INTÉGRALES MULTIPLES ET APPLICATIONS

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1 INTÉGRALES MULTIPLES ET APPLICATIONS Ce chapitre constitue une généralisation de la notion d'intégrales simples vue précédemment. Les propriétés énoncées pour les intégrales simples demeurent. On se contentera donc d'énoncer ici des règles pratiques de calcul. 1 Intégrales doubles 1.1 Généralités Soit f une fonction des deux variables x et y dénie sur un domaine 2 R 2. On sait que lorsqu'on fait varier les coordonnées du point M(x, y) dans et que l'on reporte sa cote U = f(m), on obtient la représentation graphique de f qui est une surface que l'on notera. Entourons le point M par une surface innitésimale ds. Alors f(m)ds représente le volume du prisme innitésimal dessiné ci dessous. Ce prisme a pour base ds et pour hauteur U = f(m). Ce volume est compté algébriquement, c'est à dire positif si U est au dessus du plan xoy et négatif sinon. Lorsqu'on fait la somme de tous les volumes des prismes f(m)ds pour tous les points M 2, on obtient une intégrale double : I = f(m)ds Cette intégrale double représente mathématiquement le volume algébrique compris entre le plan xoy délimité par le domaine et la surface. La notation renvoie au fait que le domaine d'intégration est une surface à 2 dimensions et donc que nous allons procéder à deux intégrations successives. 1 JMB

2 1.2 Calcul en coordonnées cartésiennes En coordonnées cartésiennes, l'élément de surface ds s'obtient en faisant varier x de dx et y de dy. Ainsi ds est un rectangle de côtés dx et dy et donc ds = dxdy. On a donc I = f(x, y)dxdy L'interprétation graphique est la suivante : pour une valeur donnée de x comprise entre x min et x max, on fait varier x de dx. On dénit ainsi une tranche innitésimale parallèle au plan yoz et d'épaisseur dx. Soit S x la surface de cette tranche alors le volume de la tranche innitésimale est dv x = S x dx. Le volume total recherché est donc la somme de tous ces volumes c'est à dire que l'on a donc : I = f(x, y)dxdy = xmax x min dv x = xmax x min S x dx Reste à trouver la surface S x. S x est donc la surface sous la courbe f(x, y) = z pour x xé (il s'agit bien d'une courbe car seule y varie) et entre les droites verticales d'équation y = y min (x) et y = y max (x). Í Þ Ü Ýµ ¾ Ë Ü ½ ¹½ Ç ¹½ ½ ¾ Ý Ñ Ò Üµ Ý Ñ Ü Üµ 2 JMB

3 Ces deux valeurs correspondent à l'entrée et à la sortie dans le domaine pour x xé. On a donc S x = y=ymax (x) y=y min (x) I = f(x, y)dy. On obtient donc la formule fondamentale : f(x, y)dxdy = xmax y=ymax(x) x min y=y min (x) y y max (x) f(x, y)dy! dx y min (x) O x min x x max x Mais on peut bien-sûr inverser les rôles de x et y et on obtient : I = f(x, y)dxdy = ymax x=xmax(y) y min x=x min (y) y max y f(x, y)dx! dy y Exemple 1. Calculer y min O x x max (y) x min (y) xydxdy où = {(x, y) 2 R 2 /2x + y 6 2; x + y > 1; x > 0} Pensez avant de commencer les calculs, à toujours représenter graphiquement le domaine an de choisir une formule plutôt qu'une autre même si on retrouve le même résultat quelle que soit la formule employée. 1.3 Calcul en coordonnées polaires On obtient l'élément de surface ds en coordonnées polaires, en faisant varier r de dr et θ de dθ. ds est alors un secteur angulaire que l'on considère comme un pseudo rectangle innitésimal de longueur dr et de largeur rdθ. Ainsi ds = rdrdθ. 3 JMB

4 y rdθ dr O θ θ +dθ r r+dr x ans la pratique, on calcule I par deux intégration successives de cette façon : θ=θmax r=rmax! (θ) I = g(r, θ)rdrdθ = rg(r, θ)dr dθ θ=θ min r=r min (θ) Exemple 2. Calculer en passant aux coordonnées polaires I = = {(x, y) 2 R 2 /1 6 x 2 + y 2 6 4; x > 0; y > 0} Exemple 3. Calculer en passant aux coordonnées polaires I = = {(x, y) 2 R 2 /x 2 + y 2 4y 6 0; x > 0} 1 dxdy x 2 où + y2 xdxdy où 1.4 Intégrales doubles sur un pavé Soit I = f(u, v)dudv une intégrale double. On dit que le domaine d'intégration est un pavé si les bornes v min (u) et v max (u) sont indépendantes de u. ans ce cas on a : I = f(u, v)dudv = u=umax v=vmax u=u min v=v min f(u, v)dudv Lorsque l'on est en coordonnées cartésiennes, un pavé est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. En coordonnées polaires, un pavé est un secteur circulaire. Si en plus sur ce pavé on a f(u, v)g(u)h(v), on dit que f est à variables séparables, on a alors le théorème de Fubini suivant : Théorème 1. I = f(u, v)dudv = u=umax g(u)du v=vmax u=u min v=v min h(v)dv C'est à dire que l'on peut alors transformé le calcul d'une intégrale double en un produit de deux intégrales simples. Exemple 4. Calculer xydxdy où est le pavé [a; b] [c; d]. 4 JMB

5 1.5 Aires Calcul de l'aire du domaine On a vu que I = f(u, v)dudv mesure le volume sous et au dessus de. On a aussi la possibilité d'utiliser I = pour calculer tout simplement l'aire elle même du domaine. Il sut pour cela de prendre f(x, y) = Constante en particulier on peut prendre f(x, y) = 1. Ainsi, l'aire A du domaine est : A = 1dudv et donc en coordonnées cartésiennes A = dxdy et en coordonnées polaires A = rdrdθ Exemple 5. Calculer l'aire A de la région du plan xoy délimitée par les courbes 2y = 16 x 2 et x + 2y = Calcul d'aire de surface On appelle R la région du plan xoy délimitée par la projection sur le plan xoy de la surface. En un point U = f(m) quelconque passe un plan tangent à la surface. On sait alors que les pentes des deux droites engendrées par les vecteurs directeurs a et b de ce plan sont données par f f (M) et par x y (M). On a ainsi : 5 JMB

6 a = dx i + f x (M)dx k b = dy j + f y (M)dy k L'aire du parallélogramme T, morceau innitésimal du plan tangent en M à est donnée par la formule : Or on a : on a donc : a b = a b i j k f dx 0 x (M)dx 0 dy f y (M)dy Ì f Œ 2 f Œ 2 T = x (M) + y (M) + 1! dxdy et donc l'aire de la surface délimitée par sa projection sur le plan xoy R est : A = R Ì f x (M) Œ 2 + f y (M) Œ 2 + 1! dxdy Exemple 6. Calculer l'aire de la surface de la partie positive du paraboloïde d'équation z = 4 x 2 y Changement de variable : cas général On rappelle qu'on appelle jacobien de φ : (u, v) 7 (x, y) le déterminant suivant : det(j(φ(u, v)) = x u y u x v y v Soit une partie de R 2 et φ : [x 0, x 1 ] [y 0, y 1 ] 7 R 2 telle que φ(r) =, on a alors : f(x, y)dxdy = f (φ(u, v)) det(j(φ(u, v)) dudv R On retrouve par exemple en coordonnées polaires : soit déni en coordonnées polaires comme un pavé R = [r 0, r 1 ] [θ 0, θ 1 ]. On a φ : (r, θ) 7 (r cos θ, r sin θ) et on retrouve alors : f(x, y)dxdy = f (r cos θ, r sin θ) r drdθ R 6 JMB

7 1.7 En physique : masses et centres d'inertie Si on a σ(x, y) la densité surfacique d'une plaque alors sa masse est donnée par la formule : M = σ(x, y)dxdy et son centre d'inertie G = (x G, y G ) est tel que : OG = 1 OPσ(x, y)dxdy M où le vecteur OP = (x, y), c'est à dire que l'on a : x G = 1 xσ(x, y)dxdy M y G = 1 yσ(x, y)dxdy M 2 Intégrales curvilignes 2.1 Longueur d'un arc de courbe Soit un arc de courbe ø AB, on considère un point M qui se déplace le long de la courbe AB par déplacement innitésimaux d M Chacun de ces déplacements à une longueur d M. Ainsi la longueur de l'arc AB ø B est L = d M. A Si on travaille en coordonnées cartésiennes, on a donc d M = dx i + dy j donc B È L = dx2 + dy 2 et en coordonnées polaires d M = (r 0 e r + r B e θ )dθ donc L = A A È r 2 + r 02 dθ. La notion d'abscisse curviligne généralise la notion d'abscisse sur un axe orienté. Soit une courbe (C), on choisit arbitrairement un sens positif de déplacement le long de (C). On choisit de manière tout à fait aussi arbitraire un point Ω de (C). L'abscisse curviligne s du point M de (C) est dénie par s = ù ΩM. + ù ΩM si on va de Ω à M dans le sens positif choisi, ù ΩM sinon. On a donc ds = d M lorsque M se déplace d'une quantité innitésimale d M. 7 JMB

8 2.2 Surface intérieure d'une courbe fermée Soit (C) une courbe fermée sans point double. La surface sous (C 1 ) vaut S 1 = ydx. (C 1 ) La surface sous (C 2 ) vaut S 2 = ydx. Le signe "-" provient du fait que dx < 0. (C 2 ) La surface intérieure est donc S = S 2 S 1 = ydx ydx Lorsque M parcourt (C 1 ) puis(c 2 ) dans le sens trigonométrique choisi arbitrairement comme sens positif, M parcourt alors toute la courbe (C). On a donc : S = ydx. Le dans (C) indique que l'on calcule une intégrale sur une courbe fermée orientée. S est donnée par ce que l'on appelle alors une intégrale curviligne. Exemple 7. Calculer la surface intérieure à l'ellipse d'équation x2 a 2 + y2 b 2 = Formule de Green-Riemann Soit (C) une courbe fermée orientée sans point double parcourue dans le sens trigonométrique choisi arbitrairement comme sens positif. Soient P = P(x, y) et Q = Q(x, y) des fonctions des deux variables x et y dénies et admettant des dérivées partielles sur tout point de (C) et en tout point de l'intérieur de (C). La formule de Green-Riemann est : Q Œ x P dxdy = Pdx + Qdy y (C) Elle permet donc de transformer une intégrale double en une intégrale curviligne. Exemple 8. Calculer I =2 3 Intégrales triples (C 2 ) (C 1 ) y 2 dxdy où = {(x, y) 2 R 2 / x2 4 + y2 6 1}. 3.1 Généralités Soit f une fonction des deux variables x,y et z dénie sur un domaine 2 R 3 c'est à dire de l'espace. Ainsi, la représentation graphique de U = f(m) nécessiterait que l'on puisse représenter en 4 dimensions car lorsqu'on fait varier les coordonnées du point M(x, y, z) dans 8 JMB

9 et que l'on reporte sa quatrième composante (qu'on peut considérer comme le temps t) on obtient la représentation graphique de f qui est donc une hyper surface. Entourons le point M 2 par un volume innitésimal dv. Alors f(m)dv représente l'hyperprisme innitésimal. Cet hyper-prisme a pour base dv et pour hauteur U = f(m). Lorsqu'on fait la somme de tous les volumes des hyper-prismes f(m)dv pour tous les points M 2, on obtient une intégrale triple : I = f(m)dv Comme pour les intégrales doubles, cette intégrale triple représente mathématiquement un hyper-volume algébrique La notation renvoie au fait que le domaine d'intégration est un volume à 3 dimensions et donc que nous allons procéder à trois intégrations successives. Exemple 9. En mécanique, l'intégrale triple est utilisée pour le calcul des moments d'inertie. En électromagnétisme,??? 3.2 Calcul en coordonnées cartésiennes On procède par analogie avec les intégrales doubles. En coordonnées cartésiennes, l'élément de volume dv s'obtient en faisant varier x de dx, y de dy et z de dz et donc dv = dxdydz. 9 JMB

10 Ainsi on a : f(x, y, z)dxdydz Représentons un certain domaine pour établir le traitement de la recherche des bornes d'intégration. Pour un certain x xé, variant entre x min et x max, on découpe dans une surface x. On peut alors représenter x dans le plan yoz. Puis le traitement sur x se fait comme avec les intégrales doubles. On a alors : I = x=xmax x=x min y=ymax(x) y=y min (x) z=zmax(x,y) z=z min (x,y)!! f(x, y, z)dz dy dx Bien-sûr, on peut intervertir les rôles de x, y et z. Ainsi, on a 6 possibilités diérentes pour le calcul I. Exemple 10. Calculer I = f(x, y, z)dxdydz où = {(x, y, z) 2 R 3 /x > 0; y > 0; z > 0; x + y + z 6 2}. Représentez obligatoirement! 3.3 Calcul en coordonnées cylindriques On rappelle qu'en dimension 3, les coordonnées cylindriques sont données par : x = r cos θ y = r sin θ z = z Ici dv est obtenu en faisant varier r de dr, θ de dθ et z de dz. dv est un pseudo-parallélépipède tel que dv = rdrdθdz. 10 JMB

11 On a donc : I = ans la pratique, on calcule souvent ainsi : I = θ=θmax θ=θ min r=rmax (θ) r=r min (θ) g(r, θ, z)rdrdθdz z=zmax (r,θ) z=z min (r,θ)!! rg(r, θ, z)dz dr dθ On notera l'ordre d'intégration. En eet, dans la pratique, il est souvent plus simple de voir ce qui se passe à θ xé. Ceci revient à couper le domaine d'intégration par un plan pivotant autour de Oz. On coupe ensuite la section θ obtenue à r constant. Exemple 11. Calcul du volume du cylindre de rayon R et de hauteur h. 3.4 Calcul en coordonnées sphériques On rappelle qu'en dimension 3, les coordonnées sphériques sont données par : 11 JMB

12 x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ L'élément de volume est alors dv = r 2 sin θdrdθdφ et on a donc : I = h(r, θ, φ)r 2 sin θdrdθdφ et son calcul pratique se fait souvent de la manière suivante : I = Exemple 12. Calculer φ=φmax φ=φ min θ=θmax (φ) θ=θ min (φ) r=rmax (θ,φ) r=r min (θ,φ) 4 Compléments d'analyse diérentielle r 2 h(r, θ, φ)dr!! sin θdθ dφ zdxdydz où = {(x, y, z) 2 R 3 /x 2 + y 2 + z 2 6 R 2 ; z > 0}. 4.1 Champ de vecteurs Soit A une partie de l'espace. On dit qu'il existe un champ de vecteurs déni sur A si en tout point M de A il existe un vecteur E = E (M). L'exemple le plus simple est le champ de pesanteur : g = g (M) = g k au voisinage du sol qui est un champ constant car g est une constante. Un champ de vecteurs est dit newtonien de paramètre k si le champ de vecteur est déni en coordonnées sphériques : E = k e r 2 r. On en rencontre en électrostatique. 12 JMB

13 4.2 Circulation d'un champ de vecteurs Soit M un point de l'espace ou existe un champ de vecteurs E = E (M). On déplace M d'une quantité innitésimale d M. Par dénition, la circulation innitésimale associée à ce déplacement innitésimal est δw = E.d M Si E est une force F par exemple, δw représente donc le travail innitésimal de F lors du déplacement innitésimal d M. Supposons que le champ de vecteurs E ait pour composantes P, Q, R dans le repère orthonormé (O, i, j, k ), alors δw = P i + Q j + R k.(dx i + dy j + dz k ) = Pdx + Qdy + Rdz C'est donc on l'a déjà vu, une forme dite diérentielle. Ainsi, une forme diérentielle peut toujours s'interpréter comme la circulation innitésimale d'un champ de vecteurs. Remarquez l'utilisation du δ plutôt que du d. dw est réservé aux variations innitésimales d'une fonction. Si on ne sait pas si s'en est une, on utilise δ. Si on fait circuler le champ de vecteurs E le long d'une courbe orientée (C) allant de d'un point A à un point B, par déplacements successifs d M le long de (C) dans le sens positif (choisi arbitrairement), alors la circulation du champ E le long de cette courbe orientée (C) est dénie comme la somme de toutes les circulations innitésimales δw lorsque M va de A jusqu'à B. C'est à dire que l'on a : W = δw = (C) (C) E.d M = (C) Pdx + Qdy + Rdz On sait q'en paramétrisant la courbe orientée (C), on calcule "facilement" cette intégrale curviligne. Exemple 13. Calculer : (C) ydx + 3xdy où (C) est le demi-cercle de centre O et de rayon R. Remarque 1. Reprenons l'exemple ci-dessus et faisons circuler le champ E le long du segment [AB] de l'axe Oy. Alors pour cette circulation y varie donc de R à +R à x = 0. onc dx = 0 et ainsi on a W [AB] = +R R 0dy = 0. onc on a W (C) 6= W [AB] et de manière général la circulation d'un champ de vecteurs dépend en général du chemin choisi. 4.3 Potentiel scalaire Soit E un champ de vecteurs. On dit que ce champ de vecteurs dérive d'un potentiel scalaire, s'il existe V = V(x, y, z) une fonction des trois variables x, y, z telle que E = g radv. La présence du moins (pas obligatoire mais plus explicite) résulte de l'interprétation physique du potentiel : le travail fourni par une force qui dérive d'un potentiel doit être positif lorsque le potentiel V diminue. On dit que le potentiel est un travail en devenir! 13 JMB

14 Exemple 14. g = g k le chap de pesanteur dérive d'un potentiel scalaire car g = g radv où V = mgz. Théorème 2. Soit E un champ de vecteur qui dérive d'un potentiel scalaire V. La circulation de ce champ de vecteurs E entre deux points A et B ne dépend pas du chemin suivi et on a W A B = V(A) V(B) 4.4 Opérateurs de l'analyse vectorielle On dénit l'opérateur nabla : r. =. x Ainsi on a : g radu = ru. i +. y. j + k. z Soit E un champ de vecteurs tel que E = E x i + Ey j + Ez k alors on a : Le divergent de E est : div E = r.... E = i + j + x y z div E = E x x + E y y + E z z Le rotationnel de E est : rot E = r. E = x d'où rot Ez E = y E y z Et le Laplacien du potentiel scalaire U est : Œ i Ez x E x z k Œ.(E x i + Ey j + Ez k ) d'où Œ.. i + j + k (E x i + Ey j + Ez k ) y z Œ + Ey x E x y Œ k Š U = div g radu = r 2 U = 2 U x + 2 U 2 y + 2 U 2 z 2 Enn on a comme propriétés très classiques : rot g radu Š = 0 div rot E = Intégrales de surfaces Une intégrale de surface est une intégrale de la forme : I = f(m)dσ Ici désigne une surface de l'espace. Le point M décrit la surface. f est une fonction de M et dσ est un morceau innitésimal de entourant le point M. On remarque donc que les intégrales doubles du paragraphe 1 sont un cas particulier avec surface plane du plan xoy. Exemple 15. Calculer I = z 2 dσ où est la surface de la sphère de centre O et de rayon R. 14 JMB

15 4.6 Flux d'un champ de vecteurs Soit E un champ de vecteurs et une surface de l'espace. On désire mesurer la quantité de champ E qui traverse la surface. Pour cela : 1. On oriente la surface grâce à un vecteur normal n unitaire. 2. On prend l'angle formé localement au point M ente le champ de vecteurs E et le vecteur normal n. 3. Le ux innitésimal qui traverse la surface innitésimale dσ au point M est donné par : dϕ = E. n dσ. le ux du champ E à travers est donc ϕ = E. n dσ Exemple 16. Calculer le ux d'un champ constant à travers une surface d'aire S. 4.7 Formules de Stokes et d'ostrogradski Soit dv un volume innitésimal entourant le point M. On oriente la surface innitésimale ds qui délimite dv vers l'extérieur (surface fermée donc il y a un intérieur et un extérieur!). Alors le ux du champ E à travers ds vaut dϕ = div E.dV. Ainsi la dénition de la divergence du champ de vecteurs E devient intrinsèquement liée à celle d'un ux plutôt qu'à des coordonnées. Cela facilité les changements de coordonnées! La divergence mesure la quantité de champ qui sort (qui diverge donc) localement du point M. e même soit (C) une courbe fermée orientée innitésimale entourant le point M. On oriente la surface innitésimale ds délimitée par la courbe (C) par la règle dite du tire-bouchon. Alors la circulation du champ de vecteur E le long de (C) est : δw = rot E. n ds. Ainsi δw est égale au ux du rotationnel du champ de vecteurs E à travers la surface innitésimale ds. Le mot rotationnel vient de ce que l'on fait circuler (tourner!) le champ localement autour de M le long d'ne courbe fermée. Soit (C) une courbe fermée orientée et une surface s'appuyant sur cette courbe (C) et orientée à partir du sens de rotation sur (C) par la règle du tire-bouchon. La formule de Stokes s'énonce ainsi : la circulation d'un champ de vecteurs E le long d'une courbe fermée (C) est égale au ux de son rotationnel à travers toute surface s'appuyant sur la courbe (C). 15 JMB

16 E.dM = rot E. n dσ (C) Exemple 17. Retrouver la formule de Green-Riemann grâce à la formule de Stokes! Maintenant, considérons une surface fermée de l'espace orientée vers l'extérieur. La formule d'ostrogradski s'énonce ainsi : le ux d'un champ de vecteurs E à travers une surface fermée est égale à l'intégrale triple de sa divergence dans le domaine intérieur déni par l'intérieur de. E. n dσ = div E.dV Exemple 18. Retrouver la formule du volume d'une sphère de rayon R et de centre O en utilisant la formule d'ostrogradski. 16 JMB

17 5 Exercices Exercice 1. Exprimer l'intégrale double f(x, y)dxdy sur les domaines cités : 1. : région rectangulaire de sommets ( 1, 1), (2, 1), (2, 4) et ( 1, 4). 2. : région triangulaire de sommets (2, 9), (2, 1), ( 2, 1). 3. : région triangulaire de sommets (0, 0), (3, 1), ( 2, 1). 4. : région comprise entre les graphes d'équations : y = sin x, y = cos x, x = 0, x = π 4 5. : région comprise entre les graphes d'équations : y = x 2, y = 0, x = 2 6. : région comprise entre les graphes d'équations : y = 2x, y = x, y = 4 7. : région comprise entre les graphes d'équations : 8y = x 3, y x = 4, 4x + y = 9 8. : région comprise entre les graphes d'équations : x = 2 p y, p 3x = p y, y = 2x : région comprise entre les graphes d'équations : x + 2y = 5, x y = 2, 2x + y = : région comprise entre les graphes d'équations : y = e x, y = ln x, x+y = 1; x+y = 1+e Exercice 2. Calculer les intégrales doubles suivantes sur les domaines précisés : x 2 ydxdy où = {(x, y) 2 R 2 /x > 0; y > 0; x + y 6 1} 1 (x + y) 2 dxdy où = {(x, y) 2 R2 /x > 1; y > 1; x + y 6 4} p xdxdy où = {(x, y) 2 R 2 /x > 0; y > 0; x 2 6 y 6 x} x 2 + y 2 dxdy où = {(x, y) 2 R2 /x 2 + y 2 6 1} (x 2 y 2 )dxdy où = {(x, y) 2 R 2 /0 6 y 6 x; x 2 + y 2 6 R 2 } ydxdy où = {(x, y) 2 R 2 /(x 1) 2 + y ; y > 0}, d'abord en coordonnées cartésiennes puis en coordonnées polaires (on pensera à donner une paramétrisation polaire de ) et enn grâce à la Formule de Green-Riemann. (x 2 + y 2 )dxdy où = {(x, y) 2 R 2 /x 2 + y 2 2y 6 0} 7.! x 2 8. Soit 0 < b < a. a + y2 2 b 2 Formule de Green-Riemann. dxdy où = {(x, y) 2 R 2 / x2 a + y2 6 1} 2 en utilisant la b2 17 JMB

18 9. Soit a un paramètre > A xy È x2 + y 2 + a dxdy où = {(x, y) 2 2 R2 /0 6 x 6 a; 0 6 y 6 1} en coordonnées cartésiennes puis en utilisant la formule de Green-Riemann. 1 (1 + x 2 )(1 + y 2 ) dxdy où = {(x, y) 2 R2 /0 6 y 6 x 6 1} e (x2 +xy+y 2) dxdy où = {(x, y) 2 R 2 /x 2 + xy + y 2 6 1} Exercice 3. Le but de l'exercice est de calculer I = 1. Soit J = Arctan x 1 + x dx. ln(1 + x) 1 + x 2 dx. éterminer une relation entre I et J. x 2. Montrer que pour tout réel x > 0, ln(1 + x) = xy dy. 3. En déduire que pour un domaine du plan à déterminer, J = 4. Expliquer pourquoi on peut intervertir les rôles de x et y et écrire que : y J = (1 + y 2 )(1 + xy) dxdy. x + y 5. En déduire que 2J = (1 + x 2 )(1 + y 2 ) dxdy. 6. En déduire la valeur de J puis celle de I. Exercice Calculer 1. Soit a > 0. Pouvez-vous calculer a 0 1 e t2 dt? a e (x2 +y2) dxdy où a est le disque de centre O et de rayon a. x (1 + x 2 )(1 + xy) dxdy. 3. On note C a le carré centré en O et de côté 2a et p 2a le disque de centre O et de rayon p 2a. Etablir une double inégalité entre e (x2 +y2) dxdy, e (x2 +y2) dxdy a C a et p 2a e (x2 +y2) dxdy. 4. En utilisant le théorème de Fubini, le théorème des Gendarmes et la question 3. déduire la limite de a 0 e t2 dt lorsque a +. Exercice 5. Calculer les intégrales triples suivantes sur les domaines précisés : 1. xdxdydz où = {(x, y, z) 2 R 3 /x > 0; y > 0; z > 0; x + y + 2z 6 2}. 18 JMB

19 2. 2A p x + y + z dxdydz où = {(x, y, z) 2 R 3 /0 6 x 6 1; 1 6 y 6 2; 1 6 z 6 2}. 3. Soit a > 0 et h > Soit 0 < α < β. β 2 ; z > 0}. Exercice 6. En utilisant les intégrales triples, calculer : 1. Le volume d'une sphère de rayon R. z 2 dxdydz où = {(x, y, z) 2 R 3 /x 2 + y 2 6 a 2 ; 0 6 z 6 h}. 1 È x2 + y 2 + z dxdydz où = {(x, y, z) 2 2 R3 /α 2 6 x 2 + y 2 + z Le volume d'un cône de révolution de hauteur h et de rayon de base R. 3. z G = 1 zdv, où Γ désigne l'intérieur d'un cône de révolution d'axe Oz, de rayon V Γ R, de hauteur h, de sommet Ω(0, 0, h) (la base du cône est dans le plan xoy), V étant le volume de ce cône. Exercice 7. Soit R > 0 et a > 0. Calculer l'intégrale de surface I = z x 2 + y 2 et est le cylindre d'équation x2 + y 2 = R 2 et 0 6 z 6 a. f(m)dσ où f(m) = Exercice 8. Soit R > 0 et soit S la demi sphère d'équation x 2 + y 2 + z 2 = R 2 et z > 0. On considère le champ de vecteurs E = y i + x(1 2z) j xy k. 1. Calculer rot E. En déduire le ux de rot E à travers S. 2. Retrouver ce résultat en utilisant la formule de Stokes. 3. Retrouver ce résultat en fermant la surface S par le disque de centre O et de rayon R situé dans le plan xoy et en utilisant la formule d'ostrogradski. 19 JMB

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