Conducteurs en équilibre électrostatique

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1 oucteurs e équlbre électrostatque A. Déftos U coucteur est caractérsé par la présece e charges électrques mobles. e sot par exemple es électros as u métal. omme as tout matérau, e l absece acto extéreure les charges mobles e sot soumses qu à l agtato thermque : leurs mouvemets sot ésoroés et e moyee uls. Par cotre ces charges mobles suvet u mouvemet esemble sous l effet u more champ électrostatque. ela costtue la éfto u coucteur. U coucteur est t e état équlbre électrostatque s les charges électrques mobles qu l cotet sot au "repos" (à l agtato thermque près). B. oucteur e équlbre électrostatque B.. oucteur ple E tout pot u coucteur e équlbre le champ électrque est ul. E présece u champ électrostatque les charges lbres se mettraet e mouvemet sous l effet e l teracto e oulomb. La charge u coucteur e peut oc être que surfacque. E effet la lo e Posso ous permet e calculer la esté e charge volumque : Doc : v E ρ ϵ E ρ Le volume u coucteur est u volume équpotetel. E effet : B.. avté ve e charge E gra cste L équlbre u coucteur est pas mofé par la présece e cavtés ves e charge. oséros u coucteur e équlbre présetat ue cavté ve e charge (Fg. ). Le champ électrostatque est ul as le coucteur. Le volume u coucteur est oc ecore u volume équpotetel. La surface e la cavté est oc ue équpotetelle. elle-c état ve e charge l e est oc e même pour so volume et le champ électrostatque y est ul. Les charges e peuvet se trouver que sur les surfaces. Motros que la paro e la cavté e porte aucue charge. oséros ue surface fermée (S) à cheval sur cette paro (fg. ). Le champ état ul e tout pot e cette surface le flux sortat est ul. La charge à l téreur e S. Tsserat PHY : Electromagétsme I -

2 cette surface est oc ulle. ec état valable quelque sot le chox e la surface (S) l y a oc aucue charge sur la paro e la cavté. (S) Fg. : Présece ue cavté ve e charge as u coucteur. B.3. hamp électrque au vosage u coucteur oséros u coucteur e équlbre électrostatque. Notos σ sa esté surfacque e charge (o écessaremet uforme). Nous voulos évaluer le champ électrque e u pot M très proche e la surface u coucteur. La surface u coucteur état ue équpotetelle ous savos que ce champ est ormal à la surface u coucteur. Fg. : hamp au vosage u coucteur. Sot le vecteur utare ormal à la surface u coucteur passat par M et rgé vers l extéreur. oséros u pett élémet e surface S cetré sur M et perpeculare à. Défssos ue surface (S) costtuée à l extéreur u coucteur e ce sque élémetare S, u tube e champ s appuyat sur S et fermée par ue surface quelcoque as le coucteur (fg. ). Le champ électrostatque état ul as le coucteur et taget au tube e champ, le flux sortat e (S) se lmte à : ΦE S E S alculos la charge coteue à l téreur e (S). Le pot M état très proche u coucteur le tube e champ éf à sa surface ue are S. La charge coteue est oc : S. Tsserat PHY : Electromagétsme I -

3 Nous avos oc : q σs σs Φ ES ε E σ ε e qu ous oe pour le champ électrostatque à proxmté u coucteur e équlbre : E σ ε e résultat costtue le théorème e oulomb. B.4. Presso électrostatque oséros u pett sque are élémetare S éf sur la surface u coucteur. Sot M u pot à l extéreur u coucteur très proche u sque prs sur l axe e symétre u celu-c. Nous avos calculé as le chaptre précéet ( B) le champ créé au pot M par ce sque : E (M) σ ε où représete le vecteur utare ormal au sque et oreté u sque vers M (oc vers l extéreur u coucteur). ela représete la moté u résultat u paragraphe précéet. E fat le champ e M résulte e la cotrbuto e ce sque S et u reste es charges u système : E (M)E (M)+E (M) Fg. 3 : otrbutos u élémet e surface au champ à l extéreur et à l téreur u coucteur (pour σ > ). Nous pouvos calculer la cotrbuto E (M) e cosérat le champ électrostatque e u pot M symétrque e M par rapport au sque. E premère approxmato les charges autres que celles u sque créet u champ etque e M et M : E (M')E (M) Par cotre le sque crée e M u champ opposé à celu e M : S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 3

4 E M le champ est ul oc : E (M') E (M) E (M')E (M')+E (M') E (M)+E (M) E (M)E (M) Sot : E (M) σ ε Et ous retrouvos le champ total e M. Nous veos égalemet e motrer que le sque S bage as le champ électrostatque créé par les autres charges. Il est oc soums à ue force : f q E σ S ette force est toujours rgée vers l extéreur : f σ ε S σ ε est la matère elle-même qu subt cette force électrostatque. Nous pouvos éfr la presso électrostatque : p f S σ ε elle-c peut être mse e évece e plaçat u cofett coucteur sur u coucteur chargé. B.5. épartto e la charge e surface u coucteur e équlbre oséros u coucteur sphérque e rayo porté au potetel. Nous pouvos calculer la charge portée par cette sphère. alculos e effet le potetel créé par la charge surfacque au cetre e la sphère. Nous avos : 4πε e qu ous oe pour la charge e focto u potetel : 4πε S ce coucteur est seul as l espace, la symétre e la stuato étuée ous permet e supposer que la répartto e la charge est uforme. La esté e charge surfacque est alors : S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 4

5 σ 4π ε Le théorème e oulomb ous oe le champ électrque au vosage e la surface e la sphère : σ E ε Nous costatos que la esté e charge et le champ électrostatque sot autat plus mportats que le rayo e la sphère est fable. Lorsqu o étue expérmetalemet la répartto e la charge e surface es coucteurs e équlbre o costate que la esté surfacque est : - très grae sur les partes sallates ; - très fable sur les partes e fable courbure ; - ulle as les creux ès qu o s éloge u bor es creux. Le champ électrque est partculèremet tese au vosage es potes.. Système e coucteurs e équlbre électrostatque.. Equlbre oséros u système e coucteurs mmobles as le ve. Nous ous téressos au champ électrque e ehors es coucteurs. O peut motrer (cf. aexe à la f e ce chaptre) que s o mpose le potetel ou la charge e chaque coucteur (cotos aux lmtes) le potetel est parfatemet étermé. est-à-re que l équato e Laplace e tout pot extéreur aux coucteurs avec les cotos aux lmtes sur les coucteurs (potetel ou charge) et à l f ( ) amet ue soluto et ue seule. L équato e Laplace, sas seco membre, état léare as le ve ous pouvos applquer le théorème e superposto : la superposto e eux états équlbre est égalemet u état équlbre... Théorème es élémets correspoats oséros u tube e champ relat eux coucteurs e équlbre électrostatque. e tube éft ue surface sur chacu es coucteurs. es eux surfaces S et S costtuet es élémets correspoats. hacu porte ue charge que ous otos respectvemet et. Fermos ce tube par eux surfaces stuées à l téreur es coucteurs comme qué sur la fgure 4. Le champ état taget e tout pot u tube et ul as les coucteurs, le flux sortat e cette surface fermée est ul. Il e est oc e même pour la charge qu elle referme. Nous avos oc +. Les élémets correspoats portet oc es charges égales et opposées. S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 5

6 e résultat est valable pour tout tube e champ, e partculer pour es tubes e secto élémetares S. Nous pouvos oc re que es élémets correspoats portet es estés surfacques e sges opposés. Nous pouvos résumer ce que ous savos a pror sur l équlbre u système e coucteurs : - Les lges e champ sot ormales aux surfaces es coucteurs. - Les lges e champ vot es charges postves vers les charges égatves. - Le potetel écroît le log ue lge e champ. - Ue lge e champ e peut se refermer sur u même coucteur (so les eux pots aux extrémtés e cette lge e champ e seraet pas au même potetel). Ue lge partat u coucteur rejot oc u autre coucteur à u potetel féreur ou part à l f ( ). S S' ' tube e champ Fg. 4 : Elémets correspoats. D. Ifluece totale Il y fluece totale etre eux coucteurs s l u etoure complètemet l autre. D.. Théorème e Faraay oséros eux coucteurs seuls A et B e fluece totale (A à l téreur e B, fg. 5). Nous otos A la charge portée par A, et B les charges portées par les faces tere et extere e B. oséros ue surface fermée (S) complètemet stuée à l téreur u coucteur B. Le champ état ul au veau e cette surface le flux e sortat est égalemet ul. Nous e éusos que : A La surface extere e A et la surface tere e B sot es élémets correspoats. S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 6

7 B B A A Fg. 5 : Ifluece totale. D.3. Dstrbuto es charges sur les eux coucteurs Supposos B solé et otos sa charge tale, évetuellemet ulle. Le coucteur B état solé sa charge totale e peut varer. Nous avos oc : + B Apportos es charges sur le coucteur A. La face tere e B porte alors ue charge A et la face extere : + B Supposos A solé portat ue charge A. S ous mofos la charge totale u coucteur B, e mofat so potetel, seule sa charge extere est mofée. E partculer s ous relos le coucteur B au sol ( ) alors sa charge extere est ulle. E l absece autres coucteurs aucue lge e champ e peut arrver ou partr. A Soet eux coucteurs A et B e fluece totale, B etourat A. Notos respectvemet A et B les charges exteres es eux coucteurs. Nous voulos étermer commet les charges se strbuet etre les tros faces. oséros tout abor l état équlbre pour lequel A est eutre (o chargé). Nous savos qu alors la face tere e B est pas chargée. La strbuto extere e B est oc la même que s B état seul as l espace portat ue charge B. oséros mateat l état équlbre pour lequel A est chargé et B au potetel ul (relé au sol). La charge extere e B est alors ulle. Les strbutos es charges sur A et la face tere e B épeet es géométres e la cavté et e A. La superposto e ces eux états équlbre correspo à l état équlbre que ous voulos étuer. Doc : S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 7

8 - La strbuto sur A et sur la surface tere e B e épe pas e l électrsato e B, mas uquemet e la charge e A, es formes et e la posto e A as la cavté. - La strbuto sur la surface extere e B est épeate e la posto e A et e la charge e B. Le potetel e B est le même que s B état seul as l espace portat la charge B. A ttre exemple coséros u coesateur sphérque. Le coucteur A est ue sphère e rayo et B est ue sphère creuse e rayos tere et extere 3. Les eux sphères ot même cetre. Nous supposos B solé et talemet eutre, alors que le coucteur A porte ue charge. Nous voulos calculer es potetels es eux coucteurs. B A O B A 3 Fg. 6 : oucteurs sphérques e fluece totale. Nous pouvos étermer les charges portées par les tros faces. Nous avos : A et et B Le potetel e A est le potetel ut au cetre es sphères par tros couches cocetrques chargées. Nous avos oc : A + 4 πε 3 Le potetel u coucteur B correspo à celu qu l aurat s l état seul portat sa charge extere. e qu ous oe : B 4πε S ous relos le coucteur B au sol que eveet les potetels e A et e B? Le potetel e B est alors ul et l e porte plus e charge extere : B B 3 S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 8

9 Par cotre les charges e A et e la face tere e B restet chagées. Le potetel e A correspo oc au potetel ut au cetre es sphères par eux couches cocetrques chargées. Sot : A 4 πε D.4. Ecras électrques O appelle écra électrque u coucteur creux mateu à u potetel fxe. E Fg. 7 : Ecra électrque. Sot u esemble e coucteurs ot certas sot placés à l téreur u écra E mateu à u potetel. Nous cherchos à étuer le champ électrostatque à l téreur et à l extéreur e l écra. oséros u premer état équlbre obteu lorsque tous les coucteurs à l téreur e l écra sot o chargés, que les autres à l extéreur portet leur charge et que l écra est au potetel. Nous savos que as cette stuato le champ électrque est ul e tout pot à l téreur e la cavté e l écra. oséros u seco état équlbre obteu e mateat l écra à u potetel ul (relé au sol), avec les coucteurs extéreurs tous échargés et les coucteurs téreurs portat leur charge. Le champ électrostatque est alors ul à l extéreur e l écra. L état équlbre que ous voulos étuer correspo à la superposto e ces eux états équlbre. Nous e cocluos que le champ extéreur e épe que es coucteurs extéreurs et u potetel, alors que le champ téreur e épe que es coucteurs téreurs. U coucteur creux mateu à u potetel fxe sépare l espace e eux régos épeates u pot e vue électrostatque. S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 9

10 D.5. Images électrques oséros ue strbuto e charges éfssat ue surface équpotetelle fermée. Nous pouvos assmler cette surface à u coucteur mateu à ce potetel et vce-versa. omme les cotos aux lmtes pour ces eux systèmes sot etques, le théorème ucté ous t que le champ et le potetel e tout pot à l extéreur e l équpotetelle ou u coucteur sot alors etques. es eux stuatos sot mages électrques l ue e l autre. Pour llustrer ce cocept mage électrque étuos le problème suvat. Nous cherchos à étermer l fluece ue charge poctuelle sur u pla coucteur f. Nous coséros u coucteur pla f mateu à la masse ( ) e présece ue charge q stuée e u pot M à ue stace h u pla. Nous e savos pas résoure rectemet ce problème. Par cotre, coséros le pôle costtué par la charge q e M et ue charge q stuée e M symétrque e M par rapport au pla, que ous otos (Π). e pôle prout u potetel ul as so pla méateur. As as le em-espace lmté par le pla (Π) et coteat la charge q, les eux stuatos présetet les mêmes cotos aux lmtes : - potetel ul sur le pla et à l f ; - charge q e M. L ucté e la soluto e l équato e Laplace ous garatt oc que potetel et champ électrostatque sot etques as le em-espace coséré. Le pôle costtue ue mage électrque u problème à étuer. Fg. 8 : Exemple mage électrque Das le cas u pôle ous pouvos calculer le champ électrostatque e tout pot P u pla. Utlsos les otatos e la fgure 8. L axe Oz est éf par la posto M e la charge et par sa projecto O sur (Π). Il est oreté e O vers M. L axe Oz costtue u axe e symétre, le champ électrostatque e épe oc que e la stace r u pot P au pot O. Le champ S. Tsserat PHY : Electromagétsme I -

11 électrque e P est ormal au pla (strbuto e charges atsymétrque par rapport à ce pla). Le champ électrostatque est oc parallèle à l axe Oz et a pour valeur algébrque : E(r) q 4 π ε cosα où représete les staces MP ou M P et α l agle formé par le segmet MP et l axe Oz. Nous pouvos exprmer ces eux quattés e focto es varables h et r : r +h et cosα h e qu ous oe pour la valeur algébrque u champ : E(r) q π ε h (r +h ) / Le théorème e oulomb ous permet e éure la esté surfacque e charges : σ(r)ε E(r) q π h (r +h ) / alculos la charge totale portée par la face u coucteur e regar avec la charge q. ommeços par exprmer la charge portée par ue couroe e cetre O, e rayo r et e largeur r : σ Sσ π r r (r) q h r r (r +h ) / Pour calculer la charge totale l ous sufft tégrer sur r : r r q h (r +h ) / Avec u chagemet e varable ur +h l vet : q h u / u q h u -/ h h q La charge totale ute par l fluece e la charge q est oc égale à q. E. apactés et coeffcets fluece E.. apacté propre u coucteur oséros u coucteur solé seul as l espace. Nous savos que s l est chargé l porte ue charge surfacque σ et ous avos pour la charge totale : S. Tsserat PHY : Electromagétsme I -

12 σ (S) (M) S L tégrale porte sur toute la surface u coucteur. Sot P u pot à l téreur u coucteur. Nous pouvos calculer le potetel absolu créé par cette strbuto surfacque au pot P : (P) σ(m) 4 π ε MP S Le coucteur état u volume équpotetel cette quatté représete auss le potetel u coucteur. Nous pouvos remarquer que s ous multplos par λ la esté surfacque l e est e même pour et. Il exste oc ue relato e proportoalté etre la charge et le potetel u coucteur seul et solé : Le coeffcet e proportoalté est appelé capacté propre u coucteur. elle-c e épe que e la forme u coucteur. L uté as le système teratoal est le fara (symbole : F). F -. alculos par exemple la capacté propre u coucteur sphérque e rayo. Il sufft e calculer le potetel au cetre e la sphère. Toute la charge se trouvat réparte à ue stace e ce cetre ous avos : 4πε e qu ous oe : 4 πε (S) E.. Esemble e coucteurs oséros u esemble e coucteurs solés seuls as l espace. Il exste ue relato léare etre les charges { },, et les tesos { },, e ces coucteurs que ous pouvos écrre sous la forme : j Le terme représete la capacté u coucteur e présece es autres coucteurs. Le terme j représete le coeffcet fluece u coucteur j sur le coucteur e présece es autres coucteurs. oséros par exemple eux coucteurs sphérques e rayos et ot les cetres sot séparés ue stace grae evat les eux rayos ( >> et >> ). Nous avos : j j S. Tsserat PHY : Electromagétsme I -

13 S. Tsserat PHY : Electromagétsme I Fg. 9 : Esemble e eux coucteurs sphérques élogés. alculos au cetre O e la premère sphère le potetel créé par les eux strbutos. Nous avos : 4 4 πε + πε De même ous avos pour le potetel e O : 4 4 πε + πε e qu ous oe le système équatos suvat : πε + πε Sa résoluto ous oe : πε πε 4 4 Nous avos oc par etfcato : 4 et 4 πε π ε 4 et 4 π ε πε

14 emarquos que <, > et >. Nous allos motrer que ce sot es proprétés géérales. Tout abor mposos le potetel es coucteurs e preat par exemple : et j j Nous avos alors pour les charges : et j j omme le coucteur est à u potetel postf toutes les lges e champ partet e ce coucteur pour rejore les autres coucteurs ou partr à l f. La esté e charge est oc postve pour le coucteur et égatve pour les autres coucteurs. Nous avos oc : > et j < pour j Les capactés sot postves et les coeffcets fluece sot égatfs. D autre part comme certaes lges e champ peuvet fur à l f ous avos : Sot : j j j j j oséros eux états équlbre fférets u système e coucteurs caractérsés par {, },, et {, },,. Nous avos : j j j et ' j j ' j Nous pouvos oc écrre : ' j j j ' et ' j j ' j es eux quattés sot égales. Nous avos l etté e Gauss : ' ' S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 4

15 Applquos cette etté à eux états partculers. Pour le premer ous chosssos tous les potetels à sauf k. Pour le seco ous chosssos tous les potetels à sauf l. Nous avos alors : ' l lk et ' ' k kl e qu ous cout à : kl lk La matrce es capactés et coeffcets fluece est symétrque. F. apacté et charge u coesateur F.. Déftos U coesateur est costtué e eux coucteurs e fluece totale. epreos les coucteurs A et B e la fgure 5 où B etoure A. Le coucteur A costtue l armature tere u coesateur et le coucteur B so armature extere. Notos la charge totale u coucteur A et so potetel. De même et représetet la charge totale et le potetel e l armature extere. Avec les otatos e la fgure 5 ous avos : A + B où A est la charge e A, et B les charges teres et exteres e B. D autre part ous savos que : Les charges et peuvet s exprmer e focto es potetels et. Nous pouvos égalemet écrre : + + Premère stuato partculère :. S le coesateur est seul as l espace l e porte aucue charge extere. Nous avos oc : A e qu oe : B S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 5

16 Seco cas partculer :. Les eux armatures état au même potetel l e peut y avor e charges sur A sur la face tere e B. A B D autre part s est la capacté propre u coucteur B sa charge extere est oée par : Nous avos oc : e qu ous cout à : ( ( B + + ) ) + et E reportat ces résultats ous avos oc as tous les cas : ( ) + E gééral ous avos <<, ce qu permet e églger la charge extere B. Par éfto ous appelos charge u coesateur la charge e so armature tere et ous appelos capacté u coesateur la capacté e l armature tere e présece e l armature extere. La charge u coesateur est proportoelle à la fférece e potetel etre ses eux armatures : ( ) emarque : S le coesateur est pas seul as l espace, ce qu a été t pour la charge extere est plus valable, mas sa charge et sa capacté sot chagées. Supposos le coesateur chargé avec ue fférece e potetel -. Isolos esute les armatures es sources exteres pus relos ces armatures par u fl coucteur. ue eveet les charges? S les eux coucteurs sot relés ls sot au même potetel. Nous avos oc : Les charges e l armature tere et e la face tere e B se sot éplacées au travers u fl pour s auler. O t que le coesateur s est échargé. Par cotre l reste ue charge résuelle sur la face extere u coucteur B. S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 6

17 F.. oesateur sphérque U coesateur sphérque est u coesateur pour lequel l armature tere et la surface tere e l armature extere sot es sphères cocetrques. Soet et les potetels respectfs es armatures tere et extere e rayos et. Pour évaluer la capacté e ce coesateur ous evos calculer sa charge e focto e la fférece es potetels. ommeços par étuer le champ électrostatque etre les eux armatures. B A O A Fg. : oesateur sphérque. Nous sommes e présece e eux équpotetelles sphérques cocetrques e cetre O. Le champ électrostatque etre celles-c ot posséer cette symétre sphérque. Das ce cas ous savos qu l est raal et que so testé e épe que e la cooroée polare r. Applquos le théorème e Gauss à ue surface sphérque e cetre O et e rayo r, telle que quée e rouge sur la fgure. Le flux sortat e cette sphère a pour expresso : Le théorème e Gauss oe : Φ (r) 4 π r E(r) Φ (r) ε E(r) 4πε r alculos la crculato e ce champ le log u rayo etre u pot M stué sur l armature tere et u pot M sur la face tere e l armature extere. Nous avos : (M,M ) E(r) r Or : e qu ous oe : E(r) r 4 π ε S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 7

18 4πε ( ) La capacté u coesateur sphérque a oc pour expresso : 4πε ette capacté est autat plus grae que les rayos et sot proches. S ous chosssos l épasseur e e l tervalle etre les eux armatures très pette ous pouvos écrre : 4πε e << e Au premer orre ous avos oc : ε e S où S représete la surface es armatures e regar. F.3. oesateur cylrque U coesateur cylrque est u coesateur pour lequel l armature tere et la surface tere e l armature extere sot es cylres e révoluto e même axe. L fluece totale écesste ue logueur fe. Fg. : oesateur cylrque. S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 8

19 Soet et les potetels respectfs es armatures tere et extere e rayos et. Pour évaluer la capacté e ce coesateur ous evos calculer sa charge e focto e la fférece es potetels. Le coesateur état e logueur fe l e est certaemet e même e sa charge. Pour évter cette ffculté ous travallos sur u troço e hauteur h. ommeços par étuer le champ électrostatque etre les eux armatures. Nous sommes e présece e eux équpotetelles cylrques e révoluto e même axe. Le champ électrostatque etre celles-c ot posséer la même symétre. Il est oc raal et so testé e cooroées cylrques e épe que u rayo r. Applquos le théorème e Gauss à ue surface cylrque axe, e rayo r et e hauteur h. Le flux sortat e ce cylre a pour expresso : Le théorème e Gauss oe : Φ ( r) πr h E(r) Φ (r) ε E(r) π r h ε alculos la crculato e ce champ le log u rayo etre u pot M stué sur l armature tere et u pot M sur la face tere e l armature extere. Nous avos : (M,M ) E(r) r Or : e qu ous oe : E(r) r l π ε h πε h l ( ) La capacté u troço u coesateur cylrque a oc pour expresso : πε l h Ecore ue fos la capacté est autat plus grae que les rayos et sot proches. S ous chosssos l épasseur e e l tervalle etre les eux armatures très pette ous pouvos écrre : e << Au premer orre ous retrouvos oc : l + e l e π ε h e S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 9

20 où S représete la surface es armatures e regar. ε e S F.4. oesateur pla U coesateur pla est costtué par eux armatures lmtées par es surfaces plaes parallèles e regar l ue e l autre. L fluece totale écesste es surfaces fes. Fg. : oesateur pla. ommeços par étermer le champ électrostatque as l tervalle séparat les eux armatures. elles-c costtuet eux équpotetelles plaes. Nous savos que as ce cas le champ est uforme. Pour calculer so testé ous pouvos applquer le théorème e Gauss à ue surface fermée costtuée e eux faces etques are S parallèles au pla u coesateur relées par es paros perpeculares à ce pla. Nous chosssos ue e ces eux faces as l tervalle et l autre as l armature tere. Le champ état ul as le coucteur ou taget à la face latérale le flux sortat e cette surface fermée correspo au flux au travers e la face parallèle au pla u coesateur stuée as l tervalle. Nous avos alors : Φ ES où S représete l are e cette face. Le théorème e Gauss oe : Φ ε σs ε représete la charge e l armature tere correspoat à la surface S et σ la esté surfacque sur cette armature. Nous avos oc pour le champ : E ε S σ ε S. Tsserat PHY : Electromagétsme I -

21 où représete u vecteur utare ormal au pla u coesateur et rgé e l armature tere vers l armature extere (e vers ). alculos la crculato e ce champ etre u pot M stué sur l armature tere et u pot M sur l armature extere. Nous avos : Or : M (M,M ) E M M M E M M ε S e où e représete l épasseur e l tervalle etre les eux électroes. Nous avos oc : ε S e ( ) e qu ous oe pour la capacté ue surface are S (prse as u coesateur f, so atteto aux effets e bor) : ε S e F.5. Assocatos e coesateurs Il exste eux faços assocer es coesateurs. La premère cosste à reler etre elles ue part les armatures teres et autre part les armatures exteres. Les coesateurs sot alors ts e parallèle ou assocés e surface. A 3 B Fg. 3 : oesateurs e parallèle. oséros coesateurs assocés comme qué sur la fgure 3. Les armatures teres ot pour potetel A et les armatures exteres B. Notos la fférece etre ces potetels : A B S ous otos la capacté u coesateur, ous avos pour la charge e chaque coesateur : La charge totale u esemble e coesateurs est oc : S. Tsserat PHY : Electromagétsme I -

22 U esemble e coesateurs e parallèle est oc équvalet à u coesateur ot la capacté est égale à la somme es capactés : La secoe assocato cosste à reler l armature extere coesateur à l armature tere u autre coesateur (fg. 4). Il s agt ue assocato e sére ou e cascae. A 3 B Fg. 4 : oesateurs e sére. oséros le coucteur costtué par l armature extere u coesateur relée à l armature tere u coesateur +. e coucteur est solé. S ous le supposos talemet eutre sa charge totale est e permaece ulle. S la charge e l armature tere u coesateur porte ue charge alors la face tere e so armature extere porte ue charge. La face extere e cette armature et l armature tere u coesateur porte alors ue charge. Nous avos vu que la charge portée par la face extere e l armature extere u coesateur est églgeable evat la charge u coesateur. Nous e éusos que s l armature tere u coesateur porte ue charge l e est e même pour le coesateur +. Les coesateurs e cascae portet oc tous la même charge. S ous otos la fférece etre les potetels es armatures u coesateur et la fférece etre les potetels e l armature tere u premer coesateur et e l armature extere u erer ous avos : Sot : U esemble e coesateurs e sére est équvalet à u coesateur ot l verse e la capacté est égal à la somme es verses es capactés : Ils portet tous la même charge et se "partaget" la fférece e potetel. S. Tsserat PHY : Electromagétsme I -

23 oséros u coesateur e forme quelcoque ot les eux armatures ot es surfaces parallèles stuées à ue stace e fable par rapport au rayo e courbure es faces. oséros u pett élémet e surface S, l a pour capacté élémetare : Nous pouvos cosérer le coesateur comme u esemble e tels coesateurs élémetares assocés e parallèle. Nous e éusos la capacté totale u coesateur : ε ε e e S S S e Fg. 5 : oesateur e forme quelcoque. S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 3

24 Aexe : Théorème ucté Nous ous plaços as u volume ( ) élmté par ue surface (S). Tout abor émotros l etté e Gree : U Δ+gra U gra τ ( ) pour tous champs scalares U et. U gra S (S) Nous savos que : v U A U v A +A gra U hosssos u champ vectorel érvat u potetel scalare : A gra. Nous avos alors : v U gra U v gra +gra U gra Sot : v U gra U Δ+gra U gra Nous recoassos l tégrat e l tégrale trple. Nous avos oc : U Δ+gra U gra τ ( ) v U gra τ ( ) Le théorème e Gree-Ostrograsky ous permet e trasformer cette tégrale e volume e ue tégrale e flux sortat : v U gra τ ( ) U gra S (S) oséros ue strbuto e charges réparte as le volume ( ). Supposos qu l exste eux solutos et à l équato e Laplace as ce volume. oséros leur fférece. Nous avos : Δ + ρ ε et Δ + ρ ε Δ Utlsos l etté e Gree avec U, l vet : Sot sachat que : Δ+ gra τ ( ) gra S (S) gra τ ( ) gra S (S) S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 4

25 S le potetel ou le champ sot mposés e tout pot e la lmte u volume ( ), alors ou gra sot uls sur cette frotère (cotos aux lmtes etques pour et ). L tégrale e flux sortat est oc ulle. Nous e éusos qu e tout pot u volume : gra gra Les eux potetels ffèret oc ue costate. S le potetel est fxé e u pot au mos e la frotère cette costate est écessaremet ulle. Lorsque le potetel est fxé à la frotère u volume étué o parle e coto e Drchlet. L autre coto, correspoat e fat à : gra S costtue la coto e Neuma. Elle emae e fxer la composate ormale u champ électrostatque à la frotère. Pour u coucteur cela revet à fxer la esté surfacque e charges, oc la charge totale. S. Tsserat PHY : Electromagétsme I - 5