Harmonisation des Connaissances en Mathématiques

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1 Hrmonistion des Connissnces en Mthémtiques UE de 3me nnée de l Licence Physique et Ingénieries, prcours IUP GSI et re nnée de Mster PTR Polycopié du cours 25 Frnçois Dums

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3 Module d Hrmonistion des Connissnces en Mthémtiques L3 IUP GSI Licence Physique et Ingénieries F Dums Pln PLAN ET PROGRESSION Première série: Révision et mise u point sur certines notions élémentires Nombres complexes Forme lgébrique: prtie réelle, prtie imginire, opértions sur les complexes, module, conjugison, interpréttion géométrique 2 Forme trigonométrique, forme exponentielle: rgument, nottion e iθ, formule de Moivre, formule d Euler, pplictions, exponentielle complexe 2 Equtions et systèmes d équtions Equtions lgébriques à une inconnue dns R et dns C: rcines n-ièmes dns C, méthode générle de résolution des équtions de degré 2, solutions réelles, solutions complexes 2 Equtions linéires à 2 ou 3 inconnues: systèmes linéires, méthodes de résolution, pivot, déterminnt 2 2, interpréttion géométrique 3 Développements limités Notion de développement limité: définition, formule de Tylor-Young, réduction u cs des développements limités u voisinge de, développements limités générlisés 2 Méthodes de clcul: somme, produit, division, substitution, dérivtion et primitivistion, exemples 4 Intégrles et primitives Intégrle d une fonction continue pr morceux sur un intervlle fermé borné: principe de construction et interpréttion géométrique, principles propriétés, liens vec les primitives, cs des fonctions à vleurs complexes 2 Méthodes de clcul: primitives usuelles, chngement de vribles, intégrtion pr prties, exemples 5 Equtions différentielles linéires Equtions différentielles linéires du premier ordre: solution générle de l éqution homogène ssociée, solutions prticulières de l éqution vec second membre, vrition de l constnte, exemples 2 Equtions différentielles linéires du deuxième ordre à coefficients constnts: solution générle de l éqution homogène ssociée, éqution crctéristique, exemples de recherche de solutions prticulières de l éqution vec second membre 2 Deuxième série: Rppels et compléments d nlyse 6 Intégrles générlisées Notion d intégrle générlisée: divers types de problèmes, intégrle convergente ou divergente, méthodes de clculs, exemple de Riemnn 2 Critères de convergence: critères de mjortion et d équivlence pour les fonctions réelles positives, exemple de l fonction eulérienne Γ, convergence bsolue, exemples divers 7 Séries numériques Notion de série: sommes prtielles, terme générl, série convergente ou divergente, exemples des séries géométriques 2 Cs des séries à termes réels positifs: critères de mjortion et d équivlence, exemple des séries de Riemnn, règles de d Alembert et de Cuchy, exemples 3 Cs des séries à termes réels ou complexes quelconques: convergence bsolue, séries réelles lternées, exemples 8 Séries entières Notion de série entière: ryon de convergence, disque de convergence, méthodes de clculs, exemples, série exponentielle, série entière géométrique 2 Fonctions d une vrible réelle définie pr l somme d une série entière: intervlle de convergence, continuité et dérivbilité, ppliction à certines équtions différentielles, exemples 3 Développement en série entière d une fonction d une vrible réelle: règles de clculs et exemples clssiques 9 Séries de Fourier Coefficients de Fourier: forme réelle, forme complexe, série de Fourier, exemples 2 Convergences de l série de Fourier: théorème de Dirichlet, formule de Plncherel-Prsevl, exemples et pplictions Fonctions de plusieurs vribles Fonctions sclires de deux vribles: continuité, dérivées prtielles, formules de compositions, cs des coordonnées polires, dérivées prtielles d ordre supérieur, extension ux fonctions sclires de trois vribles, coordonnées cylindriques, coordonnées sphériques 2 Fonctions vectorielles de deux ou trois vribles: fonctions coordonnées, mtrice jcobienne, exemples et pplictions, opérteurs clssiques de l nlyse vectorielle / 3

4 3 Troisième série: Rppels et compléments d lgèbre linéire, et pplictions Vecteurs Sous-espces vectoriels de R n : opértions sur les vecteurs, combinisons linéires, notion de sous-espce vectoriel, intersection, somme directe et sous-espces supplémentires 2 Fmilles génértrices, fmilles libres, bses et dimension: bses et somme directe, théorème de l bse incomplète 2 Mtrices Clcul mtriciel: notion de mtrice, somme, produit, cs des mtrices crrées, inversibilité, mtrices semblbles, mtrices digonles ou tringulires, trce 2 Mtrices et pplictions linéires: notion d endomorphisme, mtrices d un endomorphisme, ppliction u clcul de l inverse d une mtrice crrée inversible, noyu d un endomorphisme 3 Chngements de bses Les principes du chngement de bses: mtrice d une fmille finie de vecteurs dns une bse, mtrice de pssge, première formule de chngement de bses, seconde formule de chngement de bses 2 Exemples d pplictions de chngements de bses: clcul des puissnces n-ièmes d une mtrice et pplictions à des problèmes de suites, résolution de systèmes différentiels linéires à coefficients constnts, exemples 4 Déterminnts Définition et propriétés du déterminnt: développements, opértions sur les lignes, trnsposition et opértions sur les colonnes, exemples, multiplictivité, inversibilité 2 Applictions des déterminnts: clcul de l inverse d une mtrice crrée, déterminnt d un endomorphisme, crctéristion des bses, formules de Crmer pour les systèmes d équtions linéires 5 Digonlistion Vleurs propres et polynôme crctéristique: vleurs propres, vecteurs propres, sous-espces propres, polynôme crctéristique, multiplicité lgébrique et multiplicité géométrique d une vleur propre, exemples 2 Digonlistion: notion d endomorphisme et de mtrice digonlisbles, conditions de digonlisbilité, exemples, ppliction à l résolution des systèmes différentiels linéires, exemples, quelques mots sur l trigonlistion 4

5 Module d Hrmonistion des Connissnces en Mthémtiques L3 IUP GSI Licence Physique et Ingénieries F Dums Leçon Nombres complexes Forme lgébrique Forme lgébrique d un nombre complexe On note C l ensemble des nombres complexes Tout nombre complexe z s écrit de fçon unique: z = x + iy vec x, y R Le réel x s ppelle l prtie réelle de z; le réel y s ppelle l prtie imginire de z; on note prfois: x = R(z, y = I(z Deux nombres complexes sont égux s ils ont même prtie réelle et même prtie imginire: si x, x, y, y R, x + iy = x + iy x = x et y = y Un nombre complexe est réel si et seulement si s prtie imginire est nulle Un nombre complexe dont l prtie réelle est nulle s ppelle un imginire pur; leur ensemble est noté ir si x, x, y, y R, lors [x + iy R y = ], et [x + iy ir x = ] 2 Opértions sur les nombres complexes Addition: l somme de deux nombres complexes s obtient en dditionnnt leurs prties réelles et leurs prties imginires: (x + iy + (x + iy = (x + x + i(y + y Propriétés Cette ddition toutes les bonnes propriétés usuelles: commuttivité [z + z = z + z], ssocitivité [z + (z + z = (z + z + z ] Le nombre complexe = + i est neutre pour cette ddition [ + z = z + = z pour tout z C] L opposé d un nombre complexe z C est z = ( x + i( y; c est le nombre complexe tel que z + ( z = ( z + z = Multipliction: le produit de deux nombres complexes est défini de fçon à prolonger le produit des réels et à prtir de l formule fondmentle: i 2 = i i = Le produit de deux nombres complexes quelconques est donné pr l formule: (x + iy(x + iy = (xx yy + i(xy + x y Propriétés Cette multipliction toutes les bonnes propriétés usuelles: commuttivité [zz = z z], ssocitivité [z(z z = (zz z ] Le nombre complexe = + i est neutre pour cette ddition [z = z = z pour tout z C] L multipliction est distributive sur l ddition [z(z + z = zz + zz ] Inverse: tout nombre complexe z non-nul dmet un inverse noté z ou z ; c est pr définition l unique nombre complexe tel que zz = z z = ; s prtie réelle et s prtie imginire sont données pr l formule fondmentle: x + iy = x x 2 + y 2 i y x 2 + y 2 En effet Remrquons d bord que le fit que z = x+iy équivut à dire que x et y ne sont ps simultnément nuls, donc x 2 + y 2 On pose lors x = x x 2 +y 2 et y = y x 2 +y 2 On clcule: xx yy x = x x 2 +y 2 y y x 2 +y 2 = et xy + x y = x y ce qui prouve que (x + iy(x + iy = et montre le résultt voulu x 2 +y 2 + x x 2 +y 2 y =, 5

6 3 Conjugison et module Conjugué d un nombre complexe On ppelle conjugué d un nombre complexe z le nombre complexe noté z qui l même prtie réelle que z et une prtie imginire opposée: Les propriétés suivntes sont immédites: si z = x + iy vec x, y R, lors z = x iy z = z z + z = z + z et z = z z z = 2iI(z et z + z = 2R(z zz = zz z = z z R et z = z z ir si z, z = (z Module d un nombre complexe Soit z = x + iy un nombre complexe quelconque, vec x, y R Le produit de z pr son conjugué est toujours un réel positif: zz = (x + iy(x iy = x 2 + y 2 On ppelle module de z, noté z, l rcine crrée de ce réel: si z = x + iy vec x, y R, lors z = zz = x 2 + y 2 R + On résume dns le tbleu ci-dessous les principles propriétés du module z = z = zz = z z z + z z + z z = z z = z pour z R(z z vec églité pour z R z = z I(z z vec églité pour z ir 4 Interpréttion géométrique Dns le pln (ffine euclidien rpporté à un repère orthonormé, tout point M est déterminé pr ses deux coordonnées réelles: son bscisse x et son ordonnée y Le nombre complexe z = x+iy est lors ppelé l ffixe du point M Réciproquement, il est clir qu à tout nombre complexe z = x + iy vec x, y R, on ssocie l unique point M de coordonnées (x, y dns le repère choisi On insi une correspondnce bijective entre les points du pln et les nombres complexes Il est clir que, si M d ffixe z, lors Figure le point M d ffixe z est le symétrique de M pr rpport à l origine O du repère le point M d ffixe z est le symétrique de M pr rpport à l xe des bscisses du repère le point M 2 d ffixe z est le symétrique de M pr rpport à l xe des ordonnées du repère De plus, pr définition même du module d une prt et de l distnce dns le pln d utre prt, on : Pour tout point M d ffixe z, le réel positif z = x 2 + y 2 = OM est l distnce entre le point M et l origine O du repère Il en résulte que, si A et B sont deux points d ffixes respectives z A et z B, lors Figure 2 z B z A = AB = OD où D est le point d ffixe z B z A z A + z B = OC où C est le point défini pr l somme de vecteurs (règle du prllélogrmme: OA + OB = OC 6

7 2 Forme trigonométrique, forme exponentielle 2 Argument d un nombre complexe non-nul Soit z = x + iy un nombre complexe quelconque, vec x, y R Notons ρ son module: ρ = z = zz = x 2 + y 2 Si ρ =, lors z =, et réciproquement On supposer désormis que z est non-nul, donc ρ > Introduisons lors le nombre complexe z = ρ z Il s écrit sous forme lgébrique z = x + iy vec: x = x ρ = x et y = y x2 +y 2 ρ = y x2 +y 2 On z = ρ z = ρ z = ρ z = Ainsi les réels x et y vérifient x 2 + y 2 = Il existe donc un réel θ tel que x = cos θ et y = sin θ Ainsi on montré que: tout z C non-nul s écrit: z = ρ(cos θ + i sin θ, vec ρ = z >, et θ R L expression ci-dessus s ppelle l forme trigonométrique du nombre complexe non-nul z Un réel θ stisfisnt cette églité s ppelle un rgument du nombre complexe non-nul z On note θ = rg z (modulo 2π, voir ci-dessous Remrques Pr définition, θ est une mesure en rdins de l ngle orienté des vecteurs ( OI, OM où M est le point du pln d ffixe z et I le point de l xe des bscisses d ffixe Figure 3 2 Attention: θ n est ps unique; tout réel θ + 2kπ vec k Z est un utre rgument de z On ppelle prfois rgument principl de z, noté Arg z, celui des rguments de z qui pprtient à [ π, π[ 3 On modulo 2π les églités: rg z = rg z, rg( z = rg z + π, rg( z = π rg z Propriété fondmentle: si θ est un rgument de z et θ un rgument de z, lors θ + θ est un rgument du produit zz Comme on sit déjà que zz = z z, on peut donc résumer en: ρ(cos θ + i sin θ ρ (cos θ + i sin θ = ρρ [cos(θ + θ + i sin(θ + θ ] Preuve Soient z = ρ(cos θ + i sin θ et z = ρ (cos θ + i sin θ On sit que zz = ρρ Posons z = ρ z = cos θ + i sin θ et z = ρ z = cos θ + i sin θ, de sorte que zz = ρρ z z On clcule lors: z z = (cos θ + i sin θ(cos θ + i sin θ = (cos θ cos θ sin θ sin θ + i(cos θ sin θ + sin θ cos θ = cos(θ + θ + i sin(θ + θ, ce qui montre le résultt voulu Une conséquence immédite mis très importnte pour les pplictions est l formule suivnte: Formule de Moivre: pour tout n N et tout θ R, on : (cos θ + i sin θ n = cos(nθ + i sin(nθ 22 Nottion exponentielle On introduit l nottion: pour tout θ R exp(iθ = cos θ + i sin θ, ou encore e i θ = cos θ + i sin θ Il résulte lors imméditement des résultts du 2 ci-dessus que l on, pour tout θ R: e i θ =, e i θ = e i θ, d où l on tire les formules d Euler: cos θ = 2 (ei θ + e i θ, sin θ = 2i (ei θ e i θ 7

8 Comme conséquence de l propriété fondmentle du 2, on obtient: pour tous θ, θ R, e i θ e i θ = e i (θ+θ, en prticulier pour tous θ R, n N (e i θ n = e i nθ et pour tout θ R, e = e i θ i θ Avec cette nottion: tout z C non-nul s écrit: z = ρ e i θ, vec ρ = z >, et θ R Cette expression est ppelée l forme exponentielle du nombre complexe non-nul z Elle est prticulièrement bien dptée ux clculs multiplictifs puisque, dns un produit, les modules se multiplient lors que les rguments s joutent: pour tous θ, θ R, ρ, ρ R + ρ e i θ ρ e i θ = (ρρ e i (θ+θ, et en prticulier pour tous θ R, ρ R +, n N (ρ e i θ n = ρ n e i nθ 23 Quelques pplictions Les pplictions des résultts ci-dessus sur les nombres complexes sont innombrbles Sns insister ici sur les pplictions de nture purement lgébriques ou géométriques (très importntes mis ps prioritires pour nous, donnons deux techniques utiles en nlyse Linéristion des puissnces de sin ou cos C est une méthode utilisé pour le clcul de certines primitives de fonctions trigonométriques Il s git d exprimer cos n x ou sin n x comme une somme de cos(px ou de sin(px vec p n Pour cel, on pplique directement les formules d Euler, et l formule du binôme Exemple: cos 3 x = (e ix e ix 3 = ˆ(e ix (e ix 2 (e ix + 3(e ix (e ix 2 + (e ix 3 = 2 3 ˆe 3ix + e 3ix +3(e ix + e ix = 4 cos 3x cos x Problème réciproque Il s git d exprimer cos(nx ou sin(nx comme un polynôme en cos x ou sin x Pour cel, on pplique directement l formule de Moivre, et l formule du binôme Exemple: On prt du développement: (cos x + i sin x 3 = cos 3 x + 3 cos 2 x(i sin x + 3 cos x(i sin x 2 + (i sin x 3 = cos 3 x 3 cos x sin 2 x + i(3 cos 2 x sin x sin 3 x, d où: cos(3x = R(cos x + i sin x 3 = cos 3 x 3 cos x sin 2 x et sin(3x = I(cos x + i sin x 3 = 3 cos 2 x sin x sin 3 x 24 Fonction exponentielle complexe L fonction t e it D près ce que l on vu en 2 et 22, on peut considérer l fonction: f : R C t e it = cos t + i sin t Sur le pln lgébrique, rppelons ses deux propriétés fondmentles: e it = pour tout t R et e it e it = e i(t+t pour tous t, t R Sur le pln de l nlyse, il suffit de rppeler que les fonctions cos et sin sont dérivbles sur R et vérifient cos = sin et sin = cos pour conclure que: f est dérivble sur R et vérifie (e it = i e it L fonction z e z Soit z C; notons z = x + iy vec x, y R Comme on vient de le voir, on peut définir e iy = cos y + i sin y C Pr illeurs, l fonction exponentielle réelle d une vrible réelle définit e x R Le produit du nombre complexe e iy pr le nombre réel e x ser noté e z On définit insi: e : C C z = x + iy e z = e x (e iy = e x (cos y + i sin y C est un simple exercice de vérifier à prtir de cette définition que: e z+z = e z e z pour tous z, z C On verr plus loin (lors de l étude des séries entières d utres fçons de définir cette même fonction exponentielle complexe 8

9 Module d Hrmonistion des Connissnces en Mthémtiques L3 IUP GSI Licence Physique et Ingénieries F Dums Leçon 2 Equtions et systèmes d équtions Equtions lgébriques à une inconnue dns R et dns C Rcines n-ièmes dns R Soit A un nombre réel fixé quelconque Soit n un entier Une rcine n-ième de A dns R est un réel x solution de l éqution x n = A Il est clir que, si A =, l seule solution est x = On prend donc mintennt A Rppelons les résultts bien connus suivnts: Pour n = 2, tout réel A > dmet 2 rcines crrées opposées dns R (celle des deux qui est positive est notée A, l utre est donc A, et tout réel A < n dmet ucune rcine crrée dns R 2 Pour n = 3, tout réel A dmet une unique rcine cubique dns R 3 Pour tout n, tout réel A > dmet dns R une unique rcine n-ième positive A /n = exp( n ln A 2 Rcines n-ièmes dns C Prenons mintennt A un nombre complexe fixé quelconque Soit n un entier Une rcine n-ième de A dns C est un complexe z solution de l éqution z n = A Si A =, l seule solution est z = On prend donc mintennt A On le résultt suivnt: Théorème Tout nombre complexe non-nul A dmet exctement n rcines n-ièmes distinctes dns C Plus précisément, si A est donné sous forme trigonométrique: A = r e iα = r(cos α + i sin α, vec r = A R + et α = rg A R, les n rcines n-ièmes z, z, z 2,, z n de A sont données sous forme trigonométrique pr: z k = r /n e i α+2kπ n = r /n (cos α+2kπ n + i sin α+2kπ n, pour k =,, 2,, n Remrque Sns écrire en détils l preuve de ce théorème, observons que c est une ppliction simple et directe de l formule de Moivre En effet, si l on cherche z = ρ e iθ tel que z n = A, l églité des modules implique ρ n = r et l églité des rguments implique α = nθ modulo 2π Remrque 2 Précisons bien que r /n désigne l rcine n-ième réelle positive du réel strictement positif r Remrque 3 On pourrit penser résoudre le problème sns voir recours à l forme trigonométrique, c est-à-dire écrire A sous forme lgébrique A = +ib vec, b R et chercher z = x+iy vec x, y R tel que (x+iy n = +ib en développnt et identifint les prties réelles et imginires On pourr le fire à titre d exercice pour n = 2 (forme lgébrique des rcines crrées, mis le procédé devient vite impossible pour les plus grndes vleurs de n Un cs prticulier importnt dns l prtique est celui où A = Il s git donc de clculer les n nombres complexes distincts solutions de l éqution z n = On les ppelle les rcines n-ièmes de l unité On déduit du théorème précédent: Proposition (i Pour tout entier n, les rcines n-ièmes de l unité sont les n nombres complexes: ω =, ω = e i 2π n, ω 2 = e i 4π n, ω 3 = e i 6π n,, ω n = e i 2(n π n (ii Pour tout k =,, 2,, n, on : ω k = ω k (iii On : ω + ω + ω ω n = (iv Les n points du pln complexe qui ont pour ffixe les rcines n-ièmes de l unité sont situés sur le cercle unité U (cercle de centre O de ryon, et sont les sommets du polygone régulier à n côtés inscrit dns U centré en O et pssnt pr le point de l xe réel d bscisse 9

10 Exemples Pour n = 2, on : ω =, ω = e i 2π 2 = e iπ = Les rcines crrés de sont et ; elles vérifient + ( = Pour n = 3, on : ω =, ω = e i 2π 3 = cos( 2π 3 + i sin( 2π 3 = 2 + i 3 2 ω 2 = ω 2 = e i 4π 3 = cos( 4π 3 + i sin( 4π 3 = 2 i 3 2 On note j = 2 + i 3 2, donc j 2 = j = 2 i 3 2 Les rcines cubiques de sont, j et j 2 ; elles vérifient + j + j 2 = Pour n = 4, on : ω =, ω = e i 2π 4 = cos( π 2 + i sin( π 2 = i ω 2 = ω 2 = e i 4π 4 = cos π + i sin π = ω 3 = ω 3 = e i 6π 4 = cos( 3π 2 + i sin( 3π 2 = i Les rcines qutrièmes de sont, i, et i; elles vérifient + i + ( + ( i = Pour n = 6, on : ω =, ω = e i 2π 6 = cos( π 3 + i sin( π 3 = 2 + i 3 2 = j2 ω 2 = ω 2 = e i 4π 6 = cos( 2π 3 + i sin( 2π 3 = 2 + i 3 2 = j ω 3 = e i 6π 6 = cos π + i sin π = ω 4 = e i 8π 6 = cos( 4π 3 + i sin( 4π 3 = 2 i 3 2 = j2 ω 5 = e i π 6 = cos( 5π 3 + i sin( 5π 3 = 2 i 3 2 = j Les rcines sixièmes de sont, j 2, j,, j 2, j; elles vérifient j 2 + j + j 2 j = n = 2 n = 3 n = 4 n = 6 2 Equtions de degré 2 Considérons une éqution de degré 2 à coefficients réels: On introduit son discriminnt: = b 2 4c R x 2 + bx + c =, vec, b, c R, ( Rppelons le résultt bien connu suivnt, qui donne dns tous les cs les solutions réelles de ( si >, lors ( deux solutions distinctes dns R, données pr: x = b 2 et x 2 = b+ 2, si =, lors ( une unique solution dns R, donnée pr: x = b 2, si <, lors ( n ucune solution dns R Revenons sur le cs où < Le réel n ps de rcine crrée dns R, mis il deux rcines crrées distinctes dns C En effet, puisque >, on peut considérer, et les deux nombres complexes δ = i et δ = i qui vérifient δ 2 = ( δ 2 = (i 2 = ( i 2 = ( ( = En prticulier, on b 2 δ 2 = 4c Il en résulte que, suivnt le même clcul que dns le cs >, les nombres complexes z = 2 ( b δ et z 2 = ( b + δ vérifient: 2 (x z (x z 2 = x 2 (z + z 2 x + z z 2 = x 2 2b 2 x + b2 δ = x 2 + bx + c Donc z et z 2 sont solutions de ( De plus, ils sont conjugués cr: z = b 2 i et z 2 2 = b 2 + i 2 Conclusion: si <, lors l éqution à coefficients réels ( deux solutions distinctes dns C, qui sont les deux nombres complexes conjugués: z = b i 2 et z 2 = b+i 2

11 Considérons mintennt une éqution de degré 2 à coefficients complexes: et son discriminnt: z 2 + bz + c =, vec, b, c C,, (2 = b 2 4c C Comme est priori un nombre complexe, ç n ucun sens de prler de son signe Mis dns C tout nombre complexe deux rcines crrées opposées (voir ci-dessus, et on peut donc consdérer les deux nombres complexes δ et δ tels que δ 2 = Des clculs en tout point similires à ceux fits ci-dessus dns le cs prticulier où les coefficients de l éqution sont réels montrent lors que: L éqution à coefficients complexes (2 deux solutions dns C, qui sont: z = b δ 2 et z 2 = b+δ 2 où ±δ sont les deux rcines crrées complexes de Les solutions z et z 2 sont confondues et égles à b 2 lorsque =, et distinctes si 2 Rudiments prtiques sur les systèmes d équtions linéires 2 Equtions linéires à deux inconnues Fixons trois réels, b, c On suppose que et b ne sont ps tous les deux nuls (l un u moins est non-nul, c est-à-dire (, b (, Formons l éqution linéire à deux inconnues: x + by = c ( Une solution réelle de l éqution ( est un couple de réels (x, y pour lequel l reltion x + by = c est effectivement vérifiée Résoudre l éqution dns R consiste à déterminer l ensemble de toutes ses solutions réelles L ensemble S des solutions de ( est donc un sous-ensemble de l ensemble R 2 des couples de réels Résolution lgébrique de ( Deux cs peuvent se présenter: Si b =, lors on forcément, et ( équivut à x = c Ainsi une solution est un couple dont le premier terme vut l constnte c et dont le second terme est quelconque dns R On note: S = { ( c, y ; y R } 2 Si b, lors y = b (c x = b x + c b Ainsi une solution est un couple dont le second terme s exprime en fonction du premier suivnt l reltion précédente On note: S = { (x, b x + c b ; x R } Dns les deux cs, l ensemble S est non-vide, et il est infini, dépendnt d un prmètre réel Interpréttion géométrique de ( Dns le pln (ffine, euclidien muni d un repère orthonormé, on peut identifier tout point M u couple (x, y de ses coordonnées reltivement à ce repère Comme tout sous-ensemble de R 2, l ensemble S s identifie à un sous-ensemble de points du pln Il est bien connu qu il s git ici d une droite, dont on rppelle ci-dessous sns démonstrtion l description: Si b =, lors S est l droite verticle pssnt pr le point de l xe horizontl d bscisse c 2 Si b, lors S est l droite de pente b coupnt l xe verticl u point d ordonnée c b cs b = cs b, vec ou =

12 Remrque On dès le déprt exclu le cs = b = Dns ce cs en effet, l résolution de ( est trivile: ou c =, lors l éqution x + y = est trivilement vérifiée pr tout couple de réels Donc S = R 2 ou c, lors l éqution x + y = c n dmet ucune solution On dit que S est vide, ce que l on note S = 22 Systèmes d équtions linéires à deux inconnues Fixons six réels, b, c,, b, c Formons le système d équtions linéires à deux inconnues: { x + by = c ( (Σ x + b y = c (2 Une solution réelle du système (Σ est un couple de réels (x, y pour lequel les deux reltions x +by = c et x +b y = c sont simultnément vérifiées, c est-à-dire qui est solution à l fois de ( et de (2 L ensemble S des solutions de (Σ est donc le sous-ensemble de R 2 formé des couples de réels qui pprtiennent à l fois à l ensemble S des solutions de ( et à l ensemble S 2 des solutions de (2 On dit que S est l intersection de S et S 2, et l on note S = S S 2 Les cs dégénérés Si (, b = (, et c, lors ( n ps de solution, et donc le système (Σ n en ps non plus; dns ce cs S = Si (, b = (, et c =, lors tout couple de réels est solution de (, donc les solutions du système (Σ sont celles de l seule éqution (2; on est rmené à l étude de 2 et S = S 2 peut être soit (lorsque = b = et c, soit R 2 tout entier (lorsque = b = c =, soit un ensemble infini à un prmètre correspondnt à une droite Si (, b (, mis si (, b = (,, idem en échngent les rôles des équtions ( et (2 On pourr donc supposer dns l suite que (, b (, et (, b (, Méthode géométrique Sous réserve que chcun des deux couples (; b et (, b soit différent de (,, l ensemble S des solutions de ( correspond à une droite D du pln, l ensemble S 2 des solutions de (2 correspond à une droite D 2, et l ensemble S des solutions de (Σ est l intersection des droites D et D 2 Trois cs sont possibles: si b b, les pentes des droites sont distinctes, donc elles ne sont ps prllèles; leur intersection est un unique point M, et ses coordonnées forment l unique solution du système (Σ si b = b, les droites sont prllèles; ou b c = bc, dns ce cs les droites D et D 2 sont confondues, et donc S = S = S 2 est l ensemble infini à un prmètre correspondnt à cette droite ou b c bc, dns ce cs les droites D et D 2 sont strictement prllèles, donc elles n ont ucun point commun, et S est lors vide premier cs deuxième cs troisième cs 2

13 Méthode lgébrique Il résulte en prticulier de ce qui précède que: le système (Σ une unique solution si et seulement si b b On ppelle déterminnt du système (Σ le réel b b On le note: b b = b b Un système dont le déterminnt est non-nul s ppelle un système de Crmer; il donc une unique solution Lorsque le déterminnt est nul, le système peut voir pour ensemble de solutions: soit R 2 tout entier, soit un sous-ensemble infini de R 2 dépendnt linéirement d un prmètre (une droite, soit l ensemble vide (ucune solution L question est de disposer de méthode permettnt de déterminer explicitement l ensemble des solutions Un premier procédé (élémentire est l méthode dite pr substitution Il consiste à exprimer pr exemple y en fonction de x dns l une des équtions, on reporte cette expression dns l utre éqution qui ne fit lors intervenir que x, on résout en x, et on en déduit y en revennt à l expression de déprt Pour évidente qu elle soit, cette méthode deux inconvénients: ( elle est ssez efficce pour des systèmes vec des coefficients numériques mis se prête ml ux risonnements vec discussion suivnt divers cs pour les systèmes dépendnt de prmètres, (2 elle devient plus difficile à mettre en œuvre pour des systèmes de plus de deux équtions vec plus de deux inconnues C est pourquoi on préferer souvent l méthode dite méthode de Guss (ou méthode du pivot, ou encore méthode d échelonnement pr combinisons linéires, qui l vntge de s ppliquer dns un cdre tout à fit générl Nous l décrirons u prgrphe suivnt Contentons-nous ici de donner un exemple: ( x + αy = ( Exemple Fixons un prmètre réel α et considérons le système (Σ αx + 4y = 2 (2 ( αx + α 2 y = α ( Comme α, on obtient un système équivlent en multiplint ( pr α: αx + 4y = 2 (2 ( αx + α 2 y = α ( On remplce ensuite (2 pr l différence (2 (: (4 α 2 y = 2 α (2 Trois cs pprissent lors, suivnt que 4 α 2 est nul ou non: - Si α 2 et α 2, lors on tire de (2 que y = 2 α x = αy = 4 α 2 = α+2 On reportnt dns (, il vient que α α+2 = 2 α+2 Dns ce cs, le système une unique solution qui est le couple ( 2 α+2, α+2 2 L ensemble S des solutions est lors noté: S = {( α + 2, α + 2 } ( ( x 2y = - Si α = 2, lors on réécrit (Σ: ou encore en multiplint (2 pr 2x + 4y = 2 2, x 2y = x 2y = Il est clir que les deux équtions sont incomptibles Le système n ps de solution On note S = ( ( x + 2y = - Si α = 2, lors on réécrit (Σ: ou encore en multiplint (2 pr 2x + 4y = 2 2, x + 2y = Il est x + 2y = clir que les deux équtions sont équivlentes On S = { ( 2y, y ; y R} On remrquer que le réel 4 α 2 qui pprît nturellement dns cette méthode de résolution n est utre que le déterminnt du système; il est donc norml que s nullité ou non soit le point crucil de l discussion Remrque On considère de même des systèmes de 3 (ou plus équtions à deux inconnues correspondnt à l intersection de 3 droites (ou plus dns le pln, vec tous les cs de positions reltives de ces droites 23 Systèmes d équtions linéires à trois inconnues ou plus Un système linéire de trois équtions à trois inconnues dns R est un système de l forme: x + by + cz = d ( (Σ x + b y + c z = d (2, x + b y + c z = d (3 où les coefficients,,, b, b, b, c, c, c, d, d, d sont fixés dns R Une solution de (Σ est donc un triplet (x, y, z R 3 pour lequel ces trois reltions sont simultnément vérifiées L ensemble des solutions S que l on cherche à déterminer lorsque l on résout le système est donc un sous-ensemble de R 3 3

14 Remrque Si ucune des 3 équtions n est dégénérée, un tel système s interprète géométriquement comme l intersection de 3 plns dns l espce, qui peut être vide, ou réduite à un point (le système lors une seule solution, qui est un triplet de réels, ou égle à une droite (l ensemble des solutions du système dépend lors linéirement d un prmètre, ou égle à un pln (l ensemble des solutions dépend lors linéirement de deux prmètres Lorsque le système une seule solution, on dit que c est un système de Crmer Comme dns le cs précédent, cel se produit si et seulement si le déterminnt du système est non-nul Mis dns le cs d un système 3 3, le déterminnt est plus difficile à définir que dns le cs 2 2 On verr cel plus trd dns un utre chpitre Méthode de Guss Elle repose sur les trois règles fondmentles suivntes, que l on montre en toute générlité, pour tout système linéire de m équtions à n inconnues: (R si l on permute deux équtions du système, on obtient un système équivlent (c est-à-dire qui exctement le même ensemble de solutions; (R2 si l on multiplie les deux membres d une des équtions du système pr un même réel non-nul, on obtient un système équivlent; (R3 Si l on joute à l une des équtions du système le produit d une utre éqution pr un réel, on obtient un système équivlent Elles permettent de se rmener à un système (équivlent à celui de déprt qui est échelonné, c est-à-dire tel que le nombre d inconnues pprissnt dns chque éqution diminue strictement d éqution en éqution L dernière donne lors l une des inconnues, dont on reporte l vleur dns les équtions précédentes, et l on remonte le système dns l utre sens pour trouver de proche en proche toutes les inconnues Exemples numériques < x + y + z = < x + y + z = < x + y + z = < z = 3 (2 ( (3+(2 (Σ x + 2y z = y 2z = 2 y 2z = 2 y = 2z 2 = 4 : (3 2 ( : : : 2x + y + 3z = y + z = z = 3 x = y z + = 6 Le système (Σ une unique solution, qui est le triplet ( 6, 4, 3 On note S = { ( 6, 4, 3 } 8 8 < x + y + z = < x + y + z = j j (2 ( x + y + z = y = 2z 2 (Σ 2 x + 2y z = y 2z = 2 : (3 2 ( : y 2z = 2 x = y z + = 3z + 3 2x + y + 4z = 4 y + 2z = 2 Les solutions de (Σ 2 sont donc tous les triplets de l forme ( 3z + 3, 2z 2, z vec z quelconque Le système donc une infinité de solutions dépendnt linéirement d un prmètre; on note S 2 = { ( 3z+3, 2z 2, z ; z R } < x + y + z = < x + y + z = < x + y + z = les deux dernières (2 ( (Σ 3 x + 2y z = y 2z = 2 y 2z = 2 équtions sont : (3 2 ( : : 2x + y + 4z = 3 y + 2z = y 2z = incomptibles Le système (Σ 3 n donc ucune solution; on note S 3 = Exemple vec prmètres Soient α et β fixés dns R On considère dns R 3 le système linéire: 8 8 < x + βy + αz = ( < (β y = ( ( (2 (Σ x + y + αz = (2 (Σ : (α z = (2 (2 (3 : x + y + z = (3 x + y + z = (3 On risonne donc en distingunt les qutre cs suivnts: er cs: α et β ( pour seule solution y = et (2 pour seule solution z = Alors (3 devient x = L ensemble des solutions de (Σ est donc l ensemble à un seul élément {(,, } 2ème cs: α = et β ( pour seule solution y = et tout z R est solution de (2 Alors (3 devient x + z = L ensemble des solutions de (Σ est le sous-ensemble D = {( z,, z ; z R} de R 3 ; il y une infinité de solutions dépendnt linéirement d un prmètre 3ème cs: α et β = (2 pour seule solution z = et tout y R est solution de ( Alors (3 devient x + y = L ensemble des solutions de (Σ est le sous-ensemble D = {( y, y, ; y R} de R 3 ; il y une infinité de solutions dépendnt linéirement d un prmètre 4ème cs: α = et β = Tout y R est solution de ( et tout z R est solution de (2 Le système équivut à l seule éqution x + y + z = L ensemble des solutions de (Σ est le sous-ensemble P = {( y z, y, z ; y, z R} de R 3 ; il y une infinité de solutions dépendnt linéirement de deux prmètres 4

15 Module d Hrmonistion des Connissnces en Mthémtiques L3 IUP GSI Licence Physique et Ingénieries F Dums Leçon 3 Développements limités Notion de développement limité Définition et premières propriétés On se donne un réel x fixé On considère un voisinge de x, c est-à-dire ici un intervlle ]x α, x + α[, vec α > Soit f une fonction réelle d une vrible réelle définie sur ]x α, x + α[, suf éventuellement u point x On dit que f dmet un développement limité à l ordre n (où n N fixé u voisinge de x lorsqu il existe un réel β < α, des réels,,, n, et une fonction ε : ]x β, x + β[ R tels que: { f(x = + (x x + 2 (x x n (x x n + (x x n ε(x pour tout x ]x β, x + β[, vec lim ε(x = x x Le polynôme + (x x + 2 (x x n (x x n s ppelle l prtie régulière du DL, le terme (x x n ε(x s ppelle le reste On peut démontrer les propriétés suivntes: Si f dmet un DL à l ordre n u voisinge de x, lors il est unique 2 Si f dmet un DL à l ordre n u voisinge de x, lors f dmet un DL u voisinge de x à tout ordre m n, dont l prtie régulière s obtient en prennt les m + premiers termes du DL à l ordre n 3 Si f dmet un DL à l ordre n u voisinge de x, lors lim x x f(x = Exemple: Considérons l fonction f(x = x sur l intervlle I = ] 2, + 2[ Pour tout n N, on sit que + x + x 2 + x x n = xn+ x = x xn x x Posons ε(x = x x pour tout x I On donc: x = + x + x2 + x x n + x n ε(x, vec lim x ε(x = 2 Liens vec l formule de Tylor-Young Théorème Si f est de clsse C n u voisinge de x et si f (n (x existe, lors f dmet un DL à l ordre n u voisinge de x, qui est donné pr l formule de Tylor-Young: f(x = f(x + f (x (x x + 2 f (x (x x n! f (n (x (x x n + (x x n ε(x Remrque Ce théorème (que nous rppelons ici sns démonstrtion donne une condition suffisnte pour l existence d un DL, mis elle n est ps nécessire C est-à-dire qu on peut voir l existence d un DL sns que les hypothèses de l formule de Tylor-Young soient stisfites Contre-exemple: soit f l fonction définie pr f(x = x + x 2 + x 3 cos si x, et pr f( = x Posons ε(x = x cos On lim ɛ(x = puisque ε(x x Donc, pr construction même, l fonction f dmet x x f(x = x + x 2 + x 2 ε(x comme DL à l ordre 2 u voisinge de Et pourtnt, f est bien continue et dérivble sur R, mis on peut isément vérifier que f ( n existe ps [cr x (f (x f ( = 2 + 3x cos x + sin x n dmet ps de limite qund x ] Remrque 2 Ce théorème peut permettre de clculer effectivement un DL Exemple: soit f l fonction définie pr f(x = e x pour tout x R Elle est de clsse C sur R donc le théorème ci-dessus s pplique Déduisons-en pr exemple un DL de f à l ordre 3 u voisinge de Pour cel, on clcule les dérivées successives: f (x = (2 + 2 e x /2 e x, f (x = (2 + 2 e x 3/2 (e 2x +2 e x, f (x = (2 + 2 e x 5/2 (e 3x +2 e 2x +4 e x On en tire en prticulier les vleurs: f( = 2, f ( = 2, f ( = 3 8, f ( = 7 32 En les reportnt dns l formule de Tylor-Young, on en déduit le DL de f(x à l ordre 2 u voisinge de : e x = x x x3 + x 3 ε(x On verr plus loin d utres méthodes (en générl plus efficces et rpides de clculs explicites de DL 5

16 3 Réduction u cs des DL u voisinge de Reprenons les données et nottions du prgrphe Il est clir que dire que f dmet un DL à l ordre n u voisinge de x équivut à dire que l fonction g définie pr g(x = f(x+x dmet un DL à l ordre n u voisinge de, ce dernier étnt donné pr g(x = + x+ 2 x n x n +x n ε (x, vec ε (x = ε(x +x En clir: l étude d un DL peut toujours se rmener à celle d un DL u voisinge de C est pourquoi, clssiquement, on se limite pour les développements techniques qui vont suivre, à considérer des DL u voisinge de Répétons ce que deviennent dns ce cs l définition et le théorème 2: On dit qu une fonction f définie u voisinge de dmet un DL à l ordre n u voisinge de lorsqu il existe un intervlle ] β, +β[, des réels,,, n, et une fonction ε : ] β, +β[ R tels que: { f(x = + x + 2 x n x n + x n ε(x pour tout x ] β, +β[, vec lim ε(x = x Si f est de clsse C n u voisinge de et si f (n ( existe, lors f dmet un DL à l ordre n u voisinge de, qui est donné pr l formule de Tylor-Young: f(x = f( + f (x + 2 f (x n! f (n (x n + x n ε(x Exemple fondmentl Un exemple d ppliction du théorème ci-dessus est celui de l fonction f(x = e x Elle est de clsse C sur R et vérifie e (x = e(x pour tout x R, de sorte que toutes les dérivées successives e (n (x sont ussi égles à e x Il en résulte que e (n ( = = e ( = e ( = e( =, et l ppliction de l formule de Tylor-Young donne un DL de e x à tout ordre n u voisinge de : e x = + x + 2! x2 + 3! x3 + + n! xn + x n ε(x Remrque Si une fonction pire f dmet un DL u voisinge de, lors l prtie régulière de ce DL n dmet que des puissnces de x d exposnt pir (c est-à-dire i = si i impir Idem si f impire 4 Générlistions des développements limités Si f est définie seulement à droite, on peut prler de DL à droite: l définition est l même, mis l fonction ε est définie priori seulement à droite de, et vérifie ε(x = Idem à guche lim x,x> Soit f une fonction définie sur un intervlle de l forme ]α, + [ On dit que f dmet un développement limité (générlisé u voisinge de + lorsque l fonction x f( x dmet un DL u voisinge de à droite Idem u voisinge de Exemple Considérons l fonction f(x = x sur ], + [ On f(x = x x Lorsque x tend vers +, l inverse y = tend vers à droite Or on vu en que l fonction y dmet pour DL à un ordre n quelconque x y u voisinge de : y = + y + y2 + y y n + y n ε(y On en déduit que: x x = + x + x 2 + x x n + x n ε(, vec lim x ε( x + x = est un DL (générlisé de l fonction f à l ordre n u voisinge de + Même si f n dmet ps de DL u voisinge de, il peut exister une fonction g équivlente à f u voisinge de telle que le quotient f g dmette un DL u voisinge de, permettnt d voir une expression de l forme: Exemple f(x = g(x[ + x + 2 x n x n + x n ε(x] x x 2 = x [ + x + x2 + x x n + x n ε(x] vec lim x ε(x = vec lim x ε(x = 2 Méthodes de clculs Le principe générl que l on dopte dns l prtique est de connître quelques DL clssiques de fonctions de références (déterminés pr exemple grâce u théorème 2, puis de combiner ceux-ci grâce ux règles rppelées ci-dessous (sns démonstrtion 6

17 2 Quelques DL clssiques Au voisinge de, pour tout entier n, et vec lim x ε(x =, on le DL fondmentl: d où l on tire: De même à prtir du DL fondmentl: e x = + x + 2! x2 + 3! x3 + + n! xn + x n ε(x ch x = + 2! x2 + 4! x4 + + (2n! x2n + x 2n+ ε(x sh x = x + 3! x3 + 5! x5 + + (2n+! x2n+ + x 2n+2 ε(x cos x = 2! x2 + 4! x4 + + ( n (2n! x2n + x 2n+ ε(x sin x = x 3! x3 + 5! x5 + + ( n (2n+! x2n+ + x 2n+2 ε(x on obtient: ( + x α = + αx + α(α 2! x 2 + α(α (α 2 3! x α(α (α 2(α n+ n! x n + x n ε(x +x = x + x2 x ( n x n + x n ε(x x = + x + x2 + x x n + x n ε(x +x 2 = x 2 + x 4 x ( n x 2n + x 2n+ nε(x x = + x 2 + x 4 + x x 2n + x 2n+ nε(x 2 ln( + x = x 2 x2 + 3 x3 4 x4 + + ( n n xn + x n ε(x rctn x = x 3 x3 + 5 x5 7 x7 + + ( n 2n+ x2n+ + x 2n+2 ε(x rgth x = x + 3 x3 + 5 x5 + 7 x n+ x2n+ + x 2n+2 ε(x Enfin, sns voir de forme simple pour un DL à l ordre n quelconque, on u voisinge de et à l ordre 8: tn x = x + 3 x x x7 + x 8 ε(x th x = x 3 x x x7 + x 8 ε(x 22 Somme et produit de DL Proposition Si f et g dmettent toutes les deux un DL à l ordre n u voisinge de, lors: (i l fonction f + g dmet un DL à l ordre n u voisinge de dont l prtie régulière est l somme des prties régulières des DL de f et g (ii l fonction fg dmet un DL à l ordre n u voisinge de dont l prtie régulière est l somme des termes de degré n dns le produit des prties régulières des DL de f et g Exemple Clculons un DL à l ordre 5 u voisinge de de f(x = sin x(ch x +x On d bord: ch x +x = ( + 2! x2 + 4! x4 ( x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + x 5 ε(x = x 2 x2 + x x4 + x 5 + x 5 ε(x Puis: f(x = (x 6 x3 + 2 x5 + x 6 ε(x(x 2 x2 + x x4 + x 5 + x 5 ε(x = x 2 2 x3 + ( 6 + x4 + ( x5 + x 5 ε(x = x 2 2 x x4 7 8 x5 + x 5 ε(x 7

18 23 Composition de DL Proposition Si f et g dmettent toutes les deux un DL à l ordre n u voisinge de, et si f( =, lors l fonction g f composée de g pr f dmet un DL à l ordre n u voisinge de, dont l prtie régulière s obtient en substitunt l prtie régulière du DL de f dns l prtie régulière du DL de g, et en ne conservnt que les termes de degré n Exemple Clculons un DL à l ordre 4 u voisinge de de h(x = e sin x { f(x = sin x = x On h = g f où 6 x3 + x 4 ε(x vérifie bien f( =, g(x = e x = + x + 2 x2 + 6 x x4 + x 4 ε(x donc: h(x = + (x 6 x3 + 2 (x 6 x (x 6 x (x 6 x3 4 + x 4 ε(x = + (x 6 x3 + 2 (x2 2 6 x x6 + 6 (x3 3 6 x (x4 + + x 4 ε(x = + x + 2 x2 8 x4 + x 4 ε(x 24 Intégrtion de DL Proposition Si f est continue sur un intervlle I contennt et dmet un DL à l ordre n u voisinge de, lors toute primitive F de f sur I dmet un DL à l ordre n + u voisinge de, dont l prtie régulière s obtient en intégrnt terme à terme l prtie régulière du DL de f Exemple Clculons un DL à l ordre 7 u voisinge de de F (x = rcsin x On F (x = f(x = = ( x 2 x2 /2 On en obtient un DL vec l formule donnnt un DL pour ( + x α en prennt α = 2 et en remplçnt x pr x2 On obtient: f(x = + ( 2 ( x2 + 2 ( 2 ( 3 2 ( x ( 2 ( 3 2 ( 5 2 ( x2 3 + x 6 ε(x = + 2 x x x6 + x 6 ε(x On intègre terme à terme pour conclure: F (x = x + 6 x x x7 + x 7 ε(x + K, vec K constnte réelle Mis comme on sit que rcsin =, on forcément K = On conclut donc finlement: rcsin x = x + 6 x x x7 + x 7 ε(x 25 Quotient de DL Proposition Si f et g dmettent toutes les deux un DL à l ordre n u voisinge de, et si g(, lors l fonction f/g quotient de f pr g dmet un DL à l ordre n u voisinge de, dont l prtie régulière est le quotient à l ordre n dns l division suivnt les puissnces croisntes de x de l prtie régulière du DL de f pr l prtie régulière du DL de g Exemple Clculons un DL à l ordre 5 u voisinge de de h(x = cos(2x x sh x D une prt: cos(2x = 2! (2x2 4! (2x4 + 6! (2x6 + x 7 ε(x = x 2( x x4 + x 5 ε(x, d utre prt: x sh x = x ( x + 3! x3 + 5! x5 + x 6 ε(x = x 2( + 6 x2 + 2 x4 + x 5 ε(x { f(x = cos(2x x = x x4 + x 5 ε(x, Donc h(x = f(x g(x, où l on posé: g(x = sh x x = + 6 x2 + 2 x4 + x 5 ε(x On effectue l division suivnt les puissnces croissntes de x de l prtie régulière de f(x pr l prtie régulière de g(x: Comme h est pire et que donc seuls des termes d exposnt pirs pprissent dns le DL, on conclut qu un DL de h(x à l ordre 5 u voisinge de est: h(x = 2 x x4 + x 5 ε(x x x4 + 6 x2 + 2 x x2 + 6 x4 2 x x4 x x4 x 2 6 x x4 8

19 Remrque prtique Effectuer une telle division est souvent fstidieux; ussi est-il nécessire, vnt de se lncer dns ce type de clcul, de s ssurer qu une utre méthode (pr exemple une composition vec ±x ne permet ps d rriver plus simplement u résultt Exemple Clculons un DL à l ordre 4 u voisinge de de f(x = x sin x On pense priori à un quotient (il est tout à fit possible de fire l division suivnt les puissnces croissntes de x pour prvenir u résultt, mis on peut ussi procéder de l mnière suivnte On : sin x = x 6 x3 + 2 x5 + x 5 ε(x Posons: u = x (sin x x = 6 x2 + 2 x4 + x 4 ε(x Il est clir que u tend vers qund x tend vers De plus, pr définition de u, on : f(x = x sin x = x xu+x = +u Or +u = u + u2 + u 2 ε(u, et on peut substituer (en ppliqunt l proposition de 23: f(x = ( 6 x2 + 2 x4 + ( 6 x2 + 2 x4 2 + x 4 ε(x = + 6 x2 + ( x4 + x 4 ε(x = + 6 x x4 + x 4 ε(x 26 Applictions des DL Un DL permet de donner une pproximtion d une fonction pr un polynôme, ce qui est précieux dns bien des situtions: clculs de limites, étude locle d une courbe, étude des brnches infinies, position d une courbe pr rpport à ses symptotes, Sns entrer dns les détils, donnons quelques exemples de clculs de limite où les DL permettent de lever une indétermintion cos x Exemple Clculons lim x tn 2 x A priori, on une forme indéterminée cr le numérteur et le dénominteur tendent tous les deux vers Mis u voisinge de, on cos x = 2 x2 + x 3 ε(x et tn x = x + 3 x3 + x 4 ε (x Donc: cos x tn 2 x = 2 x2 + x 3 ε(x x 2 + x 3 ε (x = 2 + xε(x + xε (x, et comme lim x ε(x = lim x ε (x =, on conclut que lim x cos x tn 2 x = 2 [ Exemple Clculons lim x x 2 ln( + x + x ] A priori, on une forme indéterminée cr chcun des deux termes de l différence tend vers + Mis u voisinge de +, on : ln( + x = x 2x + 2 3x + 3 x ε( 3 x, vec lim ε( x + x =, cr ln( + u = u 2 u2 + 3 u3 + u 3 ε(u pour u = x u voisinge de Donc: x 2 ln( + x = x 2 + 3x + x ε( x, vec lim ε( x + x =, [ d où l on tire que lim x x 2 ln( + x + x ] [ = lim x + 2 3x x ε( x ] = 2 Notons pour finir que plusieurs limites clssiques (et à connître! découle imméditement de clculs vec les DL C est le cs entre utres de: sin x cos x e x lim =, lim =, lim = x x x x x x 9

20 2

21 Module d Hrmonistion des Connissnces en Mthémtiques L3 IUP GSI Licence Physique et Ingénieries F Dums Leçon 4 Intégrles et primitives Intégrle d une fonction continue pr morceux sur un intervlle fermé borné Principe de l définition de l intégrle On fixe un intervlle fermé borné I = [, b] de R, vec b deux réels Une subdivision de I est une fmille finie (x, x, x 2,, x n de réels de I tels que: = x < x < x 2 < < x n < x n = b Première étpe: intégrle d une fonction en esclier Une fonction f : I R est dite en esclier sur I s il existe une subdivision = x < x < x 2 < < x n < x n = b de I telle que f soit constnte sur chcun des intervlles ouverts ]x i, x i [, pour tout i n Si l on ppelle α i l vleur constnte prise pr f sur ]x i, x i [, on définit l intégrle I f comme le réel: I f = n (x i x i α i i= Figure Pr définition, ce réel I f mesure l ire limitée pr l courbe représenttive de f et l xe des bscisses, en comptnt positivement ce qui est u dessus de l xe, et négtivement ce qui est en-dessous Seconde étpe: intégrle d une fonction continue pr morceux Une fonction f : I R est dite continue pr morcux sur I s il existe une subdivision = x < x < x 2 < < x n < x n = b de I telle que f soit continue sur chcun des intervlles ouverts ]x i, x i [, pour tout i n, et telle que f dmette une limite à guche et une limite à droite (pr forcément égles en chcun des points de l subdivision Figure 2 Il est clir que les fonctions continues sur I et les fonctions en esclier sur I sont des exemples de fonctions continues pr morceux sur I On montre (et nous dmettons que toute fonction f continue pr morceux sur I peut être pprochée uniformément (notion que nous ne pouvons ps détiller ici pr une suite (f n de fonctions en esclier, et que l limite de l suite de réels ( I f n est lors convergente C est cette limite, dont on montre qu elle ne dépend ps de l suite (f n choisie, que l on ppelle l intégrle de f sur I On l note I f, ou encore b f(t dt Figure 3 Remrque : le réel b f(t dt mesure l ire limitée pr l courbe représenttive de f et l xe des bscisses, en comptnt positivement ce qui est u dessus de l xe, et négtivement ce qui est en-dessous Remrque 2: le réel b f(t dt ne dépend ps des vleurs prises pr f ux éventuels points de discontinuité (qui sont de toute fçon en nombre fini 2 Principles propriétés (i Linérité: si f et g sont deux fonctions continues pr morceux sur I = [, b], et si λ est un réel fixé, lors on : b (f + g(t dt = b f(t dt + b g(t dt et b λf(t dt = λ( b f(t dt 2

22 (ii Eglité presque prtout: si f et g sont deux fonctions continues pr morceux sur I = [, b] telles que f(t = g(t pour tout t I suf éventuellement un nombre fini, lors b f(t dt = b g(t dt En d utres termes, on ne chnge ps l vleur de l intégrle si on modifie l vleur prise pr f en un nombre fini de points de I (iii Reltion de Chsles: si f est une fonction continue pr morceux sur [, b] et sur [b, c], lors f est continue pr morceux sur [, c] et l on : b f(t dt + c b f(t dt = c f(t dt (iv Positivité: si f est une fonction continue pr morceux sur I = [, b], et positive sur I (suf éventuellement en un nombre fini de points, lors b f(t dt Il en résulte bien sûr que, si f(t g(t, lors b f(t dt b g(t dt 3 Lien vec les primitives D près les propriétés (ii et (iii ci-dessus, toute intégrle d une fonction continue pr morceux sur I se rmène à une somme d intégrles de fonctions continues sur des sous-intervlles de I En effet: soit f continue pr morceux sur I = [, b] Soit = x < x < x 2 < < x n < x n = b une subdivision de I telle que f soit continue sur chque intervlle ouvert ]x i, x i [ et dmette une limite à guche et une limite à droite en chcun des x i Pour tout i n, on définit une fonction f i : [x i, x i ] R en posnt: f i (t = f(t si t ]x i, x i [, f i (x i = lim t x i,t>x i f(t et f i (x i = lim t x i,t<x i f(t Pr construction, f i est continue sur [x i, x i ] et coïncide vec f sur ]x i, x i [ Donc R x i x f i (t dt = R x i i x f(t dt i d près l propriété d églité presque prtout Et donc, d près l reltion de Chsles: R b P f(t dt = n R xi P x f(t dt = n R xi i x f i (t dt i i= i= Il suffit donc de svoir clculer l intégrle d une fonction continue Sous cette hypothèse, l notion d intégrle est intimement liée à celle de primitive Tout repose sur le résultt suivnt (que nous dmettons Théorème fondmentl Soit f : [, b] R continue sur [, b] (i En notnt F (x = x f(t dt pour tout x [, b], l ppliction F : [, b] R est une primitive de f, ce qui signifie pr définition que: F est dérivble sur [, b], et F (x = f(x pour tout x [, b] (ii Les primitives F de f sur [, b] sont toutes les fonctions F de l forme F + λ, vec λ R (iii L fonction F est l primitive de f sur [, b] qui s nnule en (iv Pour toute primitive F de f sur [, b], on b f(t dt = F (b F (, que l on note: [F (x]b (v En prticulier, b f(t dt = b f(t dt On verr à l section suivnte comment on clcule techniquement les primitives, et donc les intégrles 4 Cs des fonctions à vleurs complexes On prend toujours I = [, b], mis on suppose mintennt que f : I C est à vleurs complexes On définit clssiquement l fonction prtie réelle f : I R et l fonction prtie imginire f 2 : I R de f pr: f(t = f (t + if 2 (t pour tout t I On peut montrer isément que f est continue pr morceux sur I si et seulement si f et f 2 le sont, de sorte que l on définit nturellement: b f(t dt = b f (t dt + i b f 2(t dt En outre, si f est continue pr morceux sur I, il en est de même de l fonction f, (qui désigne le module de f, et donc l vleur bsolue dns le cs prticulier où f est à vleurs réelles, et l on : b f(t dt b f(t dt 22