Chapitre 5 : Fonctions de référence. 1 Fonction carré. 1.1 Définition et représentation graphique. 1.2 Symétrie. 1.3 Variations et extrémum

Transcription

1 Chapitre 5 : Fonctions de référence 1 Fonction carré 1.1 Définition et représentation graphique Définition 1 La fonction définie sur R par f(x) = x est la fonction carré. Dans la suite de cette partie, on appelle f cette fonction. 1. Symétrie Théorème 1 f est une fonction paire. En effet : 1) son ensemble de définition est R et ) pour tout x R, f( x) = ( x) = x = f(x) 1.3 Variations et extrémum Théorème f est strictement décroissante sur ] ; 0] et strictement croissante sur [0; + [, elle atteint un minimum valant 0 pour x = 0. On sait que c est une fonction paire. Il suffit donc de montrer que f est croissante sur [0; + [. 1ere méthode : Soient donc a et b deux réels positifs, tels que a < b. Alors a < ab en multipliant par a > 0. Mais en multipliant par b > 0 on trouve aussi : ab < b. Donc a < ab < b. D où f(a) < f(b). eme méthode : On calcule le taux de variation entre a et b : f(a) f(b) a b = a b a b = (a b)(a + b) a b = a + b Or a+b > 0 puisque a et b sont > 0. Le taux d accroissement entre deux réels positifs quelconques étant strictement positif, f est strictement croissante. 3eme méthode : f(a) est l aire d un carré de côté a. f(b) est l aire d un carré de côté b. a < b donc l aire du premier carré est inférieure à l aire du second (voir fig. 1). 1

2 a a b b Fig Courbe Traçons la dans un repère orthonormé. On sait déjà que la courbe est symétrique par rapport à l axe des ordonnées et qu elle passe par l origine. Un carré étant toujours positif, elle est entièrement au-dessus de l axe des x. Plaçons quelques points puis traçons la au mieux Fig. Cette courbe s appelle une parabole. On dit que O est le sommet de cette parabole. La courbe tracée par une balle lancée en l air, ou par un jet d eau, est aussi une parabole. Les antennes (ou les skis) paraboliques ont également cette forme. 1.5 Comparaison entre x et x Représentez sur le même graphique la droite d équation y = x. Qu observe-t-on?

3 Théorème 3 Pour x [0; 1], x x, avec égalité si et seulement si x = 0 ou x = 1. Pour x > 1, x > x. 0 < x < 1 0 < x < x en multipliant chaque membre par x, ce qui ne change pas les inégalités puisque x > 0. De même, x > 1 x > x en multipliant par x de chaque côté. L égalité pour x = 0 ou x = 1 est évidente. Remarque : On peut vérifier graphiquement que f croît plus vite que n importe quelle fonction affine. 1.6 Fonctions dont l étude se ramène à la fonction carré Soit un repère (O; ( i ; j )). Traçons point par point les courbes des fonctions suivantes : f(x) = x, g(x) = x + 1, h(x) = (x ), et enfin k(x) = (x ) h g f Fig. 3 On observe que la courbe de g est la translatée de la courbe de f par le vecteur j. Celle de h est la translatée de la courbe de f par le vecteur i. Enfin la dernière est la translatée de C f par i + j. Comment utiliser ce résultat? Étudions par exemple le cas de k. Soit O (; 1). Introduisons un nouveau repère en changeant l origine O et O (on garde les même vecteurs de base). Appelons x et y les coordonnées dans le nouveau repère d un point M de coordonnées (x; y) dans l ancien repère. Alors comme OM = OO + O M on en déduit que x = x + et y = y + 1. Supposons que le point M appartienne à la courbe de k. Alors y = (x ) + 1. Donc y 1 = (x ) ce qui est équivalent à y = x. Autrement dit, la représentation graphique de k dans l ancien repère coïncide avec celle de f dans le nouveau repère. 3

4 Théorème 4 Soient f et g deux fonctions telles que pour tout x on ait : g(x) = f(x a) + b. Soient de plus C f et C g les représentations graphiques de f et g dans le repère (O; ( i ; j )). Alors C g est la translatée de C f par le vecteur v ( a b ). De plus, C g est la représentation graphique de la fonction f dans le repère (O ; ( i ; j )) où O est le point de coordonnées (a; b) dans l ancien repère. Corollaire 1 Soit g(x) = (x a) + b. Alors la fonction g est décroissante strictement sur ] ; a[, puis croissante strictement sur ]a; + [. Elle admet donc un minimum sur R valant b, atteint en a. La courbe de g est une parabole orientée vers le haut, d axe de symétrie la droite d équation x = a, et de sommet le point de coordonnées (a; b). Les affirmations sur la courbe sont immédiates par translation. Les propriétés de la fonction s en déduisent immédiatement. Remarque : On fera attention aux signes. La courbe de la fonction g(x) = (x + ) + 5 est une parabole de sommet le point de coordonnées ( ; 5). Exercice 1 Étudier la fonction g(x) = x x + 4 définie sur R. Pour résoudre l exercice précédent, il faut voir que g(x) peut s écrire g(x) = (x 1) +3. Il existe une technique générale que nous verrons au paragraphe suivant. Mais d abord intéressons-nous à un autre type de fonction. Soit φ(x) = x et ψ(x) = x, toutes deux définies sur R. Traçons point par point leur courbes. Il est clair que la courbe de ψ est symétrique de celle de f par une symétrie d axe (Ox). Celle de φ ressemble à la courbe de f que l on aurait étirée. C est encore une parabole, de même axe, et de même sommet. On voit qu on peut facilement ramener l étude de ces fonctions à celle de f. Remarque : Pour tracer la courbe de φ on peut d abord tracer celle de f, puis changer les unités sur l axes des ordonnées en remplaçant le vecteur j par le vecteur 1 j. La courbe de f dans l ancien repère coïncide alors avec celle de φ dans le nouveau repère. Exercice Étudier la fonction φ(x) = x + 4x 8 définie sur R. (Indication : factoriser par.) 1.7 Forme canonique d un polynôme du second degré. On appelle trinôme ou polynôme du second degré toute fonction du type g(x) = ax + bx + c avec a, b, c des constantes réelles, telles que a 0. Nous allons étudier ces fonctions en utilisant les techniques du paragraphe précédent. Nous allons expliquer la technique générale en prenant l exemple du polynôme suivant : 1ere étape : on factorise par 3. On obtient : g(x) = 3x + 6x + 5 g(x) = 3(x + x ) 4

5 eme étape : on reconnaît le début d une identité remarquable dans les deux premiers termes. Ici par exemple on a : x + x. C est le début de (x + 1). On remplace alors x + x par (x + 1) 1 (il faut soustraire 1 pour compenser le terme 1 qui provient du développement de l identité remarquable). Exemple : g(x) = 3[(x + 1) ] 3eme étape : on regroupe les constantes en faisant l addition (ou la soustraction). g(x) = 3[(x + 1) + 3 ] On a obtenu la forme canonique de g. On peut alors l étudier. On voit par exemple que la courbe de g est une parabole de sommet ( 1; 3 ) et dirigée vers le haut (car 3 > 0). On en déduit que g est d abord décroissante jusqu à x = 1 où elle atteint un minimum qui vaut 3 puis elle croît à nouveau. Cette technique fonctionne toujours. On en déduit que la courbe d une fonction polynôme du second degré est une parabole. Comme on voit que la première étape consiste à factoriser par a, on peut en déduire l orientation de la parabole, donc le sens de variation : si a > 0 alors f est décroissante (strict.) puis croissante (strict.), et si a < 0 c est le contraire. 1.8 Résolution d une équation du second degré Il existe une formule générale que l on apprend en 1ere. On peut cependant utiliser la mise sous forme canonique. Supposons que l on ait l équation ax + bx + c = 0. Cela revient à chercher les antécédent de 0 par la fonction g(x) = ax + bx + c étudiée au paragraphe précédent. On met g sous forme canonique. Prenons trois exemples : g(x) = 3x +6x+5, h(x) = x +x 1 et k(x) = 3x +6x+3. On a vu que g(x) = 3((x + 1) + 3 ). Donc g(x) = 0 3((x + 1) + 3 ) = 0 (x + 1) + 3 = 0 (x + 1) = 3 Or un carré ne peut être strictement négatif. Cette équation n a donc pas de solution dans R. Donc 0 n a pas d antéc dent par g, ce qui se constate facilement sur la courbe : celle-ci ne croise jamais l axe des abscisses. Passons à la deuxième équation. On met sous forme canonique : h(x) = (x + 1 ) 5 4 Or 5 4 = ( 5 ). Donc l équation à résoudre est équivalente à : (x ) ( ) = 0 Or on reconnaît la différence de deux carrés, on utilise donc a b = (a + b)(a b), et on trouve : (x )(x ) = 0 5

6 (x )(x ) = 0 Un produit est nul ssi l un des deux facteurs est nul. Donc : x = 0 ou x = 0 L équation a donc deux solutions : x 1 = 1+ 5 et x = 1 5 qui sont les abscisses des deux points d intersection de la courbe de h avec l axe des abscisses. Voyons enfin le dernier cas : 3x + 6x + 3 = 0 x + x + 1 = 0 (x + 1) = 0 Mais le carré de x + 1 est nul ssi x + 1 = 0, ce qui est équivalent à x = 1. Il y a donc une solution et une seule. Cela correspond au cas où la parabole est tangente à l axe des abscisses. La solution est tout simplement l abscisse du sommet de la parabole. fonction inverse Dans cette section nous étudierons la fonction h, définie sur R par h(x) = 1, appellée fonction x inverse. Théorème 5 La fonction h est impaire. En effet son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0. De plus, pour tout x R, h( x) = 1 x = 1 x = h(x). Il résulte du théorème précédent que la courbe C h est symétrique par rapport à l origine. Étudions le sens de variation. Théorème 6 La fonction h est strictement décroissante sur ] ; 0[ et strictement décroissante sur ]0; + [. Il suffit de le démontrer sur ]0; + [. Soient donc x < x deux réels strictement positifs. Calculons le taux de variation de h entre x et x. h(x ) h(x) x x = x x x x = ( 1 x 1 x ) 1 x x 1 x x = 1 x x Or x x > 0 donc le taux de variation est strictement négatif. Il en résulte que h est strictement décroissante sur ]0; + [. 6

7 Remarque 1 : On peut aussi montrer ce théorème directement : si 0 < x < x alors 0 < 1 < x x et finalement 0 < 1 x < 1 x. Donc si x < x, h(x) > h(x ). Remarque : On ne peut pas conclure du théorème précédent que h est strictement décroissante sur R (c est d ailleurs faux), car R n est pas un intervalle, or nous n avons défini le sens de variation d une fonction que sur un intervalle. Il reste à tracer la courbe de h point par point. On peut s aider en remarquant que pour x > 0 proche de 0, h(x) est très grand. Par exemple h(0, 001) = 1000, alors que pour x très grand, h(x) est très proche de 0, mais jamais égal à 0. Ainsi, la courbe C h est longe l axe des ordonnées, ainsi que l axe des abscisses. On dit que cette courbe admet des asymptotes verticales et horizontales O Fig. 4 Cette courbe s appelle une hyperbole. Avec la parabole et l ellipse (une ellipse est un cercle étiré ), elle font partie de la famille des coniques. On appelle ces courbes ainsi car on les obtient en coupant un cône avec un plan. On peut s en rendre compte facilement en projetant la lumière d une lampe-torche sur un mur : suivant l inclinaison de la lampe, on obtiendra une ellipse, une parabole, ou une branche d hyperbole. remarque : L étude d une fonction du type g(x) = k x où k est un nombre réel non-nul se ramène à celle de h. Sa courbe est encore une hyperbole (elle est étirée d un facteur k, et renversée si k est négatif). Exercice 3 Montrer que la courbe de la fonction g(x) = x x 3 est aussi une hyperbole. Résolvons cet exercice. D abord donnons l ensemble de définition de g : D g =] ; 3[ ]3; + [. Écrivons g sous une autre forme : g(x) = x 1 x 3 = x = x 3 x 3 x x 3 = = 1 + h(x 3) x 3 7

8 D après le théorème 4, la courbe de g est translatée de la courbe de h par le vecteur 3 i + j. C est donc une hyperbole. 3 Fonctions sinus et cosinus 3.1 Rappels de trigonométrie Soit un triangle ABC rectangle en C. Soit α = BAC et β = ÂBC. Alors le rapport BC AB (côté opposé sur hypothénuse) ne dépend que de α et se note sin(α). Le rapport AC (côté adjacent AB sur hypothénuse) ne dépend que de α et se note cos(α). C A α β B Fig. 5 L hypothénuse étant le plus grand côté d un triangle rectangle, le sinus et le cosinus d un angle sont des nombres réels compris entre 0 et 1. De plus, l angle β vaut 90 α, et les côtés respectivement adjacents et opposés pour cet angle sont les côtés opposés et adjacents pour l angle α. Ainsi les sinus et cosinus s échangent : cos(α) = sin(β) et sin(α) = cos(β). On obtient donc les formules : cos(90 α) = sin(α), sin(90 α) = cos(α) Enfin, en écrivant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC on obtient : sin (α) + cos (α) = 1 On a immédiatement les valeurs particulières : sin(0) = 0, sin(90) = 1, d où en utilisant l une ou l autre des formules préc dentes cos(0) = 1 et cos(90) = 0. Exercice 4 Montrer que cos(45) = sin(45) = valeurs de sin(60), cos(30) et sin(30).. Montrer que cos(60) = 1. En déduire les 3. Les radians On peut tourner de deux façons autour d un cercle. On choisit l une de ces deux façons le sens positif, ou sens direct. L autre sera appelée le sens négatif ou indirect. 8

9 Afin de réaliser des figures qui soient toutes identiques, on choisit par convention de nommer direct le sens inverse des aiguilles d une montre, qu on appelle aussi le sens trigonométrique. Soit AM un arc de cercle de centre O et de rayon R. On appelle ouverture l angle au centre compté dans le sens direct. C est l angle de la rotation de centre O qui amène A en M. Notons α l ouverture. On voudrait connaître la longueur S de l arc de cercle en fonction de α. M + x O α A Fig. 6 On sait que le périmètre d un cercle de rayon R est égal à πr. Ainsi lorsque α = 360, S = πr. Si on divise le cercle en, par exemple, 10 parties égales, l ouverture sera divisée par 10 (soit 36 degrés), et S vaudra πr 10. Ainsi on se rend compte que la longueur de l arc est proportionnelle à l ouverture, en faisant un tableau de proportionnalité, on obtient la formule : S = πr α 360 Cette formule est valable lorsque les angles sont mesurés en degrés. Si on change d unité, la constante de proportionnalité change. Définissons une nouvelle unité d angle, le radian, de telle sorte que cette constante soit égale à un pour un cercle de rayon 1. Ainsi, 360 degrés correspondent à π radians, ou encore, 180 degrés correspondent à π radians. Pour convertir une mesure d angle α en degré en une mesure d angle α en radian, on utilise donc la formule : α = π 180 α Le tableau suivant donne les conversions pour les angles usuels. angle en degrés π π π π 3π 3π angle en radians π π La formule donnant la longueur S d un arc de rayon R et d ouverture α radians est maintenant beaucoup plus simple : 9

10 S = Rα Si R = 1 on retrouve que la longueur de l arc est exactement égale à la mesure de l angle au centre en radians. Ainsi un demi-cercle correspond à π radians, un quart de cercle à π radians, etc... Les radians sont donc une unité beaucoup plus naturelle que les degrés, aussi on abandonne les degrés en mathématiques, au profit des radians. Quand on exprime une mesure d angle sans préciser l unité, on sous-entend radian. Exercice 5 Donner un argument convaincant montrant que l aire d une portion de disque (secteur circulaire) d ouverture α et de rayon R est proportionnelle à α. En utilisant l aire d un disque : A = πr, montrez que l aire d une portion de disque d ouverture α radians est égale à : A = α R 3.3 Fonctions trigonométriques. Enroulement de la droite sur le cercle. Soit un repère orthonormé (O; ( OI; OJ)). On le qualifie de direct (car pour amener I sur J on fait une rotation de centre O et d angle π dans le sens direct). Le cercle de centre O et de rayon s appelle cercle trigonométrique. Soit M un point du cercle, de coordonnées (x; y). On appelle α l ouverture de l arc IM. J K M x O α H I Fig. 7 Supposons tout d abord que α [0; π ]. Soit H la projection orthogonale de M sur l axe des abscisses et K la projection orthogonale de M sur l axe des ordonnées. Le triangle OMH est 10

11 rectangle en H. Donc sin(α) = MH, mais OM = 1 et MH = OK = y. Donc sin(α) = y. On OM trouve de même cos(α) = x (exercice). Lorsque l ouverture α > π, celle-ci ne coïncide plus avec l angle intérieur d un triangle rectangle (un tel angle est forcément plus petit que π ). M H J x O K α I Fig. 8 A priori les expressions cos(α) et sin(α) n ont donc plus de sens. Pourtant, les coordonnées x et y existent toujours : on décide alors de poser : cos(α) = x, sin(α) = y Ceci définit une fonction sur l intervalle [0; π]. Mais on peut même la définir sur R. En effet, lorsque α > π, c est comme si le point M avait fait plus d un tour de cercle. Et si α < 0, le point tourne dans le sens indirect. Le nombre α s interprète alors non plus comme l ouverture d un arc mais comme un nombre de tours. On peut se représenter la situation ainsi : on fait rouler le cercle trigonométrique sur une droite graduée. La longueur du segment parcouru (compté avec un signe plus ou moins suivant le sens de rotation) est égale à α. On a donc ainsi définie deux fonctions sur R : à α R on associe cos(α) = x où x est l abscisse du point M dans le repère (O; OI; OJ), correspondant à un enroulement de longueur α dans le sens direct si α 0 (ou α dans le sens indirect si α < 0) autour du cercle trigonométrique. De même on définit sin(α) = y où y est l ordonnée de M. On remarque que les coordonnées du points M sont comprises dans l intervalle [ 1; 1]. Ainsi les valeurs des fonctions sin et cos sont toujours dans cet intervalle. De plus 1 = OM = x + y = cos (x) + sin (y). On a donc obtenu les propriétés suivantes, pour tout α R : 11

12 sens de rotation I O J O J I M (0) (α) vers les réels positifs Fig. 9 1 cos(α) 1, 1 sin(α) 1 sin (α) + cos (α) = 1 Exercice 6 Compléter le tableau de valeur suivant par des valeurs exactes : π α 0 6 cos(α) 1 π 4 π 3 π 3π 4 π 3π π sin(α) Théorème 7 cos est une fonction paire, et sin une fonction impaire. 1)Tout d abord ces deux fonctions sont définies sur R qui est symétrique par rapport à 0. )Soit M le point du cercle trigonométrique correspondant à l ouverture α, et M le point correspondant à l ouverture α. Alors M est le symétrique de M par la symétrie orthogonale d axe (Ox). Ainsi puisque M(cos(α); sin(α)), on a M (cos(α); sin(α)). Mais par définition l abscisse de M est cos( α) et son ordonnée est sin( α). Donc cos( α) = cos(α) et sin( α) = sin(α). Enfin, on voit que x et y ne dépendent que de la position du point M sur le cercle, et pas du nombre de tours qu il a effectué. Ainsi, si on ajoute π (un tour complet), les fonctions reprennent les mêmes valeurs (le point M se retrouve au même endroit). Ainsi on a pour tout α R : cos(α + π) = cos(α), sin(α + π) = sin(α) On dit que les fonctions sin et cos sont périodiques de période π (ou plus simplement πpériodiques). Définition Soit T un réel strictement positif. On dit qu une fonction f définie sur R est T -périodique ssi pour tout x R, f(x + T ) = f(x). 1

13 Théorème 8 Pour tout α R on a : cos(α + π) = cos(α), cos(α + π ) = sin(α), sin(α + π) = sin(α) sin(α + π ) = cos(α) Ajouter π à l angle α revient à faire une rotation de centre O et d angle π dans le sens direct. Le point M vient alors en M (faire une figure). Les coordonnées de M sont les opposées des coordonnées de M. En effet, la rotation amène le vecteur i sur i et le vecteur j sur j. Donc le vecteur OM = cos(α) i + sin(α) j définition OM = cos(α + π) i + sin(α + π) j. D où le résultat. devient OM = cos(α) i sin(α) j. Or par Pour l autre formule, on effectue une rotation d angle π. On a alors i j et j i. La suite est identique. Exercice 7 Écrire une formule avec cos(π α) et sin(π α). Exercice 8 Montrer que pour tout α R on a toujours : cos( π α) = sin(α), sin(π α) = cos(α) Il nous reste à tracer les courbes de ces deux fonctions. Commençons par construire celle de cos. Comme elle est π-périodique, il suffit de la tracer sur un intervalle de longueur π puis prolonger la courbe par translation. Prenons l intervalle [ π; π]. Mais cos est paire, donc quitte à faire une symétrie d axe (Oy), on peut se contenter de la tracer sur [0; π]. Or on a vu dans l exercice précédent que cos(π α) = cos(α). En utilisant cette formule, on voit qu il suffit de construire la courbe sur [0; π ] puis de compléter par une symétrie centrale de centre le point ( π ; 0). Sur [0; π ], on peut utiliser les valeurs particulières vues à l exercice 7. Une fois qu on a tracé la courbe de cosinus, on utilise la formule sin(α + π ) = cos(α). Ainsi, la courbe de sinus est la translatée de celle de cosinus par le vecteur π i. Exercice 9 Reconnaître sur la figure ci-dessous la courbe de sinus et celle de cosinus. Interpréter graphiquement toutes les formules vues dans ce paragraphe. Les expliquer géométriquement. 4 Fonction racine carrée Soir f la fonction définie sur [0; + [ par f(x) = x. Théorème 9 f est strictement croissante sur [0; + [. Soient a, b dans [0; + [ tels que a b. Calculons le taux de variation entre a et b. Ce taux est : a b a b = ( a b)( a + b) (a b)( a + b) = a b (a b)( a + b) = 1 > 0 a + b Donc f est strictement croissante. 13

14 Fig. 10 Théorème 10 Soit un repère orthonormé (O; ( i ; j )). Soit f la fonction racine carrée, g la fonction carré définie sur [0; + [. Alors C f et C g sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x. Il nous faut tout d abord prouver un lemme. Lemme 1 Soit s la symétrie orthogonale d axe. Soit M(x; y) dans un repère orthonormé (O; ( i ; j )). Alors M = s(m) a pour coordonnées (y; x). Pour prouver que M (y; x) est bien l image de M(x; y) par s il suffit de prouver que 1) MM, et que ) le milieu N de [MM ] est sur. Pour prouver 1) prenons deux points sur : A(1; 1) et O(0; 0). Alors : OA ( ) 1 ( 1 et MM y x x y ). Or 1 (y x) + 1 (x y) = 0. Donc MM OA. Pour prouver le ) il suffit de calculer les coordonnées de N par la formule connue : N( x+y ; y+x ). On voit que les deux coordonnées sont égales : y N = x N donc N. Soit M(x; y). Alors M C f y = x et x 0. Or ceci est équivalent à x 0 et y = x, mais ceci équivaut à M (y; x) C g. Donc finalement M(x; y) C f M (y; x) C g. Comme d après le lemme M (y; x) est l image de M(x; y) par la symétrie s, ceci démontre le théorème. Remarque : On peut constater sur le graphique que : 1. 0 = 0 = 0,. pour 0 < x < 1, x < x < x, 3. 1 = 1 = 1, 4. pour x > 1, x < x < x. 14

15 C g 1.5 C f figure 11 5 fonction cube Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x 3. Théorème 11 f est une fonction impaire. 1) R est symétrique par rapport à 0, ) soit x R, alors f( x) = ( x) 3 = x 3 = f(x). Théorème 1 f est strictement croissante sur R. Comme f est impaire il suffit de démontrer le théorème sur [0; + [. Soient a et b deux réels tels que 0 a < b. Alors a 3 (resp. b 3 ) est le volume d un cube de côté a (resp. de côté b). Comme le cube de côté le plus grand contient le cube de côté le plus petit, on a a 3 < b 3. Donc 0 a < b f(a) < f(b). Ceci montre que f est strictement croissante sur [0; + [. Exercice 10 Montrer que pour tout x ]0; 1[, x 3 < x, et que pour tout x > 1, x 3 > x. 15

16 figure 1 : la fonction cube. Attention, elle n est pas constituée de deux demi-parabole. 16