MAGNESTOTATIQUE Le courant électrique. 2. Champ magnétique. 3. Exemples de calculs du champ magnétique. 4. Forces magnétiques

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1 MAGNESTOTATQUE Le courant électrique 2. Champ magnétique 2.1. charge unique en mouvement 2.2. Circuit filiforme : Postulat de iot et Savard 2.3. distribution volumique de courants 3. Exemples de calculs du champ magnétique 3.1. Champ créé par un fil infini 3.2. Champ magnétique créé par une spire 3.3. Roue de arlow 3.4. Champ magnétique sur l'axe d'un solénoïde 3.5. Définition de l ampère (Lyonnais, ) 4. Forces magnétiques 5. Propriétés du champ magnétique 5.1. Circulation du champ magnétique 5.2. Théorème d Ampère 5.3. Flux du champ magnétique 5.4. Exemples d'application du théorème d'ampère 6. Travaux dirigés 1

2 1. Le courant électrique Définitions : courant électrique = tt mvt d ensemble de particules chargées l'intensité du courant électrique à travers une surface est le débit de charges à travers cette surface: = dq / dt Le déplacement des porteurs de charges se fait dans un milieu à 3 dimensions concept de densité de courant Vecteur densité de courant: on considère : - ρ, la densité de charges par unité de volume - v, la de vitesse moyenne des charges et - ds, une surface orientée - dt un intervalle de temps quelconque la quantité de charges Q qui traverse ds pendant dt est équivalente à la charge enfermée dans le volume fictif: soit : dv = ds.v.dt dq = ρ. dv dq = ρ.( ds. v). dt dq / dt = ρ. v. ds ds v v.dt (ds) on introduit le vecteur densité de courant: J = ρ. v dq on obtient : J. ds dt = = le flux de J à travers ds L'intensité d'un courant dans un conducteur de section S est le flux de J à travers S. = S J. ds = ρ REM : - s il y a plusieurs types de charges mobiles : J ivi i 2

3 Equation de continuité Dans le cas général, si l'on considère un volume V délimité par une surface S, on a: S J. ds Q = t Le flux de J représente la quantité de charges qui entre ou sort du volume J. ds > J. ds = J. ds < Q(t) Courants permanents Régime permanent ou stationnaire pas de dépendance au temps J. ds = S "en régime permanent J est à flux conservatif" REMARQUES : 1/ S J. ds = n'entraîne pas v = cste ou ρ = cste! 3

4 Ligne et tube de courant - une ligne de courant est telle qu'elle est tangente en tout point à J REM : en rég. permanent ces lignes la trajectoire des charges - un tube de courant est la surface engendrée par des lignes de champ s'appuyant sur un contour fermé. PROPRETE : en rég. permanent, l'intensité du courant est la même à travers tte section d'un tube de courant car J est à flux conservatif: J. ds = J. ds = J. ds + J. ds 1 2 J. ds = + = S S S S S = J S 2 S 1 C 2 C 1 Tube de courant élémentaire - un tube élémentaire de courant est un tube s'appuyant sur une surface élémentaire ds. On a alors : d = J.dS D'un point de vue pratique, on a vu : source électrostatique ρ.dv on verra : source magnétostatique J.dV On sera donc souvent amené à considérer la quantité J.dV. Soit s la section d'un tube de courant dv = s. dl J. dv = J. s. dl J. dv =. dl 4

5 2. Champ magnétique 2.1. charge unique en mouvement champ créé par une charge en mouvement pas de régime permanent On peut admettre : le champ magnétique créé au point M par une charge placée en P est : M = qv PM 3 4. π PM 2.2. Circuit filiforme : Postulat de iot et Savard P d l u champ élémentaire créé par d l: dl PM dm = π PM Circuit C M d avec : = 4π.1-7 S.. champ total : M = 4. π ( c) dl PM 3 PM 5

6 2.3. distribution volumique de courants correspondance: circuit filiforme tube de courant d l J. dv intégrale curviligne intégrale de volume C. dl J. dv V &S M J u 4. π r² = dv avec PM = r. u et J la densité de courant au point P 6

7 3. Exemples de calculs du champ magnétique 3.1. Champ créé par un fil infini z dz α P θ O M 1- direction et sens de? au plan et vers l arrière 2- module : d dz PM 3 4. π PM = d = dz sinα. 4. π PM ² (= cosθ) on préfère utiliser l'angle θ : cosθ = sinα on peut alors écrire : D D OM = D PM = OP = z = D. tgθ dz = d cosθ cos ² θ θ On en déduit : d = cosθ dθ 4 π D 2 = π d = π 2 2 π D 1 M 7

8 3.2. Champ magnétique créé par une spire z α r P d l Calcul possible en 1 point de l axe seulement : dl r = ( ) 3 4 π c r = d r 3 4 r l ( c) REM : r = r est constant lors de l intégration mais pas r De plus : r = PM = PO + OM dl OM = d OM = ( l) ( c) ( c) dl PO = R. dl. n dl PO = R.( dl) n = 2 π R² n C M n O C π On en déduit : = R² 3 2 r ou encore en notant que : R = r sinα : = 2 R 3 sin ( α) 8

9 REMARQUES : - au centre de la spire on a : = 2 R - hors de l axe calcul plus complexe spectre magnétique z Lignes de champ hors de l'axe. Au voisinage de l'anneau les lignes de champ sont des cercles. 9

10 3.3. Roue de arlow C est le plus simple des moteurs électriques On considère : - un champ magn. au plan de la feuille M O - un disque conducteur, libre de tourner autour df d un axe passant par O et // à J - un courant d intensité qui le traverse de son A centre O en un point A qui affleure un bain de mercure Un élément de volume dτ au point M est soumis à la force : df = ( J ) dτ qui tend à faire tourner le disque. Le moment de cette force s écrit (avec r = OM): dγ = r df = r ( J ) dτ dγ = ( r ) Jdτ ( r J) dτ = car r donne la dir. de Γ, // à considérons dτ comme une portion d'un tube élémentaire de courant, dans ce cas: J d τ = d dl et en sommant sur tout le disque on obtient : R R R Γ =. d. ( r dl) et ( r dl) = ( r dr) = R² roue Γ = R² 2 roue REMARQUE : on obtient le même résultat en considérant que tout le courant suit le trajet OA, f = R cette force étant appliquée au milieu de OA. d = 1 2 1

11 3.4. Champ magnétique sur l'axe d'un solénoïde 11

12 3.5. Définition de l ampère (Lyonnais, ) elle est basée sur l interaction entre 2 fils conducteurs rectilignes et parallèles : 1- le fil C 1 crée en tout point de C 2 un champ magnétique perpendiculaire au plan des 2 fils et de module : 1 = 2 π d 2- une portion l du fil C 2 subit une force f dans le plan des 2 fils : f= 2 l, c est-à-dire : d f 1 2 C 1 C 2 f 2π d = l DEFNTON : l ampère est l intensité d un courant permanent qui, maintenu dans deux conducteurs rectilignes, parallèle, infinis, de section négligeable et distants de 1 mètre dans le vide, produit entre eux une force par unité de longueur de : N/mètre de fil 12

13 4. Forces magnétiques particule chargée en mvt dans un champ magnétique f = qv (particule en mvt, Effet Hall) q v df circuit filiforme dans un champ magnétique F = d l C d l df courants volumiques dans un champ magnétique J dv df F = V J. dv 13

14 5. Propriétés du champ magnétique 5.1. Circulation du champ magnétique fil rectiligne infini Système de coordonnées cylindriques : - Un courant filiforme infini porté par Oz - composantes de : (,,) 2πρ contour C et 1 point M du contour : M (ρ, θ, z) - le déplacement dr sur C : (dρ, ρdθ, dz) lignes de champ M dr circulation de sur C : Γ = dr = 2π ( c) ( c) dθ Deux cas se présentent : (C) entoure le fil = 2 Γ = C d θ π (C) n entoure pas le fil : dθ = Γ = C spire circulaire : Circulation de le long de l axe de la spire: + d Γ = sin 3 α dz avec dz = R α 2R sin ² α 2 π Γ = d Γ = sin α α 14

15 5.2. Théorème d Ampère C est une généralisation des deux exemples précédents l s énonce de la manière suivante : «La circulation du champ magnétique le long d un contour fermé C égale à la somme des intensités algébriques des courants qui traversent toute surface s appuyant sur C multipliée par». Γ ( ) = dl = ( c) ( c) i i Le théorème d Ampère exprime une relation entre le champ magnétique et ses sources (équivalent du théorème de Gauss en électrostatique). la circulation de n est pas conservative ne dérive pas d un pot. scalaire(contrairement à E) llustration du théorème d Ampère : l [ 2 ] d = C

16 5.3. Flux du champ magnétique Postulat du flux conservatif : le flux de à travers une surface fermée quelconque, est nul: ( ) Φ = ds = S Provient du fait que les lignes de champ magnétique sont fermées ( S ) 5.4. Exemples d'application du théorème d'ampère - fil infini déjà vu - cylindre : ( c) dl = int érieur i orthoradial contour = cercle centré sur Oz contour C 1 de surface S 1 contour C 2 de surface S 2 qqs le contour 2 cas se présentent : r > R d l =.2 π r c ( ) = J ds = =. int érieur S 2π r 1 C 1 C 2 R r r < R =. int érieur S2 J ds J =? J=/πR² π r² =. int érieur π R² r = 2 π R² R r 16

17 6. Travaux dirigés 1. Mouvement d'une particule dans un champ magnétique uniforme. Une particule de masse m de charge q est lancée à l'instant t = avec une vitesse initiale v dans un champ magnétique uniforme. On adoptera un système de coordonnées tel que le centre O coïncide avec la position initiale de la particule, Oz avec la direction de et on choisira une vitesse initiale v dans le plan Oyz. Décrire le mouvement de la particule. 2. Champ magnétique créé par un circuit carré. Considérez un circuit carré de côté a, parcouru par un courant et calculez le champ magnétique en son centre. 3. obines d Helmoltz. Deux bobines de N spires, de rayon R, parcourues par un courant d intensité, ont leurs centres distants de R. Le sens du courant est tel que les champs créés par les deux spires s ajoutent dans l espace situé entre les deux spires : a) Calculez au milieu O de l axe joignant les deux centres. b) Calculez pour un point M de l axe voisin de O repéré par OM = x Quelle est la variation relative de entre O et M pour x/r =.1? 4. Action d un champ magnétique uniforme sur une spire On considère une spire circulaire parcourue par un courant d intensité, mobile autour d un de ses diamètres et placée dans un champ magnétique uniforme de direction quelconque dans un repère Oxyz. (On placera la spire dans le plan Oxy, son centre correspondant avec l'origine O du repère). a) Calculer la force nette qui agit sur cette spire b) Calculer le moment de cette force c) Ecrire ce moment sous la forme : C = M, M étant un vecteur à déterminer, appelé moment magnétique. 5. Théorème d Ampère : conducteur coaxial. On considère un câble coaxial infini cylindrique de rayons R 1, R 2, R 3 (R 1, < R 2 < R 3 ). Le courant d intensité totale passe dans un sens dans le conducteur intérieur et revient dans l autre sens par le conducteur extérieur. Calculez en tout point et représentez graphiquement (r), r étant la distance du point considéré à l axe du cylindre. Voir aussi (pour l'an prochain) la Pierre Savard p. 123 (exo fait en examen mais avec une spire carrée). 17