COURS MA103. Introduction aux équations aux dérivées partielles hyperboliques et à leur discrétisation par différences finies.

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1 COURS MA103 Introduction aux équations aux dérivées partielles hyperboliques et à leur discrétisation par différences finies Patrick Joly 1

2 Equation aux dérivées partielles : équation dont l inconnue est une fonction de plusieurs variables u(x 1,x 2,,x N ) et qui exprime des relations entre les dérivées partielles de cette fonction: F x, u, (D α u) α p =0. Applications : Les modèles mathématiques à base d EDPs sont omniprésents dans les sciences de l ingénieur : mécanique, physique, économie,... 2

3 Dans les applications à la physique, on distingue les problèmes stationnaires ou les variables sont des variables d espace: x R d u(x) R N des problèmes d évolution où l une des variables est le temps qui joue un rôle particulier (x R d,t 0) u(x, t) R N 3

4 On distingue classiquement trois grandes classes d équations Les équations elliptiques : phénomènes d équilibre Modèle : l équation de Laplace ( Cours MA 201 : Méthode des éléments finis ) Les équations paraboliques : phénomènes de diffusion Modèle : l équation de la chaleur ( Cours MA 206 : Méthode des éléments finis ) Les équations hyperboliques : phénomènes de propagation Modèle : l équation de transport 4

5 Illustration 1 : Diffraction d une onde électromagnétique ε E t + H =0, µ H t + E =0, ( Résultats numériques dûs à Marc Duruflé ) 5

6 Illustration II : Onde acoustique produite par une guitare ρ v t + p =0, 1 K p t + v =0, + interaction fluide-structure ( Résultats numériques dûs à Grégoire Derveaux ) 6

7 Illustration III : Propagation d une onde de choc en mécanique des fluides ρ t + ρ u =0, t t ρ u + ρ u u + p =0, ρ e + ρ e + p =0, p =(γ 1) ρ e ρ u 2 2 ( Résultats numériques dûs à Frédéric Alauzet ) 7

8 8

9 Introduction aux problèmes hyperboliques linéaires 9

10 L équation de transport à coefficients constants Dans ce qui suit c désigne un nombre réel donné. On appelle équation de transport avec vitesse l équation aux dérivées partielles c (E) où la fonction inconnue u = u(x, t) est une fonction à valeurs réelles des deux variables réelles : x R t>0 u t + c u x =0, : la variable d espace : le temps 10

11 Le problème de Cauchy On appelle problème de Cauchy associé à l équation de transport, le problème Trouver u(x, t) :R R + u t + c u x =0, u(x, 0) = u 0 (x), x R. R (P) x R, t > 0 où u 0 (x) est la donnée initiale. 11

12 Notion de solution classique On appelle solution classique de l équation (E) (resp. du problème (P) ), une fonction u C 1 (R R + ) satisfaisant (E) (resp. (P) ) au sens ordinaire, les dérivées étant prises au sens usuel. Remarque: Pour le problème de Cauchy, l existence d une solution classique impose u 0 C 1 (R) 12

13 Solution générale de (E) u x u t Si on introduit u = (E) se réécrit simplement u c 1 =0 1 t Autrement dit la dérivée oblique de du vecteur ( c, 1) t est nulle u c dans la direction x 13

14 Solution générale de (E) En d autres termes, les solutions classiques de l équation de transport sont les fonctions constantes le long des droites (C ) x = X(t), X(t) = c t + x x0 0, x 0 R c est à dire l ensemble des courbes intégrales de l équation différentielle ordinaire dx dt = c. Les droites (C ) x0 sont les droites caractéristiques de l équation de transport. 14

15 Solution générale de (E) Les droites caractéristiques, (C ) x x0, 0 R, forment un fibrage du plan (x, t). t x 15

16 La solution du problème de Cauchy t (x, t) dx dt = c c t x c t x = u(x, t) =u 0 (x c t) 16

17 La solution du problème de Cauchy Théorème : Pour toute donnée initiale u 0 C 1 (R) le problème de Cauchy (P) admet une unique solution classique u C 1 (R R + ) donnée par u(x, t) =u 0 (x c t) u c c t (x, t) = u0 u (x t) c x (x, t) = u0 (x t) 17

18 La solution du problème de Cauchy t u 0 (x) x 18

19 La solution du problème de Cauchy t x t =0 ct u(x, t) t x 19

20 Stabilité du problème de Cauchy L application linéaire S(t) : u 0 C 1 (R) u(,t) C 1 (R) est (déf.) le semi-groupe associé à l équation de transport S(0) = I, donné en l occurence par S(t + s) =S(t) S(s) S(t)u 0 (x) =u 0 (x c t) est continue pour de nombreuses topologies. 20

21 Stabilité du problème de Cauchy Ainsi par invariance de l intégrale (ou du sup) après translation, on a u 0 L p (R) = S(t) L p (R) S(t)u 0 = u 0 Lp Lp u 0 On dit que le problème (P) est bien posé dans L p Lorsque u 0 / C 1 (R), u(,t) := S(t) u 0 une solution faible du problème (P) reste 21

22 Analyse par transformation de Fourier u t + c u x =0 F u(x, t) u(ξ,t) d u dt + i c ξ u =0 u(ξ,t)=u 0 (ξ) e i c ξ t 22

23 Analyse par transformation de Fourier u(ξ,t)=u 0 (ξ) e i c ξ t F S(t) u 0 S(t) u 0 S(t) F u 0 S(t)u 0 S(t)u 0 (ξ) = S(ξ,t) u 0 (ξ), S(ξ,t)=e i c ξ t c S(ξ,t) est le symbole de l opérateur S(t) 23

24 Analyse par transformation de Fourier S(t)u 0 (ξ) = S(ξ,t) u 0 (ξ), S(ξ,t)=e i c ξ t c Rappel u(x) u(ξ) τ a u(x) =u(x + a) e iξa u(ξ) On retrouve S(t)u 0 (x) =u 0 (x c t) 24

25 Analyse par transformation de Fourier S(t)u 0 (ξ) = S(ξ,t) u 0 (ξ), S(ξ,t)=e i c ξ t c S(ξ,t) =1 S(t)u0 (ξ) 2 = u0 (ξ) 2. Après intégration en on déduit : u 0 L 2, ξ, grâce au théorème de Plancherel S(t)u 0 L 2 = u 0 L 2 On retrouve le résultat de stabilité L 2. 25

26 Généralisation aux systèmes Etant donné A L(R N ), on considère le problème (S) Trouver u(x, t) :R R + u t + A u x =0, u(x, 0) = u 0 (x), x R, t > 0 x R. R N On dit que le système (S) est hyperbolique ssi est diagonalisable à valeurs propres réelles. A 26

27 Généralisation aux systèmes Soit P L(R N ) telle que A = P ΛP 1 avec Λ = λ 1 λ λ N Posons v(x, t) :=P 1 u(x, t) v 0 (x) :=P 1 u 0 (x) 27

28 Généralisation aux systèmes On voit que v est solution du système diagonal ( S ) Trouver v(x, t) :R R + v t + Λ v x =0, v(x, 0) = v 0 (x), x R, t > 0 x R. R N ( 1 j N) v j t + λ v j j x =0, x R, t > 0 v j (x, 0) = v 0 j(x), x R. 28

29 Généralisation aux systèmes On a N familles de droites caractéristiques t λ j λ 1 λ 2 λ N v j (x, t) =v 0 j(x λ j t) x 29

30 Généralisation aux systèmes Théorème : Pour toute donnée initiale le problème de Cauchy (S) admet une unique solution classique u C 1 (R R + ) N donnée par u 0 C 1 (R) N u(x, t) =P v(x, t) v j (x, t) =v 0 j(x λ j t) v 0 (x) :=P 1 u 0 (x) 30

31 Approximation par différences finies de l équation de transport Patrick Joly

32 Diffraction d une onde électromagnétique ε E + H =0, t µ H + E =0, t Onde acoustique produite par une guitare ρ 1 K v t + p =0, p t + v =0, On cherche une approximation de la solution des ces équations!!! Discrétisation des équations 1. Principe de la méthode des différences finies 2. Application à l équation de transport 1D : schéma explicite centré 3. Calcul de la solution discrète et vitesse de propagation numérique Question : la solution de l équation discrète (schéma) approche-t-elle la solution de l équation continue? 4. Consistance du schéma 5. Stabilité du schéma 2

33 Principe de la méthode des différences finies t x j = j h x h 3

34 Principe de la méthode des différences finies t t t n = n t x j = j h x u(x j, t n ) u n j 4

35 Principe de la méthode des différences finies Objectif : Construire des approximations de la dérivée d une fonction à l aide de valeurs discrètes de celle-ci, typiquement sur un maillage régulier de pas h>0 On revient à la définition usuelle de la dérivée u (x) := lim h 0 u(x + h) u(x) h pour proposer l approximation décentrée à droite u (x) D + h u(x) :=u(x + h) u(x) h 5

36 Principe de la méthode des différences finies Approximation décentrée à droite u (x) D + h u(x) :=u(x + h) u(x) h x x + h x 6

37 Principe de la méthode des différences finies Approximation décentrée à gauche u (x) D h u(x) :=u(x) u(x h) h x h x x + h x 7

38 Principe de la méthode des différences finies Approximation centrée u (x) D 0 hu(x) := u(x + h) u(x h) 2h x h x x + h x 8

39 Principe de la méthode des différences finies Soit un maillage de pas h>0 et D h un opérateur d approximation aux différences de erreur de troncature la quantité d dx, on appelle ε(x, h) := D h u(x) u (x) L approximation est consistante si, pour u régulière lim h 0 ε(x, h) =0. L approximation est d ordre k N si, ε(x, h) =O(h k ) 9

40 Principe de la méthode des différences finies Un développement de Taylor nous donne θ ]0, 1[ Par conséquent u(x + h) =u(x)+h u (x)+ h2 2 u (x + θh) u(x + h) u(x) h u (x) = h 2 u (x + θh) d`où l estimation ε(x, h) h 2 sup u L approximation décentrée est d ordre 1 10

41 Principe de la méthode des différences finies Dans la pratique, c est la valeur de la dérivée seconde de la fonction qui détermine le choix de h x x + h 11

42 Principe de la méthode des différences finies Pour l approximation centrée, u(x + h) =u(x)+h u (x)+ h2 2 u (x)+ h3 6 u(3) (x + θ + h) u(x h) =u(x) h u (x)+ h2 2 u (x) h3 6 u(3) (x θ h) u(x + h) u(x h) =2h u (x)+ h3 3 u(3) (x + θh) D (0) h u(x) =u (x)+ h2 6 u(3) (x + θh) L approximation centrée est d ordre 2 12

43 Principe de la méthode des différences finies On peut obtenir des approximations plus précises en utilisant plus de points. α 1 α u(x + h) u(x h) 2h u(x +2h) u(x 2h) 4h = u (x)+ h2 6 u(3) (x)+o(h 4 ) = u (x)+4 h2 6 u(3) (x)+o(h 4 ) α u(x + h) u(x h) 2h = u (x)+ α +4(1 α) h α u(x +2h) u(x 2h) 4h 6 u(3) (x)+o(h 4 ) On obtient une approximation d ordre 4 avec α =4/3 13

44 Principe de la méthode des différences finies Représentation symbolique D + h : 1 h 1 1 D h : 1 h 1 1 D (0) h : 1 2h 1 1 D (4) h : 1 12 h

45 Principe de la méthode des différences finies Avec le même principe, on peut approcher des dérivées d ordre supérieur u (x) u (x + h/2) u (x h/2) h u (x + h/2) u(x + h) u(x) h u (x) D 2 hu(x) := u (x h/2) u(x + h) 2u(x)+u(x h) h 2 u(x) u(x h) h x h x x + h 15

46 Principe de la méthode des différences finies u(x + h) =u(x)+h u (x)+ h2 2 u (x)+ h3 6 u(3) (x)+ h4 24 u(4) (x + θ + h) u(x h) =u(x) h u (x)+ h2 2 u (x) h3 6 u(3) (x)+ h4 24 u(4) (x + θ h) u(x + h)+u(x h) =2u(x)+h 2 u (x)+ h4 12 u(4) (x + θh) D 2 hu(x) =u (x)+ h2 12 u(4) (x + θh) θ + ]0, 1[, θ ]0, 1[, θ ] 1, 1[ L approximation est d ordre 2 16

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