XI-2) Champ électrostatique

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1 XI-2) Champ électrostatique En électromagnétisme, on étudie les effets induits par la présence de charges et de courants, qui modifient les propriétés de l'espace en créant en chaque point un champ électrique et un champ magnétique. L'ensemble des deux champs constitue le champ électromagnétique. Par ailleurs, une charge située en un point où règne un champ électromagnétique subit une action qui dépend de ce champ. L'objet de l'électromagnétisme est l'étude du champ électromagnétique en fonction de ses sources, et de son effet sur les charges et les courants. Ce premier chapitre d'électromagnétisme est consacré à l'étude du champ électrique en régime stationnaire, dont les sources sont les charges stationnaires dans le référentiel d étude. Dans un premier temps, les charges électriques sont mises en évidence, ainsi que les différentes façons dont elles peuvent être distribuées dans l'espace. Puis on a pour but, étant donnée une distribution particulière, de déterminer le champ électrique qu'elle crée en tout point de l'espace. I - Charges électriques I-1) Charge électrique à l'échelle mésoscopique Pour définir l'échelle mésoscopique de description de la charge électrique, on prend l'exemple d'un gaz ionisé, chaque ion porte une charge q. - Description microscopique : Si on considère un volume élémentaire microscopique d, fixe dans le repère d'observation, c'est-à-dire un cube dont l'arête est de l'ordre de grandeur de quelques dizaines de rayons atomiques, alors le nombre de charges fluctue de façon importante au cours du temps, car les particules franchissent en permanence la frontière de d. Le nombre N de particules chargées dans d fluctue. - Description mésoscopique : Volume élémentaire microscopique d contenant des ions de charge q. On considère désormais un volume élémentaire d, fixe dansle repère d'observation, dont le rayon typique est de l'ordre du micromètre : c'est l'ordre de grandeur de quelques libres parcours moyens entre deux collisions successives subies par les porteurs de charge. Le nombre N de particules contenues dans d varie très peu, il y a quasiment autant de particules qui rentrent que de particules qui sortent de d. Les fluctuations discrètes du nombre de charges contenues dans d, dues au mouvement microscopique incessant des particules qui franchissent la frontière du volume d en entrant et en sortant, sont négligeables. Volume élémentaire mésoscopique. Bien que les particules microscopiques franchissent sans cesse la frontière du volume d, en régime stationnaire, la quantité N de particules est indépendante du temps. On définit alors n, d'unité (m -3 ), densité des particules chargées au niveau du point M où se situe d : Laurent Pietri ~ 1 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy avec N la quantité de particules chargées dans. L'échelle mésoscopique est une échelle intermédiaire entre l'échelle microscopique et l'échelle macroscopique. Dans un volume élémentaire mésoscopique d'un milieu chargé, on néglige les fluctuations du nombre de panicules chargées dues à l'agitation microscopique. Le volume est suffisamment petit pour qu'on puisse considérer que la densité de particules soit uniforme. I-2) Distribution volumique de charge électrique La notion de distribution volumique de charge électrique n'a de sens qu'au niveau mésoscopique. Soit un volume élémentaire mésoscopique qui contient une charge Q, on définit la densité volumique de charges au niveau du point M au voisinage duquel se situe le volume mésoscopique dt par : L'unité d'une densité volumique de charge dans le système international est le coulomb par mètre cube : C.m -3.

2 I-3) Distributions surfacique et linéique Certaines répartitions de charge prennent la forme de couches minces, dont l'épaisseur h est très inférieure aux autres dimensions du problème (largeur et longueur de la distribution, distance à laquelle on évalue le champ créé). On adopte alors un modèle dit surfacique, qui consiste à négliger l'épaisseur de la répartition, en considérant que toutes les particules qui la composent sont disposées sur une surface. Le paramètre décrivant cette distribution est la densité surfacique de charge, définie comme le rapport entre la quantité de charge dq présente sur un élément de surface et l'aire ds de celui-ci : On se place dans le cas où la distribution réelle est une couche mince d'épaisseur h, contenant une densité volumique de porteurs de charge n uniforme. On relie les densités volumiques n et à, en considérant que la quantité de charge présente dans un élément de la couche de volume d = h ds s'écrit : Donc : De même on définit la densité linéique de charger par : I-4) Propriétés de la charge totale d'un système fermé Un système fermé est composé d'un ensemble de particules, délimité par une frontière imperméable aux échanges de charges. Il vérifie les propriétés fondamentales : - La charge est quantifiée, elle est un multiple entier relatif de la charge élémentaire e; - La charge d'un système fermé, somme des charges des particules qui constituent le système, est une grandeur extensive et additive (si on réunit deux systèmes, la charge du nouveau système est la charge des deux systèmes réunis) ; - La charge d'un système fermé se conserve (s'il se produit une ionisation d'une molécule dans le système, des charges de signe opposé apparaissent, mais la charge globale est conservée), la charge est une grandeur conservative ; - La charge d'un système fermé ne dépend pas du référentiel d'étude. II - Définition du champ électrique II-1) Force de Coulomb Tout au long du XVIII ème siècle, des expériences ont été menées dans le but d'observer les interactions entre corps électrisés. C'est en 1785 que Coulomb met au point sa balance, qui permet une étude quantitative de la force d'interaction entre deux particules chargées. De toutes les expériences effectuées au XVIII ème, on a pu déduire trois propriétés essentielles de la force d'interaction entre deux corps chargés ponctuels, M 1 et M 2, qui portent les charges q 1 et q 2 : Où est une constante dimensionnée, appelée permittivité électrique du vide. Sa valeur dans le système international d'unités est : II-2) Définition du champ électrostatique L'expérience de Coulomb a mis en évidence la force exercée par une charge localisée q 1 sur une autre charge q 2. Si on considère une distribution D ch de charges indépendante du temps, l'action exercée par D ch sur une charge q placée en un point M est une force, appelée force électrique. Laurent Pietri ~ 2 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

3 On définit le champ électrique en M créé par D ch : Comme l'unité de la charge q est le coulomb C, il apparaît que l'unité du champ électrique est celle d'une force divisée par une charge, le newton par coulomb N.C -1 ; mais cette unité n'est pas l'unité usuelle. L'unité du champ électrique dans le système international est le V.m -1. Une distribution de charges fixes D ch dans un référentiel R crée au point M un champ électrique tel que : L'unité du champ électrique dans le système international est le V.m -1. Remarques : - Le champ électrique ne se révèle que par ses effets. Ainsi pour mesurer un champ électrique en un point, il faut y placer une charge afin de mesurer la force qu'elle subit du fait de l'existence du champ électrique. - La force électrique est une grandeur qui ne dépend pas du choix que l'on fait de l orientation de l espace. Comme le lien entre la force électrique et le champ électrique est une simple proportionnalité on en déduit que le champ électrique est un champ vectoriel qui ne dépend pas du choix de l'orientation de l'espace. Un tel vecteur est appelé vecteur polaire : il ne dépend pas du choix de l'orientation de l'espace. II-3) Champ électrique créé par une charge ponctuelle On envisage une charge ponctuelle Q située au point 0, origine du repère. Si on place une charge q en un point M quelconque de l'espace, celle-ci subit la force : Le champ électrique que crée Q en M est : On constate que la charge ponctuelle Q crée un champ électrique radial, qui varie comme l'inverse de la distance au carré. En calculant le flux du champ créé par cette charge ponctuelle à travers la sphère S de rayon r qui passe par M, comme le montre la figure, on établit sur un cas particulier d'une propriété fondamentale du champ électrique. Laurent Pietri ~ 3 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

4 Le flux du champ électrique à travers la sphère de rayon r ne dépend que de la charge Q, il ne dépend pas du rayon de la sphère. Cette propriété, établie dans le cas particulier d'une charge ponctuelle et d'une sphère dont elle est le centre, est une propriété tout à fait générale du champ électrique, connue sous le nom de théorème de Gauss. III - Théorème de Gauss III-1) Énoncé On admet que le résultat précédent se généralise au cas d'une surface fermée quelconque, à l'intérieur de laquelle se trouve une distribution de charge. Le flux du champ électrique, à travers une surface fermée S qui délimite un volume V, est égal à la charge intérieure au volume, divisé par : Cette relation constitue le théorème de Gauss. Remarque On appelle surface de Gauss la surface fermée choisie pour appliquer le théorème de Gauss. Conséquences du théorème de Gauss : - Les charges situées en dehors de la surface de Gauss ne participent pas au flux du champ électrique ; - La position des charges à l'intérieur du volume n'a pas d'influence sur le flux sortant du champ électrique ; - Si le volume délimité par la surface de Gauss est vide de charge, le flux du champ électrique sortant de ce volume est nul, on dit que le champ électrique est à flux conservatif dans les zones vides de charges. Dans certains cas de distributions de charges, le théorème de Gauss est un outil puissant pour calculer le champ électrique en tout point de l'espace, à condition de bien choisir la surface de Gauss. III-3) Théorème de Gauss pour le champ de gravitation La force d'interaction gravitationnelle entre deux masses et la force d'interaction électrique entre deux charges ont des expressions formellement identiques, ce sont deux forces en 1/r². Le champ de gravitation, créé en M par une distribution de masse, est relié à la force exercée par la distribution D sur une masse m placée en M, par : Un raisonnement par analogies permet d'appliquer à la gravitation les résultats de l'étude du champ électrique et inversement. On en déduit qu'il est possible de calculer le champ d'attraction gravitationnelle créé par une distribution de masse qui présente de fortes symétries avec le théorème de Gauss. Le tableau d'analogies, établit l'analogie formelle entre l'interaction gravitationnelle et l'interaction électrique. Pour établir ce tableau d'analogies, on fait correspondre chaque terme présent dans la force d'interaction gravitationnelle entre deux masses m 1 et m 2 à son analogue dans la force d'interaction coulombienne entre deux charges q 1 et q 2 de même signe, comme m 1 et m 2 sont de même signe. La valeur de la constante de gravitation est : Laurent Pietri ~ 4 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

5 Et : Une fois l'analogie établie, on l'exploite pour établir le théorème de Gauss gravitationnel : Le flux du champ de gravitation surface fermée S qui délimite un volume V est égal à la masse intérieure au volume multipliée par la constante -4G : à travers une Cette relation constitue le théorème de Gauss gravitationnel. IV - Équations locales de l'électrostatique IV-1) Equation locale de Maxwell Gauss Le théorème de Gauss n'impose aucune condition sur le volume délimité par la surface de Gauss. On choisit alors de l'appliquer sur un volume mésoscopique d fixe du référentiel dans lequel est défini la distribution de charge définie par la densité volumique de charge. En notant d, le flux du champ électrique sortant du volume mésoscopique d, attendu que la charge contenu dans le volume d est Q=d, le théorème de Gauss s'écrit : Or, la définition intrinsèque de la divergence est : En égalant les deux expressions de : L'équation de Maxwell Gauss relie le champ électrique et la densité volumique de charge. Laurent Pietri ~ 5 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

6 Caractère local de l'équation de Maxwell Gauss L'équation de Maxwell-Gauss est la traduction locale du théorème de Gauss. Elle relie localement, c'est-à-dire en un point M quelconque, le champ électrique et la densité volumique de charge. L'équation de Maxwell Gauss relie les dérivées spatiales du champ électrique à la densité volumique de charge, il en résulte que pour calculer le champ électrique en un point, il faut calculer une intégrale faisant intervenir la distribution volumique de charges fixes dans tout l'espace. L'équation de Maxwell Gauss est locale, mais le champ électrique dépend de la distribution de charges sources dans son ensemble. À l'inverse, si on connaît le champ électrique en tout point de l'espace, alors la densité volumique de charges s'en déduit par dérivation du champ électrique. Exemple : L'espace étant repéré par le système de coordonnées cartésiennes, considérons de champ E(M) défini par : Alors : Le champ électrique peut être non nul en des points M dépourvus de charge. Existence et continuité du champ électrique Si la distribution de charge est strictement volumique, le champ électrique est défini, continu et dérivable en tout point de l'espace. Par contre, en des points d'une distribution surfacique, linéique ou ponctuelle de charges, pour lesquelles la modélisation entraîne un passage à la limite, l'équation de Maxwell Gauss n'est pas valide, car la densité volumique de charge n'y est pas définie. En un point d'une distribution surfacique, linéique ou ponctuelle, le champ électrique n'est pas défini. IV-2) Équation de Maxwell Faraday L'équation de Maxwell Faraday, Maxwell Faraday, en régime statique est : L'opérateur rotationnel est un opérateur de dérivation d'un champ de vecteur par rapport aux coordonnées d'espace. On se réfère au chapitre sur les outils mathématiques pour sa définition et son calcul dans le cas d'un repérage cartésien : Le champ électrostatique est un champ vectoriel dont le rotationnel est nul en tout point de l'espace. L'analyse vectorielle affirme qu'il existe alors un champ scalaire V(M) tel que : Il existe un champ scalaire V, appelé potentiel électrostatique, relié au champ électrostatique en M par : L'unité du potentiel électrique est le volt, noté V. On en déduit que la circulation du champ électrostatique d'un point A à un point B, le long d'une courbe 1 est égale à l'opposé de la variation du potentiel entre A et B : Lien entre la diminution du potentiel et la circulation du champ électrique. Laurent Pietri ~ 6 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

7 En régime indépendant du temps, la circulation du champ électrique le long d'une courbe orientée 1 qui joint deux points A et B est égale à l'opposé de la variation du potentiel entre A et B : Propriétés du potentiel : - La circulation du champ électrique ne dépend pas du chemin suivi, elle sera la même le long des courbes 1 ou 2 dès lors qu'elles joignent les mêmes points A et B ; - Des développements mathématiques montrent que dans le cas de distributions surfaciques ou volumiques, le potentiel V (M) est défini en tout point de l'espace, et qu'il est continu et dérivable, mais il ne l'est pas en un point d'une distribution linéique ou ponctuelle. Exemple : On a établi précédemment le champ électrique créé par une charge ponctuelle : IV-3) Énergie potentielle électrique d'une charge L'énergie potentielle électrique d'un porteur de charge q soumis au potentiel V(M) est : En effet, la force électrique : IV-4) Équations de Poisson et de Laplace Des deux équations vues précédemment, Maxwell-Gauss d'une part, et le lien entre le champ électrique et le potentiel d'autre part : Le potentiel électrostatique vérifie l'équation de Poisson. En un point où =0, le potentiel électrostatique vérifie l'équation de Laplace : IV-5) Linéarité des équations locales de l'électrostatique Les équations locales de l'électrostatique sont linéaires, on en déduit que le champ électrostatique et le potentiel obéissent au théorème de superposition. Si : Alors : Le théorème de superposition permet de calculer le champ électrique créé par des distributions faiblement symétriques, dès lors qu'elles sont la superposition de distributions possédant une symétrie élevée. V - Propriétés topographiques V-1) Définitions En utilisant les différentes propriétés du champ électrique et du potentiel, ainsi que les relations qui les lient, on peut constater un ensemble de propriétés topographiques du champ électrique qui permettent d'interpréter les cartes de lignes de champ et de surfaces équipotentielles. Une ligne de champ électrique est une courbe en tout point tangente au champ électrique, orientée comme le champ électrique. Le long d'une ligne de champ : Une surface équipotentielle est une surface formée d'un ensemble de points aux même potentiel, son équation est donnée par : V(M) = V 0, où V o est constant. V-2) Le champ électrique est orienté vers les potentiels décroissants Le lien entre le champ électrique et le potentiel, décroissants. En effet :, montre que le champ électrique est orienté vers les potentiels Laurent Pietri ~ 7 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

8 Si la ligne de champ qui relie le point A au point B est orientée de A vers B alors V B < V A, le potentiel en B est strictement inférieur au potentiel en A, ainsi les points A et B possèdent deux potentiels différents, ils ne peuvent être confondus. On en déduit deux propriétés du champ électrostatique : - En régime statique, le champ électrique est orienté vers les potentiels décroissants. - En régime statique, une ligne de champ électrique n'est pas fermée sur elle même. V-3) Théorème de l extrémum Une conséquence importante du théorème de Gauss est l'existence d'extrema relatifs du potentiel là où se trouvent des charges. On démontre cette propriété en utilisant le théorème de Gauss : Soit un point M max où le potentiel électrostatique présente un maximum relatif. Maximum relatif du potentiel en présence d'une charge positive Cela signifie que pour tous les points qui entourent M max, le potentiel est plus faible. Comme le champ électrique est dirigé vers les potentiels décroissants, on peut représenter le champ électrique en différents points voisins de M max, et si on place autour de M, un petit volume sphérique d, le flux du champ électrique sortant de V 0 est positif. On peut reprendre un raisonnement rigoureusement identique en un point M min où le potentiel présente un minimum relatif, on y trouve une charge négative. En un point M max où le potentiel est un maximum relatif, se trouve une charge positive. En un point M min où le potentiel est un minimum relatif se trouve une charge négative. V-4) Intersection des lignes de champ électrique Lorsqu'on trace les lignes de champ électrique d'une distribution de charges, on observe parfois des points d'intersection de lignes de champs, cela correspond à deux cas singuliers : - Au point où se trouve une charge ponctuelle, les lignes de champ sont concourantes, puisque le potentiel est y est extrémal, on remarque qu'en ce point le champ électrique n'est pas défini, il est infini. - Lorsque plusieurs lignes de champ différentes se croisent en un point où il n'y a pas de charge ponctuelle, le champ électrique est le vecteur nul, seul vecteur qui puisse avoir les différentes directions des lignes de champ qui se croisent. V-5) Le champ électrique est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles Soient M et M' deux points voisins sur la surface équipotentielle de potentiel V 0, comme le montre la figure, ils sont au même potentiel et très proches l'un de l'autre. En effectuant le passage à la limite qui tend vers le vecteur nul, on peut écrire : et donc finalement : Surface équipotentielle et ligne de champ électrique. On en déduit : - Le champ électrique est perpendiculaire en tout point à la surface équipotentielle. - Les lignes de champ du champ électrostatique sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles. Laurent Pietri ~ 8 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

9 V-6) Conservation du flux électrique en un lieu vide de charge Dans une zone de l'espace où =0, l'équation de Maxwell Gauss s'écrit : Le flux du champ électrostatique sortant du tube de champ de section variable délimité par les sections S 1, S 2 et la surface latérale S l est : Tube de champ électrique dans une zone où = 0. Dans une zone vide de charges, là où les lignes de champ électrique se resserrent, le champ électrique est plus intense. V-7) Valeur du champ et surfaces équipotentielles successives Si on convient de représenter les surfaces équipotentielles correspondant à des écarts de potentiel toujours identiques d'une surface à la suivante, alors des surfaces équipotentielles très rapprochées correspondent à une zone de fort champ électrique, alors que des zones de surfaces équipotentielles très espacées correspondent à des zones de faible champ électrique. De plus, les lignes de champ électrique sont orientées depuis les surfaces de fort potentiel vers celles de faible potentiel. À écart de potentiel constant entre deux surfaces équipotentielles successives, un resserrement des surfaces équipotentielles s'interprète comme une intensification du champ électrique, et inversement un écartement des surfaces équipotentielles comme une diminution du champ électrique. V-8) Cartes de lignes de champs a) Charge ponctuelle On considère un premier exemple introductif, celui du champ créé par une charge ponctuelle positive. La figure représente, dans le plan de coupe de la figure, les surfaces équipotentielles (en gris), avec la variation de potentiel d'une ligne équipotentielle à l'autre constante, et les lignes de champ électrique (en noir) créées par une charge ponctuelle positive placée au centre de la figure. Lignes de champs, en noir, et surfaces équipotentielles, en gris, d'une charge ponctuelle. On observe que : - Les lignes de champ sont radiales orientées du centre vers la périphérie - Les lignes de champ sont perpendiculaires aux équipotentielles. - Le champ est plus intense en A car les lignes de champ sont plus resserrées au voisinage de A qu'en B. - Le champ est plus intense en A car, à écart de potentiel constant, les surfaces équipotentielles sont plus resserrées en A qu'en B. b) Lecture d'une carte d'équipotentielles La figure représente l'intersection avec le plan de la figure des surfaces équipotentielles de deux charges ponctuelles q 1 et q 2 placées en P 1 et P 2. L'écart de potentiel d'une surface à la suivante est conservé. Laurent Pietri ~ 9 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

10 On observe que : - Les surfaces équipotentielles sont fermées autour des points P 1 et P 2 où se trouvent les charges. - Grâce à l'information sur le sens des champs en A et B, on sait que les charges sont positives ; - Comme les équipotentielles sont très proches de P 2, le potentiel est plus élevé au voisinage de P 2 qu'à celui de P 1, on en déduit que la charge q 2 est supérieure à la charge q 1. Si on dispose d'une carte d'équipotentielles tracées avec un écart de potentiel quelconque d'une équipotentielle à la suivante, on ne peut rien conclure quand à la valeur du champ électrique. On trace sur la figure les lignes de champ correspondantes, qui coupent perpendiculairement les équipotentielles. b) Position et signe des charges sources du champ électrique La figure représente les surfaces équipotentielles et les lignes de champ électrique créées par deux charges ponctuelles de signes différents. En gris clair les surfaces équipotentielles de potentiel positif, le potentiel est nul à l'infini, les surfaces équipotentielles de potentiel négatif sont représentées en gris foncé. Surface équipotentielles et lignes de champ de deux charges ponctuelles de signes différents, (positive à droite, négative à gauche). On observe que : - Les lignes de champ partent de la charge positive et vont jusqu'à la charge négative ; - La valeur absolue de la charge positive est supérieure à celle de la charge négative. VI - Calculs de champs VI-1) Choix d'une surface de Gauss La surface de Gauss doit permettre un calcul simple du flux du champ électrique sortant de. On cherche tout d'abord une surface ' passant par M telle que le champ soit normal à ' en tout point et de module constant, ' est la surface équipotentielle qui passe par M. Si la surface équipotentielle ' qui passe par M est fermée, elle convient comme surface de Gauss. Si ' n'est pas fermée, on construit la surface de Gauss fermée, à partir d'un élément de ', auquel on ajoute des éléments de surfaces tels le champ leur soit tangent, de sorte que le flux de y soit nul. VI-2) Méthode Lorsqu'on étudie un champ électrique créé par une distribution de charge donnée, on procède par étapes : - Choix d'un repérage adapté : On commence par faire un schéma de la distribution de charges, afin de comprendre quelle est le repérage le plus adapté, entre cartésien, cylindrique et sphérique. Laurent Pietri ~ 10 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

11 - Étude des symétries et des antisymétries : Étant donné un point M de l'espace, on cherche les plans de symétrie pour la distribution de charge qui passent par le point M. Le champ électrique en M est à l'intersection des plans de symétrie pour la distribution de charge, il est perpendiculaire aux plans d' antisymétrie. - Étude des invariances : Si la distribution est invariante par translation selon un axe (Oz), par exemple, le champ en un point M ne dépendra pas de la coordonnée z du point M. Si la distribution est invariante par rotation autour d'un axe, le champ en M ne dépendra pas de la coordonnée angulaire de M associée à cette rotation. - Choix d'une surface de Gauss et utilisation du théorème : On choisit une surface de Gauss contenant tout ou partie de la surface équipotentielle qui passe par M. Pour finir, on applique le théorème de Gauss sur, on en déduit la valeur du champ en M. VI-3) Distribution cylindrique a) Fil infini La distribution de charges, source du champ électrostatique est un fil infini chargé uniformément. On note la densité linéique de charge. - Choix d'un repérage adapté Ici le repérage cylindrique est le mieux adapté à la situation. Les coordonnées cylindriques d'un point M de l'espace sont (r,,z) - Étude des symétries et des antisymétries Fil infini chargé uniformément, repérage cylindrique Les plans sont des plans de symétrie pour la distribution de charges, donc le champ électrique en M s'écrit : valeur : - Étude des invariances La distribution est invariante par rotation autour de l'axe (Oz) et translation selon (Oz), donb le champ électrique ne dépend que de r en De même le potentiel V ne dépend que de r, V (M) =V (r). - Choix d'une surface de Gauss et utilisation du théorème Surface de Gauss pour le calcul du champ électrique d'un fil infini. La surface équipotentielle r qui passe par M est définie par V(r) = V 0, c'est le cylindre d'axe (Oz) et de rayon r : cette surface n'est pas fermée. On construit la surface de Gauss en limitant le cylindre d'axe (Oz) à un tronçon de hauteur h, sa surface latérale réunie avec les deux surfaces transversales qui sont les disques de rayon r d'axe (Oz) constituent une surface fermée, qui convient comme surface de Gauss. Le flux de sortant des surface transversales est nul puisque leur normale est selon ; et le champ est partout radial. Laurent Pietri ~ 11 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

12 Le théorème de Gauss mène à : - Calcul du potentiel électrostatique On calcule le potentiel électrostatique V(r) en intégrant : K est la constante d'intégration. Finalement : Le potentiel n'est pas défini en r = 0 ni en r. b) Cylindre infini chargé surfaciquement La symétrie étant la même on se retrouve avec : Par conséquent : On remarque : VI-4) Distribution volumique a) Champ de gravitation La distribution de masse envisagée dans cet exemple est une boule de rayon a, de masse m o homogène, centrée en 0 origine du repère. - Choix d'un repérage adapté Le repérage sphérique est le mieux adapté à la situation. La distribution de masse est caractérisée par la masse volumique (r): o Pour r > a : (r) = 0 o Pour r < a : (r) = 0 Choix du repérage sphérique - Étude des symétries et des antisymétries Tous les plans qui contiennent 0 et M sont plans de symétrie de la distribution de masse. On en déduit que le champ de gravitation est de la forme : en M - Étude des invariances La distribution de masse est invariante par rotation atour de tous les axes qui passent par 0, on en déduit que : Laurent Pietri ~ 12 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

13 - Choix d'une surface de Gauss et utilisation du théorème Sur la sphère de centre 0 et rayon r, en tout point, on peut déduire le champ de gravitation par symétrie à partir du point M. Le champ de gravitation prend en tout point la même valeur. On choisit comme surface de Gauss donc la sphère de volume V pour appliquer le théorème de Gauss. D'après le théorème de Gauss gravitationnel : b) Champ électrostatique Grâce à l analogie on obtient : c) Potentiel électrostatique On calcule le potentiel électrostatique V(r) en intégrant : et Or le potentiel électrostatique est continu en r=a : VI-5) Champ électrostatique et potentiel créé par un plan chargé VI-5) Champ électrostatique et potentiel créé par un plan chargé a) Distribution volumique - Choix d'un repérage adapté Ici le repérage cartésien est le mieux adapté. Les coordonnées cartésiennes d'un point M de l'espace sont (x,y,z) Plan chargé, repérage cartésien. - Étude des symétries et des antisymétries Tous les plans contenant la droite sont des plans de symétrie de la distribution de charge, donc le champ électrique en M est dirigé selon et s'écrit : - Étude des invariances La distribution de charges est invariante par toute translation selon (Ox) et selon (Oy), donc la valeur du champ électrique ne dépend que de z : Laurent Pietri ~ 13 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

14 Le potentiel électrostatique ne dépend aussi que de z : V (M) = V(z) - Choix d'une surface de Gauss et utilisation du théorème La surface équipotentielle qui passe par M est le plan ), elle n'est par fermée. On construit la surface de Gauss en réunissant une portion 1 de d'aire S o, autour du point M, avec la surface 2, d'aire S o, autour du point M' symétrique de M par rapport à la distribution de charges, car le champ électrique est le symétrique du champ en M, et on ferme la surface par la surface latérale. Le flux du champ électrique à travers lat est nul, car le champ électrique est perpendiculaire à la normale à la surface en tout point. On applique le théorème de Gauss : Or pour Et pour. b) Distribution surfacique La distribution de charges source du champ électrostatique est le plan (0,x,y) chargé uniformément avec une densité surfacique de charges On applique le théorème de Gauss : Surface d'intégration du théorème de Gauss pour le champ d'un plan infini chargé uniformément. On peut retrouver ce résultat à partir du calcul précédent : Laurent Pietri ~ 14 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

15 Donc : On constate que le champ électrique est discontinu au passage de la surface chargée : Cette propriété établie pour un plan chargé est valable pour toute surface chargée. On considère une surface portant une charge surfacique (N, t). On sait qu'au point N, qui appartient à, le champ électrique n'est pas défini. On considère deux points M- et M+ infiniment voisins de N situés de part et d'autre de la surface sur la normale Variation du champ électrique au passage d'une surface chargée. On admet l'expression de la variation du champ électrique entre les points M- et M+, et on retiendra les propriétés de continuité et discontinuité des composantes du champ électrique au passage d'une distribution surfacique de charges, à un instant t : - La composante tangentielle du champ électrique est toujours continue ; - La composante normale est discontinue, si la surface de discontinuité porte des charges surfaciques. - Calcul du potentiel électrostatique On calcule le potentiel électrostatique V (z) en intégrant : Laurent Pietri ~ 15 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy