Calculs d aires et de périmètre dans le plan Calculs de volumes Formules trigonométriques. Géométrie numérique. Fabrice LECLERCQ.
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- Robert Éthier
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1 13 octobre 2009
2 Figures Périmètres Aires Carré 4a a 2 Rectangle 2a+2b a b
3 Figures Périmètres Aires Tri. quelconque a+b + c b h 2 Tri. équilatéral 3a 3 a 2 4
4 Figures Périmètres Aires Losange 4a D d 2 Trapèze a+b + c + B B + b 2 h Cercle 2πR πr 2
5 Pour calculer l aire d un triangle, on peut utiliser la formule de Héron Théorème Soit un triangle de côtés a, b et c. Son aire est alors A = p(p a)(p b)(p c) où p = a+b + c. 2 Remarque Attention, dans la formule de Héron, p représente le demi-périmètre. Méthode 10 Calculer l aire du triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm.
6 Pour calculer l aire d un triangle, on peut utiliser la formule de Héron Théorème Soit un triangle de côtés a, b et c. Son aire est alors A = p(p a)(p b)(p c) où p = a+b + c. 2 Remarque Attention, dans la formule de Héron, p représente le demi-périmètre. Méthode 10 Calculer l aire du triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm. Il faut ici utiliser la formule de Héron :
7 Pour calculer l aire d un triangle, on peut utiliser la formule de Héron Théorème Soit un triangle de côtés a, b et c. Son aire est alors A = p(p a)(p b)(p c) où p = a+b + c. 2 Remarque Attention, dans la formule de Héron, p représente le demi-périmètre. Méthode 10 Calculer l aire du triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm. Il faut ici utiliser la formule de Héron : Il faut tout d abord calculer le demi-périmètre p : p = = 7 cm.
8 Pour calculer l aire d un triangle, on peut utiliser la formule de Héron Théorème Soit un triangle de côtés a, b et c. Son aire est alors A = p(p a)(p b)(p c) où p = a+b + c. 2 Remarque Attention, dans la formule de Héron, p représente le demi-périmètre. Méthode 10 Calculer l aire du triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm. Il faut ici utiliser la formule de Héron : Il faut tout d abord calculer le demi-périmètre p : p = = 7 cm. On a alors : A = 7(7 3)(7 5)(7 6) = 56 = , 483 cm 2.
9 Figure Aire Latérale Aire Totale Volume 2b(a+c) 2(ab + ac + bc) abc Parallélépipède 2πRh 2πR(R + h) πr 2 h Cylindre
10 Figure Aire Latérale Aire Totale Volume πr R 2 + h 2 πr ( R + R 2 + h 2) 1 3 πr2 h Cône de révolution
11 Figure Aire Latérale Aire Totale Volume 1 2 ap a = SK p = périmètre de la base 1 2 p(a+b) b = OK 1 3 Bh h = SO B = surface de la base Pyramide régulière
12 Figure Aire Latérale Aire Totale Volume 4πR 2 4πR πr3 Sphère
13 Théorème Relations métriques du triangle quelconque (Formules de Al-Kashi) : a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(α) b 2 = a 2 + c 2 2ac cos(β) c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(γ) Méthode 11 Calculer l angle ÂBC du triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm.
14 Théorème Relations métriques du triangle quelconque (Formules de Al-Kashi) : a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(α) b 2 = a 2 + c 2 2ac cos(β) c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(γ) Méthode 11 Calculer l angle ÂBC du triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm. Il faut ici appliquer une des formules d Al-Kashi : b 2 = a 2 + c 2 2ac cos(β)
15 Théorème Relations métriques du triangle quelconque (Formules de Al-Kashi) : a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(α) b 2 = a 2 + c 2 2ac cos(β) c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(γ) Méthode 11 Calculer l angle ÂBC du triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm. Il faut ici appliquer une des formules d Al-Kashi : b 2 = a 2 + c 2 2ac cos(β) On a alors : 6 2 = cosâbc
16 Théorème Relations métriques du triangle quelconque (Formules de Al-Kashi) : a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(α) b 2 = a 2 + c 2 2ac cos(β) c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(γ) Méthode 11 Calculer l angle ÂBC du triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm. Il faut ici appliquer une des formules d Al-Kashi : b 2 = a 2 + c 2 2ac cos(β) On a alors : 6 2 = cosâbc D où cosâbc = 2 30, soit ÂBC 93, 823
17 Théorème a La formule des trois sinus : sin(α) = b sin(β) = c = 2R où R est le sin(γ) rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Méthode 11bis Soit un triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm. On sait que ÂBC 93, 823 Calculer le rayon du cercle circonscrit à ABC.
18 Théorème a La formule des trois sinus : sin(α) = b sin(β) = c = 2R où R est le sin(γ) rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Méthode 11bis Soit un triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm. On sait que ÂBC 93, 823 Calculer le rayon du cercle circonscrit à ABC. b Il faut ici appliquer une partie de la formule des trois sinus : sin(β) = 2R
19 Théorème a La formule des trois sinus : sin(α) = b sin(β) = c = 2R où R est le sin(γ) rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Méthode 11bis Soit un triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm. On sait que ÂBC 93, 823 Calculer le rayon du cercle circonscrit à ABC. Il faut ici appliquer une partie de la formule des trois sinus : On a alors : 6 sin 93,823 = 2R b sin(β) = 2R
20 Théorème a La formule des trois sinus : sin(α) = b sin(β) = c = 2R où R est le sin(γ) rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Méthode 11bis Soit un triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm et AC = 6 cm. On sait que ÂBC 93, 823 Calculer le rayon du cercle circonscrit à ABC. Il faut ici appliquer une partie de la formule des trois sinus : On a alors : 6 sin 93,823 = 2R D où R = 3 sin 93,823 3 b sin(β) = 2R
21 EXERCICES
22 Exercice 15 Calculer l aire du triangle ABC tel que : 1. AB = 2 cm ; BC = 3 cm ; AC = 4 cm 2. AB = 4 cm ; BC = 4 cm ; AC = 4 cm
23 Exercice 15 Calculer l aire du triangle ABC tel que : 1. AB = 2 cm ; BC = 3 cm ; AC = 4 cm 2. AB = 4 cm ; BC = 4 cm ; AC = 4 cm 1. L aire vaut 2,905 cm 2.
24 Exercice 15 Calculer l aire du triangle ABC tel que : 1. AB = 2 cm ; BC = 3 cm ; AC = 4 cm 2. AB = 4 cm ; BC = 4 cm ; AC = 4 cm 1. L aire vaut 2,905 cm L aire vaut 6,928 cm 2.
25 Exercice 16 Calculer l angle ÂBC dans les cas suivants : 1. AB = 2 m ; BC = 3 m ; AC = 4 m 2. AB = 4 m ; BC = 4 m ; AC = 4 m
26 Exercice 16 Calculer l angle ÂBC dans les cas suivants : 1. AB = 2 m ; BC = 3 m ; AC = 4 m 2. AB = 4 m ; BC = 4 m ; AC = 4 m 1. L angle vaut 46, 567.
27 Exercice 16 Calculer l angle ÂBC dans les cas suivants : 1. AB = 2 m ; BC = 3 m ; AC = 4 m 2. AB = 4 m ; BC = 4 m ; AC = 4 m 1. L angle vaut 46, L angle vaut 60.
28 Exercice 17 Calculer l aire latérale d un parallélépipède dont les côtés mesurent l = 2 dm ; L = 3 dm ; h = 1 dm
29 Exercice 17 Calculer l aire latérale d un parallélépipède dont les côtés mesurent l = 2 dm ; L = 3 dm ; h = 1 dm L aire latérale vaut 10 dm 2.
30 Exercice 18 Calculer l aire latérale d un cylindre de rayon 3 m et de hauteur 2 m.
31 Exercice 18 Calculer l aire latérale d un cylindre de rayon 3 m et de hauteur 2 m. L aire latérale vaut 37,699 m 2.
32 Exercice 19 Calculer le volume d un cône de rayon 4 dm et de hauteur 3 dm.
33 Exercice 19 Calculer le volume d un cône de rayon 4 dm et de hauteur 3 dm. Le volume vaut 50,265 dm 2.
34 Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. Déterminer l aire d un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R, en fonction de R.
35 Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. Déterminer l aire d un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R, en fonction de R. Un pentagone régulier est un polygone à 5 côtés égaux, inscrit dans un cercle. Il est donc composé de 5 triangles identiques à AOB. L angle au centre est un cinquième de 360 soit 72. On peut écrire que l aire A de ce triangle, c est la moitié de l aire d un parallélogramme basé sur les vecteurs OA et OB. On a donc : A = 1 2 OA OB = 1 2 OA OB sin(âob) D où A = 1 2 R2 sin(72 ) Conclusion : L aire du pentagone est donc 5 2 R2 sin(72 )
36 Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. A = 5 2 R2 sin(72 ) 2. Déterminer l aire d un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R, en fonction de R.
37 Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. A = 5 2 R2 sin(72 ) 2. Déterminer l aire d un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R, en fonction de R. En appelant H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle AOB, on peut exprimer la distance AH. L angle AOH est égal à 36. En appliquant les règles de trigonométrie élémentaire, on obtient que : sin(âoh) = AH OA d où AH = OA sin(âoh) = R sin(36 ). On a donc AB = 2R sin(36 ). Conclusion : Le périmètre du pentagone est donc 10R sin(36 ).
38 Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. A = 5 2 R2 sin(72 ) 2. le périmètre est 10R sin(36 ). 3. Calculer le rayon du cercle contenant le potager de Joachim, au dm près.
39 Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. A = 5 2 R2 sin(72 ) 2. le périmètre est 10R sin(36 ). 3. Calculer le rayon du cercle contenant le potager de Joachim, au dm près. Le potager doit mesurer 0,5 ares, soit 50 m 2. Il faut donc que : 5 2 R2 sin(72 ) = 50 soit R 2 = 20 sin(72 ) 21, 029 D où R 21, 029 4, 59 4, 6 m.
40 Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. A = 5 2 R2 sin(72 ) 2. le périmètre est 10R sin(36 ). 3. R 4, 6 m. 4. Calculer la longueur de grillage nécessaire pour entourer le potager, au dm près.
41 Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. A = 5 2 R2 sin(72 ) 2. le périmètre est 10R sin(36 ). 3. R 4, 6 m. 4. Calculer la longueur de grillage nécessaire pour entourer le potager, au dm près. On peut maintenant calculer la longueur L du grillage : L = 10R sin(36 ) = 46 sin(36 ) 27, m.
42 Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. A = 5 2 R2 sin(72 ) 2. le périmètre est 10R sin(36 ). 3. R 4, 6 m. 4. L 27 m. 5. Joachim pose un poteau de 3 à chaque angle, le grillage coûte 2,5 par mètre. Calculer le prix du grillage avec les poteaux.
43 Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. A = 5 2 R2 sin(72 ) 2. le périmètre est 10R sin(36 ). 3. R 4, 6 m. 4. L 27 m. 5. Joachim pose un poteau de 3 à chaque angle, le grillage coûte 2,5 par mètre. Calculer le prix du grillage avec les poteaux. Le prix p du grillage avec les poteaux est alors : p = , 5 = 82, 5.
44 Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. A = 5 2 R2 sin(72 ) 2. le périmètre est 10R sin(36 ). 3. R 4, 6 m. 4. L 27 m. 5. p = 82, Joachim a eu ses semences pour 20. Il a déposé une couche de 2 cm d engrais naturel qu il achète par sacs de 50 litres pour 4 le sac. Calculer l investissement de Joachim en semences et engrais.
45 Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. A = 5 2 R2 sin(72 ) 2. le périmètre est 10R sin(36 ). 3. R 4, 6 m. 4. L 27 m. 5. p = 82, Joachim a eu ses semences pour 20. Il a déposé une couche de 2 cm d engrais naturel qu il achète par sacs de 50 litres pour 4 le sac. Calculer l investissement de Joachim en semences et engrais. Il faut calculer le volume V d engrais à déposer : V = 5 2Rh sin(72 ) où R = 4, 6 et h = 0, 02 m. D où V = 2, 5 4, 62 0, 02 sin(72 ) 1, 006m 3. On peut alors calculer le nombre n de sacs à acheter (un sac = 50 litres = 0,05 m 3 ) : n = 1,006 0,05 20, 124. Il lui faudra donc 21 sacs d engrais. Conclusion : La dépense à envisager en semences et engrais est = 104.
46 Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. A = 5 2 R2 sin(72 ) 2. le périmètre est 10R sin(36 ). 3. R 4, 6 m. 4. L 27 m. 5. p = 82, La dépense est Il a récolté 200 g par pied, en moyenne, et il sait que le kg de choux de Bruxelles se vend aux alentours de 2. Déterminer le bénéfice de Joachim.
47 Exercice 20 Joachim veut construire un potager en forme de pentagone régulier d un demi are, puis cultiver dans ce potager des choux de Bruxelles à raison de 20 pieds par m 2. Il veut entourer ce terrain de grillage. 1. A = 5 2 R2 sin(72 ) 2. le périmètre est 10R sin(36 ). 3. R 4, 6 m. 4. L 27 m. 5. p = 82, La dépense est Il a récolté 200 g par pied, en moyenne, et il sait que le kg de choux de Bruxelles se vend aux alentours de 2. Déterminer le bénéfice de Joachim. II faut tout d abord calculer le nombre de pieds plantés. L aire A du potager de Joachim est de 50m 2. Le nombre n de pieds plantés est donc : n = = 1000 Avec 200 g par pied, soit 0,2 kg, la masse m de choux de Bruxelles récoltée est alors : m = , 2 = 200 kg Conclusion : Joachim peut donc s attendre à un bénéfice de , = 213, 5.
48 Exercice 21 Frédéric a construit un bassin à tortues qui a la forme d un tétraèdre régulier renversé. Il souhaite y déposer une dizaine de tortues, et il sait que chaque tortue nécessite 40 litres d eau, au minimum. Son bassin doit être rempli jusqu à 10 cm du bord.
49 1. Déterminer le volume d un tétraèdre régulier de côté c, en fonction de c.
50 1. Déterminer le volume d un tétraèdre régulier de côté c, en fonction de c. Pour calculer ce volume, il faut utiliser la formule du volume d une pyramide, et donc connaître la profondeur du tétraèdre : Appelons H le projeté orthogonal de S sur ABC. Le tétraèdre est régulier, donc ABC est equilateral. H est donc aussi le centre de gravité de ABC. En appelant B le milieu de [AC], on peut écrire que : BH = 2 3 BB Pour exprimer BB, il faut considérer que le triangle BB A est rectangle en B, que AB = c, et que AB = 1 c. En appliquant le théorème de Pythagore, on 2 peut écrire : AB 2 = AB 2 +B B 2 d où c 2 = ( 1 2 c)2 +BB 2 soit BB 2 = 3 4 c2 d où BB = 3 c 2 On peut maintenant écrire que : BH = 2 3 BB = c = 3 3 c. Dans le triangle BHS, rectangle en H, en appliquant le théorème de Pythagore, on peut écrire que : BS 2 = BH 2 + HS 2 On connaît BS = c, et BH = 3 c, et on cherche HS (profondeur du 3 tétraèdre). HS 2 = BS 2 BH 2 = c 2 ( 3 3 c)2 = 2 3 c2 d où HS = 2 3 c = 6 3 Le volume V du tétraèdre est alors : V = c c 6 c = c3 = 2 12 c3
51 2. Dans ce tétraèdre, dont on suppose la profondeur supérieure à 10 cm, déterminer la surface d une base qui se trouverait à 10 cm de profondeur, en fonction de c.
52 2. Dans ce tétraèdre, dont on suppose la profondeur supérieure à 10 cm, déterminer la surface d une base qui se trouverait à 10 cm de profondeur, en fonction de c. Dressons un schéma représentant le triangle BHS, avec les points h et b, du nouveau tétraèdre : L eau du bassin est contenue dans un tétraèdre plus petit que le tétraèdre ABCS. Il faut déterminer le nouveau côté de ce petit tétraèdre pour calculer la contenance d eau. Sur le schéma ci-dessus, en considérant que c est mesuré en cm, on peut écrire : SH = 6 c Sh = 6 c 10 SB = c 3 3 On cherche Sb, qui est le côté du petit tétraèdre. Les droites (BH) et (bh) sont parallèles, donc on peut appliquer le théorème de Thalès : Sh = Sb SH SB Soit Sb = SB Sh 6 SH = c c c = c 10 6 L aire A de la surface d eau est donc : A = 3 4 (c 5 6) 2 3 = c 30 6 = c 5 6
53 3. Exprimer le volume d eau dans le bassin de Frédéric, en fonction de c.
54 3. Exprimer le volume d eau dans le bassin de Frédéric, en fonction de c. Le volume V d eau est donc : V = 2 12 (5 5 6) 3
55 4. Déterminer la valeur de c qui correspond aux 10 tortues de Frédéric.
56 4. Déterminer la valeur de c qui correspond aux 10 tortues de Frédéric. Si chacune des 10 tortues a besoin de 40 litres, le bassin doit contenir 400 litres d eau. La mesure utilisée étant le cm, la conversion donne cm 3 d eau. Pour trouver la valeur de c, il faut résoudre l équation : 2 12 (c 5 6) 3 = d où (c 5 6) 3 = = soit c 5 6 = et donc c = , 53 cm.
57 5. Le bassin est rempli par un jet d eau qui débite 2,5 litres par minute. En combien de temps le niveau voulu est-il atteint?
58 5. Le bassin est rempli par un jet d eau qui débite 2,5 litres par minute. En combien de temps le niveau voulu est-il atteint? Le volume d eau est de 400 litres. À raison de 2,5 litres par minute, le jet d eau = 160 minutes, soit 2 H et 40 m à remplir le bassin. mettra 400 2,5
59 Exercice 21 Dans le jardin d Hortense se trouve un parterre qui a la forme d un trapèze isocèle dont les dimensions sont les suivantes : B = 2 m, b = 1, 2 m et h = 80 cm. 1 Sur ce parterre, Hortense veut planter des pétunias, à raison de 1 par dm 2. Combien de pieds de pétunias doit-elle acheter? 2 Pour entourer ce parterre, Hortense plante des pieds de géranium tous les 6 cm. Combien de pieds de géranium doit-elle acheter? 3 Sachant que le pied de pétunia coûte 2,25 et que le pied de géranium coûte 1,5, quelle est la dépense que Hortense doit envisager?
60 Exercice 21 Dans le jardin d Hortense se trouve un parterre qui a la forme d un trapèze isocèle dont les dimensions sont les suivantes : B = 2 m, b = 1, 2 m et h = 80 cm. 1 Sur ce parterre, Hortense veut planter des pétunias, à raison de 1 par dm 2. Combien de pieds de pétunias doit-elle acheter? 2 Pour entourer ce parterre, Hortense plante des pieds de géranium tous les 6 cm. Combien de pieds de géranium doit-elle acheter? 3 Sachant que le pied de pétunia coûte 2,25 et que le pied de géranium coûte 1,5, quelle est la dépense que Hortense doit envisager? Hortense doit prévoir une dépense de 412,5.
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