Bac blanc TS Non spécialité maths L usage de la calculatrice est autorisé

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1 Bac blac TS No spécialité maths L usage de la calculatrice est autorisé EXERCICE : (5 poits) Le pla complee est rapporté au repère orthoormal direct (O ; u, v ) O cosidère le poit I d affie i et le poit A d affie A = 3 + i a Motrer que le poit A appartiet au cercle de cetre le poit I et de rayo Sur ue figure (uité graphique cm), qu o complètera au fur et à mesure de l eercice, placer le poit I, tracer le cercle, puis costruire le poit A b O cosidère la rotatio r de cetre le poit I et d agle Démotrer que le poit B image du poit A par la rotatio r a pour affie : B = + i ( 3 + ) Justifier que le poit B appartiet au cercle c Calculer l affie du poit C symétrique du poit A par rapport au poit I d Quelle est la ature du triagle ABC? Justifier Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio O cosidère les poits E et F tels que : AE = IB et AF = BI Que peut-o cojecturer pour les droites (BF) et (CE)? Valider cette cojecture à l aide d ue démostratio EXERCICE (4 poits) Pour chaque questio, ue seule des trois réposes proposées est eacte Le cadidat idiquera sur la copie le uméro de la questio et la répose choisie Chaque répose eacte rapporte u poit Aucue justificatio est demadée Aucu poit est elevé e l absece de répose ou e cas de répose fausse Le pla complee est rapporté au repère orthoormal direct (O ; u, v ) O désige par A, B, C, D les poits d affies respectives : A =, B = i, C =, D = i L esemble des poits d affie telle que + i = est : A la médiatrice du segmet [BC], B le milieu du segmet [BC], C le cercle de cetre O et de rayo L esemble des poits d affie telle que A la droite (CD) privée du poit C, B le cercle de diamètre [CD] privé du poit C, C le cercle de diamètre [BD] privé du poit C i soit u imagiaire pur est : 3 Les suites (u ) et (v ) sot adjacetes : A u = 0 et v = + 0 ; B u = l ( + ) et v = l ( + ) + C u = et v = + ( ) 4 O cosidère trois suites (u ), (v ) et (w ) ayat, pour tout etier aturel, les propriétés suivates : u v w, lim u et lim w Alors : A lim v 0 B Pour tout de, o a : v C O e sait pas dire si la suite (v ) a ue limite ou o

2 EXERCICE 3 : (6 poits) Le but de l'eercice est de démotrer que l'équatio (E) : e =, admet ue uique solutio das l'esemble des ombres réels I Eistece et uicité de la solutio O ote f la foctio défiie sur par : f () = e Démoter que est solutio de l'équatio (E) si et seulemet si f () = 0 Étude du sige de la foctio f : a Étudier le ses de variatios de la foctio f sur b E déduire que l'équatio (E) possède ue uique solutio sur, otée α c Détermier u ecadremet de d amplitude 0 d Étudier le sige de f sur l'itervalle [0 ; ] II Deuième approche O ote g la foctio défiie sur l'itervalle [0 ; ] par : g () = e Démotrer que l'équatio f () = 0 est équivalete à l'équatio g () = E déduire que α est l'uique réel vérifiat : g (α) = α 3 Eprimer g () e foctio de f () E déduire le ses de variatios de la foctio g sur l'itervalle [0 ; ] III Costructio d ue suite de réels ayat pour limite α O cosidère la suite (u ) défiie par : u 0 = 0 et, pour tout etier aturel, par : u + = g(u ) Au moye de la courbe (C ) doée e ANNEXE I et de la droite d équatio y =, représeter les termes u et u de la suite (u ) sur l ae des abscisses Quelle cojecture peut-o faire sur la covergece de la suite (u )? Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel : 0 u u + α 3 E déduire que la suite (u ) est covergete O ote l sa limite 4 Justifier l égalité : g (l) = l E déduire la valeur de l 5 À l aide de la calculatrice, détermier ue valeur approchée de u 4 arrodie à la siième décimale EXERCICE 4 : (5 poits) Le pla est rapporté à u repère orthoormal ( O ; i, j) Étude d ue foctio f : O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle ] 0 ; + [ par : f () = l O ote f la foctio dérivée de la foctio f sur l itervalle ] 0 ; + [ O ote C f la courbe représetative de la foctio f das le repère ( O ; i, j) a Détermier les limites de la foctio f e 0 et e + b Calculer la dérivée f de la foctio f c E déduire les variatios de la foctio f Étude d ue foctio g : O cosidère la foctio g défiie sur l itervalle ] 0 ; + [ par : g() = O ote Cg la courbe représetative de la foctio g das le repère ( O ; i, (l ) a Détermier la limite de g e 0, puis e + Après l avoir justifiée, o utilisera la relatio : j) (l ) l 4 b Calculer la dérivée g de la foctio g c Dresser le tableau de variatio de la foctio g 3 a Démotrer que les courbes C f et C g possèdet deu poits commus dot o précisera les coordoées b Étudier la positio relative des courbes C f et C g c Idetifier les courbes C f et C g sur le graphique joit e ANNEXE II e justifiat votre choi

3 ANNEXE I ANNEXE II

4 Bac blac TS Spécialité maths L usage de la calculatrice est autorisé EXERCICE : (5 poits) Le pla complee est rapporté au repère orthoormal direct (O ; u, v ) O cosidère le poit I d affie i et le poit A d affie A = 3 + i a Motrer que le poit A appartiet au cercle de cetre le poit I et de rayo Sur ue figure (uité graphique cm), qu o complètera au fur et à mesure de l eercice, placer le poit I, tracer le cercle, puis costruire le poit A b O cosidère la rotatio r de cetre le poit I et d agle Démotrer que le poit B image du poit A par la rotatio r a pour affie : B = + i ( 3 + ) Justifier que le poit B appartiet au cercle c Calculer l affie du poit C symétrique du poit A par rapport au poit I d Quelle est la ature du triagle ABC? Justifier Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio O cosidère les poits E et F tels que : AE = IB et AF = BI Que peut-o cojecturer pour les droites (BF) et (CE)? Valider cette cojecture à l aide d ue démostratio EXERCICE (4 poits) Pour chaque questio, ue seule des trois réposes proposées est eacte Le cadidat idiquera sur la copie le uméro de la questio et la répose choisie Chaque répose eacte rapporte u poit Aucue justificatio est demadée Aucu poit est elevé e l absece de répose ou e cas de répose fausse Le pla complee est rapporté au repère orthoormal direct (O ; u, v ) O désige par A, B, C, D les poits d affies respectives : A =, B = i, C =, D = i L esemble des poits d affie telle que + i = est : A la médiatrice du segmet [BC], B le milieu du segmet [BC], C le cercle de cetre O et de rayo L esemble des poits d affie telle que A la droite (CD) privée du poit C, B le cercle de diamètre [CD] privé du poit C, C le cercle de diamètre [BD] privé du poit C i soit u imagiaire pur est : 3 Les suites (u ) et (v ) sot adjacetes : A u = 0 et v = + 0 ; B u = l ( + ) et v = l ( + ) + C u = et v = + ( ) 4 O cosidère trois suites (u ), (v ) et (w ) ayat, pour tout etier aturel, les propriétés suivates : u v w, lim u et lim w Alors : A lim v 0 B Pour tout de, o a : v C O e sait pas dire si la suite (v ) a ue limite ou o

5 EXERCICE 3 : (6 poits) Le but de l'eercice est de démotrer que l'équatio (E) : e =, admet ue uique solutio das l'esemble des ombres réels I Eistece et uicité de la solutio O ote f la foctio défiie sur par : f () = e Démoter que est solutio de l'équatio (E) si et seulemet si f () = 0 Étude du sige de la foctio f a Étudier le ses de variatios de la foctio f sur b E déduire que l'équatio (E) possède ue uique solutio sur, otée α c Détermier u ecadremet de d amplitude 0 d Étudier le sige de f sur l'itervalle [0 ; ] II Deuième approche O ote g la foctio défiie sur l'itervalle [0 ; ] par : g () = e Démotrer que l'équatio f () = 0 est équivalete à l'équatio g () = E déduire que α est l'uique réel vérifiat : g (α) = α 3 Eprimer g () e foctio de f () E déduire le ses de variatios de la foctio g sur l'itervalle [0 ; ] III Costructio d ue suite de réels ayat pour limite α O cosidère la suite (u ) défiie par : u 0 = 0 et, pour tout etier aturel, par : u + = g(u ) Au moye de la courbe (C ) doée e ANNEXE I et de la droite d équatio y =, représeter les termes u et u de la suite (u ) sur l ae des abscisses Quelle cojecture peut-o faire sur la covergece de la suite (u )? Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel : 0 u u + α 3 E déduire que la suite (u ) est covergete O ote l sa limite 4 Justifier l égalité : g (l) = l E déduire la valeur de l 5 À l aide de la calculatrice, détermier ue valeur approchée de u 4 arrodie à la siième décimale EXERCICE 4 : (5 poits) Les trois questios de cet eercice sot idépedates a Détermier l esemble des couples (, y) de ombres etiers relatifs, solutio de l équatio (E) : 8 5 y = 3 b Soit m u ombre etier relatif tel qu il eiste u couple (p, q) de ombres etiers vérifiat m = 8 p + et m = 5 q + 4 Motrer que le couple (p, q) est solutio de l équatio (E) et e déduire que m 9 (modulo 40) c Détermier le plus petit de ces ombres etiers m supérieurs à 000 Soit u ombre etier aturel a Démotrer que pour tout ombre etier aturel k o a : 3 k (modulo 7) Quel est le reste das la divisio euclidiee de 009 par 7? 3 Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative, même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio Soiet a et b deu ombres etiers aturels iférieurs ou égau à 9 avec a 0 O cosidère le ombre N = a b O rappelle qu e base 0 ce ombre s écrit sous la forme N = a00b O se propose de détermier parmi ces ombres etiers aturels N ceu qui sot divisibles par 7 a Vérifier que 0 3 (modulo 7) b E déduire tous les ombres etiers N cherchés

6 ANNEXE I

7 CORRECTION EXERCICE : (5 poits) Métropole septembre 00 a AI = A I = 3 + i i = 3 + i = 4 doc AI = doc le poit A appartiet au cercle de cetre le poit I et de rayo b r a pour epressio complee : = i e ( I) I soit = i ( i) + i doc B = i ( 3 + i i) + i doc B = i ( 3 + i) + i soit B = i 3 + i doc B = + i( 3 + ) B est l image du poit A par la rotatio r de cetre le poit I et d agle doc IB = IA doc IB = doc B c Le poit C est le symétrique du poit A par rapport au poit I doc I est le milieu de [AC] doc soit C = I A doc C = i 3 i = 3 A C I d B appartiet au cercle ( ) et [AC] est u diamètre de ce cercle doc le triagle ABC est rectagle e B (IB) est perpediculaire à (AC) doc la médiae issue de B de ce triagle est aussi hauteur doc le triagle ABC est isocèle e B Apparemmet les droites (BF) et (CE) sot perpediculaires BF CE (BA AF ) (CA AE) = BA CA AF CA BA AE AF AE Les droites (AF) et (IB) sot parallèles et le triagle ABI est rectagle e I doc AF CA 0 BA AE = (BI + IA ) AE = BI AE = BI AF AE = BI doc BF CE = (BI + IA ) CA BI BF CE = BI CA IA CA BI = IA IB or IA = IB doc BF CE = 0 Les droites (BF) et (CE) sot perpediculaires

8 EXERCICE 4 poits Métropole jui 0 + i = D = A DM = AM L esemble des poits d affie telle que + i = est la médiatrice du segmet [AD] i soit u imagiaire pur o ul si M C et M D, le triagle MCD est rectagle e M i = 0 = i M = D doc l esemble des poits d affie telle que [CD] privé du poit C 3 A Vrai u = 0 et v = + 0 ; si < q < alors lim q = 0 et si 0 < q < la suite (q ) est décroissate 0 = lim 0 u = lim or < 0 v = doc lim < doc lim arg 0 = 0 (u v ) = 0 i = + k où k ( MC, MD ) = + k où k La suite est décroissate doc la suite (u ) est croissate et la suite (v ) est décroissate 0 (u ) et (v ) sot deu suites adjacetes i soit u imagiaire pur est le cercle de diamètre B FAUX u = l ( + ) et v = l ( + ) + la suite (u ) est croissate mais la suite (v ) est pas décroissate u approimatio de v l,693 l 3, l 4,796 C FAUX u = et v = + ( ) la suite (u ) est croissate mais la suite (v ) est pas décroissate u v 0 0 0,5, A FAUX eemple u = et w = +, si v = 0,5 alors pour tout de, : u v w, o a bie lim u et lim w mais lim v 0 B FAUX Pour tout de, o a : v, u 0 v 0 w 0 e supposat que u 0 = et w 0 = 3 o a pas v 0, C VRAI O e sait pas dire si la suite (v ) a ue limite ou o

9 EXERCICE 3 Cetres étragers jui 007 I Eistece et uicité de la solutio est solutio de l équatio (E) e = e = 0 f () = 0 = e = e a f est dérivable sur et f () = + e or la foctio epoetielle est positive sur doc f () > 0 f est strictemet croissate sur b lim doc lim e = 0 doc lim f () = f () = +, lim e = + f est défiie cotiue strictemet croissate sur, f ( ) =, 0 f ( ) doc l équatio (E) possède ue uique solutio sur, otée α c f est strictemet croissate sur et f (0,56) < 0 et f (0,57) > 0 doc 0,56 < < 0,57 d f est strictemet croissate sur [0 ; ] et f ( ) = 0 doc si 0 < alors f () < 0 ; si < alors f () > 0 et f ( ) = 0 II Deuième approche g() = = + = + e e f () = 0 = e e = Résoudre g() = est équivalet à résoudre f () = 0 or cette équatio admet ue seule solutio sur, doc α est l uique réel vérifiat : g (α) = α e ( ) e 3 g () = ( e ) g () = e f( ) ( e ) e ( e ) = = e e ( e ) si 0 < alors f () < 0 doc g () > 0 doc g est strictemet croissate sur [0 ; ] si < alors f () > 0 doc g () < 0 doc g est strictemet décroissate sur [ ; ] III Costructio d ue suite de réels ayat pour limite α Motros par récurrece que, pour tout etier aturel : 0 u u + α u = g(u 0 ) = g(0) = or 0,56 < < 0,57 doc 0 u 0 u α, la propriété est vérifiée pour = 0 Motros qu elle est héréditaire c est-à-dire que pour tout de, si 0 u u + α alors 0 u + u + α g est strictemet croissate sur [0 ; ] doc si 0 u u + α alors g(0) g(u ) g(u + ) g(α) or pour tout etier aturel, par : u + = g(u ) ; g(0) = et g( ) = doc La propriété est héréditaire doc est vraie pour tout de u + u + α doc 0 u + u + α La suite (u ) est croissate majorée par doc est covergete O ote l sa limite alors u 0 l 3 Pour tout etier aturel, par : u + = g(u ) ; la foctio g est cotiue sur [0 ; ] et pour tout etier aturel, u [0 ; ], la suite (u ) coverge vers l doc l est solutio de g () = doc vérifie g(l) = l D après la questio de la Partie II, l équatio g() = admet pour seule solutio doc l = 4 u 4 0,56743 u 0 0 0,5 0, , ,56743

10 EXERCICE 4 Asie jui 0 Étude d ue foctio f a lim 0 = + et lim l = doc lim f () = lim l b Soit = 0 doc lim f () = 0 u( ) l alors u '( ) v( ) alors v'( ) l l doc : f () = > 0 doc f () a le même sige que l or l > 0 l < 0 < < e c 0 e + f () + 0 f e 0 Étude d ue foctio g a f () = (l ) or lim 0 = + et lim (l ) = + doc lim g() = l Soit X = l doc l = l doc (l ) = 4 ( l ) doc b Soit c, lim X = + et X lim l X X = 0 doc lim g() = 0 (l ) l 4 u( ) (l ) alors u '( ) l l (l ) doc g () = v( ) alors v'( ) ( l ) l 0 e + l l f () f + 4 e a f () = g() > 0 et l (l ) = > 0 et l = (l ) l = 0 ou l = = ou = e Les courbes C f et C g possèdet deu poits commus de coordoées ( ; 0) et (e ; e ) b f () g() = l (l ) = l ( l ) 0 e + l l f () g() C f e dessous de C g poit d itersectio C f au dessus de C g c C f e dessous de C g sur ] 0 ; [ doc la courbe bleue correspod à la foctio f poit d itersectio C f e dessous de C g

11

12 EXERCICE 4 spécialité a 8 5 = 5 doc 8 5 y = 3 admet pour solutio particulière = et y = Par différece membre à membre : 8 ( ) 5 (y ) = 0 soit 8 ( ) = 5 (y ) 8 divise 5 (y ) et 8 est premier avec 5 doc 8 divise y, il eiste u etier relatif k tel que y = 8 k E remplaçat y par 8 k das 8 ( ) = 5 (y ) o obtiet : 8 ( ) = 5 8 k doc = 5 k doc = 5 k + et y = 8 k + avec k Vérificatio : 8 (5 k + ) 5 (8 k + ) = 3 Les solutios de l'équatio (E) sot les etiers vérifiat : = 5 k + et y = 8 k + avec k b S'il eiste u couple (p, q) de ombres etiers vérifiat m = 8 p + et m = 5 q + 4 alors 8 p + = 5 q + 4 soit 8 p 5 q = 3 doc le couple (p, q) est solutio de l'équatio (E), doc il eiste u etier relatif k tel que p = 5 k + et q = 8 k + doc e remplaçat m = 40 k = 40 k + 9 doc m 9 (modulo 40) c m = 40 k + 9 et m 000 doc 40 k 000 9, soit k 50 doc m = 009 a 3 = 8 = 7 + doc 3 (modulo 7) doc pour tout etier aturel k, 3 k (modulo 7) 009 = doc 009 = or 3 k (modulo 7) doc (modulo 7) doc 009 (modulo 7) Le reste das la divisio euclidiee de 009 par 7 est 4 3 a 0 = doc 0 3 (modulo 7) doc (modulo 7) 3 3 = 7 = 4 7 doc 3 3 (modulo 7) doc 0 3 (modulo 7) b N = a b doc N a + b (modulo 7) N est divisible par 7 si et seulemet si N 0 (modulo 7) soit si et seulemet si a b (modulo 7) a 9 doc N { 00 ; 00 ; ; ; ; ; ; ; 9 009}

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