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1 Un exemple de cours : Racine carrée et Compléments. C est un des premiers symboles «bizarres» que l on rencontre au collège que le symbole " ". Que signifie t il? A quoi peut il servir? Comment s en sert on? Nous allons répondre à ces questions et étudier en profondeur les propriétés de la racine carrée. 1) Définition de la racine carrée d un nombre positif Définition On considère un nombre τ 0. Définissons la racine carrée de τ τ. - τ est un nombre positif qui vérifie : τ τ = τ. - y un nombre positif. y = τ si et seulement si le carré de y est τ. Montrons par exemple que 9 = 3. Puisque 3 3 = 9 on a 9 = 3. C est une application de la définition. Nous reviendrons à faire souvent ce type de vérification dans des cadres un peu plus théoriques dans la suite.

2 Premières Constatations Nous allons faire deux remarques importantes. Ce sera l occasion pour nous de faire un premier raisonnement par Analyse-Synthèse dans la première démonstration. La seconde remarque laissée comme exercice sera utilisée plus tard. Première remarque: Un nombre positif et sa racine carrée sont égaux SSI il ils valent 0 ou 1. De façon plus formelle : x = x x = 0 ou x = 1 Démonstration : Montrons que x = x x = 1 ou x = 0. x = x x 2 = x 2 x 2 = x x(x 1) = 0 x = 0 ou x = 1 D où la première implication. Réciproquement Si : x = 0 alors x = 0 = 0 = x Si : x = 1 alors x = 1 = 1 = x D où l implication réciproque x = 0 ou x = 1 x = x Au final on a l équivalence x = x x = 0 ou x = 1 pour x positif. Seconde remarque Deux nombres positifs sont distincts si et seulement si leur racines carrées sont distinctes. C-ad :Si m et p deux nombres positifs m p m p On laisse la démonstration comme Exercice

3 2- Propriétés algébriques. On va voir ici comment la racine carrée se comporte avec les opérations usuelles que l on connaît. Les démonstrations de ces résultats sont importantes, elles permettent d une part de mieux maîtriser l objet (ce qui est l objectif de ce cours) mais d autre part de s habituer à la démonstration avec des enchaînements élémentaires. Le Produit se comporte bien. On considère m et p deux nombres positifs ou nuls. comportement avec le produit mp = m p Démonstration : Il s agit de démontrer que mp = m p. Pour démontrer cette égalité nous allons revenir à la définition de la racine carrée d un nombre positif. Vérifions déjà que nous avons bien le droit de prendre la racine carrée de mp. Sachant que : m 0 et p 0 on a par règle des signes mp 0. On a bien le droit de prendre la racine carrée du nombre positif mp. La définition de la racine carrée nous conduit à prouver que : ( m p)( m p) = mp On a ( m p)( m p) = ( m m) ( p p) = mp Le carré du nombre m p est mp donc mp = m p

4 Comportement avec l addition : mal aisée On considère m et p deux nombres positifs ou nuls. Sachant que : m 0 et p 0 on a par somme m + p 0. On a bien le droit de définir le nombre m + p. On aimerait bien écrire que : m + p = m + p mais c est faux en général. Montrons que c est absurde dans le cas général à partir d un contre exemple. Prenons: m = 16 et p = 25. On a m + p = = = 9 = 81 Et m + p = = 41. Sachant que 81 est différent de 41 alors d après la Remarque2 : Donc : m + p différent de m + p Question laissée en exercice: Pour quels valeurs de m et p a t on: m + p = m + p? Comportement naturel avec l inverse Redéfinissons proprement la notion d inverse pour commencer : On parlera de l inverse d un réel non nul. On définit l inverse de x que l on notera Inv(x) comme l unique réel qui vérifie : x Inv(x) = 1 Pour la suite on utilisera aussi le fait que l inverse d un nombre strictement positif est un nombre strictement positif (laissé en exercice)

5 Prenons un réel x > 0. On a l égalité : Inv( x) = Inv(x). Il s agit donc de démontrer que : x Inv(x) = 1. D après la compatibilité avec le produit on a : x Inv(x) = x Inv(x) Or par définition : x Inv(x) = 1, an a alors : x Inv(x) = 1 = 1. D où la formule : Inv( x) = Inv(x) pour x strictement positif. On peut aussi la voir sous la forme : 1 x = 1 Extension avec la division On rappelle que diviser revient à multiplier par l inverse. On rappelle qu on ne peut pas diviser par 0 car l inverse de 0 n est pas définit. Si l on considère m et p deux réels avec p non nuls, on pose : m p = m Inv(p) Pour m et p strictement positifs. On a : m p = m p Que l on peut aussi écrire sous la forme : m p = m Démontrons ce résultat en utilisant tout ce qui a été vu précédemment: m p = m Inv(p) = m Inv(p) = m Inv( p) = m 1 x p p Application : Montrons que la racine carrée de 9 4 est = 9 4 = 3 2

6 Fixons une notation utile pour la suite : On considère un nombre réel m et un réel positif p. On notera : m p = m p Exemple : 3 2 = 3 2 Maintenant si l on considère que m est strictement positif : m p = m 2 p = m 2 p Cette formule est utile pour transformer certaines expressions en des expressions plus simples à manipuler. On décompose le nombre sous le radical comme produit de carrés et on applique la formule. Par exemple, si l on veut écrire plus simplement : 3024 Une méthode appelée décomposition en produits de facteurs premiers (que je détaillerais dans un prochain cours) permet d obtenir la décomposition suivante : 3024 = = 3 7 (3 2 2 ) 2 = 21 (3 2 2 ) 2 On a donc : 3024 = = 12 21

7 La formule de Conjugaison Nous allons maintenant voir la formule appelée formule de conjugaison : a b = a b a+ b avec a et b strictement positifs. Sa démonstration repose sur l identité remarquable : (m p)(m + p) = m 2 p 2 On pose m = a et p = b et on obtient : ( a + b)( a b) = a b et on en déduit la formule de conjugaison. Prouvons que l inverse de : 1 + π π est 1 + π + π On cherche donc à calculer : 1 1+π π π π = 1 (1 + π) π 1 + π + π = π + π = 1 + π + π La formule du conjugué permet aussi de démontrer certaines inégalités. 3) Quelques inégalités classiques. Démontrons par exemple que si l on prend deux réels positifs m et p rangés dans l ordre m p alors leurs racines carrées sont rangées dans le même ordre. Formellement cela donne : m < p m < p avec m et p > 0 (Propriété de croissance)

8 Voyons donc une preuve de la Propriété de croissance : Pour montrer que m < p lorsque m < p < 0 on peut montrer que : m p < 0. Examinons le signe de m p. m p m p = m + p Sachant que : m < p alors m p < 0. Et puisque la quantité m + p est strictement positive, la division par ce nombre ne change pas le sens de l inégalité. On a donc : m p m+ p < 0 Donc m p < 0 cad m < p Pour ceux qui connaissent la théorie des fonctions, on fera le lien avec l aspect croissant de la fonction racine carrée sur l ensemble des réels strictement positifs D autres inégalités.. On considère un réel positif : x - x = x pour x = 0 ou x = 1 (déjà démontré) - x > x pour x ]0; 1[ - x < x pour x > 1 Exercice : En utilisant la formule de conjugaison et en s inspirant de la démonstration de la Propriété de Croissance démontrer ces inégalités. Exercice d application :Trouver tous les entiers n pour lesquels on a: n + 1 > π

9 4) Valeur absolue d un réel. Nous allons présenter une première définition de la valeur absolue d un nombre réel en utilisant la racine carrée. Notons que ce n est pas la version officielle que nous allons présenter en premier mais nous essayerons de montrer que les deux manières de présenter la valeur absolue sont équivalentes. Définition avec la racine carrée de la valeur absolue : On considère un réel p quelconque. On définit la valeur absolue de p par Absolue(p) = p 2 Vérifions que cette définition a un sens pour tout réel p. p 2 est un carré, c est donc un nombre positif (même si p est négatif) donc on peut en prendre la racine carrée. Quelques calculs de valeur absolue : Absolue(2) = 2 2 = 2 et Absolue( 3) = 3 3 = 9 = 3 Du comportement sympathique entre la racine carrée et le produit on peut tirer la propriété suivante : Abs(m p) = Abs(m) Abs(p) pour a et b des nombres réels. Démonstration : On se donne deux nombres réels m et p. Abs(mp) = (mp) 2 = m 2 p 2 = m 2 p 2 = Abs(m) Abs(p) d où le résultat.

10 En calculant quelques valeurs absolues on arrive à remarquer la chose suivante : x si x est positif Abs(x) = { x est x est négatif Montrons ce résultat en utilisant la compatibilité avec le produit. On remarquera avant la chose suivante : Abs( 1) = 1 Deux cas sont à étudier : - Si x est positif on a Abs(x) = x x = x x = x - Si x est négatif son opposé x est positif. On peut donc écrire que Abs(x) = Abs( 1 ( x)) = Abs( 1) abs( x) = 1 Abs( x) = x On vient donc de démontrer le résultat : x si x est positif Abs(x) = { x est x est négatif Nous venons d obtenir une nouvelle caractérisation de la valeur absolue. Nous dirons que la fonction valeur absolue est affine par morceaux. Exercice : Tracer une allure de la représentative associée à la fonction Abs. En exploitant les propriétés algébriques de la fonction racine carrée, on montre que : Abs(Inv(x)) = Inv(Abs(x)) pour un réel x quelconque. Abs ( x ) = Abs(x) pour x réel et y non nul. y Abs(y) Les démonstrations de ces formules sont laissées comme Exercice.

11 Dans un prochain épisode nous étudierons en détail cette fonction valeur absolue qui est à l origine de la notion de distance sur l ensemble des réels. A savoir que si l on se donne deux points m et p sur la droite réelle, on a : Abs(m p) = distance(m; p) En particulier prendre la valeur absolue d un nombre c est calculer sa distance à l origine. La valeur absolue vérifie l inégalité triangulaire : Abs(x y) Abs(x) + Abs(y) pour x et y des réels. 5) Introduction aux irrationnels avec 2 On va commencer par rappeler certaines définitions : Un entier est dît pair s il est divisible par 2. L entier n est pair SSI il existe un entier k tel que n = 2k. Un entier est dît impair s il n est pas divisible par 2. L entier n est impair SSI il existe un entier k tel que n = 2k + 1 Un nombre réel est dît rationnel s il peut s écrire comme quotient de deux entiers qui n ont pas de diviseurs communs. Un réel qui n est pas rationnel est dît irrationnel. L ensemble des rationnels se note Q. On souhaite montrer que 2 est irrationnel. On va donc démontrer que l écriture 2 = m p diviseurs communs est une absurdité. avec m et p des entiers sans

12 Un lemme : «Si le carré d un entier est pair alors l entier dont on prend le carré est un nombre pair.» Considérons un entier L 2 pair. Supposons que L n est pas pair ; il est donc impair. L s écrit alors L = 2h + 1 avec h un entier. On élève L au carré: L 2 = (2h + 1) 2 = 4h 2 + 4h + 1 = 2(2h 2 + 2h) + 1. Donc L 2 impair. Or nous avions supposé que le carré de L était pair. C est donc une contradiction, d où le lemme. On conclue que si le carré d un entier est pair, l entier est pair. Montrons par l absurde l aspect irrationnel de 2. On suppose tout d aborde que 2 est rationnel. Il existe donc deux entiers p et q tels que 2 = p avec p et q qui n ont pas de q diviseurs en communs. 2 = p q donc 22 = p2 p2 donc 2 = q2 q 2 donc 2q2 = p 2 Or 2q 2 = p 2 donc p 2 est pair. En appliquant le lemme, p est pair. p 2 pair signifie p = 2k avec k entier. Donc q 2 = 2k 2. q 2 = 2k 2 Donc q 2 est pair. En appliquant le lemme q est pair. Au final en supposant 2 rationnel on obtient deux entiers p et q pairs. Cela contredit qu ils sont sans diviseurs communs. D où l absurdité de 2 rationnel. Nous venons d obtenir un premier cas de nombre irrationnel.

13 En exercice on pourra essayer de montrer que 3 est irrationnel. Les nombres irrationnels ne sont pas tous obtenus avec la racine carrée, par exemple π. Nous montrerons beaucoup plus tard deux résultats de densité. Entre deux rationnels quelconques et distincts on peut trouver un irrationnel Entre deux irrationnels quelconques et distincts on peut trouver un rationnel.

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