EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES SUITES DE NOMBRES RÉELS

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1 EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES SUITES DE NOMBRES RÉELS Exercice Quelques résultts théoriques Démotrer que :. Toute suite covergete est borée.. Toute suite croisste et o mjorée diverge vers Si ue suite coverge, lors s limite est uique. 4. L suite de terme géérl ( ) ' ps de limite. 5. Si (u ) est borée et (v ) coverge vers 0 lors (u v ) coverge vers Toute suite covergete d'etiers reltifs est sttioire et pour limite u etier reltif. 7. Toute suite divergete vers + est miorée. Exercice Comportemet symptotique des suites géométriques. Démotrer l'iéglité de Beroulli : pour tout réel x positif et tout etier turel, o : ( + x) + x. Soit (u ) ue suite défiie pr : u = vec. Démotrer que : Si ] ; + [ lors (u ) est divergete (vers + ) Si = lors (u ) est costte (doc covergete vers ) Si ] ; [ lors (u ) est covergete vers 0 Si ] ; ] lors (u ) ' ps de limite. Exercice 3 Étude d'ue suite récurrete Soit ƒ l foctio défiie sur [, + [ pr : ƒ(x) =. Étudier les vritios de ƒ.. Soit (u ) l suite défiie pr : + x u0 = u =ƒ( u ) +. Démotrer que, pour tout, o : 0 < u < u + < b. E déduire que l suite (u ) coverge. c. Démotrer que, pour tout, o : d. E déduire que, pour tout, o : u + u E déduire l limite de l suite (u ). u u 0 Exercices rédigés sur les suites umériques Pge G. COSTANTINI

2 Exercice 4 Séries de Riem O ppelle "série" toute suite défiie pr ue somme. Les séries de Riem sot les suites défiies pour * pr : u = k k α = Nous llos étudier le comportemet de ces séries pour certies vleurs etières de α. 0. Démotrer que l suite (u ) est croisste. (Quelle que soit l vleur de α ). Ds cette questio, α =. O doc : u = k = k (Cette série porte ecore le om d"hrmoique"). Démotrer que, pour tout : b. E déduire que (u ) diverge.. Ds cette questio, o suppose α =. O doc : u + u u = k = k. Démotrer que, pour tout etier k, o : k k k b. E déduire que (u ) est mjorée pr. Pour α =, l suite (u ) est croisste et mjorée, doc covergete. 3. Ds cette questio, o suppose α 3. Démotrer que (u ) coverge. Exercice 5 Suites de Héro Soiet + et ƒ l foctio défiie sur * pr : ƒ(x) =. Démotrer que pour tout x *, o : E déduire le tbleu de vritios de ƒ sur *.. O cosidère l suite (u ) défiie pr : x + x ( x )( x+ ) ƒ'(x) = + x ( ) u0 = E + u =ƒ( u ) Exercices rédigés sur les suites umériques Pge G. COSTANTINI

3 ) Démotrer, pr récurrece, que pour tout, o : E déduire que l suite (u ) est covergete. < u + < u u 0 b) Démotrer que, pour tout : u + < ( u ) c) E déduire, pr récurrece, que pour tout : d) E déduire l limite de l suite (u ). 0 < u ( u ) 0 Exercice 6 Étude d'ue suite récurrete liéire d'ordre Cosidéros l suite (u ), défiie pour tout, pr : u = 5u 6u u0 = u = + + Démotrer que pour tout : u = Exercice 7 Moyee rithmético-géométrique Soiet et b deux réels tels que > b > 0. Soiet ( ) et (b ) les suites défiies pr : 0 = ; b 0 = b + b, + = et b + = Démotrer que ( ) et (b ) coverget vers ue même limite. b Exercice 8 Divergece des suites (cos ) et (si ) Démotrer que les suites (si ) et (cos ) diverget. Exercice 9 Étude d'ue suite défiie de fço implicite Pour tout etier, o cosidère l foctio polyôme P, défiie pour tout x, pr : P (x) = k x k =. Étudier, pour tout, le ses de vritio de P sur + et préciser P (0) et P (). E déduire que, pour, P dmet ue uique rcie α ds ]0, [. (O doer l vleur excte de α ). Démotrer que pour tout : P (α + ) < 0 Exercices rédigés sur les suites umériques Pge 3 G. COSTANTINI

4 E déduire le ses de vritio de l suite (α ). L suite (α ) coverge-t-elle? 3.. Démotrer que pour tout x, o : P (x) = x + + x x E déduire que pour tout : + α α + = 0 b. Justifier, pour tout, les iéglités suivtes : α < α < 0 < α < α + c. E déduire l vleur de l limite de l suite (α ). Exercice 0 Étude d'ue suite rithmético-géométrique. Pssge à l'euro. Chque ée, l grd-mère de Julie déposé de l'rget ds ue tirelire fi de costituer ue cgotte pour so petit-fils. Elle commecé le er jvier 98 pr u dépôt de 500 F. Depuis lors, elle effectué u dépôt chque er jvier, e ugmett chque ée le mott de ce dépôt de 50 F. O ote : u le mott, exprimé e frcs, de l somme déposée ds l tirelire le er jvier de l'ée (Aisi, u 0 = 500, u = 550,...) s le mott, e frcs, de l somme coteue ds l tirelire près le dépôt de l'ée (Aisi, s 0 = 500, s = 050,...) ) Clculer u, puis exprimer u e foctio de. b) Clculer s, puis exprimer s e foctio de. c) Le er jvier 00, l grd-mère de Julie effectue so dépôt hbituel (e frcs), puis offre l tirelire à Julie. Quel est le mott de l somme reçue pr Julie? Exprimer cette somme e frcs, puis e euros. (Rppel : euro correspod à 6,55957 frcs). Avec le cdeu de s grd-mère, Julie décide d'ouvrir u compte bcire et d'y plcer l plus grde prtie de l somme qu'il reçue. Le er jvier 00, il effectue u plcemet de 3000 euros, à itérêts composés, u tux uel de 4%. (À l fi de chque ée, les itérêts serot icorporés u cpitl). De plus, chque er jvier des ées suivtes, il décide d'jouter sur so compte l somme de 00 euros. O ote : c le mott, exprimé e euros, du cpitl dispoible sur le compte bcire de Julie près ées de plcemet. (Aisi c 0 = 3000) (u ) l suite défiie pr u = c (Aisi u 0 = 8000) ) Justifier que, pour tout etier turel, o : c + =,04 c b) Démotrer que (u ) est ue suite géométrique dot o préciser l riso. c) Exprimer u e foctio de, puis c e foctio de. d) Combie d'ées, u miimum, Julie devr-t-il ttedre pour disposer d'ue somme de 6000 euros sur so compte bcire? Exercices rédigés sur les suites umériques Pge 4 G. COSTANTINI

5 EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES SUITES DE NOMBRES RÉELS : SOLUTIONS Exercice Quelques résultts théoriques. Notos l l limite de l suite (u ) et I l'itervlle ]l, l + [. I est bie u itervlle ouvert cetré e l. Comme (u ) coverge, à prtir d'u certi rg N, tous les termes de l suite (u ) sot ds I. Autremet dit : N l < u < l + Si N = 0, lors c'est fii, (u ) est borée pr les réels l et l +. Si N, lors otos A l'esemble {u 0,..., u N, l, l + }, M le plus grd élémet de A et m so plus petit élémet. Aisi (u ) est borée pr les réels m et M.. Soit A +. Comme (u ) 'est ps mjorée, il existe u rg N pour lequel : u N > A Mis comme (u ) est croisste, pour tout N, o ur : u u N > A Doc tous les termes de l suite sot ds l'itervlle ]A, + [ à prtir du rg N. Comme ceci est vlble pour tout A +, o e déduit bie que (u ) diverge vers Risoos pr l'bsurde. Supposos que l suite (u ) dmette deux limites distictes l et l vec l < l. Notos d = l l. Comme (u ) coverge vers l, à prtir d'u certi rg N, tous les termes de l suite sot ds l'itervlle ouvert I de cetre l et de ryo 3 d. De même, comme (u ) coverge vers l, à prtir d'u certi rg N, tous les termes de l suite sot ds l'itervlle ouvert I de cetre l et de ryo 3 d. Doc à prtir du rg N = mx(n, N ), tous les termes de l suite sot simultémet ds I et I. Or ces deux itervlles sot disjoits (ils e se chevuchet ps). Ce qui 'est ps possible. Ceci prouve l'uicité de l limite. Illustrtio : u l I Commet, à prtir du rg N, l d I tous les terme de l suite pourriet-ils se situer ds ces deux "tuyux"? O N N Exercices rédigés sur les suites umériques Pge 5 G. COSTANTINI

6 4. Supposos, u cotrire, que l suite de terme géérl ( ) coverge vers u certi réel l. Soit I = l ; l +. I est u itervlle ouvert cetré e l. D'près otre hypothèse, il existe u rg N à prtir duquel, o ur : ( ) I Autremet dit : < ( ) l < Or, pour pir, cel doe : l ; 3 Et pour impir : l 3 ; D'où ue cotrdictio. Doc l suite cosidérée diverge. 5. Exploitos os deux hypothèses : Comme (u ) est borée, il existe u réel M tel que pour tout : u M Soit ε +. Comme (v ) est coverge vers 0, o ur à prtir d'u certi rg N : v ] ε ; ε [ M M C'est-à-dire : D'où : v < M ε u v < M ε M ε C'est-à-dire : u v ] ε ; ε[ Ce qui prouve bie que l suite (u v ) coverge vers Soit (u ) ue suite d'etiers reltifs coverget vers u certi réel l. Il existe doc u rg N tel que pour tout N, o it : u l < Autremet dit : u l ; l+ Or, l'itervlle l ; l+ qui est ouvert et de logueur cotiet u plus u etier c et comme l'etier u est ussi ds cet itervlle, o : u = c O prouvé que l suite (u ) est sttioire (ou costte à prtir d'u certi rg). Pr coséquet, l suite (u ) coverge vers c et pr uicité de l limite c = l. 7. Soit A +. Comme (u ) diverge vers +, il existe u rg N tel que : N u A Si N = 0, lors, c'est fii, l suite (u ) est miorée pr A. Si N lors otos m le plus petit élémet de l'esemble {u 0 ;... ; u N ; A}, isi, pour tout etier : u A Doc (u ) est miorée. Exercices rédigés sur les suites umériques Pge 6 G. COSTANTINI

7 Exercice Comportemet symptotique des suites géométriques. Soit x +. O cosidère l propriété () défiie pour tout pr : () : ( + x) + x Remrque : o peut étedre cette iéglité à x ], + [ O (0) puisque ( + x) 0 + 0x pour tout x +. Motros que, pour tout : () ( + ) Soit. Supposos () : ( + x) + x Comme x > 0, o ussi + x > 0. E multiplit l'iéglité ci-dessus pr ( + x), o obtiet : ( + ) + x ( + x)( + x) Or : ( + x)( + x) = + x + x + x = + ( + )x + x Comme x 0, o : ( + x)( + x) + ( + )x D'où : ( + ) Ce qui est ( + ). + x + ( + )x Bil : o (0) et pour tout de : () ( + ) Doc, pour tout de, o : () ( + x) + x. Étude du comportemet symptotique des suites géométriques. Supposos ] ; + [. Posos x =. Alors x ]0 ; + [. D'près l'iéglité de Beroulli : = ( + x) + x Or, lim + x = +. Pr compriso, o e déduit : + lim + = + L suite (u ) diverge doc vers +. Si =, le résultt est évidet. Supposos mitet ] ; [. Si = 0, le résultt est évidet. Si 0, posos : ' = Aisi : D'près le résultt précédet : Pr pssge à l'iverse, ous obteos : D'où : ' ] ; + [ lim + = + lim = 0 + lim + = 0 L suite (u ) coverge doc vers 0. Exercices rédigés sur les suites umériques Pge 7 G. COSTANTINI

8 Supposos ] ; ]. Risoos pr l'bsurde : supposos que l suite ( ) coverge vers u certi etier l. 3 Soit I = l l ;. I est u itervlle ouvert cetré e l. D'près otre hypothèse, il existe u rg N à prtir duquel, o ur : I l Autremet dit : < < 3 l Or, si est pir lors > 0, d'où : 0 < 3 l 0 < l Et si est impir lors < 0 d'où : l < 0 D'où ue cotrdictio. Doc l suite ( ) diverge. l < 0 Exercice 3 Étude d'ue suite récurrete. ƒ = h o g où g : x [, + [ + x et h : x + x. Comme g est strictemet croisste sur [, + [ et h est strictemet croisste sur g([, + [) = +, o e déduit, pr compositio, que ƒ est croisste sur [, + [... O cosidère l propriété défiie, pour, pr : + u0 Comme u = = 3, o bie : 0 < u < u + < 0 < u 0 < u < D'où (0). L propriété est iitilisée u rg 0. Soit. Supposos () : 0 < u < u + < Comme ƒ est strictemet croisste sur [0 ; ] (puisqu'elle l'est sur [, + [), o : C'est-à-dire : ƒ(0) < ƒ(u ) < ƒ(u + ) < ƒ() < u + < u + < D'où : 0 < u + < u + < Ce qui est ( + ). L propriété est doc héréditire à prtir du rg 0. Du pricipe de risoemet pr récurrece, o déduit : () pour tout. C'est-à-dire : 0 < u < u + < pour tout b. O viet de voir que l suite (u ) est croisste et mjorée (pr ), doc elle coverge. c. Pour tout, o : Exercices rédigés sur les suites umériques Pge 8 G. COSTANTINI

9 u + = + u = + u = + u + u = + u + u + u + Or + u 0, d'où + u + et pr pssge à l'iverse : + u + D'où : u + u d. Soit P l propriété défiie, pour, pr : O P(0). Si P() lors : u u 0 u +.c. u P ( ) u 0 D'où : u + + u 0 Ce qui est P( + ). Du pricipe de risoemet pr récurrece, o déduit que pour tout, o P(), c'est-à-dire : Comme lim + u u 0 = 0 (limite d'ue suite géométrique de riso ] ; [), ous vos : lim u = 0 + D'où : lim u = + Exercice 4 Séries de Riem 0. O, pour tout etier * : u + u = Doc l suite (u ) est strictemet croisste... Pour tout, o : ( + ) α > 0 u = u + k u + k= + u + b. Motros pr récurrece l propriété, défiie sur k, pr : (k) : il existe u etier tel que u k Comme u =, o (0) (et même ()). Soit k. Supposos (k). Il existe doc u etier tel que : Exercices rédigés sur les suites umériques Pge 9 G. COSTANTINI

10 u k Mis d'près l questio précédete : u 4 u + u + k + Pour l'etier m = 4, o u m k + d'où (k + ). Doc l propriété est vrie pour tout etier k. L suite (u ) 'est doc ps mjorée. D'près l'exercice (questio ), l suite étt croisste et o mjorée, elle diverge... Pour tout k : b. O : k kk ( ) k k u = + + k = k = + k k = k= Doc (u ) est mjorée pr. Pour α =, l suite (u ) est croisste et mjorée, doc covergete. 3. Ds cette questio, o suppose α 3. Comme, pour tout k *, o : k α k O ur ussi : u k = k Doc (u ) coverge (puisque croisste et mjorée). Exercice 5 Suites de Héro. Pour tout x *, o : Tbleu de vritios de ƒ sur * : ƒ(x) = x + x ƒ'(x) = x = x = ( x )( x+ ) x x x 0 + sige de x 0 + sige de x sige de x sige de l dérivée ƒ' vritios de ƒ + + Justifictio des siges : x 0 x x + Remrque : cette foctio ƒ est impire. 0 x U crré est positif ou ul Ne ps oublier de compléter le tbleu de vritio vec les vleurs des limites et des évetuels extremums. Exercices rédigés sur les suites umériques Pge 0 G. COSTANTINI

11 Les limites : lim ƒ(x) = + cr lim x + x + lim x 0 + ƒ(x) = + cr lim x 0 + = 0 et lim x = + x x + x = + et lim x = 0 x 0 + Les limites e et 0 s'e déduiset fcilemet e utilist le fit que ƒ est impire.. ) Notos l propriété défiie, pour, pr : Motros que est iitilisée u rg 0 : () : < u + < u u 0 Comme u 0 = E( ) +, o < u 0 et doc < u 0. D'où : u = u + 0 u0 < (u 0 + u 0 ) = u 0 Pr illeurs, ƒ est strictemet croisste sur [ ; + [, doc comme < u 0, o : ƒ ( ) < ƒ(u 0 ) < u O doc bie : < u < u 0 D'où (0). Motros que est héréditire à prtir du rg 0 : Soit. Supposos () : < u + < u u 0 Comme ƒ est strictemet croisste sur [ ; u 0 ], ous vos : ƒ ( ) < ƒ(u + ) < ƒ(u ) ƒ ( u 0 ) D'où : < u + < u + u < u 0 Ce qui est ( + ). Bil : o bie, pour tout : < u + < u u 0 E coséquece, l suite (u ) est décroisste et miorée (pr ) doc covergete. b) Pour tout, o : u + = u + u u = u + Or, d'près l questio ), o sit que : Pr pssge à l'iverse : < u u < D'où : u + < u + u + c) Soit l propriété défiie, pour, pr : < u u + < ( u ) Exercices rédigés sur les suites umériques Pge G. COSTANTINI

12 () : 0 < u ( u ) 0 O : 0 < u 0 0 ( u ) 0 Soit. Supposos (). Alors : d'où (0). 0.b) < u +.c) < ( u ) ( ) ( u ) 0 Ce qui est ( + ) Bil : o bie, pour tout : d) Comme lim + 0 < u + 0 < u + ( u 0 ) ( u ) 0 = 0 (puisque ] ; [), ous vos : lim + ( u ) 0 = 0 Du théorème des gedrmes, o déduit : lim u = + Exercice 6 Étude d'ue suite récurrete liéire d'ordre O cosidère l propriété, défiie pour, pr : () : pour tout etier m, u m = m Comme u 0 = et u =, o (). Motros que, pour tout : () ( + ) Soit. Supposos () : pour tout etier m, u m = m Alors : u + = 5 6 = 0 6 = 4 = + D'où ( + ). Bil :o () et (pour tout, () ( + ) ) doc o : (), pour tout d'où : pour tout etier m, u m = m Exercice 7 Moyee rithmético-géométrique Il suffit de motrer que ( ) et (b ) sot djcetes. Pour tout, o : + b+ = + + b b 4 b D'où : ( + b + )( + + b + ) = b 0 () Et comme ( ) et (b ) sot positives (fire ue récurrece), il viet, pour tout Exercices rédigés sur les suites umériques Pge G. COSTANTINI

13 + b + Efi, comme 0 > b 0, o pour tout : b Bie que ce résultt e soit ps ue hypothèse écessire du théorème des suites djcetes, o l'utilise pour prouver les suivts : E effet, d'ue prt, pour tout : + Doc l suite ( ) est décroisste. + b + D'utre prt, pour tout : b + b = b b = b ( b ) 0 (pr croissce de t t sur + ) Doc l suite (b ) est croisste. O cosidère mitet l propriété défiie pour pr : O bie sûr (0). () : b Motros que pour tout, () ( + ) : b Supposos () : b b Utilisos l propriété : 0 X Y (Y X) Y X (Pour le démotrer, il suffit de multiplier l'iéglité Y X Y + X pr Y X 0) Comme 0 b, o : ( + b + ) + b+ () b ( ) + ( b) Et pr croissce de t b t sur + : + b + + Et comme, b pour tout, o ( + ). Du pricipe de risoemet pr récurrece, o déduit : pour tout, () : b b D'où, pr compriso : lim ( b ) = 0 + O doc prouvé que les suites ( ) et (b ) sot djcetes. Elles coverget doc vers ue même limite (ppelée moyee rithmético-géométrique de et b. O e coît ps d'expressio de cette limite mis elle est liée ux itégrles elliptiques de ème espèce...) Exercice 8 Divergece des suites (cos ) et (si ) Supposos que l suite (cos ) coverge vers u certi réel l [, ]. O sit que : cos( + ) = cos cos si si Les suites (cos( + )) et (cos cos ) ot, pr hypothèse, ue limite. O e déduit, pr différece que l suite (si si ) ussi. Nous fisos u risoemet pr l'bsurde. Exercices rédigés sur les suites umériques Pge 3 G. COSTANTINI

14 Comme si est o ul, l suite (si ) coverge vers u certi réel k = Ce réel k est o ul cr cos. E outre, o sit que : si() = cos si l(cos ) si E psst à l limite, o urit : k = l k Et comme k 0 : l = Pr illeurs, o sit que : cos() = cos si E psst à l limite, o urit : l = l ( l ) D'où : l l = 0 D'où ue cotrdictio. Doc les suites (cos ) et (si ) diverget. l = ou l = Exercice 9 Suite défiie de fço implicite. L foctio P étt polyomile, elle est dérivble sur et pour tout x : P (x) = k = k kx O doc : P > 0 sur + D'où : P est strictemet croisste sur +. (L stricte mootoie sur + découle du fit que l dérivée e s'ule qu'e u seul poit sur +) De plus, P est cotiue sur + et pour tout, o : P (0)P () = ( ) < 0 O e déduit (théorème de bijectio ppliqué à P sur ]0, [) que P dmet ue uique rcie α ds ]0, [. Étude du cs = : o lors pour tout x : P (x) = x + x Les rcies de P sot : 5 < 0 et + 5 ]0, [ O doc : α =. O, pour tout : + 5 P + (α + ) = + k α+ = k = k + α + +α+ = P (α + ) + k= α + + Or, P + (α + ) = 0 et + + α > 0, d'où : P (α + ) < 0 De plus, P (α ) = 0. L'iéglité ci-dessus s'écrit : P (α + ) < P (α ) Comme P est strictemet croisste sur +, il viet, pour tout : Exercices rédigés sur les suites umériques Pge 4 G. COSTANTINI

15 Ce qui prouve que l suite (α ) est décroisste. α + < α Comme elle est de plus miorée pr 0, elle coverge. 3.. Pour tout x, o d'près l formule de sommtio de termes cosécutifs d'ue suite géométrique : P (x) = xx ( ) = x Comme, pour tout, o P (α ) = 0, il viet : + x α α + = x x b. L suite (α ) étt strictemet décroisste, o évidemmet pour tout : α < α (Ceux qui 'e sot ps covicus peuvet le démotrer pr récurrece) Et comme α ]0, [ (vu à l questio ), o bie pour tout : α < α < Pr stricte croissce, sur +, de l'pplictio t t +, il viet : + α < α + Et d'près l questio 3.. : α < α + Or, α ]0, [ doc α ]0, [ d'où : 0 < α < α + c. Comme α ]0, [, o : lim + D'où, d'près le théorème des gedrmes : + α = 0 lim (α ) = 0 + Et filemet : lim + α = Exercice 0 Étude d'ue suite rithmético-géométrique. Pssge à l'euro ) ) u = u + 50 = 600 Chque ée le dépôt ugmete de 50 F, doc : u + = u + 50 L suite (u ) est doc rithmétique de riso r = 50. De l reltio u = u 0 + r, o déduit : u = b) s = u 0 + u + u = 650 Le mott, e frcs, de l somme coteue ds l tirelire le er jvier 98 + est l somme de tous les dépôts effectués etre 98 et 98 + : s = u 0 + u u C'est doc l somme des + premiers termes cosécutifs d'ue suite rithmétique. Exercices rédigés sur les suites umériques Pge 5 G. COSTANTINI

16 Ue telle somme S se clcule vec l reltio : S = N( P+ D) où N = ombre de termes de l somme = + P = premier terme de l somme = u0 D = derier terme de l somme = u O obtiet : s = ( + )( u 0 + u ) Et d'près l questio [] : s = ( + )( ) D'où filemet : s = ( + )( ) c) O : 00 = Doc = 0. Il s'git de clculer s 0. D'près l questio [b] : s 0 = ( ) = 000 Le mott reçu pr Julie est : 000 frcs Soit e euros : 30,43 euros ) ) Le 3 décembre de chque ée, le cpitl c ugmete de 4%. Il deviet doc : 4 + c =,04c 00 De plus, le jour suivt ( er jvier), Julie joute 00 sur so compte. Le ouveu cpitl c + est doc : c + =,04c + 00 b) Motros qu'il existe u réel q tel que : u + = qu pour tout. O, pour tout : u + = c D'près l questio [] : u + =,04c =,04c u + =,04(u 5000) u + =,04u u + =,04u L suite (u ) est doc géométrique de riso q =,04. c) Comme l suite (u ) est géométrique, o d'près l reltio u = q u 0 : u = 8000,04 D'où : c = 8000, d) Il s'git de détermier le plus petit etier tel que : c , , E divist pr 8000 :,04 8 D'près l propriété : A B l A l B pour tous A et B de ]0 ; + [, o : l(,04 ) l 8 Si le logrithme épérie ' ps ecore été étudié, o peut détermier pr ttoemets. D'près l reltio : l(a ) = l A, pour tout A de ]0 ; + [ et tout de, o : Exercices rédigés sur les suites umériques Pge 6 G. COSTANTINI

17 l(,04) l 8 E divist pr l(,04) qui est positif (cr,04 > et l(x) > 0 x > ) : l( ) Or, d'près l clcultrice : 8 l( ) 8 l( 04, ) l( 04, ) 8, à 0 près O e déduit ( étt etier) : 9 Julie devr doc ttedre u mois 9 s vt de disposer de 6000 euros sur so compte. Exercices rédigés sur les suites umériques Pge 7 G. COSTANTINI