Questions les plus fréquentes, Méthodes et Stratégies classiques.

Transcription

1 Questios les plus fréquetes, Méthodes et Strtégies clssiques L spect rédctio est u spect importt des Mthémtiques : de mière géérle, u risoemet pourr voir cette forme : je dis ce que je fis et pourquoi je le fis (à l ide d ue propriété ou d ue défiitio pr exemple) je le fis (phse de clcul) je coclu, e répodt à l questio Exemple : «Etudier les vritios de l foctio f» pour étudier les vritios d ue foctio, o étudie le sige de s dérivée o f dérivle cr ( ) vec f '( x ) = Le tleu de siges de f est doé pr ( ) isi, sur I, f est croisste ( ) trvers l liste des questios qui suivet, questios ssez redodtes e Termile S, ous llos rppeler rièvemet les strtégies priciples que l o pourr mettre e plce pour les order Ces méthodes serot souvet les phrses d itroductio à votre risoemet, et vous compredrez que prfois, lorsqu ue méthode échoue, o e teste ue utre, d où l itérêt d e voir plusieurs e réserve Pour utiliser u mieux ce documet, je vous coseille de l imprimer et de fire des exercices (de c pr exemple), e ordt les questios vec les différetes strtégies proposées Vous pourrez costter ds les corrigés des exercices, que ces méthodes sot très fréquemmet utilisées J isiste tout de même sur le crctère o exhustif (voir votre dico!) des méthodes décrites ci-dessous Les suites Commet peut-o motrer qu ue suite est géométrique? u+ 1 o motre que le quotiet est costt (cd idépedt de ) ou ecore qu il existe u réel q u idépedt de tel que u = + 1 qu u1 si o échoue, o clcule le quotiet pour coître l riso, dmettre le résultt et poursuivre le u0 prolème vec l oe riso q Commet peut-o motrer qu ue suite est mootoe? o étudie le sige de u + 1 u o le démotre pr récurrece Pr exemple, o clcule les premiers termes de l suite pour cojecturer les vritios de l suite Imgios qu ils soiet rgés ds l ordre décroisst, l propositio pourr s écrire P() : «u+ 1 u» Commet peut-o motrer qu ue suite coverge? si u est explicitemet e foctio de, o clcule directemet l limite si o déjà prouvé qu elle étit miorée (pr exemple u 0 ), o vérifie qu elle est décroisste idem vec ue suite croisste et mjorée si o des ecdremets ds l exercice, o tete le théorème des gedrmes Commet peut-o clculer l limite d ue suite qui coverge? si u est explicite e foctio de, o clcule directemet l limite si o des ecdremets ds l exercice, o tete le théorème des gedrmes u f u u covergete, o cherche l limite de f prmi Si l suite est de l forme = ( ), vec f cotiue et ( ) + 1 les évetuels poits fixe de f, cd les solutios de f(l) = L D PINEL, Site Mthemitec :

2 Les foctios Commet peut-o motrer qu ue foctio est cotiue? si c est e u poit, o pplique l défiitio : f est cotiue e si elle est défiie e et lim f ( x) = f ( ) si c est sur u itervlle, o pplique les théorèmes géérux, à l ide des foctios de référece, du gere «f est cotiue sur I comme quotiet de foctios cotiues sur I, vec déomiteur o ul» o motre qu elle est dérivle si grphiquemet s coure «e sute ps» Commet peut-o motrer qu ue foctio est dérivle? si c est e u poit, o pplique l défiitio : f est dérivle e si so tux d ccroissemet e dmet ue limite (voir votre cours) si c est sur u itervlle, o pplique les théorèmes géérux, à l ide des foctios de référece si grphiquemet s coure dmet e tout poit ue tgete o verticle Commet peut-o étudier les vritios d ue foctio? o étudie le sige de s dérivée (o pplique les règles de compositio) Commet peut-o étudier le sige d ue foctio? O l fctorise et o utilise les règles de sige des foctios ffies (x + ) ou des foctios triômes O fit ue résolutio directe d iéqutio, lorsque pr exemple o trville vec les foctios exp ou l : o ppliquer lors les règles suivtes : «exp(x) > 0 pour tout réel X» et «l(x) < 0 sur ]0 ;1]» Ds certis cs, o pourr se servir des vritios de f pour étudier so sige Si pr exemple f est croisste sur IR vec f(1) = 0 lors f est égtive vt 1 et positive près Commet peut-o lever ue forme idétermiée e l ifii? O pplique l règle des foctios rtioelles : «e l ifii, l limite d ue foctio rtioelle est égle à l limite du quotiet de ses termes de plus degré» Si o est e présece de foctios l ou exp, o pplique les croissces comprées : e gros, «e l ifii l expoetielle l emporte sur toute puissce de x», «e l ifii, le logrithme s iclie devt toute puissce de x» Commet peut-o lever ue forme idétermiée e (fii)? O recoît u tux de vritio O fctorise pr x- umérteur et déomiteur O multiplie pr l qutité cojuguée Commet détermier les symptotes à ue coure Cf? symptote verticle ssi lim f ( x) = : l droite verticle d équtio x = est lors symptote à Cf x symptote horizotle ssi lim f ( x) = : l droite horizotle d équtio y = est lors symptote à Cf e x symptote olique ssi f x ( x ) lim ( ) + = 0 : l droite d équtio y = x + est lors symptote à Cf e x Commet étudier l positio de deux coures? O étudie le sige de l différece f(x) g(x) : si f(x) g(x) > 0 sur I, lors Cf est u dessus de Cg sur I si f(x) g(x) = 0 e x o, lors Cf et Cg s iterceptet u poit d scisse x o Commet motrer qu ue équtio dmet u mois ue solutio? si o peut l résoudre, à l ttque! o pplique le théorème des vleurs itermédiires O l orde grphiquemet e chercht les scisses des poits d itersectio des deux coures x D PINEL, Site Mthemitec :

3 Itégrtio Commet peut-o détermier ue primitive? O ous doe ue foctio F possile doc il suffit de l dériver et de comprer à f u O recoît ue formule de référece du style u ' e, u ' u (voir cours) O pplique ue itégrtio pr prties Commet peut-o clculer ue itégrle f? O détermie ue primitive F de f : ds ce cs, f = F() F() O se rppelle que l itégrle correspod à ue ire lgérique, ç peut servir Commet peut-o motrer des iéglités vec des itégrles? Pour motrer que f g, o peut motrer que sur [,], f Pour motrer que f 0, o peut motrer que sur [,], f 0 Proilités Commet dresser u rre podéré (e proilité coditioelle)? Ue chose simple à mettre e plce, que vous e fites ps toujours o lit l éocé et o fit u recueil des p doées : e géérl o vous doe des p(), p() ( ) g Commet clculer ue proilité p(e) (cs discret)? O regrde s il elle est doée ds l éocé crd( E) O pplique l formule p ( E) = e déomrt tous les cs fvorles à E crd( Ω) Ds le cdre des proilités coditioelles, o pplique l formule des proilités totles Commet clculer ue proilité p ( )? O regrde s il elle est doée ds l éocé p ( ) O pplique l formule p ( ) = p Commet clculer ue proilité p ( ) ( )? O regrde s il elle est doée ds l éocé Si o u rre, o multiplie les proilités u dessus de l rche où pprisset et utremet dit, o pplique l formule p ( ) = p( ) p ( ) p = p( ) p Si et sot idépedts, o pplique l formule ( ) ( ) Commet détermier l loi d ue vrile létoire? O tete de recoître ue loi clssique : loi de eroulli, loi iomile Sio, o cherche les vleurs k que peuvet predre l v, et o doe tous les P(X = k ) Commet recoît-o ue loi iomile? o repère des mots clés ds l éocé, pr exemple : «Y l vrile létoire qui compte le omre de» «o répète de mière idetique et idépedte l expériece» si u cours d u éocé o étudie l proilité qu ue pièce soit défectueuse, le fit d étudier u peu plus loi le omre de pièces défectueuses ds u lot de 10 ous suggère ussi u schém de eroulli Commet détermier ue moyee ou ue espérce d ue v discrète? Si c est ue loi iomile de prmètre et p, o E(X) = p Ds tous les cs E(X) = k P( X = k ) où k prcourt l esemle des vleurs prises pr l v k D PINEL, Site Mthemitec :

4 Rppel : pour ue loi cotiue de desité f, P( X ) = f ( x) dx, P( X ) P( X ) ( ) 1 ( ) P X = P X < (voir le cours) Nomres complexes z zi Commet iterpréter le quotiet Z = z z O psse l églité u module : Z I? z z I z z I I = = I = < ou ecore : si Z =1, I est isocèle e I O psse l églité à l rgumet : rg( ) rg ( ) I Z = = I, I [ 2π ] I z z z zi : si rg(z) = 2 π ±, I est rectgle e Commet motrer que le trigle M est rectgle e M? z zm O clcule Z = (si ce est ps déjà fit ), et o motre que Z = ki où k est u réel z zm O détermie M = zm z, M =, = et o pplique l réciproque de Pythgore M z z M z z, puis leurs coordoées crtésiees O détermie les ffixes des vecteurs ( ) (ss i!) et o clcule le produit sclire M et ( ) M Commet détermier u esemle de poits (ds le pl) tel que? Si o voit des M de prtout, o fit iterveir les rycetres pour se rmeer à quelque chose de l forme GM = k ou M = M Pour GM = k, k >0 : o le cercle de cetre G et de ryo k Pour M = M, o l méditrice de [] Géométrie (lytique) ds l espce Commet détermier ue équtio de pl? O cherche u vecteur orml (peut être suggéré ds l éocé) c Méthode 1 : O sit lors que P ue équtio de l forme x + y + cz + d = 0 O détermie d e remplçt ds l équtio, les coordoées d u poit qu o sit être sur le pl Méthode 2 : si est ds le pl P, o écrit que M est ds P ssi M = 0, ce qui doer ue équtio de P Commet détermier ue représettio prmétrique de droite? O cherche u vecteur directeur u (peut être suggéré ds l éocé) c x = t + x Méthode 1 : O sit lors que D ue représettio prmétrique de l forme y = t + y, t R où est z = ct + z u poit de D Méthode 2 : si est sur D, o écrit que M est sur D ssi il existe t tel que M = tu, ce qui doer ue représettio de D Si D est défiie pr l équtio de deux pls, o pose u prmètre, pr exemple z = t et o résout le système e foctio de t D PINEL, Site Mthemitec :

5 Commet détermier l itersectio d ue droite et d u pl? si o coît ue représettio prmétrique de D, o l ijecte ds l équtio crtésiee de P et o cherche t: - si ucue solutio [pr exemple 0t = 3], D // P strictemet - si ue uique solutio, o otiet l vleur de t puis les coordoées du poit d itersectio - si ue ifiité de solutio [pr exemple 0t = 0], D P Si D est doée pr l équtio de deux pls, o tete de résoudre u système 3,3 vec l méthode du pivot de Guss Commet motrer que deux pls sot orthogoux? o peut motrer que ' = 0 [vecteurs ormux] Commet motrer que deux pls sot prllèles? o peut motrer que et ' sot coliéires, cd que leurs coordoées sot proportioelles Commet motrer que D est orthogole à P? o peut motrer que u et sot coliéires, cd que leurs coordoées sot proportioelles Commet motrer que H est le projeté orthogole de sur P? o peut motrer que : - (H) est orthogole à P cd que H est coliéire à - H est sur P Commet clculer l distce de à P? x + y + cz + d O pplique l formule d(, P) = c Si o coît le projeté orthogole H de sur P, o clcule H o, il y ss ucu doute des questios types qui ot ps été tritées, des méthodes ouliées ou même des erreurs, Merci de me les sigler et oes révisios! D PINEL, Site Mthemitec :