Le mouvement de pédalage La vitesse angulaire du plateau

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1 Le ouveet de pédalage La vitesse agulaire du plateau Jacques Fie ars 2015 Das le ouveet de pédalage, lors d u tour du plateau, le cycliste exerce pas u couple costat sur les aivelles, coe le otret tous les tests que l o peut faire e disposat des capteurs de force sur le pédalier. Mêe sas esures, chaque cycliste se red bie copte que l effort qu il exerce sur les pédales aux poits «orts» est bie iférieur à celui exercé lorsque les aivelles sot horizotales. Cette variatio de la poussée sur les pédales au cours d u tour s accopage-t-elle d ue variatio de la vitesse de rotatio du plateau? La vitesse de rotatio du plateau s exprie gééraleet par la cadece de pédalage évaluée e obre de tours par iute ais la cadece est ue estiatio de la vitesse oyee de rotatio. E effet, lors d u tour le plateau, la vitesse de rotatio peut varier, c est pourquoi il vaut ieux parler de la «vitesse agulaire» du plateau et pour être ecore plus clair de la «vitesse agulaire istataée» qu il faut bie distiguer de la cadece. La vitesse agulaire s exprie e radia par secode que l o écrit rad/s. Le radia est l uité d agle das le systèe d uité iteratioal U tour coplet correspod à 2π rad (360 degré), u dei-tour à π rad (180 degré), u quart de tour à π/2 rad (90 degré). U tour par secode que l o écrit 1 tr/s correspod à 2π rad/s soit 6.28 rad/s Aisi, ue cadece de pédalage de 60 tr/i, soit 1 tr/s, correspod à ue vitesse de 6.28 rad/s. Nous ous proposos de faire ue aalyse écaique de la questio avec coe objectif de voir ce que cela iplique sur la vitesse du cycliste. E effet, peut-o rouler à vitesse costate alors que tout est irrégulier, l effort aisi que la vitesse agulaire? Equilibre des couples R F E roulat, le cycliste exerce ue force otrice sur les aivelles, doc u couple, et ce couple doit être égal au couple résistat coe o l a vu das le docuet «Le vélo e équatio». Fr Fig.1. Couple oteur et couple résistat La force résistate expriée e Newto est doée par la relatio : F r = (p+f) + Cx V² [1] avec les otatios suivates : le poids cuulé du cycliste et du vélo e Newto Page 1 sur 7

2 V la vitesse du cycliste e /s p la pete de la route (6% s écrit 0.06) f le coefficiet de frotteet roues/chaussée (voisi de 0.01) Cx le coefficiet de péétratio das l air (voisi de 0.2) l uité de teps est la secode Le couple résistat correspodat à cette force est R F r où R est le rayo de la roue arrière. La force otrice peut se esurer lors de tests e disposat u capteur de force sur le plateau. Cette force est pas costate lors d u tour du plateau, elle est etteet plus forte lorsque la aivelle est horizotale que lorsque la aivelle est verticale c est-à-dire aux poits orts. Das le docuet «Mouveet de pédalage», o a proposé ue forulatio athéatique de cette force, e ajustat ue foctio aalytique aux résultats des tests. Aisi la force otrice peut s exprier de faço assez satisfaisate par la relatio : F = H cos θ + V si θ [2] θ est l agle de la aivelle, égal à 0 lorsque la aivelle est verticale au poit ort haut H et V sot deux paraètres : H représete la poussée horizotale au poit ort haut et V représete la poussée verticale lorsque la aivelle est horizotale. est u paraètre variat etre 2 et 3 Les paraètres H, V et sot propres à chaque cycliste, chaque idividu ayat ue faço différete de pédaler. La figure 2 présete le résultat d ue esure du couple oteur et sa odélisatio par ue foctio du type [2]. Mesure et odélisatio du couple de pédalage Couple e N rod ajust rod Agle de aivelle (0 e positio verticale) Fig.2. Mesure du couple oteur et sa odélisatio Page 2 sur 7

3 Le couple oteur correspodat à la force otrice est : F où désige la logueur de la aivelle. Le couple oteur devat être égal au couple résistat, il faut doc que : F =R F r Or, si le cycliste veut rouler à ue vitesse costate, o voit que le couple résistat est costat alors que le couple oteur est variable : il e peut pas y avoir égalité peraete etre ces deux couples. La roue libre Tout cycliste coaît bie l existece et le rôle de la roue libre qui lui peret otaet d arrêter de pédaler tout e cotiuat à rouler. Preos u vélo sas roue libre. Si la vitesse agulaire du plateau est ω, la vitesse agulaire ω de la roue arrière sera obligatoireet : r ω'=ω p où r est le rayo du plateau à l istat t et p le rayo du pigo. Pour u plateau circulaire, cela peut ecore s écrire N ω'=ω N est le obre de dets du plateau et le obre de det du pigo. Avec ue roue libre, il e va différeet. Si le cycliste raletit so rythe de pédalage ou êe s arrête totaleet de pédaler, il cotiuera sur sa lacée, la vitesse agulaire de la roue arrière e sera plus liée à la vitesse agulaire du plateau. E revache, si le cycliste se et à accélérer, la roue arrière devra suivre le ouveet du plateau. Avec ue roue libre, la relatio précédete doit doc s écrire : r ω' ω p ou, pour u plateau circulaire : N ω' ω Autreet dit, il faut predre e copte l éergie ciétique. Si le cycliste accélère, il eagasie de l éergie ciétique et lorsqu il raletit cette éergie ciétique est restituée et peret au cycliste de cotiuer à rouler. Si u cycliste appuie fort sur les pédales lorsqu elles sot horizotales, il acquiert aisi de l éergie ciétique qui sera bie utile aux poits orts où la poussée sur les pédales est bie plus faible. Nous avos doc affaire à u problèe de dyaique. Vitesse agulaire costate du plateau E appliquat la relatio fodaetale de la dyaique des corps F=M γ au problèe préset, o obtiet l équatio différetielle suivate (Voir le docuet «Des creux et des bosses»): dv dt = g(p+ Page 3 sur 7 Pi )

4 Pi est la puissace istataée fourie par le cycliste correspodat au couple oteur F. O rappellera que la puissace d u couple est égale à la valeur du couple ultipliée par la vitesse agulaire. Cette puissace s écrit doc : P i = ω F Pour calculer la puissace à u istat, il faut doc coaître o seuleet la force ais aussi la vitesse agulaire. La force a été odélisée par la relatio citée précédeet. Quat à la vitesse agulaire, faute de disposer de doées réelles, ous feros l hypothèse qu elle est costate. La puissace istataée s écrit alors : P i = ω (H cos θ + V si θ Cherchos quelle sera la vitesse liéaire du cycliste. L équatio du ouveet s écrit doc : dv dt = g(p+ ω(h cosθ + V si θ ) ) [3] La vitesse agulaire du plateau état supposée costate, o a la relatio : θ= ω t L équatio différetielle à résoudre est fialeet : dv dt = g(p+ ω(h cos ωt + V si ωt ) ) Cette équatio a pas de solutio aalytique. O peut la résoudre uériqueet e écrivat : V 1 = V 0 g(p+ ω(h cos ωt + V si ωt ) )dt V 1 est la vitesse à l istat t et V 0 est la vitesse à l istat t-dt La résolutio de l équatio a été effectuée das l applicatio 1 ci-après. Applicatio 1 O predra u cycliste et so pédalage défiis par : =800 N Cx=0.2 H=30 N Page 4 sur 7

5 V=150 N N=2 ω=6.28 rad/s (60 tr/) =0.17 et ue route défiie par : p=0 f=0.01 Avec ces paraètres, la puissace oyee développée par le cycliste est de 150 watts. Les courbes de la figure 3 otret la variatio de la vitesse du cycliste e foctio du teps. Le teps correspod aussi au obre de tour puisque la vitesse agulaire est de 1 tr/s. A chaque valeur etière de l uité d abscisse, la aivelle est au poit ort haut. La courbe bleue correspod à ue vitesse agulaire de 6.28 rad/s soit ue cadece de 60 tr/i. Sur cette courbe, o costate que la variatio de vitesse est de +/ k/h, ce qui est probableet, pour u cycliste, très difficile à percevoir et o esurable par le copteur de vitesse. La secode courbe correspod à ue cadece double égale à 120 tr/i. O costate que l aplitude des variatios de la vitesse est ecore plus faible. Vitesse du cycliste avec ue vitesse agulaire du plateau costate 27,5 27,45 vitesse e k/h 27,4 27,35 27,3 27,25 27,2 poit ort phase accélératio poit ort phase décélératio cadece 60 tr/i cadece 120 tr/i 27,15 27,1 27, ,25 110,5 110, teps e secode Fig.3. Vitesse du cycliste pour ue vitesse agulaire de la aivelle costate Peut-o rouler à vitesse stricteet costate? Si l o désire rouler à ue vitesse vraiet costate, il faut adapter sa faço de pédaler e faisat varier la vitesse agulaire du plateau au cours d u tour. Page 5 sur 7

6 La vitesse sera costate si l accélératio dv/dt est ulle. L équatio otre que cette coditio sera réalisée si o a : 2 CxV ω(h cos θ + V si θ ) = (p+ ) D où l o tire la valeur de ω e foctio de l agle de aivelle, valeur à respecter si l o veut ue vitesse liéaire stricteet costate. Applicatio 2 2 [ + f) + CxV ] V (p ω = (H cosθ + V si E repreat les doées de l applicatio 1, la figure 4 présete la variatio de la vitesse agulaire du plateau écessaire pour que le cycliste roule à ue vitesse parfaiteet costate. O costate que la vitesse istataée agulaire varie etre 4.3 et 10.9 rad/s pour ue oyee de 6.28 rad/s. E expriat ces valeurs e cadece, ce qui est peut-être plus parlat, pour ue cadece de 60 tr/i, la cadece «istataée» varie etre 41 et 105 tr/i. C est aux poits orts que la vitesse agulaire est la plus forte et c est lorsque les aivelles sot horizotales que l o doit tourer ois vite si l o veut rouler de faço extrêeet costate. θ ) Vitesse agulaire écessaire pour rouler à vitesse costate 12 poit ort poit ort vitesse agulaire e radia/secode vitesse agle de aivelle Fig.4. Vitesse agulaire pour assurer ue vitesse costate Page 6 sur 7

7 Cofrotatio avec des résultats expérietaux. Nous e disposos pas à ce jour de obreux résultats expérietaux qui auraiet pu perettre de cofroter apleet théorie et pratique. La esure de la vitesse de rotatio istataée écessitat u appareillage particulier, ceci peut expliquer cela. O peut déplorer que les tests au cours desquels o esure la valeur du couple e foctio de la positio de la aivelle e s accopaget pas de la esure de la vitesse agulaire. Nous avos cepedat tiré la figure 5 du docuet suivat : «Nicolas Rabier. Méoire Master. «Effet de l utilisatio du plateau O Syétric sur la perforace du cycliste». Uiversité de Frache Coté. UPFR des Sports. Besaço La courbe référecée «rod» présete ue esure effectuée avec u plateau circulaire classique et celle référecée «osy» cocere u plateau dit «ovale». O costate doc qu avec u plateau circulaire, le cycliste toure avec ue vitesse de rotatio presque costate et qu avec u plateau ovale il toure avec ue vitesse variat de faço iportate. Il est à oter que, das ce derier cas, la courbe de vitesse a l allure de la courbe théorique de l applicatio 2 ci-dessus doat la vitesse de rotatio écessaire pour rouler à ue vitesse costate, ce qui veut dire que le cycliste ajusterait so pédalage afi de se rapprocher d ue vitesse régulière. E revache, das le preier cas, la vitesse du cycliste serait plus cofore à celle de l applicatio 1 ci-dessus. Coclusio Fig. 5. Résultats expérietaux (d après N. Rabier) Au vu de cette aalyse, il paraît extrêeet difficile, sio ipossible, qu u cycliste puisse rouler à ue vitesse rigoureuseet costate. Le ouveet de pédalage est très coplexe et la sychroisatio de l itesité des efforts et de la vitesse agulaire e paraît pas pouvoir être réalisée d autat plus que les deux jabes d u idividu e sot pas idetiques e ce qui cocere l effort sur les pédales. Nous avos odélisé le ouveet de pédalage par trois paraètres: H, V et. Il faudrait y ajouter la vitesse istataée agulaire. Page 7 sur 7