FICHE DE TRAVAUX DIRIGES TLES C,D,E. STRUCTURE : suites EXERCICES CORRIGES. Par Hugues SILA ( mail :

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1 FICHE DE TRAVAUX DIRIGES TLES C,D,E STRUCTURE : suites EXERCICES CORRIGES Par Hugues SILA ( mail : silhu06@yahoofr Termiale S F Laroche Suites umériques eercices corrigés

2 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur QCM Répodez par VRAI ou FAUX e JUSTIFIANT (sauf la questio f où il «suffit» de prouver) Soit (u ) ue suite géométrique de premier terme u 0 = et de raiso q ]0 ; + [ O ote S = u 0 + u + + u Alors a S'il eiste N tel que u > 000, alors q > b Si q <, alors il eiste N tel que 0 < u < c Si q >, alors lim S = + + d Si lim S =, alors + e Si q =, alors S 4 = 5 q = f Démotrer par récurrece que = ( ) Correctio a Vrai, b Vrai, c Vrai, d Vrai, e Fau O cosidère la suite ( u ) défiie par N 0 0 u =, u = et, pour tout N, u+ = u+ + u O défiit les suites ( v ) et ( w ) N N par v = u+ u et + w = u + u a La suite ( v ) N est arithmétique b La suite ( w ) N est costate = 5 c Pour tout N, o a : u ( w v ) d La suite ( u ) * a pas de limite fiie Correctio N a Fau : Si la suite v est arithmétique, v+ v est costate : Hugues SILA Page

3 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur v+ v = ( u+ u+ ) ( u+ u ) = u+ + u u+ + u = u+ + u = v ; 5 c est doc fau, mais ous gagos ue iformatio itéressate : v+ = v + v = v ; v est géométrique de raiso et de premier terme v 0 = 0 = d où b Vrai : Recommeços : v = w+ w = u+ + u+ u+ u = u+ + u + u+ u+ u = 0 doc c est vrai E plus o a w = w0 = u + u0 = 5 c Vrai : ( w v ) = u+ + u u+ + u = u = u Ok! d Fau : Remplaços pour calculer u : u = 5 dot la limite est 5 Soiet l u réel et ( u ) N ue suite réelle à termes tous strictemet positifs Pour les questios a, b, c o suppose que u coverge vers l a l est strictemet positif b Il eiste etier aturel tel que l soit ue valeur approchée de u à 0 près c La suite (l u ) N coverge vers l(l) d O suppose das cette questio que la suite ( u ) N vérifie pour tout etier aturel, u+ = l u et que u0 > u O e suppose pas que la suite ( u ) N coverge La suite ( u ) N est décroissate Correctio Questio a b c d Répose F V F V a Si l pouvait être égative, il eisterait des termes de u égatifs à partir d u certai rag ce qui est impossible Par cotre l peut être ulle : par eemple les suites q avec 0 < q < coverget vers 0 b La traductio de cette phrase est : il eiste tel que il eiste N tel que pour tout > N, u l kv où v coverge vers 0 u l 0 ; c est la défiitio même d ue suite covergete : Hugues SILA Page

4 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur c Supposos que u coverge vers 0 alors la suite (l u ) N «covergerait» vers E fait cette suite divergerait d La foctio l est croissate doc si u0 > u alors l u0 > l u u > u, etc Par récurrece o a u > u + doc bie décroissate Remarquez que si o avait u0 < u alors la suite aurait été croissate E fait das le cas d ue suite u + 4 = f ( u ) avec f croissate tout déped de l ordre des deu premiers termes O cosidère la suite complee ( z) N défiie par z 0 = et, pour tout etier, z+ appelle M le poit d affie z a La suite ( z ) est ue suite géométrique de raiso N + i = z Pour etier aturel, o b Quel que soit etier aturel, les triagles OM M + sot rectagles c M appartiet à l ae des abscisses si et seulemet si est u multiple de 4 d Pour tout etier aturel, z π i 4 e = ( ) Correctio Questio a b c d Répose F V V V a O a + i 4 4 = + = doc ( ) z est ue suite géométrique de raiso N + i z+ z b Il ous faut calculer (, i π MO M M + ) = arg( ) = arg = arg =, aisi que 0 z 4 + i + ( OM, OM + ) = arg( ) = arg = z 4 ç aurait été mois amusat ) z π π Le derier agle vaut doc bie (o aurait pu calculer u seul agle mais π π + i i i c O a évidemmet z 4 4 = z0 = e = e π 4kπ = kπ = = 4k 4 π doc M appartiet à l ae des abscisses si d Avec la répose au c et e remarquat que =, o retrouve bie π i 4 e z = ( ) Hugues SILA Page 4

5 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur 5 Le pla est rapporté à u repère orthoormé ( O ; i, j) O cosidère das ce repère les poits A( ; ), B(5 ; ) et I le milieu de [AB] Soit (G ) N la suite de poits défiie par : * G 0 = O, * Pour etier aturel, G + est le barycetre de {(G ; ), (A ; ), (B ; )} O appelle ( ; y ) les coordoées de G a G, G et G sot aligés b Quel que soit, G + est l image de G par l homothétie de cetre I et de rapport c La suite ( u ) N défiie par u = est ue suite géométrique de premier terme et de raiso d Pour tout, = Correctio Questio a b c d Répose V F V V a E utilisat le barycetre partiel o a G + barycetre de {(G ; ), (I ; )}, soit le milieu de [G I], tous les G sot doc aligés b L homothétie est bie de cetre I mais de rapport / Les coordoées de I sot ( ; ) + = ( ) c E utilisat la défiitio d ue homothétie : IM ' = kim, o a y+ = ( y ) raiso /, de premier terme u0 = 0 = d où u = est géométrique de d Avec ce qu o a fait, ( ) = = O peut compléter avec le calcul de y : y = y = Quad ted vers l ifii et y tedet respectivemet vers et, soit G ted vers I (ce qui était prévisible puisqu à chaque itératio o pred le milieu de [G I]) 6 O cosidère ue droite graduée d origie O O cosidère les suites de poits (G ) N et (H ) N défiies aisi : * G 0 = O, Hugues SILA Page 5

6 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur * Pour etier aturel, G + est le barycetre de {(G ; ), (H ; )}, * H 0 a pour abscisse, * Pour etier aturel, H + est le barycetre de {(G ; ), (H ; )} O appelle g et h les abscisses respectives de G et H a La suite ( g h ) est ue suite géométrique de raiso b La suite ( g + h ) est ue suite costate c Les deu suites g et h coverget vers la même limite d Les suites g et h sot adjacetes 5 Correctio Questio a b c d Répose V V V F a Il faut évidemmet trouver les relatios etre g et h G + barycetre de {(G ; ), (H ; )} ous doe ( g+ g ) + ( g+ h ) = 0 5g+ = g + h g+ = g + h ; 5 5 H + barycetre de {(G ; ), (H ; )} ous doe ( h + g ) + ( h+ h ) = 0 5h + = g + h h + = g + h ; 5 5 d où g+ h + = g + h g h = ( g h ) O peut alors calculer g h = ( g0 h0 ) = Quelle est la sigificatio géométrique de ce résultat? = + = + = = + = 0 + = Quelle est la sigificatio géométrique de ce résultat? 5 5 b g+ h + g h g h g0 h0 c Des deu relatios précédetes o tire u petit système : g h = ( / 5) g + h = d où ( ) g = ( / 5) h = ( / 5) ( + ) qui coverget toutes les deu vers, soit le milieu de [G 0H 0 ] Hugues SILA Page 6

7 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur d C est du cours la coditio de mootoie des deu suites est pas respectée O voit bie qu à chaque itératio la distace [G H ] est divisée par 5 0 H G H G 7 QCM divers Pour tout réel, e désige l image de par la foctio epoetielle Affirmatio a Pour tous les réels a et b strictemet positifs, ( e a ) l b Affirmatio b Pour tous les réels a et b strictemet positifs, ( ) a = b l a + b = l a+ l b Affirmatio c La tagete e à la courbe de la foctio epoetielle a pour équatio y = e Soit f ue foctio umérique défiie sur u itervalle ouvert I et soit a u élémet de I Affirmatio a Si f est cotiue sur I, alors f admet ue seule primitive sur I Affirmatio b Si f est pas cotiue e a, alors f est pas dérivable e a Affirmatio c Si f est pas dérivable e a, alors la foctio ifiie e a f ( a+ h) f ( a) h a ue limite h O cosidère deu suites ( u ) et ( v ) défiies sur N Affirmatio a Si ( u ) est mootoe décroissate et miorée et ( v ) est mootoe croissate et majorée alors ( u ) et ( v ) coverget vers la même limite Affirmatio b Si o a a u+ u b < < avec a et b das l itervalle ] [ Affirmatio c Si ( u ) coverge, alors la suite ( l u ) coverge 0 ; alors u coverge Soit N * O cosidère la foctio f défiie sur ]; + [ par : + f ( ) = Affirmatio d f est dérivable sur ] ; + [ et pour tout >, o a : f () = Hugues SILA Page 7

8 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur Correctio Pour tout réel, e désige l image de par la foctio epoetielle l b l Affirmatio a Vrai : ( ) ( ) a b a a e = e = b Affirmatio b Fau : l ( a b ) l a l b l ( ab ) + + = Affirmatio c Vrai : e, la tagete est ( ) = + = + = y e e e e e e Soit f ue foctio umérique défiie sur u itervalle ouvert I et soit a u élémet de I Affirmatio a Fau : Si f est cotiue sur I, alors f admet ue ifiité de primitives sur I, toutes différetes d ue costate Affirmatio b Vrai : Si f est pas cotiue e a, o a pas f(a) et f est pas dérivable e a Affirmatio c Fau : pas forcémet, o peut avoir des demi-tagetes O cosidère deu suites ( u ) et ( v ) défiies sur N Affirmatio a Fau : il faudrait par eemple e plus que v u tede vers 0 Affirmatio b Vrai : u est croissate, et si o fait la somme des iégalités a < u+ u < b, o a + + k k a b a < u+ u0 < b u0 u+ u0 u0 a + < < b + < b + ; doc u k k est borée Affirmatio c Fau : Si ( u ) coverge vers 0, alors la suite ( l u ) diverge Affirmatio d Vrai : = = f( ) f '( ) 8 ROC+eemples, 4 poits Cet eercice costitue ue restitutio orgaisée de coaissaces PARTIE A : QUESTION DE COURS O suppose cous les résultats suivats : Hugues SILA Page 8

9 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur () deu suites (u ) et (v ) sot adjacetes lorsque : l'ue est croissate, l'autre est décroissate et u v ted vers 0 quad ted vers + ; () si (u ) et (v ) sot deu suites adjacetes telles que (u ) est croissate et (v ) est décroissate, alors pour tout apparteat à N, o a u v ; () toute suite croissate et majorée est covergete ; toute suite décroissate et miorée est covergete Démotrer alors la propositio suivate : «Deu suites adjacetes sot covergetes et elles ot la même limite» PARTIE B O cosidère ue suite (u ), défiie sur N dot aucu terme 'est ul O défiit alors la suite (v ) sur N par v = u Pour chaque propositio, idiquer si elle est vraie ou fausse et proposer ue démostratio pour la répose idiquée Das le cas d'ue propositio fausse, la démostratio cosistera à fourir u cotre eemple Ue répose o démotrée e rapporte aucu poit Si (u ) est covergete, alors (v ) est covergete Si (u ) est miorée par, alors (v ) est miorée par Si (u ) est décroissate, alors (v ) est croissate 4 Si (u ) est divergete, alors (v ) coverge vers zéro Correctio PARTIE A : «Deu suites adjacetes sot covergetes et elles ot la même limite» O a u v et (v ) décroissate doc u v v0 d où (u ) est majorée et coverge vers l ; même chose pour (v ) qui est décroissate et miorée par u 0 et coverge vers l Comme u v ted vers 0 quad ted vers +, o a l l ' = 0 l = l ' Pour ue première ROC la difficulté est raisoable Iutile de racoter sa vie o plus! PARTIE B : (u ) o ulle, v = u Si (u ) est covergete, alors (v ) est covergete : Fau : importe quelle suite covergete vers 0 e marche pas, predre par eemple / Si (u ) est miorée par, alors (v ) est miorée par : Hugues SILA Page 9

10 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur Vrai : u v u u u Si (u ) est décroissate, alors (v ) est croissate : Fau ; v + ( u u+ ) v = = ; si (u ) est décroissate, u+ u 0 u u+, le umérateur est égatif, si le u u u u + + déomiateur est positif, soit lorsque la suite (u ) a que des termes positifs, (v ) est décroissate 4 Si (u ) est divergete, alors (v ) coverge vers zéro Fau : ue suite peut être divergete sas tedre vers l ifii, par eemple que v u = ( ) diverge, de même évidemmet Das l esemble les questios e sot pas trop compliquées, la fabricatio de cotre-eemples est ue boe activité qui permet la compréhesio des phéomèes e jeu Il est vrai que e pas coaître les réposes est déstabilisat, mais les correcteurs ferot certaiemet preuve de compréhesio 9 Récurrece, O cosidère la suite (u ) défiie par u0 = u+ = u + + pour tout etier aturel Etudier la mootoie de la suite (u ) a Démotrer que, pour tout etier aturel, b Quelle est la limite de la suite (u )? u > Cojecturer ue epressio de u e foctio de, puis démotrer la propriété aisi cojecturée Correctio u+ u = + qui est évidemmet positif u est croissate a Par récurrece : + > + = + + ; or si u ( ) b Comme u > et que u 0 = > 0, la propriété est vraie au rag 0 Au rag + il faut motrer que u >, alors + > + + qui est évidemmet supérieur à u ted vers + lorsque ted vers +, u ted clairemet vers C est fii O calcule les premières valeurs de u : u0 =, u = = 4, u = = 9, u = = 6 O voit apparaître la suite des carrés des etiers avec u décalage d u cra par rapport à l idice ; il s agit doc de motrer que u = ( + ) : ecore ue récurrece + = = = + + = + C est bo u ( ) 4 4 ( ) Hugues SILA Page 0

11 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur 0 Récurrece, Soit la suite u défiie par u0 = 0, u+ = u a Claculer u, u, u O eprimera chacu des termes sous forme d ue fractio irréductible b Comparer les quatre premiers termes de la suite u au quatre premiers termes de la suite w défiie par w = + c A l aide d u raisoemet par récurrece, démotrer que, pour tout etier aturel, u = w Soit v la suite défiie par v = l + a Moter que v + v + v = l 4 b Soit S la somme défiie pour tout etier o ul par S = v + v + + v Eprimer S e foctio de Détermier la limite de S lorsque ted vers l ifii Correctio a O a u 0 = 0, u = = 0 u = = /, u = = / 4, b O voit facilemet que les termes de u sot ceu de w = + 0 c Par récurrece (aisi que demadé) ; o vérifie au rag 0 : u0 = 0, w = = 0, ok Supposos alors que u = w et motros que u+ = w+ : ceci est équivalet à u = + u = + = + = Tout va bie = u +, soit a v = l, v = l, v = l 4 O peut utiliser l(a/b) = la lb : v + v + v = l l + l l + l l 4 = l 4 ou bie l(ab) = la + lb : v + v + v = l + l + l = l = l = l S = v + v + + v = l + l + + l + l +, b soit S = l l + l l + + l( ) l + l l( + ) Tous les termes itermédiaires disparaisset ; o a doc S = l( + ) qui ted évidemmet vers Hugues SILA Page

12 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur Récurrece, 6 poits Le graphique ci-dessous sera complété et remis avec la copie Soit la foctio f défiie sur l itervalle [0 ; ] par + f ( ) = + Étudier les variatios de f sur l itervalle [0; ] Motrer que si [ ; ] alors ( ) [ ; ] (u ) et (v ) sot deu suites défiies sur N par : u 0 = et pour tout etier aturel, u+ = f ( u ), v 0 = et pour tout etier aturel, v+ = f ( v ) f a Le graphique doé e aee représete la foctio f sur l itervalle [0 ; ] Costruire sur l ae des abscisses les trois premiers termes de chacue des suites (u ) et (v ) e laissat apparets tous les traits de costructio À partir de ce graphique, que peut-o cojecturer cocerat le ses de variatio et la covergece des suites (u ) et (v )? b Motrer à l aide d u raisoemet par récurrece que : Pour tout etier aturel, v Pour tout etier aturel, v+ v O admettra que l o peut démotrer de la même faço que : Pour tout etier aturel, u Pour tout etier aturel, u u + c Motrer que pour tout etier aturel, v u = + + ( v + ) ( u + ) v u E déduire que pour tout etier aturel, v u 0 et v+ u+ ( v u ) 4 d Motrer que pour tout etier aturel, v u 4 e Motrer que les suites (u ) et (v ) coverget vers u même réel α Détermier la valeur eacte de α Hugues SILA Page

13 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur y,5 0, ,5,5 Correctio f '( ) = > 0 ( + ) doc f est croissate ; f () = > et 5 () f = < doc si [ ; ], ( ) [ ; ] f a Visiblemet la suite u est croissate, et coverge vers le poit d itersectio etre la courbe de f et la droite (y = ), soit eviro,6 ; de même v semble décroissate et coverger vers le même poit Hugues SILA Page

14 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur y,5 0, ,5,5 b Pour = 0, o a v 0 = qui est bie das l itervalle [; ] ; par ailleurs si alors comme f est croissate, f () f ( v ) f () v + ; la propriété est toujours vraie De même o a v 5 = f () = v0 ; par ailleurs si v+ v f ( v+ ) f ( v ) v+ v+, etc Remarquez que c est v 5 = f () = v0 qui etraîe tous les autres termes derrière avec la complicité de la croissace de f Pour u c est pratiquemet pareil, sauf que u = f ( u 0 ) = > u0 et doc, etc c O échappe pas au calcul : v + + v v v + u + u v + v + u + u v v u v u u = = = v + u + v + u + v + u v ( ) ( ) ( ) ( ) u est du sige de v u; comme v0 u0 = > 0, par récurrece o a v u 0 ; o a > v + > < et pareil pour u doc v+ u+ ( v u ) = ( v u ) v + 4 Hugues SILA Page 4

15 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur d Ecore ue récurrece : v u = = = v+ u+ ( v u ) = ; grâce à la relatio précédete o a évidemmet e Les suites u et v sot adjacetes car 0 v u 0 lim ( v u ) 0 lim ( v u ) = 0 4 bie vers ue même limite α telle que ; elles coverget + 5 α =,68 α + α = f( α) = α + α = a+ α α = 0 α + 5 α = 0, La limite est doc la première racie, soit α = Suite récurrete, 6 poits y,5,5 0,5 A 0-0,5 0 0,5,5,5 Hugues SILA Page 5

16 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur La suite u est défiie par : u 0 = et u+ = u + pour tout etier aturel 7 a O a représeté das u repère orthoormé direct du pla ci-dessous, la droite d équatio de coordoées ( ; 0) y = + et le poit A 7 Costruire sur l ae des abscisses les quatre premiers termes de la suite u b Démotrer que si la suite u est covergete alors sa limite est l = 8 c Démotrer que pour tout etier aturel o a : u > 8 d Étudier la mootoie de la suite u et doer sa limite a Soit u etier aturel supérieur ou égal à Démotrer que : = = k 0 90 c est-à-dire que 0 k= b La suite v est défiie par v =, avec décimales cosécutives égales à 7 Aisi v 0 =,, v =,7 et v =,77 E utilisat le a démotrer que la limite de la suite v est u ombre ratioel r (c est-à-dire le quotiet de deu etiers) La suite u défiie au et la suite v sot-elles adjacetes? Justifier Correctio u 0 = et u+ = u + 7 a Costruire sur l ae des abscisses les quatre premiers termes de la suite u b Si la suite u est covergete alors sa limite l est telle que l = l + l = l = c Par récurrece : u 0 = > 8 O suppose u >, alors u+ = u + > + = = = CQFD Hugues SILA Page 6

17 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur d u+ u = u u u + 7 = + 7 qui est positif lorsque u > u <, ce qui est fau doc u est 7 8 décroissate La suite est décroissate, miorée elle coverge doc vers l = 8 a Somme des premiers termes (de à + il y a termes) d ue suite géométrique de premier terme de raiso + 0 : 0 = = k k= 0 0 = 00 et b v 0 =,, v = v0 + 0,07 = v0 + 7, v 0 = v + 0,007 = v , etc 0 0 O a doc, 7, Lorsque ted vers 0 +, 0 ted vers 0 et v v = = ted vers, + = + = = u décroissate et miorée, v croissate et majorée (évidet) ; elles ot même limite, elles sot adjacetes Barycetre, 5 poits PARTIE A État doés deu poits disticts A 0 et B 0 d ue droite, o défiit les poits : A milieu du segmet [A 0 B 0 ] et B barycetre de {(A 0, ) ; (B 0, )} Puis, pour tout etier aturel, A + milieu du segmet [A B ] et B + barycetre de {(A, ) ; (B, )} Placer les poits A, B, A et B pour A 0 B 0 = cm Quelle cojecture peut-o faire sur les poits A et B quad deviet très grad? O muit la droite (A 0 B 0 ) du repère ( 0 ; ) A i avec i = A0 B0 Soit u et v les abscisses respectives des poits A et B Justifier que pour tout etier aturel strictemet positif, o a PARTIE B u + v u + v u + = et v + = u + v u + v O cosidère les suites (u ) et (v ) défiies par u 0 = 0 ; v 0 = ; u + = et v + = Démotrer que la suite (w ) défiie par w = v u est ue suite géométrique covergete et que tous ses termes sot positifs Hugues SILA Page 7

18 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur Motrer que la suite (u ) est croissate puis que la suite (v ) est décroissate Déduire des deu questios précédetes que les suites (u ) et (v ) sot covergetes et ot la même limite 4 O cosidère la suite (t ) défiie par t = u + v Motrer qu elle est costate PARTIE C À partir des résultats obteus das les parties A et B, préciser la positio limite des poits A et B quad ted vers + Correctio PARTIE A A + milieu du segmet [A B ] et B + barycetre de {(A, ) ; (B, )} A0 A A B B B0 Même quad est pas très grad, les suites de poits coverget vers u poit qui semble être à peu près au milieu de [A B ] O a das ce repère les abscisses suivates : u 0 = 0 et v 0 = u + v Si u et v sot les abscisses des poits A et B, o a u + = car A + est le milieu de [A B ] et u + v u + v v + = = + PARTIE B w v u w+ v+ u+ car B + est le barycetre de {(A, ) ; (B, )} u + v u + v u + 4v u v v u = = = = = doc w est ue suite géométrique 6 6 de raiso /6, doc covergete vers 0 Tous ses termes sot positifs car w = w0 = 6 6 u + v u v u u+ u = = = w > 0 doc (u ) est croissate ; u + v v v+ v = = w < 0 doc la suite (v ) est décroissate Comme w > 0, o a u < v doc u est croissate majoée, v décroissate miorée, les suites (u ) et (v ) sot covergetes et sot adjacetes car lim w = 0 ; elles ot doc la même limite Hugues SILA Page 8

19 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur u + v u + v = + = + = = + = = = = + = 6 4 t+ u+ v+ u v u v u v t t0 u0 v0 PARTIE C Comme u et v tedet vers la même limite l, e remplaçat das t o a : 6 t = u + v = 6 l + l = 5l = 6 l = 5 4 Barycetre O cosidère les deu suites ( u ) et ( v ) défiies, pour tout etier aturel, par : u 0 u + = u = + v et v v 0 + = 4 u = + + v Calculer u, v, u, v Soit la suite ( w ) défiie pour tout etier aturel par w = v u a Motrer que la suite ( w ) est ue suite géométrique de raiso 4 b Eprimer w e foctio de et préciser la limite de la suite ( w ) Après avoir étudié le ses de variatio des suites ( u ) et ( v ), démotrer que ces deu suites sot adjacetes Que peut-o e déduire? 4 O cosidère à préset la suite ( t ) défiie, pour tout etier aturel, par a Démotrer que la suite ( t ) est costate b E déduire la limite des suites ( u ) et ( v ) Correctio u + v 7 u + v 5 u + v 9 u + v 59 = = = = = = = = u, v, u, v t u + v = u + v u u + + v u + v u+ u a u + v u v u w+ = v+ u+ = = = = = = w b w0 = v0 u0 = 4 = doc w = = ; sa limite est évidemmet Hugues SILA Page 9

20 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur u+ u O a vu que = w > doc u est croissate ; par ailleurs w = v u > 0 doc u > v ; efi + 0 u + v v+ v = u+ + v v = ( u+ v ) = ( v ) = ( u v ) < 0 doc v est décroissate 4 Il reste à motrer que lim( u v ) = 0 or c est justemet la limite de w Les suites ( u ) et ( v ) coverget doc vers la même limite (icoue pour l istat ) u+ + v+ u + v u+ + v u + v u + v 4 a t+ = = v ( u v ) t + = + + = + = O a doc 7 t = ( u0 + v0 ) = b Les suites ( u ) et ( v ) ot même limite l doc à l ifii, e remplaçat das t : 7 = ( l + l) l = 7 5 Ue epoetielle, 6 poits Pour tout etier aturel, o pose 0 u = O défiit aisi ue suite ( u ) N Prouver, pour tout etier aturel o ul, l équivalece suivate : O cosidère la foctio f défiie sur [ ; + [ par 0 u+ 0,95u si et seulemet si +,9 f ( ) = + a Etudier le ses de variatio et la limite e + de la foctio f b Motrer qu il eiste das l itervalle [ ; + [ u uique ombre réel α tel que f ( α ) =,9 c Détermier l etier aturel 0 tel que 0 α 0 0 d Motrer que, pour tout etier aturel supérieur ou égal à 6, o a : a Détermier le ses de variatio de la suite ( u ) à partir du rag 6 b Que peut-o e déduire pour la suite? 0 +,9 4 E utilisat u raisoemet par récurrece, prouver, pour tout etier aturel supérieur ou égal à 6, l ecadremet : 0 u 0,95 u E déduire la limite de la suite ( u ) 6 6 Correctio O remplace, o simplifie et o a ce qui est demadé : N Hugues SILA Page 0

21 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur u ( + ) ( + ) + 0,95u 0,95 0,95, 9 +,9 a f ( ) = + 0 ; 9 9 f '( ) = = 0 + < 0 doc f est décroissate ; 0 0 lim + = = + b 0 0 f () = et f décroissate doc f est bijective de [ ; + [ vers ] ; ] ; comme,9 est das cet itervalle, il eiste bie u uique réel α tel que f ( α ) =,9 c O a f (5),9067 et f (6), 85 d où 6 = 5 α 6 d Lorsque α, comme f est décroissate, o a : f ( ) f ( α) =,9, doc pour tous les tels que 6 α, o a 0 + = f ( ) f (6) f ( α ) =, 9 a D aprèe ce que ous veos de dire, la suite ( u ) est telle que u+ 0, 95u à partir du rag 6 ; comme tous les termes sot évidemmet positifs, la suite ( u ) est décroissate à prtir de ce rag b Décroissate et miorée par 0 doc covergete 4 0 u 0,95 u : o vérifie facilemet au rag 6 car 0 u6 u6 ; quad o passe au rag suivat, o a ( + ) 6 u+ 0,95u 0,950,95 u6 = 0,95 u6, CQFD Comme 0,95 <, 6 Formule de Stirlig 6 0,95 ted vers 0 à l ifii aisi que u grâce à os amis les gedarmes Soit la suite ( u ) ( > 0) défiie par : e u =! Doer des valeurs approchées de u, u, u à 0 près a Soit g la foctio défiie sur [0 ; ] par t tout t de [0; ] o a : l( + t) t 4 t g( t) = l( + t) t + E utilisat les variatios de g, démotrer que pour 4 b E déduire que pour tout > 0, o a + e 4 (o pourra poser t = /) a Démotrer que pour tout etier > 0 o a 4 u + e u b E déduire que pour tout etier supérieur ou égal à o a : Hugues SILA Page u e

22 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur 4 a Par des cosidératios d aire motrer que pour tout etier supérieur ou égal à o a : t dt b E déduire que que pour tout etier supérieur ou égal à o a : u l e 4 Quelle est la limite de la suite ( u )? Commetaire : o eplore ici u moye d approcher! : comme u ted vers 0, o peut se dire qu e multipliat par quelque chose de la forme K α la limite peut deveir Ceci doerait alors u équivalet de! de la forme E l occurrece ça marche, il s agit de ( π ) Correctio u u u 0, 679, 0, 707, 0, 40 = π :! π e α K e a t g( t) = l( + t) t + ; 4 t t + t + t t t t( t ) g ( t) = + = = = < 0 + t ( + t) ( + t) ( + t) sur [0 ; ] g est décroissate et g (0) = l = 0 par coséquet t g( t) g(0) = 0 l( + t) t 4 b Posos t = das la relatio précédete : l( + t t) t l( ) l( ) d où l + l e + e 4 4 a + ( ) ( )! = = u ( )! + e u e ( + ) e e e!! ( + ) = e e e = e b O a 4 4( ) 4( ) = u e u u e u u e u u e u e e Par coséquet o a e effectuat les produits d iégalités successifs : 4( ) 4( ) 4( ) 4( ) 4( ) 4 4( ) 4( ) 4 =, u e u e e u e e e u e e e e soit u e 4 a Cet argumet est très classique Etre deu valeurs etières cosécutives, k et k+, l aire sous la courbe de / est iférieure à l aire du rectagle de largueur et de hauteur /(k+) : k+ k t k + dt k + t k k + k t k Hugues SILA Page

23 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur d où e sommat sur tous ces rectagles : dt = dt + + dt t t t b O a doc l l , soit et d après l iégalité du b : u l 4 4 l e 4 La suite ( u ) est positive et la partie droite ted vers ep( ), soit 0 Doc la suite ted vers 0 7 Suites adjacetes, O défiit les suites (a ) et (b ) par a 0 =, b 0 =7 et a = a + b b = a + b ( ) ( ) + + Soit D ue droite muie d u repère ( O ; ) a et b Placez les poits A 0, B 0, A, B, A et B i Pour tout de N, o cosidère les poits A et B d abscisses respectives Soit (u ) la suite défiie par u = b a Démotrez que (u ) est ue suite géométrique dot o précisera la raiso et le premier terme Eprimez u e foctio de Comparez a et b Étudiez le ses de variatio des suites (a ) et (b ) Iterprétez géométriquemet ces résultats 4 Démotrez que les suites (a ) et (b ) sot adjacetes 5 Soit (v ) la suite défiie par v = b a pour tout etier Démotrez que (v ) est ue suite costate E déduire que les segmets [A B ] ot tous le même milieu I 6 Justifiez que les suites (a ) et (b ) sot covergetes et calculez leur limite Iterprétez géométriquemet ce résultat Corrigé Les poits ot pour abscisse : ( 7) a = + = ; b = ( + 4) = 5 ; (u ) est géométrique : o a u = b a d où a = (6 + 5) = ; b = ( + 0) = Hugues SILA Page

24 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur u+ = b + a+ = ( a + b ) ( a + b ) = ( b a ) = u La suite (u ) est géométrique de raiso et de premier terme u 0 = 7 = 6 Fialemet o a u = 6 Comparos a et b et cherchos les variatios de ces suites : b a = 6 u = > 0 doc b > a b + b = ( a + b ) b = ( b a ) = u < 0 doc (b ) est décroissate a+ a = ( a + b ) a = ( b a = u > 0 doc (a ) est croissate Graphiquemet cela se traduit par le fait que la suite des poits A avace vers la droite alors que la suite des poits B se déplace vers la gauche mais les poits A demeuret e permaece à gauche des poits B 4 Motros que (a ) et (b ) sot adjacetes :(b ) est décroissate, (a ) est croissate, lim( b a ) = lim(6 ) = 0 car la limite d ue suite géométrique de raiso r telle que r < est 0, doc les suites (a ) et (b ) sot adjacetes 5 v = a + b doc v+ = a+ + b + = ( a + b ) + ( a + b ) = a + b = v doc (v ) est costate : le milieu du segmet a + b v v [A B ] est I d abscisse i = = = 0 car (v ) est costate doc le milieu de [A B ] est costat et est la poit I d abscisse 4 car v 0 = + 7 = 8 6 Les suites (a ) et (b ) sot respectivemet croissate et décroissate et b > a doc = a a b b = 7 ; 0 0 (a ) est croissate et majorée par 7 doc (a ) coverge (b ) est décroissate et miorée par doc (b ) coverge De plus ces deu suites sot adjacetes doc elles coverget vers la même limite L E utilisat la suite costate (v ) telle que v = a + b = 8 et par passage à la limite : lim a + lim b = 8 doc L + L = 8 doc L = 4 Géométriquemet, cela se traduit par le fait que les suites de poits (A ) et (B ) vot se rapprocher du poit I(4), l ue par la gauche, l autre par la droite 8 Suites adjacetes : calcul de la racie carrée O cosidère les suites (u ) et (v ) défiies sur N par u 0 = et les relatios : u + v u + = et v = 7 u Hugues SILA Page 4

25 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur Calculer v 0, u, v, u, v, u et v Doer l'approimatio de u et v lue sur la calculatrice Justifier par récurrece que pour tout de N, u > 0 et v > 0 a Démotrer que quel que soit de N, ( + ) 8 = ( ) b E déduire que u v = ( u v ) + + 4u+ c Coclure que quel que soit o a u v 0 u v u v 4 E s aidat de la questio c, prouver que la suite (u ) est décroissate et que la suite (v ) est croissate 5 a Démotrer que quel que soit de N*, u 8 u+ v+ u v 0 b Utiliser le résultat précédet pour démotrer que ( ) c E déduire, à l'aide d'u raisoemet par récurrece que u v 0 d Détermier la limite de u v lorsque ted vers + 6 Coclure que les suites (u ) et (v ) sot adjacetes et détermier leur limite commue 7 Justifier que u est ue approimatio de 7 à 0 7 près 8 Proposez ue méthode géérale pour trouver ue valeur approchée de a où a est u réel quelcoque positif Cette méthode est celle utilisée par le mathématicie grec Héro ( er siècle) pour détermier ue approimatio des racies carrées Correctio u0 + v0 6 8 v0 = = ; = = 7 7 u + v + u = = ; v = = = ; = = u = = ; v = = = u0 6 u u u + v 57 ; = = u =,64575 ; v = = =, u Il semble que les suites tedet vers,64575 et que la covergece soit très rapide P : u > 0 et v > 0 P 0 : u 0 = > 0 et v 0 = 7/ > 0 : P 0 est vérifiée Hugues SILA Page 5

26 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur u + v Supposos P vraie : u + = > 0 puisque u et v sot positifs, et bie sûr il e résulte que v+ bie, quel que soit de N, u > 0 et v > 0 7 a ( ) ( ) ( ) ( ) u + v 8 = u v u + v u v = 8 ( uv ) = 8 uv = 7 v = u ( ) b ( u v ) ( u v ) ( u + v ) = + 8 = 7 4u + 4u+ u+ 4 ( ) = u 7 7 = u = u v u u+ 7 = > 0 O a u c De l'égalité précédete, o coclut que u + v + est strictemet positif quel que soit, c'est-à-dire e remplaçat 7 + par, o a u v positif pour Il faut vérifier que l'iégalité est aussi vraie pour = 0 : u0 v 0 = = > 0 O a bie u v > 0 ou ecore u > v + u + v u + v u v u 7 7 7( u u+ ) 4 u+ u = u = = < 0 car v u < 0 ; v+ v = = > 0 u u u u u > 0 quel que soit La suite (u ) est bie décroissate et la suite (v ) est croissate + + car u + u < 0 et 5 a O sait que u > v or la suite v est croissate, doc v > v, o a doc : u > v > v = 8 5 b Par équivalece : u v 5 ( ) ( ) ( ) 0 u v 4 u v 0 u v 4 0 u u Or o sait que u+ u+ 5 u > > d'où le résultat 8 5c O veut motrer par récurrece la propriété P : u v 0 Vérifios P 0 : u0 v 0 = < =, ok 0 0 Démotros P + : + + ( ) = = = = ( 0 ) u v u v d O a 0 u v et o sait que 0 lim = 0, doc lim ( u ) = 0 0 v (gedarmes) + + Hugues SILA Page 6

27 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur 6 Les suites (u ) et (v ) sot adjacetes, elles sot doc covergetes vers la même limite λ Celle-ci vérifie la relatio 7 7 lim v = l = l = 7 lim u l + + ; or l >0 doc l = 7 7 = = 7 u v 0 : la rapidité de la covergece est impressioate puisqu à chaque itératio o gage u facteur eviro 0 E fait o double le ombre de décimales à chaque coup O se trouve e présece d'ue covergece dite quadratique u + v a 8 Pour trouver a, il suffit de faire la même chose avec u + = et v = u puisque si (u ) et (v ) sot adjacetes, a elles ot même limite l telle que l = l = a Les démostratios précédetes peuvet se faire de maière idetique, l ça marche bie L algorithme préseté ici débouche sur bo ombre de problèmes dot certais sot très actuels : o l utilise par eemple pour calculer les décimales de π, c est l algorithme de Bret et Salami Il s agit essetiellemet de l algorithme de la moyee arithmético-géométrique étudié par Lagrage puis par Gauss au 9 ème siècle 9 Suites adjacetes : aire sous ue courbe Objectifs : Etude de l aire sous ue courbe à l aide de suites Compredre commet o peut ecadrer l aire sous ue courbe par deu suites, compredre les otatios associées, savoir écrire le terme gééral des suites, prouver qu elles ot l aire comme limite commue (l eistece de l aire est ici admise) Applicatio à deu eemples Remarques : L éocé ci-dessous est u peu log pour être proposé tel quel à ue classe Par cotre, il est possible d e eploiter des parties avec des élèves sous la forme d u TP ecadré et commeté (surtout pour les otatios) par le professeur f est ue foctio cotiue mootoe positive défiie sur [0; ] et (C) est la courbe représetat f das u repère O ; i, j O ote A le poit tel que OA = i orthoormal ( ) O s itéresse à l aire A du domaie D délimité par la courbe (C), l ae des abscisses et les droites d équatios = 0 et = Pour approcher A, o utilise les suites u et v défiies aisi : Hugues SILA Page 7

28 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur - le segmet [OA] est partagé e segmets de même logueur ( ) ; - coformémet au figures ci-dessous, o costruit : * les rectagles R k, 0 k situés sous la courbe (C), ayat comme base u des segmets de la subdivisio et u sommet sur la courbe (C) ; * les rectagles S k, 0 k coteat la courbe (C), ayat comme base u des segmets de la subdivisio et u sommet sur la courbe (C); - u est la somme des aires des rectagles R k, 0 k ; - v est la somme des aires des rectagles S k, 0 k ; La mootoie de f assure que : u A v pour tout o A o A Figure Figure Partie A - Etude des otatios O ote A 0 = O et A, A,, A les poits de [OA] correspodat à sa subdivisio e segmets de même logueur a Sur les figures et ci-dessus où = 5, placer les poits A k pour k { 0,,,5} b O repred quelcoque Quel poit de la suite est cofodu avec A? c Quelle est la logueur d u segmet [A k A k + ], { 0,,, } d Quelle est l abscisse du poit A k, k { 0,,, }? k? O ote B 0, B, B,, B les poits de (C) d abscisses respectives 0,,,, Hugues SILA Page 8

29 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur a Sur les figures et ci-dessus où = 5, placer les poits B k pour k { 0,,,5} O repred quelcoque Quelles sot les coordoées de B k, k { 0,,, }? Sur les figures et ci-dessus : a Idiquer les rectagles R k et S k pour k { 0,,,4} b Colorier la surface correspodat à l aire u c Das ue couleur différete de celle du b colorier la surface correspodat à v u Partie B Etude des suites u et v Das cette questio, o suppose que f est croissate sur [0 ; ] (figure ) a Prouver que v u = ( f () f (0)) (o pourra par eemple «empiler» tous les petits rectagles coloriés pour v - u ) b Quelle est la hauteur du rectagle R k pour { 0,,, } k? c Quelle est l aire du rectagle R k? E déduire ue écriture de u Das cette questio, o suppose que f est décroissate sur [0; ] (figure ) a Prouver que v u = ( f (0) f ()) b Quelle est la hauteur du rectagle S k pour { 0,,, } k? c Doer ue écriture de v Prouver que les suites u et v coverget vers A (o pourra ecadrer A u, puis A - v à l aide de l iégalité u A v ) Partie C U eemple où f est décroissate f est la foctio défiie sur [0; ] par f ( ) = + O ; i, j (uité graphique : 0 cm) ( ) et (C) est sa courbe représetative das u repère orthoormal Faire ue figure das le cas = 5 Placer (C), les poits A k et B k pour k { 0,,, } pour { 0,,, } k A l aide de la questio B c vérifier que pour tout, v = , aisi que les rectagles R k et S k Hugues SILA Page 9

30 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur A l aide de la questio B a e déduire que u = Pour quelle valeur miimale de, u et v doet-ils u ecadremet de A d amplitude 0,0? Calculer les u et v correspodats à l aide d ue calculatrice programmable ou d u logiciel Partie D U eemple où f est croissate f est la foctio défiie sur [0; ] par ( ) = (uité graphique : 0 cm) f et (C) est sa courbe représetative das u repère orthoormal ( O ; i, j ) Faire ue figure das le cas = 5 Placer (C), les poits A k et B k pour k { 0,,, } pour { 0,,, } k, aisi que les rectagles R k et S k Prouver que l aire du rectagle R k est égale à k Vérifier que pour tout, u = ( ( -) ) 4 A l aide de l égalité prouver que pour tout, E déduire la limite de la suite u ( + )( + ) + + = pour, 6 u ( -)( -) 6 = 5 A l aide de la questio B a eprimer v e foctio de u et e déduire la limite de la suite v 6 Coclure : quelle est l aire A? Correctio A A = A ; A k A k + = ; abscisse de A k = k Coordoées de B k : k k ; f B v - u est la somme des aires des petits rectagles coloriés sur la figure E «empilat» ces rectagles, o obtiet u rectagle de base et de hauteur f() f(0) Doc v u = ( f () f (0)) Hugues SILA Page 0

31 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur k Hauteur de R k = f ; aire de R k = f = = k k f k= 0 k f u = aire de R 0 + aire de R + + aire de R = 0 f + f + E «empilat» les rectagles correspodat à v u, o obtiet u rectagle de base et de hauteur f (0) f () Doc v u = ( f (0) f ()) k Hauteur de S k = f ; aire de S k = f = = k k f k= 0 k f v = aire de S 0 + aire de S + + aire de S = 0 f + f + u A v doc 0 A u v u et u v A v 0 Or v u = f (0) f () doc lim u v = 0 Par coséquet, d après le «théorème des gedarmes», + lim A u = 0 et lim A v = 0 D où lim u = lim v = A + C o A k Aire de S k = f = = k k + + doc v = aire de S 0 + aire de S + + aire de S = = v u = ( f (0) f ()) = = Doc u = v = = Hugues SILA Page

32 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur v = u et = 0,0 pour = 50 Ecel doe u 50 0, et v 50 0, Remarques * Evidemmet A= l, mais deu sommes de termes (u et v ) e doet u ecadremet de A que d amplitude Ce est pas très efficace(croissace très lete de la série harmoique) pour calculer l * E fait, les suites u et v sot adjacetes, mais il est assez péible de prouver que u est croissate et que v est décroissate : ( ) = u+ u ( + ) - ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + = = ( + )( + ) ( + )( + ) > 0 ( ) = v+ v ( + ) - ( + ) ( ) ( ) = ( + ) + ( + ) + = = + ( + ) ( + ) = = < 0 C est doc log et ous avos vu que le seul itérêt de prouver que les suites sot adjacetes est que cela permettrait d établir l eistece de l aire D o Aire de R k = k f = k k = u = aire de R 0 + aire de R + + aire de R = 0 ( ) = ( ( ) ) Hugues SILA Page

33 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur ( + )( + ) = pour tout Doc 6 ( ) (( ) + ) ( )( ) u = = lim + = = u lim + 6 Pour tout = =, doc v = + u, d où lim v = = lim u + +, v u ( f () f (0) ) 6 Comme u A v et lim v lim u, o e déduit = + + = = A Remarque Ici aussi, les deu suites u et v sot adjacetes Pour le démotrer, il faudrait établir que u est croissate et que v est décroissate C est faisable car pour, u+ + u = > 0 et v+ 6 ( + ) 5 v = < 0, mais les calculs sot difficiles De 6 ( + ) plus, ici, c est tout à fait iutile car la covergece des suites u est v vers u même ombre est immédiate et prouve doc l eistece de l aire, dot o obtiet e plus la valeur eacte 0 Suites adjacetes : le pricipe de la dichotomie Le pricipe de la dichotomie * O admet la propriété des suites adjacetes : Si u est ue suite croissate et v ue suite décroissate telles que (v u) coverge vers 0, alors u et v coverget vers ue même limite l O e déduit que l est l uique réel tel que pour tout N, u l v * Méthode de dichotomie : I 0 est u itervalle fermé boré O le partage e deu itervalles fermés de logueurs égales I et I' O choisit l'u d'etre eu oté I, sur lequel o effectue à ouveau cette opératio O costruit aisi par récurrece ue suite ( I ) d'itervalles N * Il s agit de prouver qu il eiste u uique réel apparteat à tous les itervalles I Preuve : O défiit deu suites a et b : Pour tout N, o ote I = [ a ; b ] (avec a b ), a + b ' " c =, I = [ a ; c ] et I = [ c ; b ] Hugues SILA Page

34 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur Si o choisit I+ = I ', alors + = a + b a a et b + =, sio o choisit + = " a + b I I, et doc a + = et b + = b O prouve que les deu suites a et b sot adjacetes : b a * Pour tout N, b + a + =, doc la suite (b a) est géométrique, de raiso Elle coverge doc vers 0 * Pour tout N, I+ I, doc a a+ b + b Par coséquet, a est croissate et b est décroissate * Les deu suites a et b sot doc adjacetes Coséqueces : Les deu suites a et b coverget vers ue limite commue l et l est l uique ombre réel tel que pour tout N, a l b, c est à dire l I Démostratio du théorème de la covergece mootoe à l aide de la méthode de dichotomie : * O a déjà prouvé que si ue suite d itervalles I = [ a ; b ] a été costruite par dichotomie, les deu suites a et b coverget vers u même réel l * Il s agit de démotrer que toute suite croissate majorée est covergete Preuve Soit ( u ) N ue suite croissate et majorée par u réel M O costruit par récurrece la suite d itervalles ( I ) N défiie aisi : * I = [ u ; M ] ; 0 0 * Pour tout N, o ote I = [ a ; b ], alors I + = I " sio I + = I ' a + b ' " c =, I = [ a ; c ] et I = [ c ; b ] Si " I cotiet u terme de la suite u, La suite d itervalles ( I ) ayat été costruite par dichotomie, les deu suites a et b coverget vers u même réel l N Par récurrece, chaque itervalle I cotiet tous les termes de la suite u à partir d u certai rag p : - ou bie * I = [ u ; M ] cotiet tous les termes de la suite u à partir du rag 0 = p * Supposos que I cotiee tous les termes de la suite u à partir d u certai rag p Alors : " I cotiet u terme u p de u, doc I + = I " ; comme u est croissate, ' I cotiet au plus les termes u pour {0,,, p } Doc I + cotiet les mêmes termes de u que I, sauf peut-être certais des p premiers, et par coséquet cotiet tous les termes de la suite u à partir d u certai rag p + ; Hugues SILA Page 4

35 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur " - ou bie I e cotiet pas de terme de u, doc I+ = I ' Das ce cas, I + cotiet les mêmes termes de u que I, doc tous à partir du rag p = p + * Par coséquet, chaque itervalle I cotiet tous les termes de u à partir d u certai rag p O maiteat prouve que la suite u coverge vers l : Soit I u itervalle ouvert coteat l Comme l = lim a = lim b, il eiste u rag N pour lequel a N et b N sot das I, doc I I + + N Or I N cotiet tous les termes de la suite u à partir d u certai rag p N A partir de ce rag, tous les termes de la suite u sot aussi das I Doc la suite u coverge vers l L et méthode de Newto-Raphso, Asie 000 poits Partie A : Étude d ue foctio O cosidère la foctio f défiie sur [0; + [ par : f ( ) l = + Soit (C) la courbe représetative de f das le pla rapporté à u repère orthoormal ( O ; i, j) ; uité graphique : 5 cm Calculer les limites de f e 0 et e + Détermier les asymptotes de (C) Étudier le ses de variatio de f Dresser le tableau de variatio de f Motrer que l équatio f ( ) = 0 admet sur l itervalle ; e ue solutio uique, otée α Détermier u ecadremet de α d amplitude 0 Doer, suivat les valeurs de, le sige de f ( ) sur ]0; + [ 4 Tracer la courbe (C) Partie B : Calcul d aire Détermier ue équatio de la tagete (D) à (C) au poit d abscisse a Soit ϕ la foctio défiie, pour tout > 0, par : ϕ ( ) = + l Calculer ( ) E déduire le ses de variatio de ϕ, puis le sige de ϕ ( ), sur l itervalle ]0; + [ b Motrer que, pour tout > 0, ( ) ϕ ( ) f = ϕ Hugues SILA Page 5

36 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur c E déduire la positio relative de (C) et de (D) O cosidère le domaie limité sur le graphique par l ae des abscisses, la courbe (C) et la tagete (D) a Hachurer ce domaie b Soit A so aire, e cm Écrire la valeur eacte de A comme epressio polyomiale du secod degré e α Partie C : Étude d ue suite Soit 0 u réel apparteat à l itervalle ; e α O ote M 0 le poit de (C) d abscisse 0 a Doer ue équatio de la tagete (T 0 ) à (C) e M 0, e foctio de 0, f ( 0 ) et '( 0 ) b Soit l abscisse du poit d itersectio de (T 0 ) avec l ae des abscisses Écrire e foctio de 0, f ( 0 ) et '( 0 ) f f O cosidère la foctio h défiie sur ; e α par : ( ) f ( ) h = f ( ) (O remarquera que h( ) = ) 0 a Motrer que h ( ) ( ) ( ) f ( ) f f = b Calculer f ( ) et étudier so sige sur ; e α c E déduire que h est strictemet croissate sur ; e α, puis motrer que < α f ( ) d E écrivat h( ) = f ( ), étudier le sige de h ( ) sur ; e α E déduire que < 0 < < α e a Démotrer que, pour tout apparteat à ; e α h( ) appartiet à ; e α b O cosidère la suite ( ) de réels défiie par 0 et + = h( ) pour tout etier aturel Motrer que la suite ( ) est strictemet croissate Correctio Partie A : Étude d ue foctio f ( ) l = + Hugues SILA Page 6

37 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur Limite de f e 0 : o écrit l = l d où la limite est E + l ted vers 0 doc f ted vers l l = = qui est positif lorsque e f '( ) f ( e) = + e Sur l itervalle ; e f est croissate vers l itervalle ; e α La machie doe 0,567 comme valeur approchée de α qui cotiet 0 : f ( ) = 0 a doc ue solutio uique Comme f est croissate, f ( ) 0 lorsque α et f ( ) 0 lorsque α Partie B : Calcul d aire (D) ( ) ( ) ( ) y = f + f = + = + ( )( ) a ϕ ( ) = + l ; ( ) ϕ = + = = : positif lorsque, égatif sio ϕ ( ) = 0 doc ϕ ( ) ϕ ( ) b ( ) = 0 ϕ ( ) l + l f = + = = c La positio relative de (C) et de (D) est doée par le sige de f ( ) doc (C) est toujours e dessous de (D) a y,5 K 0,5 0 H 0 0,5,5,5,5 4 4,5 5-0,5 - -,5 - -,5 - Hugues SILA Page 7

38 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur α α ; comme α b Il faut d abord calculer l itégrale I = f ( ) d = + l d = + ( l ) = α ( l α ) f ( α ) = 0, o a l ( α ) = α d où e remplaçat : I α α triagle OKH qui vaut, et multiplier le tout par l uité d aire, soit 5 cm Fialemet A = 5 + α + α = 5 ( α + α ) Partie C : Étude d ue suite = Par ailleurs il faut soustraire cette itégrale à l aire du Soit 0 u réel apparteat à l itervalle ; e α O ote M 0 le poit de (C) d abscisse 0 l 0 a (T 0 ): f '( ) = ; y f ( )( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 0 = + = b Lorsqu o fait y = 0 das l équatio précédete, o trouve f ( ) f ( ) f ( ) 0 = f ( ) + f ( ) f ( ) = = = ( ) ( ) f 0 f 0 O cosidère la foctio h défiie sur ; e α par : ( ) f ( ) h = f ( ) (O remarquera que h( ) = ) 0 a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ), ( ) ( ) f f f f f f f f f h = h ( ) = = f f f soit h ( ) ( ) ( ) f ( ) f f = ( l ) l + l + l = = = = 4 4 b f '( ) f ( ) ( ) 0 f < + l 0 doc sur ; e α, c f est égalemet égative sur cet itervalle doc h est positive et h est croissate f ( α ) O a h( α ) = α = α et h( 0 ) f ( α ) = Comme 0 < α et que h est croisssate, o a doc bie h( ) < h( α ) < α 0 f ( ) d h( ) = f ( ) est positive sur ; e α car f est positive et f est égative Hugues SILA Page 8

39 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur Efi o a 0 < < < α e e < et h ( ) 0 0 = 0 > 0 > 0, soit 0 a Nous veos de motrer que pour u 0 das ; e α alors ( ) = h 0 est das ; e α C est ok e b Par récurrece : = h( ) est alors tel que < 0 < < < α, etc Le raisoemet fait e 0 est le même à importe quel rag Doc la suite ( ) est strictemet croissate Comme elle est majorée par α, elle coverge Il faudrait ecore motrer qu elle coverge vers α, ce que l o voit e faisat le calcul : la rapidité de covergece est même spectaculaire 0 0, , , , , , , , Cette méthode est très performate ; elle fut ivetée par Newto et améliorée par J Raphso quelques aées plus tard C est celle que l o utilise e gééral das les logiciels de calcul ROC+suite solutio équatio, 7 poits La page aee sera à compléter et à remettre avec la copie à la fi de l épreuve Partie A O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle ]0 ; + [ par f () = +l O omme Γ sa courbe représetative das u repère orthogoal ( O ; i, j) du pla a Détermier les limites de la foctio f au bores de so itervalle de défiitio b Motrer que la foctio f est strictemet croissate sur l itervalle ]0 ; + [ a Motrer que, pour tout etier aturel, l équatio f () = admet ue uique solutio das ]0 ; + [ O ote α cette solutio O a doc : pour tout etier aturel, b Sur la page aee, o a tracé Γ das le repère ( O ; i, j) α + l α = Hugues SILA Page 9

40 Club math du collège privé laic «les pigeos» sur Placer les ombres α 0, α, α, α, α 4 et α 5 sur l ae des abscisses e laissat apparets les traits de costructio c Préciser la valeur de α d Démotrer que la suite ( α ) est strictemet croissate a Détermier ue équatio de la tagete à la courbe Γ au poit A d abscisse b Étudier les variatios de la foctio h défiie sur ]0 ; + [ par h() = l + E déduire la positio de la courbe Γ par rapport à c Tracer sur le graphique de la page aee Démotrer que, pour tout etier aturel o ul, + α 4 Détermier la limite de la suite ( α ) Partie B O cosidère ue foctio g cotiue, strictemet croissate sur ]0 ; + [ et telle que lim g( ) = et lim g( ) = O admet que l o peut, comme o l a fait das la partie A, défiir sur N ue suite ( β ) de réels tels que g( β ) =, et que cette suite est strictemet croissate Démostratio de cours : Prérequis : défiitio d ue suite tedat vers + «Ue suite ted vers + si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sot, à partir d u certai rag, supérieurs à A» Démotrer le théorème suivat : ue suite croissate o majorée ted vers + Motrer que la suite ( β ) ted vers + Page aee Hugues SILA Page 40