Rappels Mathématiques

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1 Rappels Mathématiques Les mathématiques sont l outil de ase du phsicien. Les mathématiques pemettent de décie de manièe fomelle le compotement du monde phsique qui nous entoue. Nous appelons ièvement quelques concepts et ègles mathématiques de ase : Factions Puissances et notations scientifiques Equations linéaies Identités emaquales Réféentiels Vecteus Tigonométie Déivées Intégales Unités - 1 1/13 C. Renne PERLES D EXAMEN ALGÈBRE NOTATIONS et CALCULS v h λ f λ 1 gt t f v gh.75mm GPa 1 tou angulaie π 8 min VECTEURS A A + B C A B C Coecte Fau C B 75cm.75 1 m 1 1 Pa 48s 3-1/13 C. Renne

2 PERLES D EXAMEN VOLUME D UN CYLINDRE V π h V V V V V V π h π π 3 h h π h h h ÉVALUEZ SI UN RESULTAT EST SENSÉ 1.1 kg glace 11 l d eau 1.16 kg d eau 97.5 l d eau 9.79 kg d eau.979 l d eau 11. kg d eau.1 l d eau V V π h - 3 1/13 C. Renne NOTATIONS e.g. pa eemple eempli gatia i.e. c est-à-die, en d autes mots id est c.f. voi, consulte confe pa définition égal à - 4 1/13 C. Renne

3 Factions a Les factions sont une notation mathématique tès patique, avec toutefois quelques pièges : a c ac Multiplication : d d Addition et soustaction : a a + + a c a c d d On ne peut additionne ou soustaie que des factions de même dénominateu. Multiplie le numéateu et le dénominateu pa le même coefficient ne change pas la valeu de la faction, d où la manièe simple suivante de touve un dénominateu commun : Division : numéateu dénominateu a ( a/) ( c/d) c d : a ± c d a d c a c a d c 1 1 ± d d ± d ad ± c d ad et pas c /13 C. Renne Puissances et Notations scientifiques Souvent, les vaiales phsiques sont soit tès gandes soit tès petites. La vitesse de la lumièe est ~3 m/s et les dimensions tpiques des constituants de la matièe (les atomes) sont de l ode de. 1 m. Pou évite de tavaille avec ce tpe de nomes tès peu patiques, on intoduit une notation en puissances de 1 : Avec les ègles suivantes : n m n m 1-1 1/ /(1 1) /(1 1 1) /( ) /( ) /( ). 1 n m 1 Alos: v lumièe m/s d atom m 1 Angstom n m n m - 6 1/13 C. Renne

4 Puissances et Notations scientifiques Les puissances de di facilitent non seulement les notations, elles simplifient aussi gandement les calculs : 1 n 1 m 1 n+ m ; 1 1 n m n m n m 3'' (3 1 )(6 1 ) (7 5) (75 1 ) 3 (5 1 ) ( 11+ 3) 7 On peut aussi tavaille avec des eposants pou des nomes autes que 1 : ase commune : ( a )( a ) a + n m n m eposant commun : ( a )( ) ( a) n n n ATTENTION : ( a ) + ( ) ( a+ ) n n n - 7 1/13 C. Renne Facteu Nom otta zetta 1 18 ea peta 1 9 tea 1 6 giga mega 1 3 kilo 1 hecto 1 1 deka Péfies du sstème d unités intenational (SI) Smole Quantité Y Z E P T G M k h da Facteu Nom deci centi 1-3 milli mico 1-1 nano 1-15 pico femto 1-18 atto 1-1 zepto 1-4 octo Eemples : km : kilomète 1 mètes longueu pj : picojoule 1-1 joules énegie TW : teawatt 1 1 watts puissance Smole d.1 c.1 m.1 µ. 1 n. 1 p. 1 f a z En ouge : à connaîte pa - 8 1/13 C. Renne

5 Équations quadatiques et identités emaquales Factoisation a + a az a( + z) Identités ( ) a+ a + ( a ) ( a )( a ) aa ( + ) + a ( + ) a + + a ( ) a ( a )( a ) a + a ( )( ) a a+ a a Equation quadatique a c + + ± a 4ac 4ac> acines (solutions) éelles - 9 1/13 C. Renne Définitions tigonométiques de ase : Rappels de tigonométie Les pojections su les aes et d un segment AB connaissant sa longueu l et son angle θ sont : hpothénuse sinθ opposé sinθ opposé hpothénuse cos ϕ φ L hpoténuse opposé B hpothénuse cosθ adjacent cosθ adjacent hpothénuse sinϕ A θ adjacent tanθ opposé adjacent tanϕ adjacent opposé - 1 1/13 C. Renne

6 Quelques elations utiles : Rappels de tigonométie tanθ sinθ cosθ sin θ sinθcosθ sin θ + cos θ 1 1 sinθ cosθ cecle de aon unité /13 C. Renne Equations linéaies Une équation linéaie est une équation du tpe : f( ) ; a+ Dans une équation linéaie () un gaphique de en fonction de epésente une ligne doite où : a est la pente de la doite (, ) est l odonnée de l intesection avec l ae Δ ( 1, 1 ) θ (,) Δ Deu points aitaies de la doite pemettent de défini la pente comme: (,) pente Δ Δ 1 1 Δ a Δ eemple : l v t - 1 1/13 C. Renne

7 Réféentiels On identifie la position d un cops dans l espace au moen de coodonnées dans un sstème de éféence. On choisi un éféentiel spécifique en fonction de la smétie du polème. Catésien Clindique Sphéique z M M z M + O M M M z M z cosθ sinθ z h cosϕ cosθ cosϕ sinθ z sinϕ /13 C. Renne Réféentiel catésien Dans un éféentiel catésien en deu dimensions chaque point P est identifié pa une paie de coodonnées ( P, P ) : odonnée En tois dimensions on auait ( P, P, z P ). d Q( Q, Q ) Δ P( P, P ) Δ ascisse La distance d ente deu points P et Q de coodonnées ( P, P ) et ( Q, Q ) est donnée pa : d Δ +Δ ( ) + ( ) Q P Q P /13 C. Renne

8 Réféentiel et vecteu Un point Q dans l espace peut-ête identifié de deu manièes : pa ses coodonnées catésiennes (, ) pa ses coodonnées polaies : distance et angle θ pa appot à un point et un ae de éféences Q( Q, Q ) Q θ θ O (, ) O (, ) Q Le point Q de coodonnées ( Q, Q ) définit le vecteu Q dont les composantes dans le éféentiel (, ) sont : Q cosθ Q est la longueu (nome) du vecteu. Q sinθ Q + Q Q Q /13 C. Renne Opéations vectoielles La notation vectoielle touve de nomeuses applications en phsique. L utilisation des vecteus epose su un cetain nome de ègles mathématiques : Addition Soustaction Poduit /13 C. Renne

9 Addition de vecteus méthode du tiangle L addition de deu vecteus ne dépend pas de l ode dans lequel on effectue la somme : s s1+ s s + s1 On peut donc additionne deu vecteus en plaçant l oigine du pemie su l etémité du second, ou vice-vesa, indépendamment de l angle ente les deu vecteus. Les deu vecteus et leu somme foment un tiangle. Les deu sommes s1+ s et s + s1 foment un paallélogamme; la somme est indépendante de l ode de l addition. s 1 s s /13 C. Renne Addition de vecteus méthode du tiangle La méthode du tiangle, ou du paallélogamme, s applique successivement si plus de deu vecteus sont à additionne : G A+ B+ D+ F On commence pa la somme des deu pemies Puis on ajoute le toisième et ainsi de suite. Le ésultat final est indépendant de l ode de ces opéations. Les ésultats intemédiaies eu changent. F D A B G /13 C. Renne

10 Addition de vecteus paallèles ou antipaallèles Il est paticulièement facile d additionne des vecteus paallèles ou antipaallèles, c est-àdie des vecteus qui ont la même diection mais peuvent ête de sens opposés, pa la méthode des tiangles. Le module du vecteu ésultant est alos simplement la somme ou la difféence des modules : s1 + s s1 + s s1 + s s1 s /13 C. Renne On dénote pa A et A deu vecteus anti-paallèles (ou opposés) de même longueu. La somme de ces deu est un vecteu de longueu zéo. A+ ( A) Soustaction de vecteus Cette osevation pemet de défini la soustaction de deu vecteus : pou fome A B, on additionne à A un vecteu opposé à B, c est-à-die B. - 1/13 C. Renne

11 Composantes d un vecteu Tout vecteu peut-ête considéé comme la somme vectoielle de ses composantes othogonales, A et A(en deu dimensions), deu vecteus définis le long des aes d un sstème de coodonnées catésiens (, ). A A + A Les modules de ces deu vecteus, avec A A, sont : A A Acosθ A A Asinθ Cette définition se généalise sans autes à tois dimensions A A + A + Az - 1 1/13 C. Renne Addition de vecteus méthode des composantes Dans ce contete, on intoduit la méthode des composante pou oteni la somme de deu vecteus C A+ B : C A + B C A + B Les composantes selon un ae donné peuvent ête manipulées algéiquement, à condition de ien teni compte des signes. En tois dimensions, il fauda taite avec tois composantes. - 1/13 C. Renne

12 Notations catésiennes et polaies On utilise souvent une notation compacte pou identifie un vecteu pa ses composantes. En deu dimensions, cela donne : En coodonnées catésiennes : A A A En coodonnées polaies : A A θ Les elations ente les composantes catésiennes et polaies sont : A A Acosθ Asinθ A A A + A ; tanθ A A - 3 1/13 C. Renne Poduit scalaie Le poduit scalaie et le poduit vectoiel sont deu opéations vectoielles féquemment utilisées. 1. Le poduit scalaie : A B A B + A B + A B z z A B cosα où α est l angle ente les deu vecteus. Cette quantité scalaie coespond au poduit de la nome d un vecteu pa la nome de la pojection de l aute. Elle est maimale pou des vecteus paallèles Elle vaut zéo pou α 9 Le poduit scalaie d un vecteu pa lui-même donne le caé de sa nome (sa longueu) : A A A A A + AA + AzAz A A A - 4 1/13 C. Renne

13 . Le poduit vectoiel est un vecteu : C A B C AB A B z AB z C A B A B A B où α est l angle ente les deu vecteus. Poduit vectoiel ( ) z z C z A AB z B z AB A B A B sinα Sa nome coespond à la suface du paallélogamme fomé pa les deu vecteus. Elle est maimale pou α 9 Elle vaut zéo pou des vecteus paallèles. Sa diection est pependiculaie au plan fomé pa les deu vecteus du poduit vectoiel /13 C. Renne Poduit vectoiel La diection du poduit vectoiel A B est nomale au plan défini pa les deu vecteus du poduit. Son sens est déteminé pa la ègle de la main doite : - 6 1/13 C. Renne

14 Déivée L étude des changements (la dnamique) de note Unives est une thématique impotante de la phsique. Le calcul difféentiel est l outil mathématique qui pemet ces études. On définit le tau de vaiation d une fonction f() pa appot à pa : f ( + Δ) f( ) f( +Δ) f( ) ( +Δ) Δ Δf ( ) Δ Ce quotient n est aute que la pente de la doite passant pa les points (, f()) et (+, f(+ )). f() f() + f(+ ) Plus on éduit l intevalle plus cette doite se appoche de la tangente à la coue. On définit la déivée au point de la fonction f() pa: df f ( +Δ) f ( ) lim d Δ Δ La déivée mesue le tau de vaiation instantané de f() pa appot à. f() - 7 1/13 C. Renne Déivée Eemple 1 Soit (t) une fonction qui décit la position d un cops su une tajectoie ectiligne en une dimension au cous du temps t. Le tau de vaiation de la position est une mesue de la vitesse : d() t dt vt () Si la position du cops ne vaie pas, (t) cte ; d/dt sa vitesse est nulle! L accéléation a mesue le tau de vaiation de la vitesse v de ce cops : dv() t at () dt d d() t d () t dt dt dt L accéléation est la déivée pemièe de la vitesse pa appot au temps, ou la déivée seconde de la position pa appot au temps /13 C. Renne

15 Déivée Eemple L utilisation cominée des déivées pemièe et seconde pemet de touve des points paticulies d une fonction f() : Maimum de f() : Minimum de f() : df d df d d f d < d f d > Ces équations pemettent, pa eemple, de touve le point culminant de la tajectoie alistique d un pojectile dans le champ gavitationnel, comme une alle de tennis ou un ouchon de champagne /13 C. Renne Intégales L intégation peut-ête vue comme l opéation invese de la déivée. Si F() est la pemièe déivée de f() pa appot à : F( ) df ( ) d alos f ( ) F( ) d F() Que epésente l intégale F( d )? F() suface A du ectangle défini pa F() et. A F( ) Δ a suface appoimative ente la coue F() et l ae des. a Dans la limite où tend ves, on otient la valeu eacte de la suface sous la coue. C est pa définition l intégale de la fonction F(). F( d ) lim F( ) Δ a Δ a - 3 1/13 C. Renne

16 Quelle est l utilité du calcul intégal? On peut décie un segment de doite comme somme de petits éléments de doite Δ : N L Δ i 1 lim Δ Δ L 1 L Δ d L L 1 3 N Cet eemple en une dimension peut ête facilement étendu à deu dimensions. Une suface A peut-ête décomposée en une somme de petites sufaces élémentaies Δ Δ : L N A Δ Δ i 1 lim Δ Δ Δ Δ L N L L d d L Ld L L Δ 1 3 Δ L /13 C. Renne Quelle est l utilité du calcul intégal? La même pocédue pemet d oteni la suface et le volume de cops plus compliqués. EXEMPLE : La suface d un disque de aon R est : S ΔS a i i i i i Δ Δθ i i a i Δθ ΔS i i Δ S suface ds π R dd θ π R d R θ π π R R Δp i On peut facilement oteni le péimète d un cecle de aon R : P Δp i i RΔθ lim RΔθ i i Δθ π π R dθ R dθ R π θ R( π ) π R - 3 1/13 C. Renne

17 n Quelle est l utilité du calcul intégal? En phsique, les intégales touvent de nomeuses applications. EXEMPLE calcule le tavail effectué pa une foce F dont le point d application se déplace le long d un chemin C dans l espace. Le tavail est définit comme le poduit scalaie du vecteu foce pa le vecteu déplacement s W F s Fcosθ s F s Pou un pacous aitaie, l angle ente la foce et le déplacement change en tout point et on doit somme les contiutions su des petits segments s : W Δ W FΔs W lim F Δ s F ( s) ds Gi i G n i 1 C Δsi /13 C. Renne Unités Dans tout calcul numéique, il faut pende soin d utilise des unités compatiles. Un ésultat sans unités n a pas de sens en généal. EXEMPLE : Comien de secondes met un insecte se déplaçant à km/h pou pacoui 15cm? l vt t l/ v t ( 15cm )/( km/h ) FAUX 3 1 m t (.15m )/ 36s JUSTE L analse des unités pemets de se faie une idée si un ésultat est aisonnale ou non. EXEMPLE : vous savez que l accéléation centipète a c (celle qui maintient un cops su une tajectoie ciculaie) est popotionnelle à la vitesse v et invesément popotionnelle au aon de couue. v m 1 1 Est-ce que la onne elation est : ac? Fau s m s L analse des unités pemet de etouve la onne elation, au facteus numéiques pès quand il en a : v m m 1 m ac s s m s Poalement juste /13 C. Renne

18 - 35 1/13 C. Renne Soit l équation d un cecle centé à l oigine : Intégales Eemple + Selon ce que nous venons de voi, la suface A d un cecle de aon coespond à 4 fois l intégale de la fonction ci-dessus ente et : A 4 f( ) d 4 d + 4 Acsin π 4 π /13 C. Renne