La loi d Ohm et l effet Joule (Cours X et XI)

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1 La loi d Ohm et l effet Joule (Cours X et XI) Dans un métal, les électrons de conduction sont libres de se déplacer. Comme pour les molécules d un gaz, ils sont animés d un mouvement erratique et changent de direction au gré des collisions avec les autres électrons ou avec le réseau cristallin du métal : c est l agitation thermique. Dans un volume d 3 V centré en un point M du métal, petit à l échelle macroscopique mais suffisamment grand pour contenir un très grand nombre d électrons de conduction, la vitesse moyenne v(m) des électrons (qui est aussi la vitesse du centre de masse des électrons dans d 3 V) est ainsi nulle car ceux-ci se déplacent dans toutes les directions. La vitesse d un électron individuel est, par contre, considérable : à température ambiante, elle est de l ordre de 10 5 m/s (ou km/h!). Lorsqu un champ électrique règne à l intérieur du conducteur (celui-ci n est donc plus à l équilibre), la force de Coulomb s exerce sur les électrons de conduction (ou, plus généralement, sur les porteurs de charge libres) : à l agitation thermique aléatoire va alors se superposer un mouvement d ensemble et la vitesse moyenne des électrons devient non-nulle, v 0. Il apparaît donc dans le conducteur un courant électrique J = ρ v (ici ρ représente la densité volumique des charges mobiles, puisque seules ces charges peuvent avoir un mouvement d ensemble et donc contribuer à J ; la densité volumique de charge totale, qui prend en compte les charges positives des ions qui forment la structure cristalline d un métal, est en général nulle). 1. La loi d Ohm locale La loi d Ohm locale postule une relation linéaire entre courant électrique et champ électrique. Dans le cas d un conducteur homogène et isotrope, elle s écrit donc J(M) =σ E(M). (29) Le coefficient de proportionnalité σ s appelle la conductivité du conducteur considéré. Si le conducteur n est pas homogène, σ peut dépendre du point M dans le conducteur. S il n est pas isotrope, σ est en fait une matrice. La loi d Ohm n est pas une grande loi de la Physique, mais une loi approximative de la même nature que la loi (27) reliant polarisation et champ électrique à l intérieur d un diélectrique. Elle est valable lorsque le champ électrique n est pas trop intense, et correspond en réalité au premier terme d un développement mettant en jeu des 33

2 puissances plus élevées de E. Un conducteur ohmique est un conducteur pour lequel la relation (29) est satisfaite. La conductivité se mesure en Siemens par mètre (S/m). L inverse de la conductivité s appelle la résistivité et se mesure en Ohm mètre (Ω m). Le Siemens est donc l unité inverse du Ohm. (*) Exprimer le Siemens et le Ohm en terme des unités du système international. La conductivité d un métal est de l ordre de 10 7 à 10 8 Siemens par mètre. C est une fonction décroissante de la température. De plus, la loi (29) n est strictement valable que dans le cas statique ; lorsque le champ dépend du temps, il faut tenir compte de la dépendance de σ avec la fréquence. Cette dépendance est cependant négligeable pour des fréquences inférieures à ou Hertz. Toutes ces propriétés peuvent se comprendre à l aide d un modèle qualitatif très simple. 1. (*) Exprimer, à l aide d un raisonnement simple, la conductivité σ d un conducteur en fonction de la charge q, de la masse m et de la densité n des charges libres, ainsi que du temps moyen entre deux collisions τ. 2. (*) Dans un métal à la température ambiante, la vitesse des électrons individuels est environ 10 5 m/s et leur libre parcours moyen (distance entre deux collisions) 10 8 m. En déduire l ordre de grandeur de la conductivité d un métal (on rappelle que dans un métal, n m 3 et que la masse de l électron vaut kg). Comparer avec les valeurs réelles. 3. (*) Quel est l ordre de grandeur de la norme de la vitesse moyenne v des électrons d un métal plongé dans un champ électrique de 10 V/m? Comparer cette valeur avec la norme de la vitesse des électrons individuels. 4. Expliquer pourquoi la conductivité est une fonction décroissante de la température. 5. Il existe des matériaux, appelés semi-conducteurs, pour lesquels la conductivité est une fonction croissante de la température. Comment cela est-il possible? 6. La conductivité est en général une fonction de la fréquence de variation du champ électrique. Cependant, jusqu à une certaine fréquence de seuil ν 0, on peut considérer que σ ne varie pas. Pouvez-vous évaluer l ordre de grandeur de ν 0? À des fréquences plus élevées que ν 0, la conductivité aura-t-elle tendance à augmenter ou à diminuer (justifier la réponse)? 34

3 2. Résistance On considère un conducteur de forme cylindrique, de section de forme quelconque et d aire S, d axe parallèle à (Oz). On note Σ z la section du conducteur à z donné, que l on oriente avec la normale u z. On note I(z) l intensité du courant électrique à travers Σ z. À l intérieur du conducteur règne un champ électrique E = E(x, y, z) u z, et donc un courant électrique J = σ E. On se place dans le cas du régime permanent, pour lequel aucune quantité ne dépend du temps. 1. (*) Écrire I(z) sous la forme d intégrale faisant intervenir J. Remarquer en particulier que le signe de I(z) dépend du choix arbitraire d orientation pour les surfaces Σ z. 2. (*) Appliquer la loi de conservation de la charge en utilisant une surface fermée bordée par Σ z1,σ z2 et la surface du conducteur joignant Σ z1 et Σ z2. En déduire que I(z) ne dépend pas de z. On peut donc parler d intensité I = I(z) dans le conducteur, sans préciser la section Σ z considérée. 3. (*) En utilisant le fait que le champ électrique dérive d un potentiel, montrer que E(x, y, z) ne peut dépendre en fait que de z. Utiliser la question précédente pour déduire qu en réalité E est une constante : le champ est nécessairement uniforme. 4. (*) Quel est le potentiel dans le conducteur? Quelles sont les surfaces équipotentielles? 5. (*) On considère deux surfaces équipotentielles en z A et z B >z A, et on note V A et V B les potentiels sur A et B respectivement. On note z B z A = l, longueur de la portion de conducteur comprise entre z A et z B. Montrer que l on a une relation linéaire entre la différence de potentiel V A V B et l intensité I dans le conducteur, V A V B = RI, (30) où R, appelée résistance de la portion de conducteur entre z A et z B, est donnée par R = l σs (31) 6. (*) Quelles sont les dimensions de R? Application numérique : calculer R pour un fil de cuivre de un mètre de longueur et de section 10 mm 2 (la conductivité du cuivre à température ambiante est de S/m). Évaluer R entre la tête et les pieds d un être humain qui porte des chaussures dont la conductivité est de l ordre de S/m. 7. (*) Expliquer le principe des thermomètres électroniques. 35

4 3. Échanges d énergie entre champ et charges et l effet Joule 1. (*) Montrer que le travail pendant un temps dt de la force de Coulomb agissant sur les charges mobiles présentes dans un petit volume d 3 V de conducteur est donné par δw = J E d 3 V dt. (32) Pour faire la démonstration, on décomposera la vitesse de chaque porteur de charge dans le volume d 3 V comme la somme d une vitesse d ensemble v (qui est la vitesse du centre de masse) et d une vitesse dans le référentiel du centre de masse des charges présentes dans d 3 V, et on se rappellera que J = ρ v où ρ est la densité de charge mobile. 2. (*) Soient M la masse totale des charges mobiles dans le volume d 3 V et E leur énergie cinétique dans le référentiel de leur centre de masse. Montrer que, pendant dt, ces quantités varient selon l équation d ( 1 2 M v2) +de = J E d 3 V dt. (33) 3. (*) Réécrire (33) en utilisant la loi d Ohm locale. En déduire que le champ électrique apporte de l énergie aux charges. Dans le cas du régime permanent, v ne dépend pas du temps. Que devient alors l énergie apportée aux charges (c est l effet Joule)? 4. (*) En utilisant (32) et les résultats de la section précédente (section 2. sur la résistance), montrer que la puissance dissipée par effet Joule dans un conducteur de résistance R parcouru par un courant électrique d intensité I est donnée par P Joule = RI 2. (34) 5. Décrire le principe de fonctionnement d un chauffage électrique, des plaques de cuisson électriques, d un four électrique On voudrait pour finir déduire une conséquence importante de (32) dans un cas plus général que celui d un conducteur pour lequel la loi d Ohm (29) s applique. On n utilisera donc pas (29) dans cette question. On suppose simplement que le champ électrique et le courant électrique sont portés par l axe (Oz) et que l on se trouve en régime permanent. (a) Montrer que E = E(z) u z où E(z) est une fonction de z seulement (mais pas de x et y). (b) Montrer que l intensité I à travers une surface à z fixé ne dépend pas de z (I est définie en orientant la surface grâce à la normale u z ). 36

5 (c) Montrer que la puissance dissipée entre z = z A et z = z B >z A est donnée par la formule générale P =(V A V B )I, (35) où V A et V B dénotent les potentiels des surfaces en z = z A et z = z B. (d) Retrouver la formule (34) comme cas particulier de (35) dans le cas du conducteur. On notera que P > 0 dans le cas d un conducteur ohmique : l énergie est bien dissipée (c est-à-dire perdue) dans le conducteur par effet Joule. Cependant, la formule (35) peut parfois donner P < 0 : dans ce cas, l énergie dissipée est négative, ce qui veut dire qu en réalité de l énergie est gagnée entre A et B. Ceci n est possible que si une source d énergie est présente entre A et B, par exemple un générateur, voir le chapitre suivant. 37