«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal)

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1 Lycée Stedhal (Greoble) Niveau : Termiale S Titre Cours : Chapitre 0 : Les suites Aée : «J'aimais et j'aime ecore les mathématiques pour elles-mêmes comme 'admettat pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversio» (Stedhal) I. Défiitio et otatios Ue suite u est ue applicatio dot l esemble de départ est das l esemble des etiers aturels. O ote à la place de x et o ote u à la place de u ( ) ou f(x). u: u u est le terme de rag de la suite u (l image de par u ). u est le terme de rag + ou le terme suivat de u u est le terme de rag - ou le terme précédet de u La suite de termes u se ote u ou ( u ) ou ( ) a. Défiitio explicite ( e foctio de ) d ue suite. Exemple : *, u u b. Défiitio par récurrece (e foctio du (ou des termes) précédet(s)) d ue suite Exemple :, u 4 et u 0 u Exemple : *, u u u, u et u Obato Site Iteret :

2 Lycée Stedhal (Greoble) 2 II. Variatios des suites. Défiitios Suite Croissate : ( u ) est croissate (strictemet) si et seulemet si, u u ( resp u u ) Suite Décroissate : ( u ) est décroissate (strictemet) si et seulemet si, u u ( resp u u ) 2. Exemples a. Pour, u u b. u 2 0 et, u 2 u O motrera que les termes sot tous positifs puis o pourra étudier les Obato Site Iteret :

3 Lycée Stedhal (Greoble) 3 III. Suites majorées, miorées et borées. Défiitios a. Ue suite ( u ) est dite majorée s il existe u réel M tel que, u M b. Ue suite ( u ) est dite miorée s il existe u réel N tel que, N u c. Ue suite ( u ) est dite borée si elle est majorée et miorée. Il existe deux réels M et N tels que :, N u M 2. Remarques a. Si ( u ) est majorée par M alors tous les ombres réels > M sot aussi des majorats de cette suite. b. Si ( u ) est miorée par N alors tous les ombres réels < N sot aussi des miorats de cette suite. 3. Exemples a. Pour tout, o ote u 2. Avec u calculatrice, émettre ue cojecture sur la suite ( u ). Motrer que pour tout, déduire que ( u ) est borée. u 2 et Obato Site Iteret :

4 Lycée Stedhal (Greoble) 4 b. O ote ( u ) la suite défiie par u 2 et pour tout : u u 5 0 Motrer que pour tout : 2u 3 c. Exercice 39 page Obato Site Iteret :

5 Lycée Stedhal (Greoble) 5 IV. Limites d ue suite Activité : u 2 ( ) v 2 w ( ) Cojecturer sur le comportemet à l ifii des suites ci-dessus. Défiitios Défiitio 0 O ote O dit que ( u ) ted vers quad ted vers si tout itervalle ouvert coteat cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag Obato Site Iteret :

6 Lycée Stedhal (Greoble) 6 2 Exemple : u ( ) O ote 0 I ]2 ;2 [ est u itervalle ouvert coteat 2. *, u I Propositio : Si lim u alors est uique. Défiitio 02 : O dit que ( u ) ted vers quad ted vers si tout itervalle ouvert de la forme ] A; [ ( A rag N. ) cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai Exemple : v, v ] A; [ 2 Remarque : Certaies suites ot pas de limite comme par exemple ( w ) Défiitio 03 : Si ( u ) a pour limite, o dit que ( u ) coverge vers. Das tous les autres cas ( limite ifiie ou pas de limite) o dit que la suite diverge. Exercice 48 page Obato Site Iteret :

7 Lycée Stedhal (Greoble) 7 2. Limite des suites usuelles lim lim 2 lim Pour lim Pour * k, * k, lim k lim k 3. Opératios sur les limites a. Somme et ' sot deux réels lim u lim v lim u ' v b. Produit et ' sot deux réels lim u 0 lim v lim u 0 0 ' v c. Quotiet et ' sot deux réels lim u 0 lim v ' 0 u lim v 0 0 ' 0 Obato Exercices 8 et 9 page a-6-55 page 34 Site Iteret :

8 Lycée Stedhal (Greoble) 8 4. Limites par comparaiso ( u ) et ( v ) sot deux suites tel que : N, N u v Si lim u alors lim v Si lim v alors lim u Démostratio (Exigible au BAC) : Exercices page Limite par ecadremet Théorème d ecadremet (dit : Théorème des gedarmes) : ( u ), ( v ) et ( ) w sot trois suites tel que : N, N u v w Si lim u et lim w alors lim v Démostratio : (N est pas au Obato Site Iteret :

9 Lycée Stedhal (Greoble) 9 6. Limite d ue suite mootoe Si ue suite est croissate et majorée alors elle coverge. Si ue suite est décroissate et miorée alors elle coverge. Exercices : 22 page 28 et 93 page p25 +8ou82 page Limite d ue suite géométrique Rappels sur les suites géométriques : O ote u ue suite géométrique de raiso q et de premier terme Pour tout, p : u u q Pour tout, p : Pour tout, p : u u q p p u u... u u p p p q q p u p, q q est u ombre réel différet de. Si q alors la suite Si q q alors la suite q Si q alors la suite Démostratio (Exigible au BAC) : q et lim q... et lim q... Exercices : (voir 07) page Obato Site Iteret :

10 Lycée Stedhal (Greoble) 0 8. Limite et variatio Si ( u ) est croissate et covergete alors elle est majorée par Démostratio (Exigible au BAC) : Si ( u ) est croissate et o majorée alors elle admet comme limite. Démostratio : (No exigible au BAC) Coclusio : Ue suite croissate est : Soit majorée et covergete Soit o majorée et de limite doc Obato Site Iteret :

11 Lycée Stedhal (Greoble) 9. Algorithme de seuil ( u ) est ue suite croissate telle que lim u. A est u réel doé. Ecrire u algorithme qui détermie u rag N à partir du quel u A Exemple : u ,95 et A Obato Site Iteret :

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