Composants logiques et opérateurs matériels

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1 omposants logques et opérateurs matérels par Danel ETIEMBLE Professeur à l Unversté Pars Sud INTRODUTION... 2 INFORMATION Dualté état et temps uantté d'nformaton et codage de l'nformaton Représentaton des nombres ALGÈBRE DE BOOLE ET FONTIONS BOOLÉENNES PROPRIÉTÉS OPÉRATEURS NAND ET NOR FONTIONS BOOLÉENNES SYNTHÈSE DE FONTIONS OMBINATOIRES LA LOGIUE ANARHIUE LA LOGIUE STRUTURÉE LA LOGIUE EN TRANHES LES OPÉRATEURS ARITHMÉTIUES LES ADDITIONNEURS UNITÉ ARITHMÉTIUE ET LOGIUE LES MULTIPLIEURS BASULES BISTABLE BASULE RS BASULE LATH REGISTRES BASULE D BASULES DÉRIVÉES DE LA BASULE D OMPTEURS ET AUTOMATES SYNHRONES LES OMPTEURS LES AUTOMATES UN EXEMPLE D AUTOMATE SYNHRONE TEHNOLOGIE ET IRUITS LOGIUES INTRODUTION TEHNOLOGIES MOS IMPLANTATION MATÉRIELLE DES OPÉRATEURS LES TYPES DE RÉALISATION LES RÉSEAUX LOGIUES PROGRAMMABLES POINTS MÉMOIRE ET MÉMOIRE RAM LOGIUE STATIUE ET LOGIUE DYNAMIUE POINTS MÉMOIRE MÉMOIRES RAM... 6 RÉFÉRENES... 64

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3 INTRODUTION Le cours omposants logques et opérateurs matérels présente les dfférents opérateurs de calcul et de mémorsaton que l on trouve dans les systèmes électronques complexes, et notamment dans les ordnateurs. La caractérstque essentelle de ces opérateurs est de travaller sur des données quantfées (numérques ou dgtales) n utlsant que les valeurs ou, par opposton aux crcuts et opérateurs analogques qu travallent sur des données contnues. Les éléments d algèbre de Boole que nous présentons consttuent les fondements mathématques nécessares au tratement des nformatons quantfées, et à la réalsaton des dfférents opérateurs matérels qu réalsent ce tratement. Les portes logques (composants logques de base) sont assocées aux dfférents opérateurs de l algèbre de Boole. Les méthodes de synthèse de fonctons combnatores permettent de réalser des opérateurs de tratement plus complexes, comme les décodeurs, les multplexeurs, les addtonneurs, les untés arthmétques et logques, les multpleurs... à partr des opérateurs matérels fondamentaux, qu vont des portes logques aux opérateurs unversels comme les ROM, les réseaux logques programmables (PLA, PAL...). Les bascules, réalsées à partr des portes logques élémentares, sont les éléments fondamentaux permettant de mémorser et de modfer l nformaton. Ils permettent de consttuer les regstres d une part, et de réalser les automates nécessare au contrôle des processeurs et d un grand nombre de structures matérelles. Les compteurs ne sont qu un cas partculer de ces automates. La connassance des technques de réalsaton des mémores à accès aléatore (RAM) permet de comprendre certanes caractérstques, notamment les temps d accès et la capacté de mémorsaton. Les mémores statques utlsent un prncpe de mémorsaton logque, dentque à celu des bascules utlsées pour les regstres. Les mémores dynamques utlsent un prncpe de mémorsaton fondé sur des prncpes électrques (charge et décharge de condensateurs), qu nécesstent mons de place pour stocker chaque bt, mas mplquent un rafraîchssement pérodque de l nformaton et un temps de cycle au mons double du temps d accès. S les crcuts logques ne connassent que les valeurs et, ls sont néanmons mplantés avec des crcuts électronques utlsant des courants et des tensons qu sont des grandeurs contnues. Le paragraphe technologe et crcuts logques montre comment les composants logques sont mplantés avec des transstors MOS. S le fonctonnement de ces transstors est n est que grossèrement modélsé sous forme d nterrupteurs, la présentaton permet cependant au lecteur de fare la transton entre le monde logque des et des, et le monde de la technologe des crcuts ntégrés. Nous soulgnons l mportance crossante des réseaux logques programmables, qu offrent une technque rapde et relatvement peu coûteuse de réalsaton de crcuts ntégrés à côté des méthodes plus tradtonnelles (optmsés à la demande). Les technques présentées dans ce chaptre ont pour but de permettre au lecteur de concevor des opérateurs matérels d une part, et de comprendre pour les utlser au meux les logcels de AO pour la concepton logque qu sont assocées mantenant à toutes les méthodes de concepton de crcuts ntégrés. Janver 24

4 2 INFORMATION 2. Dualté état et temps La noton d'nformaton correspond à la connassance d'un état donné parm pluseurs possbles à un nstant donné. La Fgure llustre cette noton avec un sgnal électrque. Te n s o n HAUT BAS Référence haute Référence basse t t 2 temps Fgure.- Informaton : état et temps. Elle montre qu l y a deux états sgnfcatfs, l état bas lorsque la tenson est nféreure à une référence basse, et un état haut lorsque la tenson est supéreure à une référence haute. Le trosème état, stué entre les références basse et haute, ne peut être utlsé comme support d nformaton. Pour qu l y at nformaton, l faut précser l nstant auquel on regarde l état du sgnal. : par exemple, en t le sgnal est haut et en t2, le sgnal est bas. 2.2 uantté d'nformaton et codage de l'nformaton L nformaton est mesurable, avec une unté qu s appelle le bt. La formule I (bts) = log2(n) où N est le nombre d'états possbles donne la quantté d'nformaton. Un bt correspond donc à la connassance d un état parm deux. Par exemple, la connassance d un état parm 8 correspond à une quantté d nformaton de I = log2 (8) = 3 bts. Les 8 états possbles sont repérés à l'ade de 3 chffres bnares (ayant l'un des deux états possbles ou ), comme le montre la Table : Représentaton de hut états dfférents. La quantté d nformaton exprmée en bts étant égale au nombre de chffres bnares correspondants, les chffres bnares sont appelés bts. État X2 X X Table : Représentaton de hut états dfférents Un mot de n bts correspond à n bts d'nformaton, pusqu'l correspond à une confguraton parm 2 n. Mas, l faut précser à quo correspondent les 2 n confguratons. En effet, le mot de n bts peut représenter une nstructon machne ou un opérande, qu peut être un nombre ou un caractère. Nous présentons brèvement le codage ou représentaton des nombres et des caractères. Avant d ntrodure les codages des nombres et des caractères, l est utle d'ntrodure la notaton hexadécmale, qu n'est pas un codage de l'nformaton, mas une manère smplfée d'écrre des nombres bnares. Un nombre bnare de n bts peut être écrt à l'ade de n/4 chffres hexadécmaux s n est multple de 4 (ou n/4 + snon) en remplaçant chaque groupe de 4 chffres bnares, en partant des pods fables, par le chffre hexadécmal correspondant (Table 2). 2.3 Représentaton des nombres La Fgure 2 représente un mot de n bts. 2 Janver 24

5 n- n-2 Fgure 2.- Mot de n bts hffre hexadécmal d 3 d 2 d d A B D E F Table 2 : Notaton hexadécmale 2.3. Les enters postfs Un mot de n bts peut représenter tous les nombres postfs comprs entre et 2 n -. d étant le chffre bnare de rang, un mot de n bts correspond au nombre enter décmal N = n = d 2. Avec un octet, on peut donc représenter tous les enters postfs entre et 255. Un mot de 32 bts permet de représenter tous les enters postfs entre et Les enters sgnés La représentaton des enters sgnés pose un problème lé au zéro. En effet, l y a un nombre par de confguratons assocées à n bts, à répartr entre nombres postfs, nombres négatfs et la valeur. Il y a pluseurs représentatons possbles des enters sgnés. Dans toutes les confguratons, les nombres postfs sont représentés de la même manère, correspondant à la représentaton des enters postfs sur n- bts, avec dn- =. Le bt de pods fort dn- est appelé le bt de sgne : l est à pour les nombres postfs. a) Valeur absolue et sgne Dans cette représentaton, le bt n- est le bt de sgne, et les bts à n-2 donnent la valeur absolue. Un n 2 mot de n bts correspond au nombre enter décmal sgné N = d n ( ). d 2, sot N = n 2 d 2 quand le bt de sgne est à et n 2 = d 2 lorsque le bt de sgne est à zéro. Un octet permet de représenter les enters sgnés comprs entre -27 et Il y a deux représentatons possbles du zéro, qu sont 2 (+) et 2 (-). Un mot de 32 bts permet de représenter tous les enters sgnés comprs entre -(2 3 -) et 2 3 -, avec toujours deux zéros. b) Enters sgnés en complément à Dans la représentaton en complément à, le nombre négatf -N est obtenu en remplaçant chaque chffre bnare d du nombre postf N par le complément d. (cf. l'opératon complément de l'algèbre de Boole en 3.) : les bts sont remplacés par des et récproquement. Un octet permet de représenter tous les enters sgnés comprs entre -27 (2) et +27 (2), avec deux zéros qu sont 2 (+) et 2 (-). c) Enters sgnés en complément à 2 = = 3 Janver 24

6 Dans la représentaton en complément à 2, un nombre est représenté par N = - an-2 n- + n 2 a 2 =. L écrture en complément à 2 correspond donc à la stuaton où le bt de pods fort est de pods négatf. La Table 3 donne l'ensemble des nombres en complément à 2 avec des mots de 3 bts d 2 d d N Table 3 : Nombres en complément à 2 sur 3 bts Un mot de n bts permet de représenter tous les enters sgnés comprs entre -2 n- et 2 n- -. Il y a mantenant une seule représentaton de (qu est le postf). Avec un octet, on représente les enters sgnés entre -28 (2) et +27 (2). La représentaton en complément à 2 d'un nombre négatf peut être obtenue à partr de la représentaton en complément à, à laquelle on ajoute +. d) la représentaton excès N. L excès N est chos de manère à ce que la somme de l excès et du nombre ne sot jamas négatve. ette somme est représentée comme un nombre postf normal. La représentaton en complément à 2 est la plus couramment utlsée pour l arthmétque sur les nombres enters. Elle a l avantage de ne pas ntrodure de tratement partculer pour le sgne dans le cas des addtons et des soustractons, et de permettre une détecton facle des cas de débordement. Les représentatons en sgne-valeur absolue et en complément à un ont des opératons arthmétques plus complexes. Elles ont auss l nconvénent d avor deux représentatons de zéro. La représentaton sgne-valeur absolue est utlsée pour la multplcaton des mantsses des nombres flottants. La représentaton excès N est utlsée pour les exposants des nombres flottants. Elle permet de ramener la comparason d exposants de sgne contrare à des comparasons d enters postfs Représentaton dte «flottante» La représentaton dte "flottante" a pour but de permettre de représenter une approxmaton des nombres réels, en permettant une dfférence non constante entre deux nombres représentés successfs. Dans cette représentaton, un nombre est caractérsé par son sgne, sa mantsse et son exposant qu est assocé à une base : +/- m.b e. En numératon décmale,,5 x 5 est un exemple de nombre "flottant". En machne, la base B utlsée est 2. Dans la norme IEEE 754 qu est la plus utlsée mantenant, la mantsse, exprmée en sgne et valeur absolue, est,f où est mplcte et f est la parte fractonnare, correspondant aux pussances successves de 2 -. L exposant est exprmé en code excès N. La Fgure 3 présente la représentaton flottante double précson, sur 64 bts, qu est la plus couramment utlsée. La parte exposant donne sur bts la valeur de l exposant en code excès 23. La parte fractonnare a 52 bts. Le bt 63 donne le sgne de la parte fractonnare. Le nombre flottant double précson correspond à (-) sgne x (,ff2...f52) x 2 (E-23) La norme flottante IEEE 754 permet de représenter les nombres normalsés (bts de E dfférents de tous à ou tous à ), les nombres dénormalsés (E tous à et parte fractonnare non nulle), la valeur zéro (E tous à et parte fractonnare nulle), l nfn (E tous à et parte fractonnare nulle) et des caractères spécaux (Not a number lorsque les bts de E sont tous à et la parte fractonnare est dfférente de ). En représentaton double précson, la mantsse m est comprse entre lorsque tous les bts f à f52 sont à et lorsque tous les bts f à f52 sont à. Le champ exposant E est comprs entre et 246 pour les nombres normalsés. ompte tenu de l'excès 23, l'exposant réel est donc comprs entre -22 et Le plus pett nombre postf normalsé représentable est donc 2-22 et le plus grand est vosn de 2 x 2 23 sot Janver 24

7 S E f f52 sgne exposant parte fractonnare Fgure 3.- Format flottant double précson. La représentaton smple précson sur 32 bts a bt de sgne, 8 bts de parte exposant (avec excès +27) et 23 bts pour la parte fractonnare Représentaton des nombres décmaux Un certan nombre d'applcatons, notamment en geston, exgent des calculs décmaux exacts, sans arronds, ce qu mplque de travaller avec des nombres décmaux. En effet, avec un nombre fxé de bts, l est mpossble de convertr de manère exacte des nombres bnares en nombres décmaux et récproquement. On utlse alors la représentaton décmale codée bnare, dans laquelle chaque chffre décmal est codé avec 4 chffres bnares, selon la Table 4. ette représentaton utlse unquement les chffres décmaux de la notaton hexadécmale. 2.4 Représentaton des caractères La représentaton des caractères est fondamentale. Les lettres de l'alphabet latn et un certan nombre de caractères usuels sont représentés par un octet, selon un code qu est le plus souvent le code ASII. Par exemple, dans ce code, la lettre a est représentée par 2 et le chffre 9 par 2. hffre décmal d 3 d 2 d d Table 4.- Décmal codé bnare 5 Janver 24

8 3 ALGÈBRE DE BOOLE ET FONTIONS BOOLÉENNES 3. PROPRIÉTÉS L algèbre de Boole est défne sur l'ensemble E2 consttué des éléments {,}. Il exste une relaton d'ordre <, et tros opératons de base. La complémentaton, défne en Table 5 est une applcaton de E2 sur E2. Les opératons unon (Table 6, gauche) appelée encore ou, max et qu est notée +, et ntersecton (Table 6, drote) appelée encore et, mn, qu est notée. sont des applcatons de E 2 X E 2 -> x x Table 5 : complémentaton x y S x y S Table 6 : Unon, +, ou, max Intersecton,., et, mn Pour tout a, b, c E2, les proprétés suvantes sont vérfées : ) est l'élément mnmum, est l'élément maxmum a. = a car mn (a,) = a a+ = a car max (a,) = a a. = a+ = 2) complément : a. a = car mn (,) = a + a = car max (,) = 3) ommutatvté a.b = b.a a+b = b+a car les fonctons mn et max sont commutatves 4) Assocatvté a.(b.c) = (a.b).c= a.b.c a+(b+c) = (a+b)+c= a+b+c car les fonctons mn et max sont assocatves 5) Dstrbutvté a.(b+c) = a.b+a.c a+(b.c) = (a+b).(a+c) 6) THÉORÈME DE MORGAN a.b = a + b a +b = a.b La Table 7 consttue une démonstraton de ce théorème. a b a b a.b a.b a+b a + b a.b a +b Table 7 : théorème de Morgan 6 Janver 24

9 3.2 OPÉRATEURS NAND ET NOR Les opérateurs NAND et NOR ont la défnton suvante. NAND (a, b) = a.b = a + b NOR (a,b) = a +b = a.b es opérateurs sont fonctonnellement complets : avec un de ces opérateurs, on peut mplanter les fonctons complément, mn et max de l algèbre de Boole. La démonstraton pour l opérateur NAND est la suvante : x = x. = x.x x. y =. x. y x+y=. x..y La Fgure 4 donne la représentaton symbolque des dfférents opérateurs, sous forme de portes logques. L nverseur (NOT) correspond à la foncton complémentaton. Les autres portes ont le même nom que les fonctons logques correspondantes. NOT ET OU NAND NOR Fgure 4 : Opérateurs logques. La Fgure 5 donne les deux représentatons graphques du théorème de Morgan. Fgure 5 : Représentaton graphque du théorème de Morgan Les portes logques que nous avons présentées travallent sur les valeurs logques et. Elles supposent un fonctonnement nstantané, c est à dre un retard nul entre entrée et sortes. es portes sont mplantées avec des crcuts électrques, qu travallent sur des varables contnues. Il y a toujours un retard entre entrée et sorte. Nous présentons en 7 (Technologe et crcuts logques) la manère de réalser les dfférentes portes avec des transstors. Il est mportant de soulgner que toutes les proprétés de l algèbre de Boole ne sont pas toujours vérfées avec les crcuts réels. Les deux proprétés a. a = et a + a = ne sont pas toujours vérfées. La Fgure 6 montre qu à cause des temps de retard entre l entrée et la sorte d un nverseur, l y a deux pérodes pendant lesquelles les deux relatons ne sont pas vérfées : c est le cas lorsque E = E. ette stuaton correspond à ce que l on appelle un aléa. Les sgnaux des crcuts physques ne sont donc valdes que lorsque les los de l algèbre de Boole sont vérfées, c est à dre en dehors des aléas. S=E E S=E E E=E E=E Fgure 6 : Les aléas lés aux temps de retard dans un nverseur 3.3 FONTIONS BOOLÉENNES Dans le cas général, les fonctons booléennes sont une applcaton de E x Ej x Ek..x Ep -> E2 où E = {,, 2,...,-}. Les varables d entrée ont un nombre fn de valeurs entères. La Table 8 donne la table 7 Janver 24

10 de vérté d une foncton booléenne pour laquelle la varable x est bnare et la varable y est ternare (3 états possbles). x y S 2 2 Table 8 : Exemple de foncton booléenne omme les fonctons utlsées pratquement ont des varables d entrée de même nature que les varables de sorte, on se restrent au cas partculer des fonctons booléennes applcatons de E x 2 E2 x E2...x E2 -> E2. La Table 9 donne l exemple d une telle foncton de deux varables x et y. ette manère de représenter une foncton booléenne est appelée table de vérté. Les tables de vérté llustrent les deux problèmes rencontrés lors du tratement d une foncton booléenne : l faut être capable de repérer une entrée de la table, et l faut être capable d assocer une valeur de la foncton à chaque entrée de la table. x y S m m m 2 m 3 Table 9 : Exemple de foncton booléenne de deux varables. Il exste dfférentes manères d'exprmer une foncton booléenne Forme dsjonctve normale A chaque entrée de la table, on assoce une varable bnare m appelée terme produt (mnterm).. m est assocé à la lgne, m est assocé à la lgne, etc. m = s x = ET y =, sot x = ET y =, sot x. y = et m = x.y On repère de cette manère chaque lgne de la Table. x y m m m2 m3 Table : Termes produt Pour une table de vérté à deux entrées, les termes produt sont : m = x.y m = x. y m 2 = x.y m 3 = x.y Un terme produt est donc consttué de l'ntersecton (et) de toutes les varables d'entrées, complémentées s leur valeur est, non complémentées s leur valeur est. Pus, à chaque terme produt m, on assoce la valeur S de la foncton booléenne S (Table ). ec peut être réalsé sous la forme d une unon de produts, de la manère suvante : S = m.s + m.s + m2.s2 + m3.s3. Pour une confguraton d entrée, un seul terme m est égal à et tous les autres sont à. On a donc automatquement S = m.s = S pour le terme produt m à. n peut remarquer que les valeurs de la foncton (S=) ne contrbuent pas à l expresson de S (car m. =, et est absorbé dans l unon logque). On remarque d autre part que lorsque S=, on a m.s = 8 Janver 24

11 m. On peut en dédure la règle pratque suvante, qu donne la forme dsjonctve normale d une foncton booléenne : la forme dsjonctve normale d une foncton booléenne est obtenue par unon logque des termes produts pour lesquels la foncton a pour valeur. x y S m S m S m2 S2 m3 S3 Table : Termes produt et sortes x y m m m2 m3 m+m2 S Table 2 : Exemple de foncton S = s m = ou s m 2 =, sot m + m 2 = ==> S = m + m 2 sot S = x.y + x. y On peut utlser cette proprété de la forme dsjonctve normale pour remplacer la table de vérté par une forme plus condensée de représentaton. Une foncton peut être représentée sous la forme f= m(lste des termes produt pour lesquels la fonton est égale à ). Par exemple, la foncton de la Table 9 s écrra f= m(,2). Sot l exemple de la Table 2, qu utlse la foncton de la Table 9: La foncton partculère que nous avons prse comme exemple s'appelle OU exclusf et se note. Son schéma logque est donné en Fgure 7. Fgure 7 : Porte logque Ou exclusf L mplémentaton de la foncton Ou exclusf sous forme de Ou de Et qu résulte de la forme dsjonctve normale est présentée en Fgure 8. x S y Fgure 8 : Ou exclusf résultant de la forme dsjonctve Forme NAND de NAND. La forme dsjonctve normale peut se transformer en forme NAND de NAND, par applcaton du théorème de Morgan. La Fgure 9 l llustre graphquement. La forme dsjonctve normale se transforme automatquement en forme NAND de NAND en remplaçant les portes Et par des portes NAND et les portes Ou par des portes NAND Forme conjonctve normale Attenton : Lorsqu une varable d entrée entre drectement sur la porte Ou, on dot consdérer qu elle traverse une porte Et à une entrée, qu se transforme en un nverseur (porte Nand à une entrée). 9 Janver 24

12 Il exste une autre forme de représentaton : la forme conjonctve normale. On défnt des termes somme (maxtermes), dont on fat l'ntersecton. La Table 3 présente les termes somme pour une foncton à deux entrées. x y M M M2 M3 Table 3 : Termes somme x x S S y y x S y Fgure 9 : Exemple de transformaton de forme Ou de Et en forme NAND de NAND. Pour une table de vérté à deux entrées, les termes somme sont : M = x + y M = x + y M2 = x + y M3 = x + y Un terme somme est donc consttué de l unon (ou) de toutes les varables d'entrée, non complémentées s leur valeur est, complémentées s leur valeur est. A chaque terme somme M, on assoce la valeur S de la foncton (Table 4). x y S M S M S M2 S2 M3 S3 Table 4 ec peut être réalsé sous la forme d une ntersecton de sommes, de la manère suvante : S = (M+S). (M+S). (M2+S2). (M3+S3) Pour une confguraton d entrée, un seul terme M est égal à et tous les autres sont à. On a donc automatquement S = M+S = S pour le terme produt M à. En effet, pour j, on a Mj = et donc Mj+Sj =, qu sont des termes neutres pour l ntersecton. n peut remarquer que les valeurs de la foncton (S=) ne contrbuent pas à l expresson de S (car M + =, et est absorbé dans le produt logque). On remarque d autre part que lorsque S=, on a M+S = M. On peut en dédure la règle pratque suvante, qu donne la forme conjonctve normale d une foncton booléenne : la forme conjonctve normale d une foncton booléenne est obtenue par produt logque des termes somme pour lesquels la foncton a pour valeur. Sot l exemple de la Table 5, qu utlse la même foncton que la Table 9 : Janver 24

13 x y M M M2 M3 M.M3 S Table 5 S = s M = et s M3 =, sot M.M3 = ==> S = M.M3 sot S = (x+y) ( x + y ) On peut montrer que cette forme est équvalente à celle qu résulte de la forme dsjonctve normale Forme NOR de NOR On montre de la même manère que toute foncton booléenne peut s'exprmer unquement sous forme NOR de NOR. La forme NOR de NOR s'obtent applcaton du théorème de Morgan sur la forme conjonctve normale : on remplace les portes Ou et les portes Et par des portes NOR 2. 2 Attenton : Lorsqu une varable d entrée entre drectement sur la porte Et, on dot consdérer qu elle traverse une porte Ou à une entrée, qu se transforme en un nverseur (porte Nor à une entrée). Janver 24

14 4 SYNTHÈSE DE FONTIONS OMBINATOIRES La synthèse de fonctons combnatores consste, à partr d'une table de vérté ou d'une expresson booléenne, à spécfer les opérateurs matérels permettant l'mplémentaton de la table ou de l'expresson correspondante. Il exste 3 grandes méthodes de synthèses de fonctons combnatores, correspondant au nveau de complexté des opérateurs logques utlsés comme éléments de base. 4. LA LOGIUE ANARHIUE La logque dte "anarchque" consste à "mplanter" la foncton booléenne à l'ade d'un ensemble mnmum de portes de base : Et, Ou, nverseurs, ou NAND ou NOR...ette méthode a été développée à l'époque des crcuts logques à fable nveau ou moyen nveau d'ntégraton (crcut SSI et MSI). On commence par smplfer l'expresson complète dédute de la forme dsjonctve normale pour obtenr un nombre mnmum de portes, avec un nombre mnmum d'entrées pour ces portes. 4.. Smplfcaton des expressons booléennes. Elles découlent de l'applcaton des proprétés de l'algèbre de Boole défne en début de chaptre. Sot l'exemple de la foncton de 2 varables (Table 6) x y S m m m2 m3 Table 6 La forme non smplfée s'écrt S = x. y + x. y + x.y L'applcaton successves des règles condut aux transformatons suvantes : S = x. y + x. y + x.y + x.y car x.y = x.y + x.y pusque x.y + x.y =x.y (absorpton) S = x. y + x.y + x. y + x.y par commutatvté. S = ( x +x).y + x.( y +y) par dstrbutvté S=.y + x. par absorpton S = y + x = x + y es smplfcatons peuvent être réalsées graphquement à l'ade de la méthode du dagramme de Karnaugh. ette méthode se fonde sur une manère de représenter la table de vérté qu fat apparaître les symétres sur les varables. La Fgure présente l'exemple du dagramme de Karnaugh pour la foncton à 2 entrées de la table. Les quatre cases correspondent aux quatre termes produt m à m3. Les symétres selon x et y sont mses en évdence. Un regroupement de 2 éléments symétrques se tradut par la suppresson d'une varable dans un terme. Un regroupement de 4 éléments pour lesquels exstent 2 symétres se tradut par la suppresson de 2 varables dans un terme, etc. Nous présentons le dagramme de Karnaugh (Fgure ) dans le cas d'une foncton de 4 varables, avec les numéros de case correspondant aux numéros de mntermes dans l'hypothèse d'une numératon bnare pour les bts e3e2ee où e est le bt de pods fable. Les règles pour la smplfcaton des fonctons booléennes avec le dagramme de Karnaugh sont les suvantes : - tous les termes produt pour lesquels la foncton est à devront être prs au mons une fos dans un regroupement, ou seuls s aucun regroupement n'est possble. - fare les regroupements de talle maxmale, de manère à élmner le plus grand nombre possble de varables dans les termes de l'expresson. - ne prendre que les regroupements ou termes produt nécessares pour avor au mons une fos chaque, sans redondance. La méthode du dagramme de Karnaugh est effcace pour les expressons booléennes ayant au plus 4 entrées. Au delà, la représentaton graphque devent complexe, l est dffcle de mettre en évdence les symétres, et la méthode devent nutlsable. Dans ce cas, l fat utlser des méthodes plus élaborées, comme celle de une - Mc luskey, qu est la base des heurstques utlsées dans un certan nombre de logcels spécalsés (Espresso, Mc Boole). D'autres logcels utlsent des méthodes de réécrture d'expressons. 2 Janver 24

15 Il faut soulgner que le problème de smplfcaton d'expressons booléennes se pose, sot pour des expressons très smples à très peu de varables pour lesquelles le dagramme de Karnaugh est amplement suffsant, sot pour des expressons complexes à grand nombre de varables pour lesquelles les logcels spécalsés sont névtables. x symétre/ x x x.y x.y x.y x.y y y symétre/ y y+y= x+x = xy = xy+xy Fgure : Dagramme de Karnaugh pour foncton à 2 entrées. e e 4 5 e e e e e e 2 e 2 e 2 Fgure : Dagramme de Karnaugh pour une foncton à quatre entrées 4..2 as des fonctons booléennes ncomplètement spécfées. Il exste des fonctons booléennes pour lesquelles l n'y a pas de valeurs assocées à certans termes produt. eux-c ne sont jamas "sélectonnés", et la valeur qu leur est assocée peut être ndfféremment ou. On note d (don't care) ou Ø ce cas ndfférent. L'affcheur 7 segments (Fgure 2) est un exemple partculer de foncton booléenne ncomplètement spécfée. On veut affcher les chffres décmaux à l'ade de 7 segments, notés de a à g, qu peuvent être à (étent) ou (allumé). Le codage des chffres décmaux nécesste 4 bts, que l'on peut noter e3 à e. La Table 7 donne les 7 fonctons booléennes tradusant l'allumage des 7 segments a à g en foncton des bts e3 à e. a b f g c e d Fgure 2 : Affcheur 7 segments 3 Janver 24

16 e3 e2 e e a b c d e f g Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø 2 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø 3 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø 4 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø 5 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Table 7 : affcheur 7 segments Pour smplfer de telles fonctons, on peut ndfféremment assocer à Ø la valeur ou, pour smplfer au maxmum. La Fgure 3 montre le dagramme de Karnaugh assocé à la foncton a de la Table 6. La valeur smplfée de la foncton est a = e + e3 + e.e2 + e.e 2 e e 4 5 e Ø Ø e e Ø Ø Ø Ø e e e 2 e 2 e 2 Fgure 3 : Dagramme de Karnaugh avec cas ndfférents 4.2 LA LOGIUE STRUTURÉE Toute foncton booléenne, auss complquée sot-elle, peut s'exprmer sous la forme d'une unon de termes produt. Il est donc possble de spécfer une structure unverselle, capable de réalser toutes les unons possbles de tous les termes produt nécessares. La logque structurée consste donc à "mplanter" la foncton dans une structure régulère, prédéfne à l'avance, et dont la surface ne dépendra pas de la confguraton partculère des et des propre à une foncton, mas unquement du nombre de varables d'entrées (structure ROM), ou du nombre de varables d'entrée et de termes produt de la foncton (structure PLA ou PAL). ontrarement à la logque aléatore, qu est caractérstque des crcuts ntégrés à très fable nveau d'ntégraton (SSI ou MSI), la logque structurée est caractérstques des crcuts ntégrés à très forte densté d'ntégraton (VLSI). Pour ces crcuts, le crtèrs essentel est la surface mnmale : pour un nombre donné d'entrées et de sortes, la surface dépend essentellement des facltés de connexons 4 Janver 24

17 globales entre les dfférents ponts du crcuts. 'est donc le nombre de connexons d'entrée et de sorte utlsables qu est le facteur essentel, et non le nombre de termes produt et le nombre de varables par terme produt Structure ROM. Elle se décompose en 2 partes : - un décodeur (ou générateur complet de termes produt) dont le schéma fonctonnel est donné en Fgure 4. La Fgure 5 montre l'mplantaton d'un décodeur deux entrées quatre sortes avec des portes élémentares. - un Ou logque des termes produt pour lesquels la foncton a pour valeur. Décodeur n 2 sortes n entrées actve autres nactves Fgure 4 : Schéma fonctonnel du décodeur x y m m m 2 m 3 Fgure 5 : Réalsaton du décodeur 2 entrées 4 sortes avec des portes logques La ROM est connue généralement comme une mémore à lecture seulement. 'est en fat un opérateur combnatore. Le nombre de bts en sorte correspond au nombre de fonctons logques dfférentes mplantées. Le nombre de bts d'adresse correspond au nombre de varables des fonctons logques. Pour l'mplantaton de fonctons logques, la ROM présente l'nconvénent d'utlser un décodeur complet alors que les fonctons logques à grand nombre d'entrées n utlsent généralement qu'un nombre rédut de termes produt : en d'autres termes, la foncton a beaucoup plus de que de. Il est possble d'utlser unquement un décodeur partel, ce qu est fat dans les réseaux logques programmables (ou PLA) Structures PLA et PAL. Un PLA est consttué de 2 dem-pla - Le dem-pla Et qu est un générateur partel de termes produt. On ne génère que ceux qu sont nécessares pour mplanter la foncton. - Le dem-pla Ou qu réalse le Ou logque des termes produt pour lesquels la foncton a pour valeur. Un PLA est donc caractérsé par son nombre d'entrées, son nombre de sortes et le nombre de termes produt utlsables. Les dem-pla Et et Ou sont programmables. La structure appelée PAL est un PLA smplfé, pour lequel seul la parte Et est programmable (chox des termes produt) alors que le Ou logque des termes produt est précâblé. PLA et PAL sont largement utlsés dans les composants logques programmables complexes (PLD pour omplex Programmable Logc Devces) qu sont l une des classes de composants logques programmables (cf chaptre 9) 5 Janver 24

18 4.2.3 Les tables préprogrammées Les tables préprogrammées (LUT pour Look-up Tables) sont des blocs logques de base mplantant à l ade de mémores SRAM (cf chaptre 9) des tables de vérté de 2, 3 ou 4 varables. Un LUT-2 (table de recherche à 2 entrées) peut donc mplanter n mporte laquelle des 6 dfférentes fonctons logques de 2 entrées. La Fgure 6 montre l mplémentaton d une table de recherche pour une foncton à tros entrées. La mémore SRAM mplante une table de vérté à tros entrées, où chaque cellule mémore content la valeur de la foncton pour un des termes produt. Les LUT sont utlsés dans les réseaux de portes programmables, (FPGA pour Feld Programmable Gate Arrays), qu sont la seconde grande classes de réseaux logques programmables. Dans les FPGA, les LUT sont nterconnectés par des connexons programmables vertcales et horzontales (cf chaptre 9). A B F(A,B,) Fgure 6 : Implémentaton d un LUT-3 La synthèse avec LUT ntrodut dfférents crtères d optmsaton. Alors qu avec la logque «anarchque», l objectf est de mnmser le nombre de portes et le nombre d entrées, dans la synthèse avec LUT, l objectf est de mnmser le nombre de LUT. Il faut soulgner qu avec des LUT-n (à n entrées), toutes les fonctons logques à n entrées sont équvalentes et s mplantent avec un seul LUT. Notamment, les fonctons de type Ou exclusf, dffcles à mplanter sous forme ET-OU ou sous forme NAND-NAND sont strctement équvalentes à toutes les autres fonctons avec des LUT Multplexeurs Un multplexeur est un opérateur logque à 2 n entrées et une sorte contrôlé par n fls de commande. L entrée n est relée à la sorte s la commande correspond à codé sur n bts. Les schémas logques des multplexeurs à 2 et 4 entrées sont montrés en Fgure 7. Les équatons logques des multplexeurs 2 entrées et 4 entrées sont respectvement = + = s e. c e. c s e. c. c e. c. c e. c. c e. c. c 2 3 (F) e e s e e e2 e3 s c c c Fgure 7 : Schémas logques des multplexeurs 2 et 4 entrées Un multplexeur 4 entrées peut être mplanté drectement à l ade de portes ET-OU-INV ou NAND en utlsant l équaton c-dessus ou àvec des portes multplexeurs 2 entrées comme ndqué en Fgure 8. ec peut ben évdemment être étendu à 8, 6 2 N entrées. e e e2 e3 c S c 6 Janver 24

19 Fgure 8 : Multpleur 4 entrées à partr de mux 2 entrées Un multplexeur N entrées peut être utlsé comme un LUT-N. En utlsant les entrées de commande comme entrées de la table de vérté, et les entrées du multplexeur comme les valeurs de la foncton pour chaque terme produt, on peut mplanter n mporte quelle table de vérté. Par exemple, la Fgure 9 montre l mplémentaton de la foncton Ou exclusf avec un multplexeur 4 entrées. s e e Fgure 9 : Ou exclusf mplanté avec un multplexeur On peut des fonctons logques quelconques en utlsant des multplexeurs et des portes logques de base. Par exemple, la foncton f(e 2,e,e ) = m(3,5,6) peut être mplémentée avec un multplexeur 4 entrées et un nverseur, comme le montre la Fgure 2. e s e2 e Fgure 2 : Implémentaton de f(e 2,e,e ) = m(3,5,6) 4.3 LA LOGIUE EN TRANHES Elle consste à réalser des opérateurs n bts à l'ade d'opérateurs bt en défnssant les règles d'assemblage. ette parte sera tratée avec les opérateurs arthmétques.. 7 Janver 24

20 5 LES OPÉRATEURS ARITHMÉTIUES Les opérateurs arthmétques sont fondamentaux pour de nombreuses applcatons. Assocés aux opérateurs logques, ls consttuent l'unté arthmétque et logque (UAL) qu est le coeur de la parte calcul des untés centrales des ordnateurs. u'ls travallent sur des nombres enters (opérateurs enters) ou sur des nombres en représentaton flottante (opérateurs flottants), ls sont utlsés largement en tratement numérque, en tratement du sgnal, etc. La caractérstque essentelle des opérateurs arthmétques est le tratement par bt (ou bloc de bts) et la propagaton des retenues. Ils sont le domane type d'utlsaton de la logque en tranches. Nous examnerons les technques fondamentales de réalsaton des addtonneurs, pus des multpleurs, pour nombres enters et flottants. 5. LES ADDITIONNEURS L'opératon typque d'addton de deux nombres de n bts mplque d'une part le tratement d'une tranche de bt, et d'autre part le tratement des retenues. 5.. Le tratement d'une tranche de bt L'addton de deux bts a et b avec la retenue entrante r- fournt une somme S et une retenue r, selon la Table 8. Le schéma logque de l'addtonneur correspondant, appelé addtonneur bt, est donné en Fgure 2. r- a b r S Table 8 : addtonneur bt a b r Addt onneur bt r - S Fgure 2 : Addtonneur bt L'addtonneur bt peut être mplanté avec des portes logques, par exemple de type NAND. D'après la Table 8, on a les relatons : S = r -.a.b +r -.a.b + r -.a.b + r -.a.b r = a.b + r-.a + r-.b Un schéma d'mplantaton avec portes NAND est donné en Fgure 22. S le temps de propagaton de la porte NAND est tp, les temps de retard sont respectvement 3 tp pour S et 2 tp pour r. 8 Janver 24

21 r - r - a a b b S r Fgure 22 : Réalsaton de l'addtonneur bt avec des portes NAND Le schéma de la Fgure 22 correspond à l'mplémentaton drecte de la table de vérté de l'addtonneur bt. D'autres mplémentatons sont possbles, qu utlsent mons de portes, mas qu ont des temps de retard supéreurs. ertanes mplémentatons tennent compte de la manère de réalser des portes complexes en technologe MOS, notamment des portes Et-NOR, Ou-Et-NOR, etc. (7-3.2). Par exemple, le complément de la retenue peut s écrre r = a b + r a + r b D'autre part, d'après la table IV-, on constate que S = r (a +b +r - ) + a b r - L'mplémentaton correspondante est donnée en Fgure 23. a Porte complexe b r r r - S S Porte complexe Fgure 23 : Implémentaton de l'addtonneur bt avec portes complexes L'addtonneur bt est la brque de base pour la consttuton d'un addtonneur n bts. Les dfférentes réalsatons dffèrent selon la manère de propager la retenue L'addtonneur n bts à propagaton smple de retenue. L'addtonneur n bts peut être réalsé par juxtaposton de n addtonneurs bt (Fgure 2), avec propagaton smple de la retenue, comme le montre la Fgure 24. Le temps de propagaton de la retenue est 2n tp pour n étages. La sorte Sn- est obtenue (2n + ) tp après l'arrvée de la retenue d'entrée r -. 9 Janver 24

22 a n- b n- a b a b r n- Add bt r n-2 r Add bt r - r Add bt r - S n- S S Fgure 24 : Addtonneur à propagaton de retenue 5..3 Les propagatons rapdes de retenue. La propagaton de retenue consttuant le chemn crtque pour obtenr la retenue de sorte et les sortes de pods fort, des technques permettant d'obtenr plus rapdement les retenues sont ndspensables pour réalser des addtonneurs rapdes Le mécansme de retenue antcpée D'après la Table 8, l'expresson de r en foncton de r- peut être réécrte sous l'une des deux formes : r = a.b + r- (a+b) (F2) r = a.b + r- (a b) (F3) En posant G = a.b et P = a+b ou P = a b où G et P sont respectvement les fonctons génératon et propagaton de retenue, la retenue de sorte peut être réécrte sous la forme r = G + r-.p. ette formule a une nterprétaton mmédate : l y a une retenue en sorte s l'étage d'addtonneur génère une retenue (G = ) ou s l'étage propage la retenue d'entrée égale à (r -.P = ). La Table 9 donne les fonctons G et P en foncton des entrées a et b, et montre la relaton entre G, P et a b. a b G P a b G P Table 9 Dans le cas où P = a + b, on constate que a b = G.P = G P. Les fonctons G et P, utlsées pour calculer la retenue r, peuvent également être utlsées pour calculer la somme S S = a b r- = G P r- = G.P r rcuts antcpateurs de retenue. L'applcaton de la formule F2 permet de calculer en 2 couches logques (2 t ) la retenue sortant de n p étages d'addtonneurs bt. En effet, on peut calculer la retenue de sorte en foncton des retenues générées et propagées par chaque étage. S l'on consdère la retenue sortant d'un bloc de quatre bts, consttués d'ndce à +3, on obtent la formule suvante, qu exprme la condton pour que l'étage +3 génère une retenue, ou que l'étage +2 génère une retenue propagée par l'étage +3, etc. r+3 = G+3 + P+3G+2 + P+3P+2G+ + P+3P+2P+G + P+3P+2P+Pr-. (F4) On peut également détermner les fonctons génératon et propagaton pour un bloc de quatre étages, qu tradusent les condtons pour que le bloc de quatre étages génère une retenue (c'est la foncton G+3,) ou propage une retenue présente à l'entrée du bloc (c'est la foncton P+3,). es fonctons sont respectvement G+3, = G+3 + P+3G+2 + P+3P+2G+ + P+3P+2P+G (F5) P+3, = P+3P+2P+P (F6) Le crcut antcpateur de retenues pour un bloc de 4 étages est donné en Fgure Janver 24

23 La lmtaton du nombre n d'étages pouvant consttuer un bloc est lé au nombre maxmal d'entrée (encore appelé entrance) des portes utlsées. Pour une antcpaton sur n bts, l'entrance maxmale est n +. Le mécansme d'antcpaton de retenue peut s'applquer par blocs de bts. La formule F4 peut se réécrre en utlsant les fonctons G+3, et P+3 défnes en F5 et F6. r+3 = G+3, + P+3,r- (F7) Les fonctons G+3, et P+3, permettent de calculer la retenue sur un bloc de 6 étages en 4 couches logques selon la formule F8 r+5 = G+5,+2 + P+5,+2 G+,+8 + P+5,+2 P+,+8 G+7,+4 + P+5,+2 P+,+8 P+7,+4 G+3, + P+5,+2 P+,+8 P+7,+4 P+3, r- (F 8) a +3 b +3 a +2 b +2 a + b + a b Etage +3 Etage +2 Etage + Etage r +3 P +3 P +2 P + P G +3 G +2 G + G rcut ant cpateur r - G +3, P +3, Fgure 25 : rcut d'antcpaton de retenue Avec des portes NAND, 2 tp sont nécessares pour obtenr les fonctons G et P, 2 tp sont nécessares pour obtenr les fonctons G+3, et P +3, et 2 t p sont nécessares pour obtenr r +5 en foncton des G+3, et P +3,. En généralsant, on constate qu'l faut 2 (p+) tp pour obtenr la retenue d'une addton de 4 p bts avec des crcuts antcpateurs sur 4 bts. Avec cette approche, le temps nécessare pour obtenr la retenue de sorte vare de manère logarthmque avec le nombre de bts. Les sortes S sont obtenues en utlsant la formule S = G.P r- ce qu mplque de générer l'ensemble des retenues r-, en utlsant des crcuts d'antcpaton ou de propagaton smple de retenue en foncton des contrantes temporelles La sélecton de retenue Pour une addton de deux nombres de n bts, l'addtonneur à sélecton de retenue (Fgure 26) utlse un addtonneur de p bts pour les pods fables, et deux addtonneurs de q bts pour les pods forts avec n = p + q. L'un des addtonneurs de q bts a une retenue d'entrée à et l'autre à. Les sortes et la retenue de pods fort sont obtenues par multplexage des sortes et de la retenue des deux addtonneurs de q bts dès que la retenue sortante de l'addtonneur des pods fables est connue. hacun des addtonneurs sur p ou q bts peut utlser des mécansmes de propagaton rapde de retenue. 2 Janver 24

24 B n-,p A n-,p B n-,p A n-,p B p-, A p-, r n- Addtonneur q bts r n- Addtonneur q bts r p- Addtonneur p bts re S n-,p S n-,p S p-, Mux r n- Multplexeur S n-,p Fgure 26 : Prncpe de l'addtonneur à sélecton de retenue 5.2 UNITÉ ARITHMÉTIUE ET LOGIUE L'unté arthmétque et logque (UAL) est un opérateur capable de fournr le résultat des opératons arthmétques (addton, soustracton) et logques élémentares (et, ou, complément, ou exclusf, etc.) 5.2. La soustracton La réalsaton de la soustracton dépend de la représentaton utlsée pour les nombres négatfs. En représentaton en complément à 2, on a A - B = A + B + La soustracton peut donc être réalsée avec un addtonneur normal, pour lequel on entre B au leu de B avec une retenue d'entrée re =. Le complément B est obtenu avec un ensemble de portes Ou exclusf qu délvrent le complément bt à bt de l'entrée B selon la relaton B = B. Un bt de contrôle P / M égal à (Plus) pour l'addton et (Mons) pour la soustracton est suffsant pour contrôler l'addtonneur/soustracteur. B ou B = B P / M re = P / M Un exemple d'ual Nous présentons un exemple d'ual, nsprée du crcut 748 du TTL Data Book. L'UAL travalle sur 4 bts. Les retenue d'entrée re, de sorte rs et les fonctons G3, et P3, sur 4 bts sont sous forme complémentée. L'entrée de commande M sert à dstnguer les opératons logques (M=) des opératons arthmétques (M=). Les quatre entrées de commande f3 f2 f f codent 6 opératons dstnctes. Son schéma fonctonnel (Fgure 27) se décompose en deux partes : - Un générateur de fonctons G et P (sous forme complémentée) - Un addtonneur rapde avec calcul antcpé de retenue. 22 Janver 24

25 f 3 f 2 f f a b G P S a b a 2 b 2 a 3 b 3 Générateur de Fonctons G et P G P G 2 P 2 G 3 P 3 Addtonneur à Retenue Antcpée S S 2 S 3 r s G3, r e M P 3, Fgure 27 : Structure d'une UAL Le générateur de fonctons G et P Il est consttué de quatre tranches dentques avec deux entrées a et b, quatre commandes f3 f2 f f et deux sortes G et (Fgure 28) P Les équatons correspondant au crcut sont les suvantes G = f3.a.b + f2.a. b P = a + f.b +f. b La Table 2 donne les valeurs de G, P et de P. G f 3 f 2 G b a f f Fgure 28 : Générateur de G et P P L'addtonneur rapde Les sortes sont obtenues comme précédemment par l'une des formules suvantes : S = G.P r- ou S = G P r- En mode logque, r =. La Table 2 donne les 6 fonctons logques des entrées que l'on obtent avec M =. En mode arthmétque, r- est la retenue provenant de l'étage précédent. La Fgure 29 donne les sortes S 23 Janver 24

26 a a a G P S r - Fgure 29 : Sorte S Les fonctons r, sous forme complémentées, sont les suvantes r = M( P + r e.g ) r = M.( P + P.G + r e.g G ) r 2 = M.( P 2 + P G 2 + P G G 2 + r e.g G G 2 ) r 3 = M.( P 3 + P 2.G 3 + P G 2 G 3 + P G G 2 G 3 + r e.g G G 2 G 3 ) Les sortes r, r, r2 et r3 s'obtennent par complémentaton de r, r, r 2 et r 3, ce qu donne des mplantatons sous forme de Et-NOR. La Fgure 3 donne le schéma logque pour la retenue r. f3 f2 f f G P G.P S = G + P a+b a+b a + a + b b a + b a.b a. b a a.b a.b a. b a +b b b a. b a + b a =b a b a. b a +b a. b a.b a a. b a +b a.b a +b a b a =b a.b a + b b b a.b a + b a.b a a a a +b a.b a + b a a + b a. b a +b a a a Table 2 P r G r e M Fgure 3 : Retenue r Nous examnons mantenant deux exemples d'opératons arthmétques que l'on peut obtenr avec l'ual consdérée Exemple : f 3 = f 2 = f = f = M = D'après la table IV-3, on a G = a et P = a, sot G.P = 24 Janver 24

27 les dfférentes retenues sont alors r = M( a + r e. a ) = M. a r = M( a + a a + r e. a a ) = M. a r 2 = M( a 2 + a a 2 + a a a 2 + r e. a a a 2 ) = M. a 2 a r 3 = M( 3 + a 2 a 3 + a a 2 a 3 + a a a 2 a 3 + r e. a a a 2 a 3 ) = M. a 3 Lorsque M = alors r = a et S = G.P r- = r- Sot S = a- La foncton obtenue est donc S = 2 A s r e = et S = 2 A + s r e = Exemple 2 : f3 = f2 = f = f = M = D'après la Table 2, on a G = a b et P = a + b Les fonctons G et P sont les fonctons génératons et propagaton défnes pour l'addton. L'opératon arthmétque est donc l'addton avec retenue r e,s = A + B + r e 5.3 LES MULTIPLIEURS 5.3. Multpleurs pour nombres enters Nous présentons les schémas de prncpe de la multplcaton réalsée à l ade d opérateurs combnatores, pus nous ntrodusons les technques utlsées pour obtenr des multpleurs rapdes Le multpleur combnatore trval La Table 2 présente le schéma de prncpe de la multplcaton de deux enters non sgnés de 8 bts. Le multplcande est le nombre X et le multplcateur le nombre Y. L opératon de multplcaton fat ntervenr deux types d opératons élémentares : des produts de bts et des addtons de sommes partelles. haque produt XYj est réalsé par une smple porte Et. Le produt du bt Yj du multplcateur par le multplcande X donne une somme partelle consttuée des bts X7Yj à XYj, de la gauche vers la drote (des pods forts aux pods fables). Il faut ensute addtonner ces sommes partelles pour obtenr la somme fnale. X7 X6 X5 X4 X3 X2 X X Y7 Y6 Y5 Y4 Y3 Y2 Y Y X7Y X6Y X5Y X4Y X3Y X2Y XY XY X7Y X6Y X5Y X4Y X3Y X2Y XY XY X7Y2 X6Y2 X5Y2 X4Y2 X3Y2 X2Y2 XY2 XY2 X7Y3 X6Y3 X5Y3 X4Y3 X3Y3 X2Y3 XY3 XY3 X7Y4 X6Y4 X5Y4 X4Y4 X3Y4 X2Y4 XY4 XY4 X7Y5 X6Y5 X5Y5 X4Y5 X3Y5 X2Y5 XY5 XY5 X7Y6 X6Y6 X5Y6 X4Y6 X3Y6 X2Y6 XY6 XY6 X7Y7 X6Y7 X5Y7 X4Y7 X3Y7 X2Y7 XY7 XY7 S5 S4 S3 S2 S S S9 S8 S7 S6 S5 S4 S3 S2 S S Table 2 : Multplcaton de deux nombres non sgnés de hut bts. La verson la plus smple de multpleur câblé pour réalser l opératon de la Table 2 utlse un addtonneur bt avec une porte Et sur l une des deux entrées. La Fgure 3 donne la représentaton symbolque utlsée dans la Fgure 32 (parte a) et le schéma explcte (parte b). 25 Janver 24

28 X Y j E a) b) - j Addtonneur R s bt R e Fgure 3 : Addtonneur bt utlsé dans le multpleur combnatore. a) représentaton symbolque ; b) schéma complet La Fgure 32 présente le multpleur combnatore utlsant l addtonneur bt modfé présenté en Fgure 3. est la traducton drecte du schéma de la multplcaton de la Table 2. Le résultat de la multplcaton est obtenu après propagaton de toutes les sommes et les retenues à travers tous les addtonneurs bt. S l on appelle ts le temps de retard entre une entrée (ou la retenue d entrée) et la sorte de l addtonneur bt et tr le temps de retard entre une entrée (ou la retenue d entrée) et la retenue de sorte de l addtonneur, on constate que l on obtent la sorte S5 après un temps 4 tr + 5 ts et S4 après un temps 3 tr + 6 ts. Le premer temps correspond au chemn horzontal depus XY jusqu à la retenue de sorte de l addtonneur noté 7-, pus au chemn vertcal jusqu à la sorte de l addtonneur noté 2-6, pus au chemn horzontal jusqu à la retenue de sorte de l addtonneur 7-7. Pour le second temps, l y a un temps ts en plus et un temps tr en mons. Pour un addtonneur n bts x n bts, ces temps sont respectvement (2n-2) tr + (n-3) ts et (2n-3) tr + (n-2) ts. e type de multpleur correspond pour les multpleurs à l addtonneur à propagaton smple de retenue pour les addtonneurs. Le temps de calcul est proportonnel à la talle des deux opérandes. S X 7 Y X 6 Y X 5 Y X 4 Y X 3 Y X 2 Y X Y X Y S 5 S 4 S 3 S 2 S S S 9 S 8 S 7 S 6 S 5 S 4 S 3 S 2 S S Fgure 32 : Multpleur combnatore 8 x 8 (verson trvale) Amélorer la vtesse d un multpleur combnatore peut se fare en utlsant deux types de technques. La premère technque consste à dmnuer le nombre de sommes partelles générées. La seconde consste à évter au maxmum la propagaton de retenues Les algorthmes de Booth. L algorthme de Booth orgnel correspond à l observaton suvante. Sot à multpler un multplcande X par un multplcateur Y = 2, X et Y étant des enters non sgnés sur 8 bts. Dans ce cas partculer, Y = 27. On peut remarquer que Y = L addton de 7 sommes partelles peut donc être remplacée par une seule soustracton de deux sommes partelles. ette méthode présente l nconvénent suvant : le nombre d addtons ou soustractons à effectuer dépend de la confguraton des bts du multplcateur. 26 Janver 24

29 On peut utlser l observaton précédente en conservant un temps de calcul constant en utlsant l algorthme de Booth modfé. elu-c examne deux bts du multplcateur à la fos (et le bt de pods mmédatement nféreur), et détermne la valeur correspondante de la somme partelle en foncton du multplcande. De cette manère, un multplcateur de n bts ne génère que n/2 sommes partelles. Les valeurs de la somme partelle en foncton des bts m+, m et m- du multplcateur sont données par la Table 22. m+ m m- somme partelle Opératon + (pas de chaîne) X +X (fn de chaîne) X + X 2X + 2X (fn de chaîne) - 2X -2X (début de chaîne) -X -X -X -X (début de chaîne) - (mleu de chaîne) Table 22 : Algorthme de Booth modfé Les arbres de Wallace. Une multplcaton de n bts par n bts produt n sommes partelles (sans utlser l algorthme de Booth modfé), que nous appelons par la sute sommandes. Le prncpe des arbres de Wallace consste à rédure ces n sommandes en deux sommandes en utlsant des addtonneurs à conservaton de retenue (SA), pus à ajouter ces deux sommandes en utlsant un addtonneur à propagaton rapde de retenue (addtonneur à calcul de retenue antcpée, par exemple). La Fgure 33 présente l addtonneur à conservaton de retenue. La parte a) montre qu l s agt d un addtonneur bt classque, qu a tros entrées et deux sortes : somme et retenue. La parte b) montre la manère dont l est utlsé dans le multpleur avec arbre de Wallace. Tros bts de rang sont addtonné dans une étape d addton de sommandes, et produsent pour l étape suvante d addton de sommandes un bt somme pour le rang et un bt retenue pour le rang +. a) b) Addtonneur -bt retenue somme X X X X X (somme) (retenue) Fgure 33 : Addtonneur à conservaton de retenue. a) addtonneur bt utlsé ; b) symbolsme utlsé pour l arbre de Wallace La Fgure 34 montre la manère dont les addtonneurs SA sont utlsés pour passer de hut sommandes aux deux sommandes fnaux. La premère étape d addton permet de passer de hut sommandes à sx sommandes en un temps qu est la traversée d un addtonneur SA. La seconde étape permet de passer de sx sommandes à quatre sommandes. La trosème étape permet de passer de quatre à tros sommandes, et la quatrème de tros à deux. Pour n sommandes, le nombre d étapes d addton est égal à log3/2 (n). Le terme 3/2 provent de l addtonneur SA, qu à tros entrées fat correspondre deux sortes. L addton fnale utlse un addtonneur à propagaton rapde de retenue, comme l addtonneur à retenue antcpée. On peut remarquer que les premères étapes de réducton de n sommandes à deux permettent d obtenr un certan nombre de bts du résultat fnal, permettant de rédure le nombre de bts sur lequel opère l addtonneur rapde fnal. 27 Janver 24