Exercice p 94, n 17 : Maréva et Anne affichent toutes les deux un même nombre sur leur calculatrice.
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- Diane Boivin
- il y a 7 ans
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1 Exercice p 94, n 7 : Maréva et Anne affichent toutes les deux un même nombre sur leur calculatrice. Elles obtiennent le même résultat. Quel était le nombre affiché au départ par les deux jeunes filles? Soit n le nombre affiché au départ. On résout l équation : n + 7 = n = n n n =. L équation admet une unique solution : c est. Conclusion : Maréva et Anne avaient affiché le nombre sur leur calculatrice. Vérification : + 7 = et + 4 =. Exercice p 94, n : Ivan achète paires de chaussettes de sport identiques et shorts identiques. Il paie ses achats 4,60. Sachant qu une paire de chaussettes coûte de moins qu un short, calculer le prix d un short. Soit x le prix d un short (en ). x + x = 4, 6 On résout l équation : ( ) x + x = 4, 6 8x = 4, 6 8x = 4, 6 + 8x = 49,6 49,6 x = 8 x = 6,. L équation admet une unique solution : c est 6,.
2 Conclusion : Un short coûte donc 6,0 (et une paire de chaussettes 6, 0 =,0 ). Vérification : 6, +, = 8, = 4, 6. Exercice p 00, n 88 : On sait que y. Résoudre l équation y = y + 4. y = y + 4 ( y ) 0y = + 0y = y + 6 0y y = 6 7 y = 6 6 y =. 7 L équation admet donc une unique solution : c est 6 7. Exercice p 00, n 87 : Si on ajoute un même nombre au numérateur et au dénominateur de 4, on obtient le triple de 4. Quel est ce nombre? Soit x le nombre cherché. On résout l équation : + x = 4 + x 4 + x 9 = 4 + x x = x ( ) ( ) + 4x = 6 + 9x 4x 9x = 6 x = 4 4 x =. L équation admet donc une unique solution : c est Vérification : = = = = 4 4..
3 Exercice p 98, n 6 : (Amérique du Sud 006) x est un nombre supérieur à. On considère un rectangle VOUS tel que : ) On donne : E = x + 7 x ; ( )( ) ( 7) ( ) G = x + + x. a) Développer et réduire l expression E. b) Développer et réduire l expression G. ) Que représente géométriquement l expression E? l expression G? ) a) Déterminer x pour que la longueur VO soit le double de la longueur VS. b) Que vaut la valeur de l expression G dans ce cas? ) a) Développement de l expression E : ( 7)( ) E = x + x E = x x + x E = 4x + 8x b) Développement de l expression G : ( ) ( ) G = x x G = 4x x 6 G = 8x + 8. ) L expression E représente l aire du rectangle VOUS, et l expression G représente son périmètre. ) a) On cherche x tel que : VO = VS x + 7 = x ( ) x + 7 = 4x = 4x x x = Il existe une unique valeur de x pour laquelle la longueur VO est le double de la longueur VS : c est. b) Dans ce cas, d après la question.b : G = G = + 8 G = 60.
4 Exercice p 00, n 8 : Sarah décide de faire de l équitation. Le club hippique lui propose deux tarifs : Option : 8 la séance ; Option : une carte d abonnement de 0 pour l année avec un tarif de la séance. ) a) Recopier et compléter le tableau suivant : Nombre de séances 0 Prix payé avec l option Prix payé avec l option b Préciser, dans chaque cas, l option la plus avantageuse. ) On appelle n le nombre de séances effectuées dans l année par Sarah. a) Exprimer en fonction de n la somme payée avec l option. b) Exprimer en fonction de n la somme payée avec l option. ) Sarah dispose de 00 pour son année d équitation. Pour chacune des options, calculer le nombre de séances qu elle pourra effectuer. 4) Pour quel nombre de séances la somme payée avec l option est-elle égale à la somme payée avec l option? ) a) Tableau : Nombre de séances 0 Prix payé avec l option Prix payé avec l option b) Pour séances annuelles, l option est la plus avantageuse. Pour ou 0 séances annuelles, l option est la plus avantageuse. ) a) La somme payée pour n séances annuelles avec l option est : 8n. b) La somme payée pour n séances annuelles avec l option est : n + 0. ) 8n 0 n n = 8 n n =. 9 n = n = 9 n =. 0 7,8 9 et 9,7. Si elle dispose de 00 pour son année d équitation, Sarah pourra effectuer 7 séances avec l option et avec l option.
5 4) On résout l équation : 8n = n + 0 8n n = 0 6n = 0 0 n = 6 n. L équation admet donc une unique solution : c est 0. La somme payée avec l option est égale à la celle payée avec l option si on effectue 0 séances dans l année. Exercice p 00, n 89 : ACD est un triangle. Le point M appartient au segment [ AD ] et le point N appartient au segment [ ] droites ( MN ) et ( CD ) sont parallèles. On a : AN = l cm, NC = cm, MN = cm et DC = 9 cm. AC. Les Calculer la valeur exacte de AN. Les droites ( DM ) et ( CN ) sont sécantes en A et les droites ( MN ) et ( ) théorème de Thalès, on a : D où : l = l + 9 9l = l + donc ( ) 9l = l + donc 9l l = 4l = l = 4 l =,7 cm. AM AN MN = =, soit AD AC DC Le segment [ AN ] mesure donc,7 cm. AM l = =. AD l + 9 CD sont parallèles, donc, d après le
6 Exercice p 7, n 7 : Les longueurs sont exprimées en centimètres. Soit la figure ci-dessous pour laquelle : les points B, E et C sont alignés ; les points B, U et D sont alignés ; EU // CD. ( ) ( ) Calculer la longueur BU. Justifier la réponse. Les droites ( CE ) et ( DU ) sont sécantes en B et les droites ( EU ) et ( ) BE BU EU théorème de Thalès, on a : = =. BC BD CD BU D où : = + BU +,8 donc ( BU ) +,8 = BU BU + 8,4 = BU donc BU BU = 8, 4 BU = 8,4 8,4 BU = BU = 4, cm. Le segment [ BU ] mesure donc 4, cm. CD sont parallèles, donc, d après le Exercice p 9, n : Résoudre chacune des équations : a) x( x + ) ; b) x( 8 x).
7 a) x( x + ). x ou x + x =. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 0 et. b) x( x) 8. x ou 8 x x = 8. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 0 et 8. Exercice p 9, n : Résoudre chacune des équations : a) ( x )( x ) b) ( x )( x ) ;. a) ( x )( x ) x + 6 ou x + x = 6 x = 6 x = x =. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et. b) ( x )( x ). x ou x x = x = L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et.
8 Exercice p 9, n : Résoudre chacune des équations : a) ( x )( x ) b) ( x )( x ) 4 8 ; a) ( x )( x ) x 8 ou x 4x = 8 x = 8 x = x = 4 x =. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et. b) ( x )( x ) x + 0 ou 7x x = 0 7x = 0 x = x = 7 x =. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et 7. Exercice p 9, n 4 : Résoudre chacune des équations : a) ( x )( x ) b) ( x )( x ) ; +. a) ( x )( x ) x + ou 9x + 4x = 9x = x = x =. 4 9 L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 4 et. 9
9 b) ( x )( x ) +. x + ou x x = x = x =. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et. Exercice p 9, n : Résoudre chacune des équations : a) b) x + x + 4 x 7 x + 6. ; a) x + x x + = ou 4 0 x + = x = 4 x = x = x = 4 x = x = 6. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et 6. b) x 7 x x = ou 6 0 x + = 7 x = 6 x = x = 7 x = 6 x = 8 x =. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et 8.
10 Exercice p 9, n 6 : Résoudre chacune des équations : a) ( x + ) ; b) ( ) x 7 ; c) x ; d) 0 x =. a) ( x + ). L équation équivaut à : x + x =. L équation admet donc une unique solution : c est. b) ( x 7). L équation équivaut à : x 7 x = 7. L équation admet donc une unique solution : c est 7. c) x. L équation équivaut à : x L équation admet donc une unique solution : c est. b) 0 x =. L équation équivaut à : 0 x = x = x = L équation admet donc une unique solution : c est.
11 Exercice p 9, n 7 : On veut résoudre l équation : ( x ) ( x )( x ) ) Factoriser le premier membre de l équation. ) Résoudre cette équation. ) Factorisation : ( x + ) + ( x + )( x ) = ( x + ) ( x + ) + ( x ) = ( x + )( x + 4). ) D après la question, l équation ( x + ) + ( x + )( x ) équivaut à ( x )( x ) Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si l un au moins des facteurs est nul. x + ou x + 4 x =. x = 4 4 x = x =. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et. Exercice p 9, n 8 : On veut résoudre l équation : ( x )( x ) ( x )( x ) ) Factoriser le premier membre de l équation. ) Résoudre cette équation. ) Factorisation : + +. ( x + )( x ) ( x + )( x ) = ( x + ) ( x ) ( x ) = ( x + )[ x x + ] = ( x + )( x + ). ) D après la question, l équation ( x + )( x ) ( x + )( x ) équivaut à ( x )( x ) Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si l un au moins des facteurs est nul. x + ou x + x =. x = x =. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et. + +.
12 Exercice p 9, n 9 : On veut résoudre l équation : ( x + ) 4. ) Factoriser le premier membre de l équation. ) Résoudre cette équation. ) Factorisation : ( x + ) 4 = ( x + ) + ( x + ) = ( x + )( x + ). ) D après la question, l équation ( x + ) 4 équivaut à ( x )( x ) + +. Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si l un au moins des facteurs est nul. x + ou x + x = x = x =. x =. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et. Exercice p 96, n 4 : Factoriser le premier membre de chaque équation, puis la résoudre : a) x + x ; b) ( x )( x ) ( x )( x ) c) ( x 6)( x + ) ( x + ) ; d) ( x )( x ) ( x )( x ) ; 8. a) x + x ( ) x x +. x ou x + x = x =. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 0 et.
13 b) ( x )( x ) ( x )( x ) ( x + ) ( x + ) + ( x ) ( x ) x x =. L équation admet donc une unique solution : c est. c) ( x )( x ) ( x ) ( x + ) ( x 6) ( x + )( x 8) x + ou x 8 x = x = 8 8 x = x = 4. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et 4. d) ( x )( x ) ( x )( x ) ( x ) ( x 8) ( x ) ( x )[ x 8 x + ] ( x )( 4x 7). 8 x ou 4x 7 x = 4x = L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et 7 4. Exercice p 96, n 4 : Factoriser le premier membre de chaque équation, puis la résoudre : a) c) x x + ; b) 9x + x + 4 ; d) x 8x + 8 ; 4x 4x +.
14 a) x x + ( x ). L équation équivaut à : x L équation admet donc une unique solution : c est. b) x 8x + 8 ( x 9). L équation équivaut à : x 9 x = 9. L équation admet donc une unique solution : c est 9. c) 9x + x + 4 ( x + ). L équation équivaut à : x + x = x =. L équation admet donc une unique solution : c est. d) 4x 4x + ( x ). L équation équivaut à : x x = L équation admet donc une unique solution : c est. Exercice p 96, n 44 : Factoriser le premier membre de chaque équation, puis la résoudre : a) c) x 64 ; b) 9x ; d) x 7 ; 4x 49.
15 a) x = 64 0 x + 8 x 8. ( )( ) Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si l un au moins des facteurs est nul. L équation équivaut à : x + 8 ou x 8 x = 8 x = 8. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 8 et 8. c) 9x ( x )( x ) +. Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si l un au moins des facteurs est nul. L équation équivaut à : x + ou x x = x = x = L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont d) 4x 49 ( x )( x ) et. Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si l un au moins des facteurs est nul. L équation équivaut à : x + 7 ou x 7 x = 7 x = x = L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 7 et 7. Exercice p 97, n : Résoudre chaque équation : a) ( 7x + ) ( x + 4) ; b) ( x ) ( x ) 6 +.
16 a) ( 7x + ) ( x + 4) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( 7x + + x + 4)( 7x + x 4) ( 0x + )( 4x ) Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si l un au moins des facteurs est nul. 0x + ou 4x 0x = 4x = x = x = 0 4 x =. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et 4. b) ( 6x ) ( x + ) ( 6x ) + ( x + ) ( 6x ) ( x + ) ( 6x + x + )( 6x x ) 8x( 4x ). Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si l un au moins des facteurs est nul. x ou 4x 4x = x = 4 L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 0 et. Exercice p 00, n 88 : On sait que y. Résoudre l équation y =. y + 4
17 y = y + 4 ( y ) 0y = + 0y = y + 6 0y y = 6 7 y = 6 6 y =. 7 L équation admet donc une unique solution : c est 6 7. Exercice p 97, n 6 : Le triple du carré d un nombre entier est égal au double de ce nombre. Quel est ce nombre? Soit x le nombre entier cherché. On résout l équation : x = x x x x x. ( ) Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si l un au moins des facteurs est nul. x ou x x = L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 0 et. Or, n est pas un nombre entier. Il existe donc un unique nombre entier dont le double est égal au triple du carré c est 0. Exercice p 00, n 86 : On sait que x 0. Résoudre l équation 4 x =. x
18 4x = x 4x = 9 4x 9 x + x. ( )( ) Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si l un au moins des facteurs est nul. x + ou x x = x = x = L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et. Exercice p 98, n 66 : (Nice 006) On donne : D ( x )( x) ( x ) = +. ) Développer et réduire D. ) Factoriser D. x x +. ) Résoudre l équation ( )( ) ) Développement : ( )( ) ( ) D = x x + x D = x x + x + x x + D = x + x ) Factorisation : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) D = x x + x D = x x + x D = x x + x D = x x +. ) Equation : ( x )( x ) +. x ou x + x = x =. x = L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et.
19 Exercice p 98, n 67 : (Besançon 006) On considère l expression : E ( x ) ( x)( x ) = + +. ) Développer et réduire l expression E. ) Factoriser E. ) Calculer la valeur de l expression E pour x =. x + x. 4) a) Résoudre l équation ( )( ) b) Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux? ) Développement : ( ) ( )( ) E = x + x x + E = 9x + x + 4 x 0 + 6x E = x + x 6. E = 9x + x + 4 x + 0 6x 4x ) Factorisation : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) E = x + x x + E = x + x + x E = x + x + + x E = x + x. ) Valeur de l expression E pour x = : D après la question, pour tout nombre relatif x : Donc, pour x = : ( ) ( ) E = + 6 E = 4 8 E = 60 8 E =. E x x = ) a) Equation : ( x )( x ) +. x + ou x x = x = x = L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et.
20 b) 0 0,66 0 On retrouve le même reste (), donc la division est infinie : la solution En revanche, 0,6 = : la solution est donc un nombre décimal. n est donc pas un nombre décimal. Exercice p 98, n 68 : (Nancy Metz 00) On considère l expression : E 4x 9 ( x )( x ) = + +. ) Développer et réduire l expression E. ) Factoriser 4x 9. En déduire la factorisation de l expression E. x + x. ) a) Résoudre l équation ( )( ) b) Cette équation a-t-elle une solution entière? c) Cette équation a-t-elle une solution décimale? ) Développement : ( )( ) E = x + x + x 4 9 E = x + x x + x E = 6x x ) Factorisation : ( )( ) 4x 9 x x = +. D où : E = ( x + )( x ) + ( x + )( x ) E = ( x + ) ( x ) + ( x ) E = ( x + )( x ). ) a) Equation : ( x )( x ) +. x + ou x x = x = x = L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et.
21 b) et c) 0,66 0 On retrouve le même reste (), donc la division est infinie : la solution n est donc pas décimale (donc pas entière). =, : la solution L équation ( x )( x ) est donc un nombre décimal non entier. + ne possède donc aucune solution entière ; elle admet par ailleurs une unique solution décimale : c est,. Exercice p 98, n 70 : (Métropole 007) On donne un programme de calcul : Choisir un nombre. Lui ajouter 4. Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi. Ajouter 4 à ce produit. Ecrire le résultat. ) Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l on fait fonctionner ce programme avec le nombre, on obtient 0. ) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est. ) a) Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d un autre nombre entier. b) En est-il toujours ainsi lorsqu on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul? Justifier la réponse. 4) On souhaite obtenir comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ? ) Si on choisit : + 4 = = 4 ( ) Donc, si l on applique ce programme avec le nombre, alors on obtient 0.
22 ) Si on choisit : + 4 = 9 9 = = Donc, si l on applique ce programme avec le nombre, alors on obtient ) a) Si on choisit : + 4 = 6 6 = + 4 = 6 6 = 4. Donc, si l on applique ce programme avec le nombre, alors on obtient Si on choisit : + 4 = 7 7 = + 4 = =. Donc, si l on applique ce programme avec le nombre, alors on obtient b) Notons x le nombre entier choisi au départ. x x + 4 x x + 4 ( ) x( x + 4) + 4. ( ) R = x x R x x = ( x ) R = = 7. 6 = 4. =. Donc, si on note x le nombre entier choisi au départ, alors on obtient ( x + ) : si le nombre choisi au départ est entier, alors le résultat du programme de calcul est le carré d un nombre entier.
23 4) Si on obtient : On résout l équation : ( x + ) = ( x + ) ( x )( x ) ( x + )( x + ) x + ou x + x = x =. L équation admet donc exactement deux solutions : ce sont et. Pour obtenir comme résultat, on peut choisir les nombres et.
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