Table des matières. 1. Différentielle d une fonction d une variable

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1 DIFFÉRENTIELLE TOTALE EXACTE OLIVIER CASTÉRA Résumé. Définition et conditions d obtention d une différentielle totale exacte. Table des matières 1. Différentielle d une fonction d une variable 1 2. Différentielle d une fonction de deux variables 3 3. Conditions d obtention d une différentielle Cas des fonctions de deux variables Cas des fonctions de trois variables Facteur intégrant 7 1. Différentielle d une fonction d une variable Définition 1.1. Dérivée La dérivée au point (f(a),a) de la fonction f est définie par : f (a) = lim h 0 f(a+h) f(a) (a+h) a Ladérivée d unefonctionenunpointest unnombre. C est lerapport de la hauteur f(a+h) f(a) sur la largeur h. C est donc la tangente de l angle que fait la tangente à la fonction f au point (f(a),a) avec l horizontale. Définition 1.2. Différentielle La différentielle au point (f(a),a) de la fonction f est définie par : df(a) = f (a) h où la notation d de Leibniz signifie différentielle ou petite différence. En physique, l expression différentielle totale exacte n est autre que la différentielle que l on rencontre en mathématiques. La différence de valeur d une fonctionpassant du point a aupoint infiniment proche a+h n est pas égale à la différentielle de cette fonction. Date: 27 octobre

2 2 OLIVIER CASTÉRA Il faut ajouter les termes infinitésimaux d ordre supérieur à un : f(a+h) f(a) = hf (a)+hǫ(h) = df(a)+hǫ(h) où ǫ est une fonction de h qui tend vers zéro quand h tend vers zéro. df(a) est la partie linéaire en h de l accroissement de la fonction f entre les points a et a+h, c est à dire l approximation linéaire d ordre un de la fonction f au point a lorsque h tend vers zéro : f(a+h) f(a)+df(a) f(x) f(a+h) df(a) f(a) O a a+h x Figure 1. Différentielle df(a) de la fonction f au point a On vérifie que l on a bien, et que, f (a) = df(a) dx f(a+h) f(a) df(a)

3 DIFFÉRENTIELLE TOTALE EXACTE 3 2. Différentielle d une fonction de deux variables Soit f(x,y) une fonction des deux variables indépendantes x et y, alors : df(x,y) = lim h 0 f(x+h,y +h) f(x,y) h où f f(x+h,y +h) f(x,y +h)+f(x,y +h) f(x,y) = lim h 0 h f(x+h,y +h) f(x,y+h) = lim h 0 et f = f f dx+ dy h +lim h 0 f(x,y +h) f(x,y) h sont les composantes du champ de vecteur gradient gradf. 3. Conditions d obtention d une différentielle 3.1. Cas des fonctions de deux variables. Soit V(x,y) un champ de vecteur. On peut lui associer la forme différentielle suivante : V x (x,y)dx+v y (x,y)dy Cette forme différentielle est dite totale, car pour chacune des variables x et y de V apparaît l élément différentiel correspondant, dx et dy. Cette forme différentielle est-elle exacte, autrement dit, est-elle la différentielle d une fonction 1? Soit g(x,y) cette fonction, alors il faut et il suffit que : V x (x,y) = g(x,y) V y (x,y) = g(x,y) Par conséquent, il faut et il suffit que le champ de vecteur V(x,y) soit le gradient de la fonction g(x,y) : V(x,y) = gradg(x,y) Si c est effectivement le cas, alors la forme différentielle constitue une différentielle (dite totale exacte en thermodynamique), et, V x (x,y)dx+v y (x,y)dy = dg(x,y) Théorème 3.1. Condition de Schwarz Une condition nécessaire et suffisante pour que la forme différentielle V x (x,y)dx+v y (x,y)dy soit une différentielle (totale exacte) est : V y(x,y) 1. Michel Hulin, Thermodynamique, édition Dunod 1994.

4 4 OLIVIER CASTÉRA Démonstration. Soit dg(x, y) la différentielle (totale exacte) cherchée, montrons dans un premier temps que : V x (x,y)dx+v y (x,y)dy = dg(x,y) V x(x,y) Nous avons, dg(x,y) = g(x,y) dx+ g(x,y) dy = V x (x,y)dx+v y (x,y)dy V y(x,y) Les variables x et y étant indépendantes, on peut égaler les coefficients respectifs qui sont devant les différentielles dx et dy, Par conséquent, V x (x,y) = g(x,y) V y (x,y) = g(x,y) V y (x,y) = 2 g(x,y) = 2 g(x,y) Si les dérivées partielles du second ordre de g(x, y) sont continues, alors l ordre de dérivation n importe pas : Montrons maintenant que, Posons : V y(x,y) 2 g(x,y) g(x,y) g(x 1,y 1 ) = = 2 g(x,y) = V y(x,y) V x (x,y)dx+v y (x,y)dy = dg(x,y) = (x,y) (x 1,y 1 ) (x,y) (x 1,y 1 ) dg(x, y) [V x (x,y)dx+v y (x,y)dy] Si la condition(1) est vérifiée, alors l intégrale ne dépend pas du chemin suivi. Pour le démontrer, nous avons besoin du théorème de Green : Théorème 3.2. Théorème de Green Soit D est un domaine fermé du plan xy limité par une courbe simple (1)

5 DIFFÉRENTIELLE TOTALE EXACTE 5 fermée C. Si M(x,y) et N(x,y) sont des fonctions continues de x et y ayant des dérivées continues dans D, alors, ( N (Mdx+Ndy) = M ) dxdy C où C est parcourue dans le sens trigonométrique. Le théorème de Green ne sera pas démontré. En appliquant ce théorème pour V x = M et V y = N, nous avons : ( Vy (V x dx+v y dy) = C D V ) x dxdy (V x dx+v y dy) ABCDA (V x dx+v y dy)+ (V x dx+v y dy) ABC CDA (V x dx+v y dy) = (V x dx+v y dy) ABC D ADC l intégrale pour aller de A à C est donc indépendante du chemin suivi. Par conséquent, d où, et, g(x,y) g(x 1,y 1 ) = g(x, y) g(x, y) (x,y1 ) (x 1,y 1 ) [V x (x,y)dx+v y (x,y)dy] + (x,y) (x,y 1 ) y x = V x (x,y 1 )dx+ x 1 = [ x V x (x,y 1 )dx+ x 1 = V y (x,y) [V x (x,y)dx+v y (x,y)dy] y 1 V y (x,y)dy ] V y (x,y)dy y 1 y = [ x y ] V x (x,y 1 )dx+ V y (x,y)dy x 1 y 1 y V y (x,y) = V x (x,y 1 )+ dy y 1 y = V x (x,y 1 )+ dy y 1 = V x (x,y 1 )+V x (x,y) V x (x,y 1 ) = V x (x,y)

6 6 OLIVIER CASTÉRA La forme différentielle est donc une différentielle totale : V x (x,y)dx+v y (x,y)dy = g(x,y) = dg(x,y) dx+ g(x,y) dy 3.2. Cas des fonctions de trois variables. Pour que la forme différentielle V x (x,y,z)dx+v y (x,y,z)dy+v z (x,y,z)dz soit une d.t.e., il faut et il suffit que : V x (x,y,z) = h(x,y,z) V y (x,y,z) = h(x,y,z) V z (x,y,z) = h(x,y,z) z autrement dit, il faut et il suffit que le vecteur V(x,y,z) soit le gradient de la fonction h(x,y,z) : V(x,y,z) = gradh(x,y,z) Théorème 3.3. Condition de Schwarz Une condition nécessaire et suffisante pour que la forme différentielle V x (x,y,z)dx+v y (x,y,z)dy+v z (x,y,z)dz soit une différentielle (totale exacte) est : V z (x,y,z) V y(x,y,z) z V x (x,y,z) z V y (x,y,z) V z(x,y,z) V x(x,y,z) On notera que le rotationnel de V(x,y,z) est nul : rotv(x,y,z) Ce théorème permet de comprendre pourquoi le champ de vecteur V(x, y, z) ayant trois coordonnées peut s écrire à l aide du gradient d un unique scalaire h. Il faut que ses trois coordonnées soient reliées entre elles par les trois relations précédentes. C est cette dépendance des coordonnées qui est utilisée pour écrire V(x,y,z) sous la forme d un gradient.

7 DIFFÉRENTIELLE TOTALE EXACTE Facteur intégrant. Soit un champ de vecteurs V(x,y,z) tel que rotv(x,y,z) 0. La forme différentielle qui lui est associée, V x (x,y,z)dx+v y (x,y,z)dy+v z (x,y,z)dz n est donc pas une différentielle (totale exacte). Existe-t-il une fonction scalaire µ(x,y,z) telle que V/µ soit le gradient d une fonction, et par conséquent telle que, V x µ dx+ V y µ dy + V z µ dz soit une d.t.e.? Si tel est le cas nous dirons que µ est un facteur intégrant pour la forme différentielle initiale. V/µ est le gradient d une fonction ssi son rotationnel est nul : d où, rot V µ = 1 rotv+ grad µ rotv = µ grad ( 1 µ ) V ( ) 1 V µ ce qui implique que rotv est perpendiculaire à V : V rotv Cette relation constitue une condition nécessaire et suffisante à l existence d une fonction qui soit un facteur intégrant Remarque 1. Pour les champs de vecteurs V(x,y) à deux dimensions, nous avons : V V x(x,y) V y (x,y) 0 rotv 0 0 V y(x,y) Vx(x,y) Par conséquent il existe toujours un facteur intégrant pour les champs de vecteurs à deux dimensions Remarque 2. Soit un champ de vecteur V(x,y,z) tel que sa forme différentielle, V x (x,y,z)dx+v y (x,y,z)dy+v z (x,y,z)dz ne soit pas une différentielle (totale exacte). Si l on a pu lui associer un facteur intégrant µ, nous avons : V µ = gradf(x,y,z)

8 8 OLIVIER CASTÉRA soit encore, df = V x µ dx+ V y µ dy + V z µ dz Soit g(x,y,z) une fonction de la fonction f(x,y,z) : g = F(f) dg df = F dg = F df = V xf µ dx+ V yf µ dy + V zf µ dz A partir du facteur intégrant µ on trouve la d.t.e. df, puis à partir de celle-ci on trouve f. On contruit une fonction F de f, que l on dérive. On obtient ainsi une famille de facteurs intégrants µ/f de la forme différentielle de départ. address: o.castera@free.fr URL: