TD La géométrie du triangle rectangle (Théorème de Pythagore et trigonométrie) EXERCICE I ( 3 pts ) On considère le triangle ABC rectangle en A.

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1 TD La géométrie du triangle rectangle (Théorème de Pythagore et trigonométrie) EXERIE I ( 3 pts ) On considère le triangle rectangle en. 1 / Si =12 et =5, calculer. fig 1 2 / Si =7 et =9,22, calculer. EXERIE II ( 3 pts) Dans un triangle (DEF), on mesure DE= 8cm, EF= 9cm, DF= 12cm. Que peut-on dire de ce triangle? EXERIE III ( 3 pts) EXERIE IV alculer la longueur de la corde. ( 4 pts)? H 50 EXERIE V O 20 ( 4 pts) Le cercle de centre O a pour diamètre = 10cm. 1) I etant le milieu de [O], a) alculer OI. b) alculer I. 2) On trace le cercle de centre I et de rayon I. a) alculer OD. b) alculer D 1) Quelle est la nature du triangle (OO'O")? 2) Quelles sont ses dimensions? 3) alculer sa hauteur OH 4) En déduire la hauteur h de cet empilement. EXERIE VI ( 3 pts) On donne la figure c-dessous avec = 2,89 1- alculer a, l'arête de ce cube. 2- alculer E. a E D

2 EXERIE VII ( 4 pts) 1) Expliquer en quelque lignes et à l'aide d'un schéma, la méthode utilisée pour tracer cet hexagone. 2) Exprimer en fonction du rayon R de ce cercle. O H PROLEME n 1 : Le pentagone régulier ( 8 pts) Tracer un cercle de centre O et de rayon 5 cm, I est le milieu de [OD]. 1.alculer I 2.ompas pointé en I,on trace un arc de cercle de rayon I, cet arc de cercle coupe [OE] en, calculer O. 3.alculer 4.ompas pointé en, on trace l'arc de cercle de rayon, cet arc coupe l'arc E en, construire OH la bissectrice de Ô, calculer H. 5.alculer α D I 6.alculer Ô, puis 360 O ( on rappelle que OH est la bissectrice de Ô) 7.En déduire l'intérêt de cette construction, la terminer. PROLEME n 2 : L octogone régulier ( 10 pts) G onstruire un carré (D) de 10 cm d'arrête α 1.alculer et O 2.alculer α Η 3.ompas pointé en, on trace l'arc de cercle de rayon O qui coupe [] en E 3.1.alculer E β 3.2.alculer KE 4.ompas pointé en, on trace l'arc de cercle de rayon O qui O coupe [] en F 4.1.alculer EF 5.ompas pointé en, on trace l'arc de cercle de rayon O qui coupe [] en G D 5.1.Que peut-on dire de () et (EG), grâce à qui et pourquoi? 5.2.Quelle est la nature du triangle (GH)? Pourquoi? (On rappelle que les diagonales d'un carré sont perpendiculaires) 5.3.alculer GH, en déduire GE 6.omparer GE et EF. En déduire l'intérêt de cette construction, la terminer. 7.alculer β. O α E E K F

3 ORRIGE Exercice I 1- TD La géométrie du triangle rectangle (Théorème de Pythagore et trigonométrie) Dans le triangle rectangle an, le théorème de Pythagore s écrit : ² = ² + ² D ou ² = 12² + 5² ² = 169 = Dans le triangle rectangle an, le théorème de Pythagore s écrit : ² = ² + ² D où 9,22² = 7² + ² ² = 9,22² - 7² ² = 36 = 6 Exercice II Le triangle DEF semble rectangle en E. Déterminons : 1) DF² = 12² = 144 2) DE² + EF² = 8² + 9² = = 145 Donc DE² DE² + EF² Par conséquent la réciproque du théorème de Pythagore n est pas vérifiée : le triangle DEF n est pas un triangle rectangle.

4 Fig : Exercice III Nous pouvons affirmer que : 1) le triangle O est un triangle isocèle de sommet principal O car les points et sont sur le cercle de centre O. 2) Les triangle OH, d une part et OH, d autre part sont rectangle en H. onclusion : On peut affirmer que H est le milieu du segment [] car la hauteur [H] du triangle isocèle O est aussi la médiatrice du segment []. Donc = 2.H Or, dans le triangle rectangle OH, rectangle en H, le théorème de Pythagore permet d écrire : O² = OH² + H² H² = O² - OH² H² = 25² - 20² H² = 225 H = 15 Par conséquent = 30 Echelle : 1/10

5 Exercice IV 1/ a) [O] est un rayon du cercle donc O = 5 cm Par conséquent OI = 2,5 cm b) Le triangle IO étant rectangle en O, le théorème de Pythagore permet d écrire : I² = IO² + O² I² = 2,5² + 5² car [O] est un rayon I² = 31,25 I = 5,59 cm 2/ a) [ID] étant un rayon du cercle de centre I et de rayon [I], on a : ID = I et OD = ID - IO Donc OD = 5,59 2,5 OD = 3,09 cm b) Le triangle OD étant rectangle en O, le théorème de Pythagore permet d écrire : D² = OD² + O² D² = 3,09² + 5² D² = 34,55 D = 5,87 cm Exercice V 1/ Les trois cercles étant identiques, chacune des distances OO, OO, O O sont égales à deux fois le rayon du cercle (ie : le diamètre du cercle) donc OO = OO = O O = 80 Le triangle OO O est un triangle équilatéral. 2/ ces dimensions sont 80 de côté. 3/ Dans un triangle équilatéral, la hauteur est aussi la médiane, donc la hauteur [OH] vient couper le segment [O O ] en son milieu H. Par conséquent : O H = 40 Dans le triangle rectangle O OH, le théorème de Pythagore permet d écriere : OO ² = OH² + HO ² OH² = OO ² - HO ² OH² = 80² - 40² OH² = 4800

6 donc OH = 40 3 ( 69,28 ) 4/ La hauteur de l empilement se décompose en OH et le diamètre h = OH + d h = h 149,28 Exercice VI 1/ La face du cube étant un carré, le triangle D est un triangle rectangle. ppliquons le théorème de Pythagore : ² = D² + D² 2,89² = 2.a² a² = 2,89² 2 a² = 4,17 a = 2 L arête du cube est 2 2/ Dans le triangle rectangle E, le théorème de Pythagore s écrit : E² = ² + E² E² = 2,89² + 2² E² = 12,35 E = 3,5 Exercice VII 1/ L hexagone est formé de 6 triangles équilatéraux de côté le rayon du cercle. 2/ Dans le triangle rectangle, le théorème de Pythagore permet d écrire : ² = ² + ² ² = ² - ² ² = ( 2R )² - R² ² = 3.R²

7 PROLEME n 1 : Le pentagone régulier ( 8 pts) orrection pent_reg.ppt PROLEME n 2: l octogone régulier ( 8 pts) 1- alcul de et O. Dans le triangle rectangle en, d après le théorème de Pythagore : ² = ² + ² ² = 10² + 10² = ,14 cm est le milieu du segment [] d où O = 2 soit O = 7,07 cm. 2- alcul de α. Dans le triangle O rectangle en O ( les diagonales d un carré sont perpendiculaires ) : Sin α = O 3.1- alcul de E. Sin α = 7,07 10 Soit α = 45 E [] donc E, et sont alignés: E = E

8 O = E car E et O appartiennent tous deux au cercle de centre et de rayon O. On en déduit : E 10 7,07 soit E 2,93 cm 3.2- alcul de KE. K est le milieu de [] d où K = 2, E et K sont alignés d où : 4.1- alcul de EF. (OK) est un axe de symétrie pour le carré ; F est donc le symétrique de E dans la réflexion d axe (OK) et par conséquent, EK = KF La mesure de EF est 4,14 cm. EK = K E soit EK = 2,07 cm (D) est un axe de symétrie pour le carré : G est l image de E dans la symétrie d axe (D). On a : (GE) (D) Or (D) () Donc (GE) // () 5.2- Le triangle GH est rectangle en H. ( cf : 5.1 ) 5.3- Dans le triangle GH : sin α = GH et G = E ( symétrie) G soit GH = 2,07 cm et GE = 2 GH soit GE = 4,14 cm 6- on a GE = EF. 7- alculons 6 KOE: Dans le triangle rectangle KOE: tan 6 KOE = EK EK soit 6 KOE 22,49 alculons β : β = 2 6 KOE soit β 44,9 ( # 45 )