COURS MA103. Introduction aux équations aux dérivées partielles hyperboliques et à leur discrétisation par différences finies.

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "COURS MA103. Introduction aux équations aux dérivées partielles hyperboliques et à leur discrétisation par différences finies."

Transcription

1 COURS MA103 Introduction aux équations aux dérivées partielles hyperboliques et à leur discrétisation par différences finies Patrick Joly 1

2 Equation aux dérivées partielles : équation dont l inconnue est une fonction de plusieurs variables u(x 1,x 2,,x N ) et qui exprime des relations entre les dérivées partielles de cette fonction: F x, u, (D α u) α p =0. Applications : Les modèles mathématiques à base d EDPs sont omniprésents dans les sciences de l ingénieur : mécanique, physique, économie,... 2

3 Dans les applications à la physique, on distingue les problèmes stationnaires ou les variables sont des variables d espace: x R d u(x) R N des problèmes d évolution où l une des variables est le temps qui joue un rôle particulier (x R d,t 0) u(x, t) R N 3

4 On distingue classiquement trois grandes classes d équations Les équations elliptiques : phénomènes d équilibre Modèle : l équation de Laplace ( Cours MA 201 : Méthode des éléments finis ) Les équations paraboliques : phénomènes de diffusion Modèle : l équation de la chaleur ( Cours MA 206 : Méthode des éléments finis ) Les équations hyperboliques : phénomènes de propagation Modèle : l équation de transport 4

5 Illustration 1 : Diffraction d une onde électromagnétique ε E t + H =0, µ H t + E =0, ( Résultats numériques dûs à Marc Duruflé ) 5

6 Illustration II : Onde acoustique produite par une guitare ρ v t + p =0, 1 K p t + v =0, + interaction fluide-structure ( Résultats numériques dûs à Grégoire Derveaux ) 6

7 Illustration III : Propagation d une onde de choc en mécanique des fluides ρ t + ρ u =0, t t ρ u + ρ u u + p =0, ρ e + ρ e + p =0, p =(γ 1) ρ e ρ u 2 2 ( Résultats numériques dûs à Frédéric Alauzet ) 7

8 8

9 Introduction aux problèmes hyperboliques linéaires 9

10 L équation de transport à coefficients constants Dans ce qui suit c désigne un nombre réel donné. On appelle équation de transport avec vitesse l équation aux dérivées partielles c (E) où la fonction inconnue u = u(x, t) est une fonction à valeurs réelles des deux variables réelles : x R t>0 u t + c u x =0, : la variable d espace : le temps 10

11 Le problème de Cauchy On appelle problème de Cauchy associé à l équation de transport, le problème Trouver u(x, t) :R R + u t + c u x =0, u(x, 0) = u 0 (x), x R. R (P) x R, t > 0 où u 0 (x) est la donnée initiale. 11

12 Notion de solution classique On appelle solution classique de l équation (E) (resp. du problème (P) ), une fonction u C 1 (R R + ) satisfaisant (E) (resp. (P) ) au sens ordinaire, les dérivées étant prises au sens usuel. Remarque: Pour le problème de Cauchy, l existence d une solution classique impose u 0 C 1 (R) 12

13 Solution générale de (E) u x u t Si on introduit u = (E) se réécrit simplement u c 1 =0 1 t Autrement dit la dérivée oblique de du vecteur ( c, 1) t est nulle u c dans la direction x 13

14 Solution générale de (E) En d autres termes, les solutions classiques de l équation de transport sont les fonctions constantes le long des droites (C ) x = X(t), X(t) = c t + x x0 0, x 0 R c est à dire l ensemble des courbes intégrales de l équation différentielle ordinaire dx dt = c. Les droites (C ) x0 sont les droites caractéristiques de l équation de transport. 14

15 Solution générale de (E) Les droites caractéristiques, (C ) x x0, 0 R, forment un fibrage du plan (x, t). t x 15

16 La solution du problème de Cauchy t (x, t) dx dt = c c t x c t x = u(x, t) =u 0 (x c t) 16

17 La solution du problème de Cauchy Théorème : Pour toute donnée initiale u 0 C 1 (R) le problème de Cauchy (P) admet une unique solution classique u C 1 (R R + ) donnée par u(x, t) =u 0 (x c t) u c c t (x, t) = u0 u (x t) c x (x, t) = u0 (x t) 17

18 La solution du problème de Cauchy t u 0 (x) x 18

19 La solution du problème de Cauchy t x t =0 ct u(x, t) t x 19

20 Stabilité du problème de Cauchy L application linéaire S(t) : u 0 C 1 (R) u(,t) C 1 (R) est (déf.) le semi-groupe associé à l équation de transport S(0) = I, donné en l occurence par S(t + s) =S(t) S(s) S(t)u 0 (x) =u 0 (x c t) est continue pour de nombreuses topologies. 20

21 Stabilité du problème de Cauchy Ainsi par invariance de l intégrale (ou du sup) après translation, on a u 0 L p (R) = S(t) L p (R) S(t)u 0 = u 0 Lp Lp u 0 On dit que le problème (P) est bien posé dans L p Lorsque u 0 / C 1 (R), u(,t) := S(t) u 0 une solution faible du problème (P) reste 21

22 Analyse par transformation de Fourier u t + c u x =0 F u(x, t) u(ξ,t) d u dt + i c ξ u =0 u(ξ,t)=u 0 (ξ) e i c ξ t 22

23 Analyse par transformation de Fourier u(ξ,t)=u 0 (ξ) e i c ξ t F S(t) u 0 S(t) u 0 S(t) F u 0 S(t)u 0 S(t)u 0 (ξ) = S(ξ,t) u 0 (ξ), S(ξ,t)=e i c ξ t c S(ξ,t) est le symbole de l opérateur S(t) 23

24 Analyse par transformation de Fourier S(t)u 0 (ξ) = S(ξ,t) u 0 (ξ), S(ξ,t)=e i c ξ t c Rappel u(x) u(ξ) τ a u(x) =u(x + a) e iξa u(ξ) On retrouve S(t)u 0 (x) =u 0 (x c t) 24

25 Analyse par transformation de Fourier S(t)u 0 (ξ) = S(ξ,t) u 0 (ξ), S(ξ,t)=e i c ξ t c S(ξ,t) =1 S(t)u0 (ξ) 2 = u0 (ξ) 2. Après intégration en on déduit : u 0 L 2, ξ, grâce au théorème de Plancherel S(t)u 0 L 2 = u 0 L 2 On retrouve le résultat de stabilité L 2. 25

26 Généralisation aux systèmes Etant donné A L(R N ), on considère le problème (S) Trouver u(x, t) :R R + u t + A u x =0, u(x, 0) = u 0 (x), x R, t > 0 x R. R N On dit que le système (S) est hyperbolique ssi est diagonalisable à valeurs propres réelles. A 26

27 Généralisation aux systèmes Soit P L(R N ) telle que A = P ΛP 1 avec Λ = λ 1 λ λ N Posons v(x, t) :=P 1 u(x, t) v 0 (x) :=P 1 u 0 (x) 27

28 Généralisation aux systèmes On voit que v est solution du système diagonal ( S ) Trouver v(x, t) :R R + v t + Λ v x =0, v(x, 0) = v 0 (x), x R, t > 0 x R. R N ( 1 j N) v j t + λ v j j x =0, x R, t > 0 v j (x, 0) = v 0 j(x), x R. 28

29 Généralisation aux systèmes On a N familles de droites caractéristiques t λ j λ 1 λ 2 λ N v j (x, t) =v 0 j(x λ j t) x 29

30 Généralisation aux systèmes Théorème : Pour toute donnée initiale le problème de Cauchy (S) admet une unique solution classique u C 1 (R R + ) N donnée par u 0 C 1 (R) N u(x, t) =P v(x, t) v j (x, t) =v 0 j(x λ j t) v 0 (x) :=P 1 u 0 (x) 30

31 Approximation par différences finies de l équation de transport Patrick Joly

32 Diffraction d une onde électromagnétique ε E + H =0, t µ H + E =0, t Onde acoustique produite par une guitare ρ 1 K v t + p =0, p t + v =0, On cherche une approximation de la solution des ces équations!!! Discrétisation des équations 1. Principe de la méthode des différences finies 2. Application à l équation de transport 1D : schéma explicite centré 3. Calcul de la solution discrète et vitesse de propagation numérique Question : la solution de l équation discrète (schéma) approche-t-elle la solution de l équation continue? 4. Consistance du schéma 5. Stabilité du schéma 2

33 Principe de la méthode des différences finies t x j = j h x h 3

34 Principe de la méthode des différences finies t t t n = n t x j = j h x u(x j, t n ) u n j 4

35 Principe de la méthode des différences finies Objectif : Construire des approximations de la dérivée d une fonction à l aide de valeurs discrètes de celle-ci, typiquement sur un maillage régulier de pas h>0 On revient à la définition usuelle de la dérivée u (x) := lim h 0 u(x + h) u(x) h pour proposer l approximation décentrée à droite u (x) D + h u(x) :=u(x + h) u(x) h 5

36 Principe de la méthode des différences finies Approximation décentrée à droite u (x) D + h u(x) :=u(x + h) u(x) h x x + h x 6

37 Principe de la méthode des différences finies Approximation décentrée à gauche u (x) D h u(x) :=u(x) u(x h) h x h x x + h x 7

38 Principe de la méthode des différences finies Approximation centrée u (x) D 0 hu(x) := u(x + h) u(x h) 2h x h x x + h x 8

39 Principe de la méthode des différences finies Soit un maillage de pas h>0 et D h un opérateur d approximation aux différences de erreur de troncature la quantité d dx, on appelle ε(x, h) := D h u(x) u (x) L approximation est consistante si, pour u régulière lim h 0 ε(x, h) =0. L approximation est d ordre k N si, ε(x, h) =O(h k ) 9

40 Principe de la méthode des différences finies Un développement de Taylor nous donne θ ]0, 1[ Par conséquent u(x + h) =u(x)+h u (x)+ h2 2 u (x + θh) u(x + h) u(x) h u (x) = h 2 u (x + θh) d`où l estimation ε(x, h) h 2 sup u L approximation décentrée est d ordre 1 10

41 Principe de la méthode des différences finies Dans la pratique, c est la valeur de la dérivée seconde de la fonction qui détermine le choix de h x x + h 11

42 Principe de la méthode des différences finies Pour l approximation centrée, u(x + h) =u(x)+h u (x)+ h2 2 u (x)+ h3 6 u(3) (x + θ + h) u(x h) =u(x) h u (x)+ h2 2 u (x) h3 6 u(3) (x θ h) u(x + h) u(x h) =2h u (x)+ h3 3 u(3) (x + θh) D (0) h u(x) =u (x)+ h2 6 u(3) (x + θh) L approximation centrée est d ordre 2 12

43 Principe de la méthode des différences finies On peut obtenir des approximations plus précises en utilisant plus de points. α 1 α u(x + h) u(x h) 2h u(x +2h) u(x 2h) 4h = u (x)+ h2 6 u(3) (x)+o(h 4 ) = u (x)+4 h2 6 u(3) (x)+o(h 4 ) α u(x + h) u(x h) 2h = u (x)+ α +4(1 α) h α u(x +2h) u(x 2h) 4h 6 u(3) (x)+o(h 4 ) On obtient une approximation d ordre 4 avec α =4/3 13

44 Principe de la méthode des différences finies Représentation symbolique D + h : 1 h 1 1 D h : 1 h 1 1 D (0) h : 1 2h 1 1 D (4) h : 1 12 h

45 Principe de la méthode des différences finies Avec le même principe, on peut approcher des dérivées d ordre supérieur u (x) u (x + h/2) u (x h/2) h u (x + h/2) u(x + h) u(x) h u (x) D 2 hu(x) := u (x h/2) u(x + h) 2u(x)+u(x h) h 2 u(x) u(x h) h x h x x + h 15

46 Principe de la méthode des différences finies u(x + h) =u(x)+h u (x)+ h2 2 u (x)+ h3 6 u(3) (x)+ h4 24 u(4) (x + θ + h) u(x h) =u(x) h u (x)+ h2 2 u (x) h3 6 u(3) (x)+ h4 24 u(4) (x + θ h) u(x + h)+u(x h) =2u(x)+h 2 u (x)+ h4 12 u(4) (x + θh) D 2 hu(x) =u (x)+ h2 12 u(4) (x + θh) θ + ]0, 1[, θ ]0, 1[, θ ] 1, 1[ L approximation est d ordre 2 16

Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. p.4/27. La démarche de l ingénieur mathématicien

Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. p.4/27. La démarche de l ingénieur mathématicien Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. Patrick Joly INRIA-Rocquencourt Exemple: la conduction de la chaleur. Soit un domaine de R N (N =,, 3)

Plus en détail

Simulation numérique, contexte

Simulation numérique, contexte Introduction à la Simulation Numérique Jérémie Gressier Septembre 21 1 / 41 Plan 1 Présentation 2 Différences Finies 3 Intégration d un problème de Cauchy 4 Conclusion 2 / 41 Simulation numérique, contexte

Plus en détail

A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 1 / 52

A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 1 / 52 ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, SOLUTIONS CLASSIQUES. DIFFÉRENCES FINIES. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 1 / 52 PLAN DU COURS 1 FORMULES

Plus en détail

Jean-François Coulombel. CNRS, Université Lille 1 Laboratoire Paul Painlevé (UMR CNRS 8524) Equipe projet SIMPAF - INRIA Lille Nord Europe

Jean-François Coulombel. CNRS, Université Lille 1 Laboratoire Paul Painlevé (UMR CNRS 8524) Equipe projet SIMPAF - INRIA Lille Nord Europe Stabilité des schémas numériques pour les problèmes aux limites hyperboliques Jean-François Coulombel CNRS, Université Lille 1 Laboratoire Paul Painlevé (UMR CNRS 8524) Equipe projet SIMPAF - INRIA Lille

Plus en détail

Stabilité des schémas aux différences finies et analyse de von Neumann

Stabilité des schémas aux différences finies et analyse de von Neumann Stabilité des schémas aux différences finies et analyse de von Neumann I- Schémas d Euler explicite/implicite pour l équation de la chaleur, étude de stabilité en " (µ > 0) u 0 à support compact " [#R,R],

Plus en détail

Résumé du cours d Analyse Numérique du Professeur Marco Picasso

Résumé du cours d Analyse Numérique du Professeur Marco Picasso Résumé du cours d Analyse Numérique du Professeur Marco Picasso jean-eloi.lombard@epfl.c 19 juillet 2007 Table des matières 1 Problèmes d interpolation 3 2 Dérivation Numérique 3 2.1 Dérivées numériques

Plus en détail

Chap. 6 : Problèmes de Sturm-Liouville

Chap. 6 : Problèmes de Sturm-Liouville Chap. 6 : Problèmes de Sturm-Liouville Jean-Philippe Lessard Dépt. de mathématiques et de statistique Université Laval, Québec, Canada 4 novembre 2014 Introduction Espaces de fonctions et produits scalaires

Plus en détail

Equation différentielles

Equation différentielles Equation différentielles 1 Introduction La résolution numerique des équatins différentielles est très importante car les problèmes n ont pas de solution analytiques. De nombreux problèmes de mécanique

Plus en détail

Calcul d écoulements par méthode Vortex

Calcul d écoulements par méthode Vortex Calcul d écoulements par méthode Vortex Jérémie Gressier mars 2007 1/42 incompressible Bilan de masse Bilan de quantité de mouvement div(ρv) = 0 V t + div(v V) = g 1 ( gradp + div ν ) gradv ρ si la viscosité

Plus en détail

AMéthode de parallélisation en temps: Application aux méthodes de décomposition de domaine

AMéthode de parallélisation en temps: Application aux méthodes de décomposition de domaine 1/17 AMéthode de parallélisation en temps: Application aux méthodes de décomposition de domaine Rim Guetat sous la direction de M. Yvon Maday Laboratoire Jacques Lious Lions Université Pierre et Marie

Plus en détail

Résolution pratique des équations aux dérivées partielles. David Manceau

Résolution pratique des équations aux dérivées partielles. David Manceau Résolution pratique des équations aux dérivées partielles David Manceau 2 TABLE DES MATIÈRES 3 Table des matières Introduction 7 1 Exemples classiques d e.d.p. 9 1.1 Modélisation, mise en équation........................

Plus en détail

( ) dx t dt. ( ) B( t) Le principe de la résolution se base sur la diagonalisation de la matrice A ou à défaut sa trigonalisation.

( ) dx t dt. ( ) B( t) Le principe de la résolution se base sur la diagonalisation de la matrice A ou à défaut sa trigonalisation. Equations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants (ou système d équation différentielles linéaires scalaire à coefficients constants du premier ordre) dx t dt B( t) + AX t x

Plus en détail

Analyse Numérique Equations différentielles ordinaires

Analyse Numérique Equations différentielles ordinaires 1 Master Mathématiques et Applications 1ère année Aix-Marseille Université Année 2010-2011 Analyse Numérique Equations différentielles ordinaires Exercice 1 Résoudre les équations différentielles suivantes

Plus en détail

Étude de nouvelles stratégies de couplage latéral dans les modèles régionaux de prévision numérique du temps

Étude de nouvelles stratégies de couplage latéral dans les modèles régionaux de prévision numérique du temps Étude de nouvelles stratégies de couplage latéral dans les modèles régionaux de prévision numérique du temps Fabrice Voitus CNRM/GAME, Météo-France 2 Mars 29 F. Voitus (Météo-France) Rencontres Météo/MathAppli

Plus en détail

Feuille TD n 1 : Calcul approché

Feuille TD n 1 : Calcul approché Feuille TD n : Calcul approché Exercice. Convertir (.) 2 en hexadécimal, octal et décimal. Exercice 2. Proposer une méthode pour éviter la perte de précision dans les calculs suivants :. e x sin(x) cos(x)

Plus en détail

Université Paris-Dauphine Ceremade. Introduction aux méthodes particulaires. François BOLLEY

Université Paris-Dauphine Ceremade. Introduction aux méthodes particulaires. François BOLLEY Université Paris-Dauphine Ceremade o Introduction aux méthodes particulaires o François BOLLEY I - Les équations d Euler incompressibles : modèle macroscopique, particules déterministes II - L équation

Plus en détail

Résumé de cours: Calcul différentiel. 13 novembre 2009

Résumé de cours: Calcul différentiel. 13 novembre 2009 CPGE My Youssef, Rabat «Å ««É ««É ««««º««È ««ö ««««É ««Å ««««««Â «Å ««««««ã : 13 novembre 2009 Blague du jour Pendant une conférence de presse tenue à la Maison Blanche, le président George W.Bush accuse

Plus en détail

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S I Notion de continuité 1) Fonctions continues Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Remarques : On dit que f est continue en a si lim f(x) = f(a) On dit que f est

Plus en détail

Portail des étudiants d'économie Mathématiques Ch. 3 : Limites et Dérivées. On appellera voisinage d un réel a tout intervalle ouvert contenant a.

Portail des étudiants d'économie Mathématiques Ch. 3 : Limites et Dérivées. On appellera voisinage d un réel a tout intervalle ouvert contenant a. (*) WWW.SEGBM.NET 1 Portail des étudiants d'économie Mathématiques Ch. 3 : Limites et Dérivées 1 Notion de limites 1.1 Voisinages On appellera voisinage d un réel a tout intervalle ouvert contenant a.

Plus en détail

CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. + (puisque α n est pas entier) απ α 2 n 2 cos(nx). Maintenant, g est de classe C 1 par morceaux.

CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. + (puisque α n est pas entier) απ α 2 n 2 cos(nx). Maintenant, g est de classe C 1 par morceaux. SESSION CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES Préliminaire - Quand t tend vers, ft) t t t =. Par suite, f est prolongeable par continuité en. f étant d autre part continue / sur ], ], f est intégrable

Plus en détail

2.1 Rappels sur la convergence dans les espaces topologiques. Lemme (Axiome du choix) Pour tout ensemble non vide X il existe une fonction :

2.1 Rappels sur la convergence dans les espaces topologiques. Lemme (Axiome du choix) Pour tout ensemble non vide X il existe une fonction : Chapitre 2 Opérateurs bornés 2.1 Rappels sur la convergence dans les espaces topologiques 2.1.1 Relations d ordre Soit une relation d ordre sur un ensemble X. Si Y X on définit les majorants (resp. minorants)

Plus en détail

NF04 Modélisation numérique des problèmes de l ingénieur

NF04 Modélisation numérique des problèmes de l ingénieur NF04 Modélisation numérique des problèmes de l ingénieur Intervenants : E. Lefrançois (4988) : resp. UV M. Rachik A. Rassineux NF04 - Automne - UTC 1 En quelques mots Fournir des outils dédiés pour la

Plus en détail

EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS. 1 x 2 si x < 1. ϕ(x) = 0 si x 1 2

EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS. 1 x 2 si x < 1. ϕ(x) = 0 si x 1 2 Université Chouaib Doukkali Faculté des Sciences Département de Mathématiques El Jadida A. Lesfari lesfariahmed@yahoo.fr http://lesfari.com EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS Eercice. Soit ϕ : R R définie

Plus en détail

On s intéresse à la modélisation, l étude mathématique et la simulation numérique d un aspect particulier de la circulation sanguine : le pouls.

On s intéresse à la modélisation, l étude mathématique et la simulation numérique d un aspect particulier de la circulation sanguine : le pouls. Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option B : calcul scientifique (public 2008) AVOIR LES ONDES DANS LE SANG Résumé : On s intéresse à la modélisation et au calcul

Plus en détail

Analyse numérique Exercices corrigés

Analyse numérique Exercices corrigés Université Sultan Moulay Slimane 9- Module : Analyse numérique par S. Melliani & L. S. Chadli Analyse numérique Exercices corrigés Interpolation polynômiale Exercice Déterminer le polynôme d interpolation

Plus en détail

Interpolation polynomiale. 1. Interpolation de Lagrange

Interpolation polynomiale. 1. Interpolation de Lagrange Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES Interpolation polynomiale 1. Interpolation de Lagrange 1.1. Base de Lagrange Soit x 0, x 1,...,x n n + 1 réels donnés distincts. On définit n + 1 polynômes l i pour

Plus en détail

Schéma d Euler explicite

Schéma d Euler explicite Schéma d Euler explicite Définition Étant donnés un pas de temps t et une suite d instants t n = t + n t n N, le schéma d Euler explicite associé à l équation différentielle du dt = ft, u, où f est une

Plus en détail

Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch,

Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch, Un peu d histoire La notion de dérivée a vu le jour au XVII e siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui la définit comme «le quotient ultime de deux accroissements évanescents».

Plus en détail

1.2 Notions de conductivité et de conservation

1.2 Notions de conductivité et de conservation Modélisation d un phénomène de diffusion J. Erhel Janvier 2014 1 Phénomène de diffusion voir http://www.breves-de-maths.fr/la-conduction-un-moteur-universel/ 1.1 Exemples de diffusion Le phénomène de diffusion

Plus en détail

SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS PERFORMANCES DES SYSTEMES ASSERVIS

SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS PERFORMANCES DES SYSTEMES ASSERVIS YTM LINAIR CONTINU INVARIANT tabilité des systèmes asservis PRFORMANC D YTM ARVI. Notion de stabilité La stabilité est communément reconnue comme étant associée à la notion d équilibre : Prenons les deux

Plus en détail

Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES

Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES Mathématiques 2 1 Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES Question 1 Un circuit électrique : exemple de système non linéaire Montrer que les lois de Kirchhoff (la somme des intensités arrivant

Plus en détail

Leçons d analyse et probabilités

Leçons d analyse et probabilités Leçons d analyse et probabilités 201 : Étude de suites numériques définies par différents types de récurrence. Applications. 202 : Séries à termes réels positifs. Applications. 203 : Séries à termes réels

Plus en détail

Mathématiques 2 1 MATHÉMATIQUES 2

Mathématiques 2 1 MATHÉMATIQUES 2 Mathématiques 2 1 MATHÉMATIQUES 2 Organisation du cours Responsables Daniel Verwaerde et Pascal Laurent Équipe enseignante : Boussad Mammeri (ECP), Olivier Dubois (EDF), Patrick Erhard (EDF), Pascal Joly

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL Chapitre 15 : FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/2014 1 Objets du calcul différentiel du premier ordre 2 1.1 Dérivées partielles et gradient..................................

Plus en détail

K. BADDARI A. ABASSOV

K. BADDARI A. ABASSOV K. BADDARI A. ABASSOV Ce livre formalise le lien entre le caractère mathématique et certains phénomènes physiques correspondants. Il décrit l approche des phénomènes physiques par les équations de la physique

Plus en détail

Analyse numérique. et optimisation. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique. Grégoire Allaire.

Analyse numérique. et optimisation. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique. Grégoire Allaire. Analyse numérique et optimisation Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique Grégoire Allaire c^'qv, Table des matières INTRODUCTION A LA MODÉLISATION MATHÉMATIQUE ET

Plus en détail

1. Sur un schéma représentez la force gravitationnelle exercée par la Terre (masse M T ) sur un satellite S (masse m S ) situé à la distance r de son

1. Sur un schéma représentez la force gravitationnelle exercée par la Terre (masse M T ) sur un satellite S (masse m S ) situé à la distance r de son Physique TC 1 Correction 1. Sur un schéma représentez la force gravitationnelle exercée par la Terre (masse M T ) sur un satellite S (masse m S ) situé à la distance r de son centre. 2. Proposer une expression

Plus en détail

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui Chapitre 6 : CONTINUITE - DERIVATION 1. CONTINUITE 1. 1 Continuité en un point Définition Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct des bornes de I)

Plus en détail

Calcul déterministe du prix des options asiatiques

Calcul déterministe du prix des options asiatiques Exposé Premia, ENPC, 11 février 2004. Calcul déterministe du prix des options asiatiques François Dubois et Tony Lelièvre 1) Introduction 2) Modélisation mathématique 3) Cas d une volatilité nulle 4) Un

Plus en détail

Examen terminal (Éléments de correction)

Examen terminal (Éléments de correction) Université Rennes mardi 5 mars 23 Intégration géométrique des équations différentielles Master 2 Mathématiques (P. Chartier, G. Vilmart) (Analyse et Applications) Examen terminal (Éléments de correction)

Plus en détail

Ondes monochromatiques

Ondes monochromatiques Ondes monochromatiques Les ondes progressives ne sont, en générale, pas périodiques, ni en temps ni en espace Idée importante en analyse d onde: Toute fonction périodique T peut se décomposer en une somme

Plus en détail

Développements limités de fonctions réelles

Développements limités de fonctions réelles Développements limités de fonctions réelles Denis Vekemans 1 Définitions - propriétés Soit n N et P une fonction réelle polynomiale de degré inférieur ou égal à n. La fonction réelle f admet P comme développement

Plus en détail

Transformation de Fourier

Transformation de Fourier Chapitre 9 Transformation de Fourier La transformation de Fourier décompose une fonction à valeurs complexes de plusieurs variables réelles en ondes planes. Il s agit donc d une extension de la théorie

Plus en détail

Formules de Taylor. Applications.

Formules de Taylor. Applications. CAPES 27 Décembre 27 Oral Analyse Formules de Taylor. Applications. Remarques Le niveau naturel de cette leçon est celui du Deug. Pré-requis. Continuité, dérivabilité, inégalité des accroissements finis,

Plus en détail

THERMODYNAMIQUE-DIFFUSION

THERMODYNAMIQUE-DIFFUSION Spé y 3-4 Devoir n THERMODYNAMIQUE-DIFFUSION On étudie la compression ou la détente d un ga enfermé dans un récipient. Lorsque le bouchon se déplace, le volume V occupé par le ga varie. L atmosphère est

Plus en détail

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités Chapitre 5 Généralités sur les fonctions numériques 5.1 Généralités Définition 5.1 Une fonction numérique permet d associer à chaque nombre x d un ensemble D un autre nombre que l on note f(x). On note

Plus en détail

Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables:

Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables: Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables: N. Tsouli University Mohamed I Faculty of Sciences Department of Mathematics Oujda, Morocco. Plan 1 I-Dérivées partielles : 2 II-7- Dérivées d ordre

Plus en détail

Chapitre 4 : Méthode des moindres carrés

Chapitre 4 : Méthode des moindres carrés Chapitre 4 : Méthode des moindres carrés Table des matières 1 Introduction 2 11 Généralités 2 12 Notion de modèle et de regression linéaire multiple 2 2 Critère des moindres carrés - formulation 2 21 Critère

Plus en détail

Brevet de technicien supérieur 12 mai 2016 Systèmes numériques

Brevet de technicien supérieur 12 mai 2016 Systèmes numériques Brevet de technicien supérieur 12 mai 216 Systèmes numériques A. P. M. E. P. Exercice 1 8 points On considère un filtre analogique de type passe bas du premier ordre utilisé dans de nombreux modules électroniques.

Plus en détail

Schéma de Talezer - une discussion

Schéma de Talezer - une discussion Schéma de Talezer - une discussion Marc Duruflé September 13, 2006 1 Ecriture du schéma La technique de Talezer [Tal-Ezer, 1986] s applique a la résolution de l équation différentielle : du = AU + F(t)

Plus en détail

Université de Metz. Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL

Université de Metz. Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL Université de Metz Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL par Ralph Chill Laboratoire de Mathématiques et Applications de Metz Année 2010/11 1 Table des matières Chapitre

Plus en détail

FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Lycée Thiers FX 24 - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES EDL - 1 Soit n N. Résoudre sur ], + [ l équation différentielle 2t + = t n. Résoudre sur R l équation différentielle ch (t) + sh (t) = 1 1 + t 2. Soit I un

Plus en détail

Concours d accès au cycle de préparation à l agrégation de Mathématiques

Concours d accès au cycle de préparation à l agrégation de Mathématiques Concours d accès au cycle de préparation à l agrégation de Mathématiques Session Février 2014 Épreuve d algèbre et de géométrie Durée 4 heures Le sujet comporte 5 pages, en plus de cette page de garde.

Plus en détail

ENSTA - COURS MS 204 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS

ENSTA - COURS MS 204 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS ENSTA - COURS MS 204 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS Amphi 6 RAPPEL Mise en ligne des documents : PC 5 : Les fichiers.m matlab dont le corrigé : TD5d.m: http://www.ensta-paristech.fr/

Plus en détail

QU EST-CE QU UNE ÉQUATION?

QU EST-CE QU UNE ÉQUATION? QU EST-CE QU UNE ÉQUATION? GILLES LACHAUD paru dans Notions, Encyclopædia Universalis, 2004 Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques. C est donc une formule, une relation de la

Plus en détail

Programme Pédagogique Groupe M : Mathématiques Premier Cycle

Programme Pédagogique Groupe M : Mathématiques Premier Cycle Programme Pédagogique Groupe M : Mathématiques Premier Cycle Responsable : Marc Parenthoën Juin 2002 Résumé Ce document rassemble les informations sur le programme proposé par l équipe pédagogique du premier

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Sommaire Sommaire I Applications continûment différentiables............... 2 I.1 Applications coordonnées......................... 2 I.2 Applications partielles........................... 2 I.3 Continuité..................................

Plus en détail

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne

Plus en détail

TD9. ENS Cachan M1 Hadamard Exercice 1 Opérateurs compacts et extraction de sous-suites

TD9. ENS Cachan M1 Hadamard Exercice 1 Opérateurs compacts et extraction de sous-suites Analyse fonctionnelle A. Leclaire ENS Cachan M1 Hadamard 2016-2017 TD9 Exercice 1 Opérateurs compacts et extraction de sous-suites Soient E,F deux espaces de Banach. On note B la boule unité fermée de

Plus en détail

CI 2 SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS

CI 2 SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS CI 2 SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS CHAPITRE 5 ÉTUDE DES SYSTÈMES FONDAMENTAUX DU SECOND ORDRE Amortisseur d un véhicule automobile Schématisation du mécanisme

Plus en détail

Plan du cours. Introduction. Thierry CHATEAU. 11 avril 2011

Plan du cours. Introduction. Thierry CHATEAU. 11 avril 2011 du cours compensation de pôles PID Numérique Placement de pôles (RST) /précision 11 avril 2011 Modèle bloqué d'une fonction de transfert Signaux discrêt Echantillonnage AuroFC2U1 AuroFC2U2 AuroFC3U1 AuroFC3U2

Plus en détail

De la marche aléatoire persistante vers le processus du télégraphe.

De la marche aléatoire persistante vers le processus du télégraphe. De la marche aléatoire persistante vers le processus du télégraphe. Cénac, Chauvin, Herrmann, Vallois Université de Bourgogne 28 mars 2012 Cénac, Chauvin, Herrmann, Vallois () Université de Bourgogne,

Plus en détail

(exemple texte session 2006)

(exemple texte session 2006) Agrégation externe de mathématiques, session 2007 Épreuve de modélisation, option (exemple texte session 2006) Résumé : On se propose ici de modéliser le trafic routier en identifiant chaque véhicule à

Plus en détail

Introduction aux méthodes numériques

Introduction aux méthodes numériques Franck Jedrzejewski Introduction aux méthodes numériques Springer Table des matières Introduction 11 1 Problèmes numériques 15 1.1 Erreurs et précision 15 1.2 Convergence et stabilité 17 1.3 Accélération

Plus en détail

Méthodes de résolution des équations. différentielle linéaire, est :

Méthodes de résolution des équations. différentielle linéaire, est : Méthodes de résolution des équations différentielles linéaires Table des matières 1 Résolution d équations différentielles du 1er ordre 1 1.1 Equations différentielles linéaires sans second membre.......................

Plus en détail

CCP 2002 PC Maths 1 page 1. CONCOURS COMMUNS POLYTECHNlQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures

CCP 2002 PC Maths 1 page 1. CONCOURS COMMUNS POLYTECHNlQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures CCP 2002 PC Maths 1 page 1 SESSION 2002 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNlQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attachera

Plus en détail

BTS domotique 1 -Équations différentielles

BTS domotique 1 -Équations différentielles BTS domotique -Équations différentielles Premier ordre 4. Déterminer la solution ϕ de l équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale ϕ() =. Exercice BTS (E) : y 2y = xε x où y est une

Plus en détail

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle Maths PCSI Exercices Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle 1 Aspects locaux 1 + x 1 x si x 0 Exercice 1 Etudier la dérivabilité en 0 de x x 1 sinon Exercice 2 Dériver x 1 + 2 + x. Recommencer,

Plus en détail

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction On dit qu une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est définie sur I et admet en chaque point de I un nombre dérivé.

Plus en détail

Objectifs d apprentissage du chapitre 1 Physique et mécaniques, analyse dimensionnelle et ordres de grandeur

Objectifs d apprentissage du chapitre 1 Physique et mécaniques, analyse dimensionnelle et ordres de grandeur Objectifs d apprentissage du chapitre 1 Physique et mécaniques, analyse dimensionnelle et ordres de grandeur Principes de la démarche scientifique Cadre d étude de la physique Définition des mécaniques

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

Cours de Mathématiques Continuité, dérivabilité, convexité

Cours de Mathématiques Continuité, dérivabilité, convexité Table des matières I Continuité....................................... 2 I.1 Continuité en un point............................ 2 I.2 Propriétés................................... 3 I.3 Continuité sur

Plus en détail

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles Mathématiques - ECS 6 Dérivation et accroissements finis. Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris 78000 Versailles c 06, Polycopié du cours de mathématiques de première année. 6 Dérivation et accroissements

Plus en détail

Dérivabilité des fonctions réelles

Dérivabilité des fonctions réelles Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d étudier les variations d une fonction, de construire des tangentes à une courbe

Plus en détail

Dérivées partielles, différentielle, fonctions de classe C 1

Dérivées partielles, différentielle, fonctions de classe C 1 Chapitre 3 Dérivées partielles, différentielle, fonctions de classe C 1 Le but de ce chapitre est de généraliser la notion de dérivée pour une fonction f de plusieurs variables. L objectif est évidemment

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées SESSION 2015 MPMA206 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 Durée : heures N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Plus en détail

Corrigé MATHS I Résultats préliminaires. Filière MP

Corrigé MATHS I Résultats préliminaires. Filière MP MATHS I 28 Corrigé Filière MP I Résultats préliminaires 1 On considère l application ψ : 2 définie par : ψ(x, y) = x + iy, (x, y) 2. 1.a. 1.b. 1.c. ψ est une application linéaire et transforme la base

Plus en détail

Analyse numérique : Approximation de fonctions

Analyse numérique : Approximation de fonctions Analyse numérique : Approximation de fonctions Pagora 1A Chapitre 3 29 janvier - 1er février 2013 Analyse numérique (Pagora 1A) Approximation de fonctions 29/01/13-1/02/13 1 / 64 Plan 1 Introduction 2

Plus en détail

Chapitre II Oscillations libres amorties des systèmes à un seul degré

Chapitre II Oscillations libres amorties des systèmes à un seul degré Chapitre II Oscillations libres amorties des systèmes à un seul degré de liberté 1. Introduction : Oscillations libres amortis des mouvements oscillatoires dont l amplitude diminue au cours du temps jusqu

Plus en détail

TD 3: Suites réelles

TD 3: Suites réelles Université Pierre et Marie Curie Année 2011/2012 LM115 TD 3: Suites réelles MIME Convergence des suites : Par définition, une suite (u n ) converge vers un réel l si : Pour tout ɛ réel strictement positif,

Plus en détail

Intérpolations polynômials des fonctions numériques

Intérpolations polynômials des fonctions numériques Intérpolations polynômials des fonctions numériques 6 mars 2016 Introduction Approximation de fonctions Soit une fonctio n f(inconnue explicitement) Connue seulement en certains points x 0,x 1,,x n Ou

Plus en détail

Méthodes itératives pour la solution d un système linéaire

Méthodes itératives pour la solution d un système linéaire Méthodes itératives pour la solution d un système linéaire Stéphane Canu et Gilles Gasso {stephane.canu, gilles.gasso}@litislab.eu ASI 3 - Calcul numérique pour l ingénieur November 19, 2016 Plan 1 Principe

Plus en détail

Performances des SLCI

Performances des SLCI Fichier : _SLCI_performances. Définitions.. Stabilité Il existe plusieurs définition de la stabilité : Pour une entrée e(t) constante, la sortie s(t) du système doit tendre vers une constante. Un système

Plus en détail

Partie 1 : de la notion de stabilité

Partie 1 : de la notion de stabilité vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 1/21 Théorie de Lyapunov pour les Σ autonomes Partie 1 : de la notion de stabilité Vincent MAHOUT Le coupable...sergei Milkhailovich Lyapunov vincent.mahout@insa-toulouse.fr

Plus en détail

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours Analyse re année IUT GEA Notes de cours Jean-Marie Favreau Année 200 20 Remarque : l introduction de ce cours, présentée en quelques minutes, de manière interactive, permet de placer quelques rappels simples,

Plus en détail

Cours 3. Algorithmes d optimisation sous contraintes

Cours 3. Algorithmes d optimisation sous contraintes Cours 3. Algorithmes d optimisation sous contraintes A. Désilles 2 octobre 2015 A. Désilles Cours 3. Algorithmes d optimisation sous contraintes 2 octobre 2015 1 / 19 Resume Résumé 1 Problème d optimisation

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 Université de Rennes1 Année 2006/2007 Outils Mathématiques 4 Continuité et différentiabilité résumé 1 Continuité Soient V 1 = (x 1, y 1 ) R 2 et V 2 = (x 2, y 2 ) R 2. On va toujours utiliser la norme

Plus en détail

Chap.3 Circulation du champ électrostatique Potentiel, et énergie potentielle électrostatique

Chap.3 Circulation du champ électrostatique Potentiel, et énergie potentielle électrostatique Chap.3 Circulation du champ électrostatique Potentiel, et énergie potentielle électrostatique 1. Notions de gradient, et de circulation d un champ vectoriel 1.1. Gradient d un champ scalaire 1.2. Circulation

Plus en détail

Équations différentielles - Cours no 2 Résultats Généraux sur les équations différentielles

Équations différentielles - Cours no 2 Résultats Généraux sur les équations différentielles Équations différentielles - Cours no 2 Résultats Généraux sur les équations différentielles 1 Problème de Cauchy Cadre : I intervalle ouvert de R, Ω ouvert connexe d un espace de Banach E, f application

Plus en détail

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Définitions et premières propriétés Définition. Développement limité Soient f une fonction définie au voisinage de a R (éventuellement non définie en a) et n N. On dit que f possède

Plus en détail

Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007

Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007 Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007 Corrigé en janvier 2009 Rapidité de convergence d une suite réelle L objectif de ce texte est de se donner des outils pour «mesurer» la rapidité

Plus en détail

Équation des ondes. Agrégation de mathématiques Calcul scientifique. mars 2012 Benjamin Boutin. Université de Rennes 1

Équation des ondes. Agrégation de mathématiques Calcul scientifique. mars 2012 Benjamin Boutin. Université de Rennes 1 Équation des ondes Agrégation de mathématiques Calcul scientifique mars 1 Benamin Boutin Université de Rennes 1 Il est question dans ces notes de l équation des ondes linéaire homogène, en dimension un

Plus en détail

Stabilité d une mesure invariante

Stabilité d une mesure invariante Stabilité d une mesure invariante Anne-Sophie de Suzzoni UCP 26 mars 2013 Mesures de Gibbs et équilibre En physique statistique, l équilibre thermodynamique correspond à maximiser l entropie d un système

Plus en détail

Modèles mathématiques fondamentaux pour la mécanique

Modèles mathématiques fondamentaux pour la mécanique MASTÈRE DE MÉCANIQUE NUMÉRIQUE Modèles mathématiques fondamentaux pour la mécanique Jean-Antoine DÉSIDÉRI desideri@sophia.inria.fr 9 novembre 1999 Remerciements Ce document rassemble un ensemble de notes

Plus en détail

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Université Paris I, Panthéon - Sorbonne Licence M.A.S.S. 1-13 Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Jean-Marc Bardet (Université Paris 1, SAMM) Email: bardet@univ-paris1.fr Page oueb: http://samm.univ-paris1.fr/-jean-marc-bardet-

Plus en détail

p = A cos(kx ωt). (1.2)

p = A cos(kx ωt). (1.2) 1 1. Séries de Fourier 1. Introduction En physique, on rencontre souvent des problèmes faisant intervenir des vibrations ou des oscillations. La vibration d un diapason est un exemple de mouvement harmonique

Plus en détail

Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis

Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis F. Pigeonneau Surface du Verre et Interfaces, UMR 125 CNRS/Saint-Gobain, France Plan 1. Introduction 2. Quelques équations

Plus en détail

Etude d équations intervenant en optique non linéaire

Etude d équations intervenant en optique non linéaire Equations aux dérivées partielles/partial Differential Equations (Analyse mathématique/mathematical Analysis) Etude d équations intervenant en optique non linéaire Brigitte BIDEGARAY Résumé - On étudie

Plus en détail

Section III de l annexe III de l arrêté modifié du 13 juin 2003 fixant les modalités des concours d accès aux écoles vétérinaires

Section III de l annexe III de l arrêté modifié du 13 juin 2003 fixant les modalités des concours d accès aux écoles vétérinaires Section III de l annexe III de l arrêté modifié du 13 juin 2003 fixant les modalités des concours d accès aux écoles vétérinaires PROGRAMME DE MATHEMATIQUES CONCOURS B ENV 1. ANALYSE Le programme d analyse

Plus en détail

TRANSFORMATION DE FOURIER (Corrigé des exercices )

TRANSFORMATION DE FOURIER (Corrigé des exercices ) RANSFORMAION DE FOURIER Corrigé des exercices. Déterminer les transformées de Fourier des fonctions : a t I [,] t, bt sin t,ct e t /,dt t π +t 2. [ ] e a FI [,] tν e 2it 2it dt e 2iπ ν e 2iπ ν sin2. 2i

Plus en détail