TRANSFORMATION DE LAPLACE

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1 A - TRANSFORMATION DE LAPLACE Dénition de l'esace E. Fonctions causales.. Dénition Une fonction f est dite causale si f(t) = our tout t strictement négatif... Eemle fondamental : la fonction de Heaviside On aelle aussi cette fonction, échelon unité. Elle est notée U et dénie ar : U (t) = si t < U (t) = si t > et ses translatées, y toutes aussi imortantes sont dénies ar : t 7! U (t ), réel ositif et on a donc : U (t ) = si t < U (t ) = si t > La fonction U sert à fabriquer des fonctions causales comme ci-contre : nous avons sin(t) (en rouge) qui n'est as causale et sin(t)u (t) (en bleu) qui l'est JMB

2 A - Ici nous avons sin(t)u (t) (en bleu) et sa translatée de qui est donc : sin(t )U (t ) (en rouge) Les fonctions de E.. Dénition E est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires à coecients réels ou comlees des fonctions de la forme t 7! U (t )t n e r t où est un réel ositif, n un entier ositif et r un nombre comlee quelconque, c'est à dire que E est l'ensemble de toutes les fonctions qui euvent s'écrire comme somme de fonctions du tye U (t )t n e r t avec devant ce genre de fonctions des coecients réels ou comlees. Eemle. ˆ la fonction t 7! t e t U (t 3) est une fonction de E ˆ la fonction t 7! sin(t)u (t) est une fonction de E. En eet, sin(t)u (t) = i eit U (t) i e it U (t). ˆ la fonction t 7! sin(t )U (t ) est une fonction de E. En eet " # e i(t ) i(t ) e sin(t )U (t ) = U (t ) = e i i i eit U (t ) e i i e it U (t ).. Proriétés. Toute fonction de E est continue ar morceau sur R c'est à dire résentant un nombre ni de discontinuité de ère esèce.. Si et sont des réels ositifs, r un nombre comlee et f une fonction aartenant à E, alors les fonctions t 7! f(t); t 7! f(t ) et t 7! e r t f(t) aartiennent aussi à E : 3. Soit f une fonction aartenant à E alors f et Z t f()d aartiennent aussi à E : Eemle. JMB

3 A - La fonction dénie ar : f(t) = tu (t) (t )U (t ) + (t )U (t ) aartient à E. Sa rerésentation grahique est : y 3 Eemle 3. y La fonction dénie ar : g(t) = U (t) U (t ) + U (t ) aartient à E. Sa rerésentation grahique est : j O ı 3 4 Transformation de Lalace dans E. Proriété fondamentale.. Dénition Si une fonction g est de la forme t 7! g(t) = ku (t )t n e r t, c'est à dire que c'est l'un des morceau d'une fonction f aartenant à E, alors le réel r est aelé eosant de la fonction g... Proriété Soit f une fonction aartenant à E, l'intégrale Z + f(t)e t dt est absolument convergente si est un nombre réel aartenant à l'intervalle ](f); +[ où (f) est la lus grande des arties réelles des eosants des fonctions comosants f. Le réel (f) est aelé abscisse de convergence de la fonction f. Eemle 4. Soit f la fonction dénie ar : f(t) = e t cos(3t)u (t) + te t sin(t)u (t ) f est bien une fonction de E car c'est une combinaison linéaire de fonction du tye t 7! U (t )t n e r t. En eet on eut écrire f(t) = U (t)e(+3i)t + U (t)e( 3i)t + i tu (t )e(+i)t i tu (t )e( i)t : Les eosants des fonctions qui comosent cette combinaison linéaire sont donc resectivement : + 3i; 3i; + i; i. Les arties réelles sont donc et, donc d'arès la roriété Z + ci dessus, on sait que f(t)e t dt converge si le réel ]; +[ 3 JMB

4 A -. Dénition de la transformée de Lalace Soit f une fonction aartenant à E d'abscisse de convergence (f). La transformée de Lalace de f, notée F, est la fonction dénie sur ](f); +[ ar : Z + F () = f(t)e t dt Elle est notée : F = L(f) ou F () = L (f) () En théorie, on est donc censé, avant de calculer la transformée de Lalace d'une fonction f causale, vérier que f E et calculer son abscisse de convergence (f). Dans la ratique, toutes les fonctions que nous maniulons dans ce chaitre aartiennent à E et leur abscisse de convergence en général est égale à. Néanmoins, il est naturel d'avoir cette rigueur de vérication, au cas où les calculs nous emmènent dans un esace lus comliqué!.3 Transformée de Lalace de l'échelon unité Z + Z + L(U (t)) = U (t)e t dt = e t dt = D'où : L (U (t)) = si > + e t = Œ = si > :.4 Transformée de Lalace de f(t) = t n U(t) Z + Z + F () = t n U (t)e t dt = t n e t dt = I n En intégrant ar artie, on obtient que I n = n I n Or I = Z + U (t)e t dt = I = I = I = I = I 3 = 3 I = 3 d'où : L (t n U (t)) = n! si > n+.5 Transformée de Lalace de f(t) = e rt U(t) Z + Z + F () = e rt U (t)e t = e (r )t dt. Cette intégrale est convergente si > <e(r): Z + On a alors : e (r )t dt = r e(r )t D'où L(e rt U (t)) = si > <e(r) r + = r = r. 4 JMB

5 A -.6 Transformée de Lalace de f(t) = te rt U(t) Z + Z + F () = te rt U (t)e t = te (r )t dt. Cette intégrale est convergente si > <e(r): On a alors, en intégrant ar arties : L(te rt U (t)) = si > <e(r) ( r).7 Proriétés de la transformation de Lalace On suose à artir dans tout ce aragrahe que aartient à l'intervalle ](f); +[ \ ](g); +[.7. Linéarité Si f et g sont des fonctions aartenant à E de transformées de Lalace resectives F et G et si et sont des nombres comlees quelconques alors si on note H la transformée de Lalace de h = f + g : L (f + g) = L(f) + L(g) H = f + g Déterminons les transformées de Lalace des fonctions f(t) = sin(t)u (t) et g(t) = cos(t)u (t) Posons h (t) = e it U (t) et h (t) = e it U (t) On a alors d'arès Ÿ.5 : H () = L (h (t)) = i et H () = L (h (t)) = + i Comme sin(t)u (t) = i h (t) i h (t) alors L(sin(t)U (t)) = i i i + i = i i + i i = + Comme cos(t)u (t) = h (t) + h (t) alors L (cos(t)u (t)) = i + + i = + L(sin(t)U (t)) = L (cos(t)u (t)) = >.7. Transformée de Lalace d'une dilatée : t 7! f(at) a R + Soit f une fonction aartenant à E et soit F = L (f) alors L(f(at)) = a F a Démonstration : soit Z A f(at)e t dt 5 JMB

6 A - En osant u = at on obtient : a F a Z A f(at)e t dt = a Z aa f(u)e a u du! A!+ Soit h la fonction de E dénie ar h(t) = cos (!t) U (t) avec! >. Soit f la fonction de E dénie ar f(t) = cos (t) U (t) Alors f (!t) = cos (!t) U (!t) = cos (!t) U (t) = h(t) car! > Or L (cos(t)u (t)) = + Donc L (h(t)) = L(cos (!t) U (t)) = H() =! Š! =! + +!! De la même façon on obtient : L(sin (!t) U (t)) = +! Z + f(u)e u a du = a.7.3 Transformée de Lalace d'une translatée : t 7! f(t ) avec R + Soit f une fonction aartenant à E et soit F = L (f) alors L (f(t )) = e F () Le terme e s'aelle le facteur de retard. En clair, lorsqu'une fonction est retardée d'un instant sa transformée de Lalace est multiliée ar e. La démonstration de cette formule est la même que celle ci-dessus en eectuant le changement de variable u = t. On se roose de chercher la transformée de Lalace du signal ci-dessous : 3 t Aelons f(t) ce signal. On eut alors écrire que : f(t) = tu (t) tu (t ) + U (t ) U (t ) = tu (t) (t )U (t ) U (t ) + U (t ) U (t ) = tu (t) (t )U (t ) U (t ) donc 6 JMB

7 A - L(f(t)) = L (tu (t) (t )U (t ) U (t )) = L (tu (t)) L ((t )U (t )) L (U (t )) = e e.7.4 Multilication ar la variable Soit f une fonction aartenant à E et soit F = L (f) alors L ( tf(t)) = df d () L (( t) n f(t)) = dn F d n () Soit f(t) = t sin(!t)u (t). On sait que la transformée de Lalace de sin(!t)u (t) est : L (sin(!t)u (t)) =! +!. Or d " #!!! = donc L (t sin(!t)u (t)) = d +! ( +! ) ( +! ).7.5 Multilication ar e at où a est un réel quelconque Soit f une fonction aartenant à E et soit F = L (f) alors L f(t)e atš = F ( + a) Soit f la fonction dénie ar : f(t) = e at cos(!t)u (t): Nous savons que L (cos(!t)u (t)) = +! = F () Donc : L Š + a e at cos(!t)u (t) = F ( + a) = ( + a) +!..7.6 Transformée de Lalace d'une dérivée Soit f une fonction aartenant à E et soit F = L (f) alors si f est continue sur l'intervalle ]; +[ L (f (t)) = F () f( + ) où f( + ) = lim t! +f(t) de même si de lus f est continue sur l'intervalle ]; +[ alors : L (f (t)) = F () f( + ) f ( + ) où f ( + ) = lim t! +f (t) 7 JMB

8 A - Soit f(t) = cos(!t)u (t) alors f (t) = Or U (t) = sur l'intervalle ]; +[! sin(!t)u (t) + cos(!t)u (t) Donc : f (t) =! sin(!t)u (t) sur l'intervalle ]; +[ Donc L(f (t)) = cos() = = = +! +! +! c'est à dire L (! sin(!t)u (t)) = +!! donc on retrouve que L (sin(!t)u (t)) = +! Soit f la fonction rerésentée ar le grahe ci-dessous :!! +! y j O ı 3 4 On a donc f(t) = U (t) U (t ) + ( t + )U (t ) ( t + )U (t ) c'est à dire que f(t) = U (t) + ( t + )U (t ) + (t )U (t ) f(t) = U (t) (t )U (t ) + (t )U (t ) donc L (f(t)) = e + e = F (). Soit maintenant g la fonction dont le grahe est donné ci-dessous : y j O ı 3 4 On a donc g(t) = (U (t ) U (t )) = U (t ) + U (t ) Or, on a f (t) = g(t): Donc L (f (t)) = L(g(t)) = F () f( + ) = e + e Le calcul direct nous donne : L (g(t)) = e + e qui redonne la même transformée de Lalace! = e + e 8 JMB

9 A -.8 Théorème de la valeur initiale et de la valeur nale.8. Théorème de la valeur initiale Si une fonction f aartenant à l'ensemble E admet our transformée de Lalace la fonction F, alors lim F!+ () = lim F!+ () = f(+ ).8. Théorème de la valeur nale Si une fonction f aartenant à l'ensemble E admet our transformée de Lalace la fonction F et si lim f(t) eiste et est nie, alors : t!+ Soit g(t) = (cos t) U (t) alors L(g(t)) = G() = lim!+ G() = lim! limf () = lim! t!+ f(t) +!+ lim + = = g(+ ) = cos ce qui vérie le théorème de la valeur initiale F () = = lim (cos t) U (t) cette limite n'eiste as, le théorème de la valeur nale t!+ ne s'alique as. 3 Produit de convolution dans E 3. Dénition On raelle que le roduit de convolution de deu fonctions f et g est une fonction h dénie ci-dessous. Ce roduit est noté. On a : h(t) = (f g) (t) = Si f est causale, l'intégrale devient : Z + f()g(t )d h(t) = (f g) (t) = Z + f()g(t )d Si de lus g est causale alors la fonction h l'est aussi et on a : h(t) = si t < h(t) = Z t f()g(t )d si t > 9 JMB

10 A - D'où la dénition suivante : Soient f et g deu fonctions aartenant à E :On aelle convolée des fonctions f et g dans cet ordre, la fonction causale h dénie our tout t ositif ar : h(t) = (f g) (t) = Z t f()g(t )d 3. Proriétés du roduit de convolution Le roduit de convolution est commutatif, associatif et distributif ar raort à l'addition. De lus le roduit de convolution est une loi dite interne, c'est à dire que l'on a : ˆ f g = g f ˆ (f g) h = f (g h) ˆ Si f et g aartiennent toutes deu à E alors h = f g aartient aussi à E : (démonstrations laissées au lecteur!) 3.3 Transformée de Lalace d'un roduit de convolution Si f et g aartiennent toutes deu à E alors la convolée h = f g a our transformée de Lalace le roduit des transformée de Lalace de f et g, c'est à dire que l'on a : L (f g) = L (f) L (g) Cette roriété nous ermettra d'obtenir la transformée de Lalace de fonctions qu'on ne eut calculer grâce au roriétés déjà vues dans le aragrahe Transformée de Lalace de Z f(t)dt Soit f une fonction aartenant à l'ensemble E et U la fonction échelon unité alors on a : 8 > (U f) () = Z f(t)u ( t)dt = Z f(t)dt Si on note F = L(f(t)) et en raelant que L (U (t)) =, alors en utilisant le théorème ci dessus on obtient : Z L f(t)dt = F () JMB

11 A - 4 Transformée de Lalace de l'imulsion unité y On considère la fonction f n dénie ar : f n (t) = n si 6 t 6 n et f n (t) = sinon dont voici la rerésentation grahique ci-contre our quelques n =, et 4. Si on note F n () = L(f n (t)) et en remarquant que f n (t) = nu (t) nu (t n ) alors on a F n() = n n e n 4 3 j O ı Maintenant si on fait tendre n! +, alors on obtient une seudo fonction, qui est en fait ce qu'on aelle en mathématiques une distribution, mais qui n'est lus une fonction, qu'on aelle imulsion unité ou lus simlement Dirac, imossible à rerésenter, si ce n'est en faisant un schéma que tous les électroniciens utilisent : Cette distribution est notée et on a : L ((t)) = lim F n() = n!+ n lim n!+ n e n = 5 Transformation de Lalace des fonctions ériodiques Soit f une fonction T-ériodique, causale, n'aartenant as forcément à E : Soit f la fonction dénie ar : f (t) = f(t) si < t < T et f (t) = sinon telle que f aartiennent à E alors on a : Eemle 5. L (f(t)) = L (f (t)) e T Déterminer la transformée de Lalace de la fonction f T- ériodique, causale, dénie sur [; T [ ar f(t) = t. f (t) = tu (t) tu (t T ) = tu (t) (t T )U (t T ) T U (t T ) donc L (f (t)) = e T T e T et donc L (f(t)) = e T e T T e T y 4 3 j O ı 3 4 Eemle 6. Le train d'imulsion Cela corresond, en électronique à des ashs éclairs ériodiques. alors on a L (f(t)) = car L ((t)) = T e JMB

12 A - 6 Table des transformées de Lalace On note F () = L(f(t)) où f est une fonction aartenant à E L ((t)) L (U (t)) L (tu (t)) L (t n U (t)) n! n+ L Š e at U (t) + a L Š te at U (t) ( + a) L Š n! t n e at U (t) ( + a) n+ L (cos (!t) U (t)) +!! L (sin (!t) U (t)) +! L (f(t a)u (t a)) e a F () L Š e at f(t) F ( + a) L (f (t)) F () f( + ) Z t F () L f(u)du L (tf(t)) F () L (f (t)) F () f( + ) f ( + ) Œ Z f(t) + L F (u)du t F () Pour f T-ériodique : L (f(t)) e où F () = L (f T (t)) 7 Transformée de Lalace inverse La transformée de Lalace étant un oérateur bijectif, sa bijection inverse eiste. Elle est unique et on l'aelle original de F ; on a alors : L (F ()) = f(t): Cela signie que connaissant la transformée de Lalace d'un signal, on retrouve, grâce à une lecture dans l'autre sens dans la table des transformées de Lalace, le signal. 7. Linéarité de la transformation de Lalace inverse Soient F () = L(f(t)) et G() = L(g(t)), f et g étant deu fonctions aartenant à E. Soient et deu réels quelconques alors : JMB

13 A - L [F () + G()] = L [F ()] + L [G()] Cette roriété conduit, our la recherche d'un signal dont on connait l'original, à transformer celui-ci en une somme d'éléments simles dont on eut facilement retrouver les originau grâce à la lecture en sens inverse dans la table. 7. Processus à suivre our la transformation de F() en somme d'éléments simles. s'il y a des retards, les traiter en remier, séarément.. our des fractions rationnelles du genre F () = P () avec deg P < deg Q, on décomose Q() dans R cette fraction en éléments simles. Les éléments simles de remière esèce se traitent facilement. Pour ceu de seconde esèce, on doit mettre leur dénominateur sous forme canonique, our retrouver des originau en cosinus ou en sinus. Eemle 7. Trouver l'original de F () = e F () = e = e = + d'où f(t) = e t e tš U (t) e (t ) e (t )Š U (t ) + Œ e + + Œ Eemle 8. Trouver l'original de F () = ( + ) ( + + ) F () = ( + ) ( + + ) = + + ( + ) + d'où f(t) = e t U (t) e t (cos t) U (t) 7.3 Proriétés de la transformée de Lalace inverse Soit f une fonction aartenant à l'ensemble E et dont la transformée de Lalace est F ().. L [F ()] = tf(t). L Z + F (u)du = f(t) t 3 JMB

14 A - 8 Résolution des équations diérentielles grâce à la transformée de Lalace 8. Équations diérentielles linéaires du remier ordre à coecients constants On considère l'équation diérentielle suivante : (E) : y (t) + ay(t) = f(t) où a est un réel quelconque, f une fonction aartenant à l'ensemble E aartenant aussi à E. On note F () = L(f(t)) et Y () = L(y(t)) et y une fonction En aliquant à l'équation (E), la transformation de Lalace on a alors : L(y (t) + ay(t)) = L (f(t)), L(y (t)) + al(y(t)) = L(f(t)), Y () y( + ) + ay () = F () d'où : Y () = F () + y(+ ) + a uis grâce à la transformée de Lalace inverse, on recherche l'original de Y () c'est à dire L [Y ()] = y(t). 8. Équations diérentielles linéaires du second ordre à coecients constants On considère l'équation diérentielle suivante : (E) : y (t) + ay (t) + by(t) = f(t) où a et b sont des réels quelconques, f une fonction aartenant à l'ensemble E fonction aartenant aussi à E. On note F () = L(f(t)) et Y () = L(y(t)) et y une En aliquant à l'équation (E), la transformation de Lalace on a alors : L (y (t) + ay (t) + by(t)) = L (f(t)), Y () y( + ) y ( + )+a Š Y () y( + ) +by () = F () d'où : Y () = F () + y(+ ) + ay( + ) + y ( + ) + a + b uis grâce à la transformée de Lalace inverse, on recherche l'original de Y () c'est à dire L [Y ()] = y(t). Eemle 9. Résoudre l'équation diérentielle y (t) + 6y (t) + 9y(t) = t e 3t sachant que y() = et y () = F () = L t e 3tŠ = ( + 3) 3 d'où : Y () = (+3) = + 3 ( + 3) d'où : y(t) = t4 e 3t + e 3t + (3 + ) te 3t U (t) ( + 3) ( + 3) ( + 3) = ( + 3) JMB

15 A Résolution des systèmes diérentielles d'ordre La méthode consiste simlement à eectuer la transformation de Lalace de chacune des équations du système, qui sont du remier ordre. On aboutit ainsi à un système linéaire de n équations à n inconnues : Y (); Y (); : : : ; Y n (), dans lesquelles joue le rôle d'un aramètre. Puis ar recherche des originau de chacune des Y (); Y (); : : : ; Y n (), on retrouve la solution du système diérentiel de déart. 5 JMB

16 A - 9 EXERCICES 9. Calcul de transformées de Lalace directes Eercice.. Linéariser en utilisant une formule trigonométrique : f(t) = cos (!t). En déduire, en vous aidant des roriétés classiques et du formulaire, la transformée de Lalace de f(t) = cos (!t)u (t) Eercice. Calculer la transformée de Lalace du signal ci-dessous : ½ ¹½ Ç ½ ¾ Eercice 3. Calculer, à artir de la dénition, la transformée de Lalace du signal réel ci-dessous : (V > et > ) Î ¼ ¾ ½ ¹½ Ç ½ ¾ Retrouver le résultat récédent en décomosant le signal en une combinaison linéaire de signau élémentaires et en utilisant le formulaire. Eercice 4. Calculer la transformée de Lalace du signal suivant (méthode au choi) : Î ¼ ¾ ½ ¹½ Ç ½ ¾ ¾ Eercice 5. Calculer la transformée de Lalace du signal suivant (méthode du formulaire) : 6 JMB

17 A - Î ¼ ¾ ½ ¹½ Ç ½ ¾ ¾ ¹½ ¹¾ Î ¼ ¹ Eercice 6. Trouver les transformées de Lalace des signau f et f suivants et les rerésenter grahiquement : f (t) = ( ( sin t si 6 t 6 si t > ou t < ; f (t) = si 6 t 6 a si t > a ou t < Eercice 7. Calculer les transformées de Lalace des signau T ériodiques dénis ci-dessous :. f(t) = j sin tju (t). f(t) = 8 > < > : si < t < a si a 6 t 6 a T = a 9. Calculs de transformées de Lalace inverses. Œ + Eercice 8. Calculer L ( + ) ( + 4) Eercice 9. Trouver f(t) sachant que F () = Eercice. Calculer L ( )( + ) Eercice. Trouver f(t) sachant que : F () = + e Œ + et rerésenter grahiquement f(t). Eercice. Trouver f(t) sachant que : F () = ( + ) 3 ( + 3) 7 JMB

18 A Alication de la transformée de Lalace à la résolution d'équations diérentielles. Eercice 3. En utilisant la transformée de Lalace, résoudre l'équation diérentielle suivante y (4) (t) + 5y (t) + 4y(t) = sin t et t > ; y() = y () = y () = y () = y (4) () = Eercice 4. En utilisant la transformée de Lalace, résoudre l'équation diérentielle suivante y (t) y (t) + y(t) = (t )e t U (t) et y() = ; y () = Eercice 5. En utilisant la transformée de Lalace, résoudre l'équation diérentielle suivante ty (t) y (t) + ty (t) y(t) = et y() = y () = y () = et y () = : 9.4 Alication de la transformée de Lalace à la résolution de systèmes diérentiels. 8 (t) = y(t) + z(t) > < y (t) = (t) z(t) Eercice 6. Résoudre z (t) = (t) + y(t) > : () = ; y() = z() = 8 JMB

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