Introduction. Hydraulique à surface libre

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1 Introduction ydraulique à surface libre MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT Olivier TU, 4 février 2. a carge ydraulique est définie à partir des équations de Navier-Stokes turbulentes. On moyenne ensuite cette carge sur la section d un écoulement à surface à libre dans un canal. 2. e tracé de la carge spécifique permet de décrire l écoulement stationnaire sur un obstacle d etension finie et de faible pente. e tracé de l impulsion permet de décrire les ressauts stationnaires. 3. On paramétrise le frottement, proportionnel à la perte carge, à l aide d un coefficient de Strickler, et on trace les courbes de remous des écoulements stationnaires. MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre / 24 MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 2 / 24 Barrage des trois gorges MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 3 / 24 MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 4 / 24

2 Carge moyenne Carge moyenne Équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynol : div U et U t + U grad U F grad p + ν U div R ρ Section : Périmètre mouillé : P argeur mirroir : Rayon ydraulique : R /P Diamètre ydraulique : D 4 R auteur ydraulique : / U grad U 2 grad U2 + rot U U et F grad (g ) grad dm g ( U ) + ν U div R dm t avec R ij U i U j et p ρ g g U2 P (s) (s) (s) (s) (s) (s) M (s) s e s U Integration de M à M 2 (M 2 ) (M ) ( ) U g t + J dm avec J g ( ν U + div R) On suppose souvent Section rectangulaire avec : R Section en demi-cercle de rayon R : R R/2 MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 5 / 24 MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 6 / 24 Carge moyenne Carge moyenne P (s) Débit moyen et vitesse moyenne : Q(s) U e s da (s) U(s) U(s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) Dans le cas ydrostatique : P p + ρ g Pour des profils turbulents : α U e s da moyenne : (s) ( ) p (s) ρ g + + U2 P (s) ρ g P (s) (s) + α(s) U2 (s) 2 g (p + ρ g ) da α(s) U 2 (s) (s) U 2 da MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 7 / 24 da des écoulements à surface libre : (s) p a ρ g + Z f (s) + (s) + α(s) U2 (s) 2 g l J l α U 2 Z f p a /(ρ g) Perte de carge linéique d J : (s 2 ) (s ) s2 s J(s) avec J(s) (s) J e s da MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 8 / 24

3 Ressaut ydraulique Ressaut ydraulique E quations d e quilibre avec α : dq d pa U2 avec Q U, J avec + + Zf + ρg l Jl P (s) U2 α Zf pa /(ρ g) Pente I dzf / : Si d d et / : d(u ) du d d +U d d I J Fr 2 ou le nombre de Froude est p Fr U/ g d d U du I + J g MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT + Zf 2 + Zf R 9 / 24 MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT Ressaut ydraulique / 24 Ressaut ydraulique auteur critique dans le cas constante et / : 3/2 2 /3 U q et q U Fr avec g g + Zf 2 + Zf R Obstacle Zf (s) dans le cas J (frottements ne gligeables) : Solutions de E[q, (s)] Zf (s) 3 + Z f 2 2 d I dzf / 2 Fr (/ ) 3 E.3 E coulement critique : Fr : Sous critique : > Fr <.25 Carge spe cifique E(q, ) et conservation de la carge :.2 q2 U2 3 E(q, ) g Zf Super critique : < Fr >. On a donc : E[q, (s)] Zf (s).5 pa U(s)2 + Zf (s) + (s) + ρg MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT pa ρg / et 2 sont des auteurs conjuge es pour E(q, ) MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT 2 / 24

4 Ressaut ydraulique Ressaut ydraulique Ressauts ydraulique stationnaire sur le Mississipi MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 3 / 24 MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 4 / 24 en laboratoire Ressaut ydraulique Ressaut ydraulique U G G D UD c MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 5 / 24 MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 6 / 24

5 Ressaut ydraulique Ressaut ydraulique Convervation de la masse et de la quantité de mouvement U U R R q et U g 2 R U 2 R + 2 g 2 R I.2 R R c Élimination de la vitesse fonction impulsion I : I(q, ) I(q, R ) avec I(q, ) g ( 3c + 2 ) 3 MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 7 / 24 MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 8 / 24 Perte de carge et frottement Perte de carge et frottement Équations de Navier-Stokes turbulentes et perte de carge : J ( ν U+div R) g ρ g div (τ t ) avec τ t ρ ( 2 ν d R ) τ (s) (s) e s U(s) n J J e s da τ e P s τ t n dl P ) (e s s τ t e s da Relation entre la perte de carge linéique J et le frottement τ : τ ρ g R J avec R /P Paramétrisation du frottement τ ρ g R J : τ 8 λ(re, Ru) ρ U2 J λ (Re, Ru) avec Re U D /ν et Ru k s /D Paramétrisation de Manning-Strickler (cas rugueu) : ( λ φ MS Ru 3 J U2 8 ks /3 R 4/3 K avec K s s 2 φ MS Si I dz f sin γ : J I et R U K s 2 3 sin γ γ U 2 2 g D g ) /2 U MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 9 / 24 MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT ydraulique à surface libre 2 / 24

6 Perte de carge et frottement d (/n ) /3 F() I (/ ) 3 E quation stationnaire pour avec frottement J : d I J Fr 2 I avec dzf 2 auteur normale n : Fr 2 2 avec q2 g JI n /3 n M3 F/I F/I /3 Pente forte n < Pente faible < n 5 auteur critique : Perte de carge et frottement avec S3!5!! q2 I Ks2!5 3/!2 a)!2 n.5 d (/n ) /3 F() I (/ ) 3!3.5 n.5 b) /n n.5 n M3 2 / 24 Perte de carge et frottement MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT /n S S3 MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT S 22 / 24 Perte de carge et frottement 2 M3 n a l n n R a a) MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT n S a b) 23 / 24 MEC567 : SCIENCES DE EU ET ENVIRONNEMENT 24 / 24