En s'appuyant sur un schéma, déterminer une propriété relative aux angles d'un quadrilatère quelconque.
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- Martine Paul
- il y a 7 ans
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1 Énoncés Exercice 1 alculer la mesure de l'angle de chacun des triangles suivants : a] =72 et =33. b] est équilatéral. c] est rectangle en avec =51. d] est isocèle en avec =28. Exercice 2 En justifiant, répondre par vrai ou faux. a] Un triangle ne peut avoir qu'un seul angle obtus. b] Un triangle peut avoir deux angles droits. c] Un triangle équilatéral peut être rectangle. d] Un triangle rectangle peut être isocèle. Exercice 3 essiner deux triangles isocèles non superposables ayant un angle égal à 80. Exercice 4 alculer chaque mesure manquante. Exercice 5 En s'appuyant sur un schéma, déterminer une propriété relative aux angles d'un quadrilatère quelconque. Exercice 6 ompléter les phrases suivantes sans justifier : a] Si deux angles d'un triangle mesurent chacun 60 alors ce triangle est.... b] Si deux angles d'un triangle mesurent chacun 100 alors ce triangle est c] Si deux angles d'un triangle mesurent chacun 45 alors ce triangle est d] Si deux des angles d'un triangle mesurent 150 et 20 alors ce triangle est.... e] Si deux des angles d'un triangle mesurent 98 et 41 alors ce triangle est.... éducmat Page 1 sur 9
2 Exercice 7 On considère la figure ci-contre : a] alculer la mesure de l'angle ÂE puis de E. b] alculer la mesure de l'angle ÊF puis de EF. c] Que peut-on en déduire concernant la position des points, E et F? Exercice 8 Martinien veut construire un triangle FOU dont il connaît les longueurs OU et FU. Parmi les longueurs proposées pour le côté [OF], entourer la ou les mesures possibles. OU FU OF a] b] c] 9,4 4,6 4, ,01 d] 7,6 3,5 4,11 11,01 12 e] π Exercice 9 Tracer deux triangles non superposables NOR et SU, isocèles respectivement en N et en S, de même périmètre 10,5 cm et ayant chacun au moins un côté de longueur 2,5cm. Justifier brièvement. Exercice 10 Soit RN un triangle tel que R = 14 cm et RN = 5 cm. Quelles sont les mesures entières possibles pour le segment [N]? Exercice 11 Tracer chacun des triangles suivants : a] HTU tel que : HT = 5 cm, HU = 2 cm et THU =100. b] LMN tel que : LM = 6 cm, MN = 10 cm et NLM =49. c] GKO tel que : GK = 5,5 cm, ĜKO=45 et KGO=35. d] PRS tel que : PSR=124, ŜPR=18 et SR = 5,5 cm. Exercice 12 onstruire un triangle équilatéral de côté 4 cm. a] ompléter la figure en construisant le triangle isocèle en tel que Ĉ=105. b] Quelles sont les mesures des angles du triangle? Justifier. Que dire alors du triangle? éducmat Page 2 sur 9
3 Exercice 13 Exercices de 5 ème hapitre 4 Triangles et quadrilatères Reproduire cette figure en vraie grandeur. Exercice 14 ompléter les phrases suivantes sachant que le dessin ci-contre n'est pas codé : (d 1 (d 2 (d 3 a]... est la bissectrice de l'angle... b]... est la médiatrice du segment []. I (d 4 c]... est la médiane issue de... d]... est la hauteur relative au côté... e]... est la médiatrice du segment []. (d 5 J Exercice 15 Tracer le cercle circonscrit à chacun des triangles suivants : a] b] c] éducmat Page 3 sur 9
4 Exercice 16 Tracer les figures suivantes. a] Rectangle avec =6,3cm et =28. b] Losange EFGH avec EG=6cm et FEG=40. c] Rectangle IJKL de centre O avec IK=7cm et ĴOK =36. d] arré MNPQ de diagonale 5,2cm. Exercice 17 Reproduire cette figure en vraie grandeur, sachant que T=2,5cm ; H=3,3cm et HU=5,5cm. L O T P H U Exercice 18 À l'aide du codage, déterminer la nature des quadrilatères suivants : Exercice 19 Soit MNOP un quadrilatère dont les diagonales se coupent en R. On donne : MN=OP, (MN//(OP et (MO ( NP. éterminer la nature exacte de MNOP. Exercice 20 éterminer la nature des quadrilatères EF et E. F E éducmat Page 4 sur 9
5 orrigés Exercice 1 a] omme la somme des mesures des angles de vaut 180 alors mesure = 75. b] omme les angles de ont la même mesure alors mesure =60. c] omme la somme des mesures des angles de vaut 180 alors mesure = 39. d] omme les angles et ont le même mesure alors chacun d'eux mesure =76. 2 Exercice 2 a] Vrai. Si un triangle a un angle obtus, alors la somme des angles restants vaut moins de 90. On ne peut donc pas avoir un autre angle obtus. b] Faux. Si un triangle pouvait avoir deux angles droits alors le troisième angle aurait une mesure nulle. c] Faux. Les angles d'un triangle équilatéral mesurent chacun 60. d] Vrai. Un triangle rectangle isocèle s'obtient en coupant un carré suivant une diagonale. Exercice 3 Les deux triangles à dessiner ont, pour l'un, des angles égaux à 80, 80 et 20, et, pour l'autre, des angles égaux à 80, 50 et 50. Exercice 4 ngle ÊXR : omme la somme des angles du triangle SER vaut 180 alors ŜER+ ŜRE= soit 70. omme le triangle ERS est isocèle en S alors ŜER=ŜRE donc ŜRE mesure 70 2 =35. omme la somme des angles du triangle XER vaut 180 alors ÊXR= onc ÊXR=55. ngle NE : omme le triangle NLE est équilatéral alors LNE=60. omme ÊNL=ÊN alors ÊN=60. omme la somme des angles du triangle EN vaut 180 alors ÂEN = onc ÂEN =30. ngle ÔPU : omme la somme des angles du triangle MON vaut 180 alors MON= onc MON=36. omme la somme des angles du triangle OPU vaut 180 alors ÔPU= onc ÔPU=54. Exercice 5 On considère le quadrilatère quelconque ci-contre. omme la somme des angles du quadrilatère est la somme des angles des triangles et alors la somme des mesures des angles de, donc d'un quadrilatère quelconque, vaut = 360. éducmat Page 5 sur 9
6 Exercice 6 Exercices de 5 ème hapitre 4 Triangles et quadrilatères a] Si deux angles d'un triangle mesurent chacun 60 alors ce triangle est équilatéral. b] Si deux angles d'un triangle mesurent chacun 100 alors ce triangle est impossible! c] Si deux angles d'un triangle mesurent chacun 45 alors ce triangle est isocèle et rectangle. d] Si deux des angles d'un triangle mesurent 150 et 20 alors ce triangle est quelconque. e] Si deux des angles d'un triangle mesurent 98 et 41 alors ce triangle est isocèle. Exercice 7 a] omme E est un triangle équilatéral alors Ê=60. omme  est un angle droit alors ÂE=90 60 d'où ÂE =30. omme la somme des angles du triangle E vaut 180 alors ÂE+ Ê vaut = 150. omme E est un triangle isocèle en alors Ê= ÂE d'où ÂE=150. onc ÂE=75. 2 b] e la même façon qu'en a] On montre que E=30. omme F est un triangle équilatéral alors F =60. On en déduit que ÊF = soit ÊF=90. omme EF est un triangle isocèle rectangle en alors ĈEF=45. c] omme E est un triangle équilatéral alors E=60. omme on a ÂEF = ÂE+ E + ĈEF alors ÂEF = donc ÂEF =180. omme ÂEF est un angle plat alors les points, E et F sont alignés. Exercice 8 OU FU OF a] b] c] 9,4 4,6 13 d] 7,6 3,5 4,11 11,01 e] π Exercice 9 onsidérons que NOR, isocèle en N, possède deux côtés mesurant 2,5 cm. omme on a NO = NR alors OR mesure 10,5 2,5 2,5 = 5,5 cm. omme NO + NR = 5 cm alors NO + NR < OR donc NOR n'existe pas. S onsidérons le triangle SU isocèle en S, avec [U] qui mesure 2,5 cm. On a SU + S + U = 10,5 cm avec U = 2,5 cm et SU = S. 'où SU + SU = 10,5 2,5 onc 2SU = 8 Par conséquent SU et S mesurent 4 cm. U 2,5 cm Exercice 10 Pour que RN vérifie l'inégalité triangulaire il faut que la longueur de chaque côté soit inférieure à la somme des longueurs des autres côtés. On doit donc avoir N < R + RN donc N < 19cm. e plus R < RN + N c'est-à-dire 14 < 5 + N soit N > 9cm. Le segment [N] peut donc avoir pour mesure entière tous les entiers de 10 à 18cm. éducmat Page 6 sur 9
7 Exercice 11 Exercices de 5 ème hapitre 4 Triangles et quadrilatères a] Pour tracer HTU on peut commencer par tracer HT = 5cm, puis THU =100 et enfin HU = 2cm. b] Pour tracer LMN on commence par tracer LM = 6cm, puis NLM =49 et enfin MN = 10cm. c] Pour tracer GKO on commence par tracer GK = 5,5 cm, puis ĜKO=45 et enfin KGO=35. d] Pour tracer PRS on commence par tracer SR = 5,5 cm, puis PSR=124, et enfin ŜPR=18. Exercice 12 a] Pour construire on utilise le fait que : omme est équilatéral alors Ĉ=60 d'où =45. omme est isocèle en alors Â=. b] On a montré en a] que Â=45. e même =45. omme la somme des angles du triangle vaut 180 alors  mesure = 90. Par conséquent, le triangle est isocèle et rectangle en. Exercice 13 On commence par tracer le triangle MON, puis MOP, puis MPQ, puis MRQ et enfin MNR. Exercice 14 a] (d 1 est la bissectrice de l'angle Â. b] (d 4 est la médiatrice du segment []. c] (d 5 est la médiane issue de. d] (d 3 est la hauteur relative au côté []. e] (d 2 est la médiatrice du segment []. Exercice 15 Pour trouver le centre des cercles circonscrits à chacun des triangles, on trace les médiatrices des côtés, sauf pour le triangle rectangle, où le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse. a] b] c] éducmat Page 7 sur 9
8 Exercice 16 a] 28 c] I J 7 cm O 36 6,3 cm L K b] F d] Pour construire le carré MNPQ de diagonale 5,2cm, on se sert de la propriété du carré suivant laquelle les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu. E 40 6 cm G H Exercice 17 On commence par tracer le rectangle HT, suivi du triangle HU, puis le losange TUP et enfin le carré PLOU. Exercice 18 a] omme le quadrilatère a des diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. omme les diagonales du parallélogramme sont perpendiculaires alors c'est un losange. b] omme les diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. c] ucun signe particulier. d] omme le quadrilatère a des diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. omme les diagonales du parallélogramme ont la même longueur alors c'est un rectangle. e] omme tous les côtés du quadrilatère ont la même longueur alors c'est un losange. f] omme le quadrilatère a des diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. omme les diagonales du parallélogramme ont la même longueur alors c'est un rectangle. omme les diagonales du parallélogramme sont perpendiculaires alors c'est un losange. omme le quadrilatère est un losange et un rectangle alors c'est un carré. g] omme tous les côtés du quadrilatère ont la même longueur alors c'est un losange. omme le losange a un angle droit, alors c'est un carré. h] omme le quadrilatère a ses côtés opposés deux à deux de même longueur, alors c'est un parallélogramme. omme le parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle. éducmat Page 8 sur 9
9 Exercice 19 omme MNOP a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme. omme les diagonales (MO et (NP du parallélogramme MNOP sont perpendiculaires, alors MNOP un losange. Exercice 20 omme le quadrilatère EF a ses côtés opposés deux à deux de même longueur, alors c'est un parallélogramme. omme le parallélogramme EF a un angle droit, alors EF est un rectangle. omme les diagonales du quadrilatère E se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. omme les diagonales du parallélogramme E sont perpendiculaires alors E est un losange. éducmat Page 9 sur 9
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