêt du vecteur de Fresnel est de remplacer une somme algébrique de grandeurs sinusoïdales de même pulsation par une construction vectorielle simple. 4/ Représentation des tensions et courants dans Fresnel, selon les charges idéales alimentées Hypothèse : On prend pour origine des phases celle du courant. L L L..I R = R.I indique que R est en phase avec I ; L j.l..i indique que L est en quadrature avance sur I / (déphasage de + /) ;.I indique que est en quadrature retard (ou j.. arrière) sur I (déphasage de /). 5/ Déphasage de u/i et nature des charges réelles alimentées Si φ > 0, la tension est en avance sur le courant. Attention : Sur les figures ciaprès, la tension est prise comme origine des phases. I. 0 i(t) / u(t) I I R PGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - -

3 Elle est en retard si φ < 0 : u(t) I i(t) En résumé : Soit φ, le déphasage de u par rapport à i : Grandeurs instantanées Représentation de Fresnel Mesure à l oscilloscope u i Angle allant de i vers u Mesurer t de u vers i A savoir : si > 0, u EST EN AVANE SR i ; la charge alimentée est de nature INDTIVE. si < 0, u EST EN RETARD SR i ; la charge alimentée est de nature APAITIVE. si = 0, i ET u SONT EN PHASE ; la charge alimentée est de nature RESISTIVE. La loi des mailles avec Fresnel avec ( ; ) et ( ; ) Rappel : représentation du vecteur de Fresnel : (module ; argument) Les lois d'ohm, des mailles et des nœuds peuvent s'exprimer sous forme vectorielle dans Fresnel, en faisant intervenir les modules pour les valeurs efficaces et les arguments pour les déphasages. II/ ALIMENTATION ALTERNATIVE SINSOÏDALE MONOPHASEE ette alimentation est la plus répandue, aussi bien dans le domaine industriel que domestique. La tension entre la phase et le neutre est appelée tension simple v(t) et vaut très souvent 0 V en valeur efficace. Parmi les intérêts du courant alternatif par rapport au courant continu, on peut citer : - possibilité d'élever et abaisser la tension facilement grâce aux transformateurs ; - production directe par les alternateurs des centrales électriques ; - coût au kilomètre des installations inférieur en courant alternatif jusqu'à une certaine longueur (pour les lignes aériennes) : Lorsque l on alimente un dipôle linéaire (résistance, inductance ou condensateur) par une source de tension v(t) sinusoïdale de pulsation ω, il circule un courant i(t) dans le montage tel que : v(t) V..sin(.t ) i(t) I..sin(.t) La caractéristique fondamentale d'une alimentation monophasée est la puissance transférée de la source (générateur) vers le dipôle récepteur. Elle est toujours le produit d'une variable de potentiel par une variable de flux. Ici, la variable de potentiel est la tension v(t) ; la variable de flux est le courant i(t). Rq : Le flux caractérise le déplacement de la grandeur représentative du domaine physique (ici la charge électrique q(t)) tandis que le potentiel caractérise son stockage. / Puissance instantanée La puissance électrique instantanée est le produit de la tension par le courant : p(t) = v(t). i(t). Avec v(t) V sin( t ) et i(t) I sin( t), on obtient :p(t) V sin( t ).I sin( t).v.i.sin( t ).sin( t) Pour réarranger les termes, on utilise la relation sin(a).sin(b) [cos(a b) cos(a b)] / d où p(t) V.I.cos( t t) V.I.cos( t t) et finalement p(t) V.I.cos( ) V.I.cos( t ). PGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - -

4 On constate que la puissance instantanée est la somme d un terme constant V.I.cos( ) et d un terme variant périodiquement V.I.cos( t ). / Puissance active La puissance active est la moyenne de la puissance instantanée. La valeur moyenne du terme périodique est nulle (c est une fonction périodique alternative). Il reste donc le terme constant : P = V.I.cos( ) (en Watt). V : valeur efficace de la tension (V) ; I : valeur efficace du courant (A) ; φ : déphasage de v(t) par rapport à i(t) (rad). ette puissance active P est celle qui va produire une action (chauffer, déplacer une charge, produire un mouvement de rotation). Elle est toujours positive. / Puissance réactive La puissance réactive correspond à la part de p(t) à valeur moyenne nulle. Elle est définie par Q = V.I.sin( ) (en voltampère réactif VAR). ette puissance, liée à la présence de φ, circule à chaque période entre la source et le récepteur, mais n'est pas "productive". 4/ Puissance apparente La puissance apparente ne tient pas compte du déphasage entre v(t) et i(t) : S = V.I (en voltampère VA). Elle est la puissance totale qui circule sur le réseau, et représente la somme complexe de la puissance active P et de la puissance réactive Q : S = V.I. cos(φ) + j.v.i. sin(φ) = P + j.q. est à partir de celle-ci que les composants d alimentation et de distribution seront dimensionnés. 5/ Triangle de puissance En observant les relations ci-dessus on constate que : S = P + Q e qui peut être schématisé par le diagramme de Fresnel des puissances : Rq : Seule la puissance active à une réalité physique. La puissance réactive ne correspond à aucune puissance réelle. On peut récapituler les puissances absorbées par les dipôles élémentaires R, L et alimentés en régime sinusoïdal : Puissance active P Puissance réactive Q Déphasage de v Z / à i Z : φ R V R.I R = R.I R = V R /R 0 0 L 0 V L.I L = L..I L = V L /L. > 0 (absorbe) / 0 -V.I = -I /. = -V.. < 0 (fournit) - / 6/ Théorème de Boucherot Les puissances active et réactive absorbées par un groupe de dipôles sont égales à la somme des puissances actives et réactives absorbées par chaque élément du groupe : P = P i et Q = Q i. Exemple : Puissance instantanée : p u.i u.i u.i u.i Puissance active : P.I.cos( ) P P P.I.cos( ).I.cos( ).I.cos( ) Puissance réactive : Q.I.sin( ) Q Q Q.I.sin( ).I.sin( ).I.sin( ) Le théorème de Boucherot n est pas valable pour la puissance apparente. 7/ Le facteur de puissance P Définition générale : k= (sans dimension). S i i P V.I.cos( ) as particulier du régime sinusoïdal : k cos( ) S V.I soit k = cos( ) en régime sinusoïdal PGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 4 -

5 Importance du cos φ La tension V étant imposée par le réseau EDF (0 V, ) et la puissance P étant imposée par l installation électrique à alimenter, le courant s adapte suivant la relation I = P / V.cos(φ). Problème économique : plus I est faible, plus les pertes sont faibles. Pour diminuer I sans modifier P ou V, il faut augmenter cos(φ). On dit qu il faut relever le facteur de puissance. Problème électrique : comment modifier cos(φ) sans modifier la puissance active P? Le facteur de puissance peut s exprimer de la façon P suivante : cos( ). Donc, plus Q se rapproche de 0, plus cos(φ) se rapproche de. En rajoutant à l installation électrique P Q des condensateurs ou des inductances, on modifie Q sans modifier P. Rq : Pour un particulier, EDF facture la puissance active P. Pour les entreprises, EDF autorise un facteur de puissance limite sous lequel il ne faut pas passer sous peine de surcoût. Relèvement du facteur de puissance Si l installation électrique est inductive (Q > 0), il faut diminuer Q en adjoignant des condensateurs (Q < 0) pour que 0 Q + Q < Q. Si l installation électrique est capacitive (Q < 0), il faut augmenter Q en adjoignant des inductances (Q L > 0) pour que Q < Q + Q L 0. Dans la plupart des situations la charge est de type inductive (transformateurs, moteurs, chauffage,...). Pour relever son facteur de puissance il faut donc y ajouter en parallèle un condensateur. L objectif est de dimensionner le condensateur en fonction du facteur de puissance recherché cos φ. Sans le condensateur : Avec le condensateur : v v D après les schémas ci-dessus, on peut faire le bilan des puissances : Puissance active Puissance réactive Déphasage harge seule P Q P.tan( ) On a ondensateur seul 0 Q..V - / ' harge + condensateur P Q Q Q P.tan( ' ) On veut On en déduit la capacité du condensateur de la manière suivante : ' Q..V Q Q donc '..V P.tan( ) P.tan( ). Finalement : ' P.(tan( ) tan( )).V. III/ ALIMENTATION ALTERNATIVE SINSOÏDALE TRIPHASEE ette alimentation est très répandue dans le domaine industriel, notamment lorsque la puissance à fournir est importante (P > kw). La distribution de l énergie est réalisée par fils de phase et parfois un fil supplémentaire, le neutre. Son intérêt est multiple : - pour fournir la même puissance à deux charges équivalentes, le réseau triphasé nécessite paradoxalement deux fois moins de cuivre que le réseau monophasé ; - les machines électriques qui produisent et utilisent ces tensions fonctionnent de façon optimale en régime triphasé. / Représentation temporelle des tensions et courants On dispose de grandeurs électriques respectivement définies par : x (t) X.sin(.t ) x (t) X.sin(.t ) x (t) X.sin(.t 4 ) On dit que les grandeurs triphasées sont équilibrées si x (t) + x (t) + x (t) = 0. Les grandeurs ont la même valeur efficace, et sont déphasées entre elles de. /. PGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 5 -

6 Les tensions simples (entre chaque phase et le neutre) sont : On peut déterminer la différence entre chaque phase : v (t) V.sin(.t) v (t) V.sin(.t ) v (t) V.sin(.t 4 ) (en prenant par exemple v (t) comme référence des phases) / Représentation d'un réseau triphasé de tensions avec Fresnel et les complexes D'après les éléments que l'on vient d'établir : u (t) v (t) v (t) u (t) v (t) v (t) u (t) v (t) v (t) es tensions sont appelées tensions composées. V. V V 6 V V On a =.V En effet, dans le triangle isocèle :. V En résumé, ce qu'il faut retenir pour un réseau triphasé de tensions : Tension composée Tension simple En utilisant les complexes, et en généralisant à une grandeur électrique quelconque x(t) : X = X.e X = X.e X = X.e j0 -j π -j 4π PGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 6 -

7 / Puissances en triphasé omme pour une alimentation monophasée, lorsque l on alimente un récepteur triphasé, il circule courants notés i (t), i (t), i (t). Il y a donc aussi un transfert de puissance du générateur vers le récepteur. La puissance instantanée transmise s écrit comme la somme des puissances transmises par systèmes monophasés : p(t) = v (t). i (t) + v (t). i (t) + v (t). i (t). La puissance active, moyenne de la puissance instantanée, est donc : P =.V.I.cos( ) =..I.cos( ) La puissance réactive est : Q =.V.I.sin( ) =..I.sin( ) La puissance apparente est : S =.V.I = Le facteur de puissance est : P k = = cos( ) S..I omme pour une source monophasée, lorsque l on veut déterminer les caractéristiques (P tot, Q tot et S tot ) de l alimentation d un système comportant plusieurs sous-systèmes absorbant des puissances P i et Q i, on peut utiliser le théorème de BOHEROT. IV/ ADAPTATION DES NIVEAX DE TENSION : LE TRANSFORMATER La production et la distribution électrique sont très souvent réalisées avec des grandeurs alternatives sinusoïdales en haute tension (quelques dizaines de kv). Il est donc nécessaire d adapter les niveaux de tension aux utilisateurs. On utilise pour cela un transformateur. er Ex : e transformateur permet d'adapter la tension composée 400 V en 0 V alternatif. ème Ex : Transformateur sur la cordeuse de raquettes : adapte le 0 V du réseau EDF à une tension alternative V pour la partie puissance du système (symbole plutôt utilisé en électronique). / Fonction n transformateur a pour but de modifier les amplitudes des grandeurs sinusoïdales alternatives (courant, tension), sans en modifier la fréquence. Il est analogue à un engrenage en mécanique (le couple sur chacune des roues dentées étant l'analogue de la tension et la vitesse de rotation étant l'analogue du courant). Rq : n transformateur ne fonctionne que pour des signaux alternatifs et sinusoïdaux. / onstitution et principe n transformateur monophasé est constitué de enroulements (ou bobines) et d un circuit magnétique fait de tôles métalliques empilées : Les deux enroulements n ont aucune liaison électrique entre eux ; un transformateur réalise donc un isolement que l on appelle isolement galvanique. Le courant variable i (t) passant dans l'enroulement primaire crée un champ magnétique variable, donc un flux magnétique variable. Le circuit magnétique métallique véhicule ce flux jusqu à l'enroulement secondaire. Le flux traverse cet enroulement secondaire, ce qui crée un courant induit i (t) et une tension induite u (t). / Equations générales d un transformateur parfait (sans pertes ferromagnétiques ni par effet Joule) On appelle rapport de transformation le rapport du nombre de spires au ndaire et au primaire : m = N / N. ette grandeur détermine le courant et la tension au secondaire. On a en effet : N I m = = =. N I PGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville - 7 -

8 Si m <, on parle d un transformateur abaisseur de tension (élévateur de courant) ; si m >, on parle d un transformateur élévateur de tension (abaisseur de courant) ; si m =, le transformateur sert simplement d'isolement galvanique (sécurité, séparation de circuits). 4/ aractéristiques d'un transformateur n transformateur est caractérisé par les éléments suivants : - monophasé ou triphasé ; - tension primaire / tension secondaire ; - puissance apparente S en VA : S =. I. - puissance de court-circuit en W. P.I Le rendement est η = = = dans le cas idéal (il y a alors conservation de puissance). P.I Pour un transformateur réel, 60 % < < 98 %. V/ LE AS DES SORES ALTERNATIVES NON SINSOÏDALES Il arrive souvent et de plus en plus fréquemment que les signaux électriques ne soient pas sinusoïdaux. ependant, soit la tension, soit le courant reste sinusoïdal (en général, c'est la tension car elle est issue d'un générateur alternatif sinusoïdal). e type d alimentation apparaît lorsque le récepteur n est pas linéaire (Ex : courant d entrée du pont redresseur monophasé sur le variateur de vitesse de la barrière de parking). La grandeur non sinusoïdale conserve cependant ses propriétés de périodicité. On peut donc la décomposer en série de Fourier (cf. cours "Analyse harmonique"). / Valeur efficace d'un signal non-sinusoïdal Pour un signal périodique x(t) non sinusoïdal, la valeur efficace est définie par l'égalité de Parseval : X² a 0² (a n² b n²), avec les coefficients issus de la transformée de Fourier : a0 x(t).dt a n x(t).cos(n t).dt b n x(t).sin(n t).dt T T T PGE TSI Lycée P.-P. Riquet St-Orens de Gameville T T T / Puissances transmises en monophasé La puissance instantanée transmise du générateur vers le récepteur s écrit toujours : p(t) = v(t). i(t). On peut démontrer que la puissance active, valeur moyenne de p(t), n est véhiculée que par les harmoniques de même rang. Par exemple, soit v(t) purement sinusoïdale, et i(t) périodique non-sinusoïdale : v(t) V.sin(.t) et i(t) I.sin(.t ) I.sin(..t )... In.sin(n..t n) Alors, la puissance active n est véhiculée que par v(t) et le fondamental (sinusoïdal) de i(t), noté I en valeur efficace : P = V.I.cos( ). De même, Q = V.I.sin( ) car la puissance réactive n'est définie que par rapport à la sinusoïde fondamentale. La puissance apparente S est définie à partir des signaux "complets" comme S = V.I avec les valeurs efficaces V et I définies comme ci-dessus (Parseval), ce qui donne en l'occurrence I = I + I I n. Le facteur de puissance reste défini par k = P/S. La relation entre P, Q et S vue en régime sinusoïdal n'est plus valable. On introduit donc une puissance "déformante" D qui se définit par le fait que S² = P² + Q² + D². Bien entendu, D = 0 si v(t) et i(t) sont sinusoïdaux. n.