XIII. Applications des intégrales définies.

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1 XIII. Applitions es intégles éfinies.. Cluls 'ies. Rppels. Dns le pite pééent, nous vons étli omment lule l'ie 'une sufe limitée p le gpe 'une fontion y = f(), l'e es et oites vetiles 'équtions espetives = et = et nous vons onlu : Ave les emques suivntes :. =. = -. = + Si f ontinue su [, ] F une pimitive e f (.-à-. F () = f()), A = élément 'ie = f() los : A = A = uée. =. Pou une fontion telle que l'eemple poposé ns le gpe i-essous : > < et > on, l'ie uée A = - +. Eemple : ie 'un tpèze éqution e (,) et (,) : y - = (-) y = + f() = + A = = = = = ( ) + = = ( ) F( ) = F() - F() = ie e l sufe // CNDP Epent - Applitions es intégles éfinies. XIII -

2 . Eemple : ie u ele Ptnt e l'éqution tésienne 'un ele enté à l'oigine et e yon : C + y = y = - et on f() = L'ie u ele = fois l'ie uée et on A = soit = sin t : si = t = et si = t = et = os t t / A = sin t. os t t = os t t = / ( os t) t = sin t t / = /. Eemple : ie e l'ellipse Comme pou le ele, onsiéons l'éqution tésienne e l'ellipse : y A = = y = ( - ) et on : f() = soit = sin t si = t = et si = t = A = / sin t os t t = / os t t =...=. Eeies... Séie Clule et intepéte gpiquement :.. ( - ) Solutions : ) ) ). ( - + ).. / 6. sin / 7. os / ) ( 6 ) ) 9 ( ) 6) 7) -.. Séie : si l'unité e longueu est u,. Clule l'ie e l égion u pln ompise ente l oue y =, les oites =, = et l'e es. sol : ln u XIII - CNDP Epent - Applitions es intégles éfinies. //

3 . Clule l'ie e l égion u pln ompise ente l oue y = e et les oites =, = et y = - sol : (e - e ) u. Clule l'ie ompise ente les oues 'éqution y = e, y = e - et l oite = sol : e + e - - -,66 u.. Séie Repésente et lule l'ie ompise ente les gpes e f et g si u est l'unité e longueu. f() = - ( - - ) et g() = - sol : 6 u. f() = - - et g() = - + sol : 7 u. f() = et g() = sol : u. f() = - + et g() = - sol : 6 u. f() = - + et g() = sol : u 6. f() = et g() = et ente les oites = et = sol : u.. Séie. Soit l'ellipse E + 9y - 6 = Clule l'ie e l sufe e ette ellipse ompise ente les oites 8 vetiles ompennt ses foyes. sol : sin 6.6 u. Clule l'ie e l'ellipse E + y = ompise ente les oites 'éqution = - et = sol : 6 ( +. Clule l'ie u ele C + y = ompise ente les oites 'équtions = et = sol : u. Soit f() = e. Clule l'ie ompise ente ette oue, l'e es et les oites vetiles ompennt =. u espetivement le minimum et le point 'infleion e ette fontion. sol :. f() = e e e ) u. Clule l'ie ompise ente ette oue, l'e es et l oite vetile ompennt le mimum e ette fontion. sol : (-e -. ) u y 6. Soit E =. Clule l'ie ompise ente ette ellipse et les oites vetiles ompennt les 9 foyes... Séie sol : sin 7 +. u. Dns un es s suivnts, lule l'ie e l sufe uée, l'unité 'ie étnt l'ie 'un é u quillge, snt que P, P, et P sont es poles ont l'e est pllèle à l oite C est un ele e ente O H et H' sont es ypeoles ont les symptotes sont les oites et et les oites ' et ' // CNDP Epent - Applitions es intégles éfinies. XIII -

4 P P P P C C P O 6 ' H H H' ' Solutions : ) u 7 ) u ) u ) (sin -) u ) ( + sin 6) ( sin + 9 ) u ) u 7) ( ln ) u 8) ( ln ) u. Un mu e m e long et 6m e ut est peé 'une pote ynt l fome 'un etngle sumonté 'un polique (f sém i-onte). Clule l quntité e peintue à employe pou epeine le mu snt qu'il fut un lite e peintue pou ouvi une sufe e m. Solution : Aie e l pote : m,7 lites e peintue. XIII - CNDP Epent - Applitions es intégles éfinies. //

5 . Clul e volumes.. Volumes e évolution utou e l'e es sisses Comme ns le s u lul 'ie où nous vons monté A = De même, le volume 'un solie e évolution V = où V = f () : volume élémentie (. à. un yline e yon f() et 'épisseu ) los e l ottion utou e l'e es e l sufe limitée p l'e es, l oue y = f() et les oites = et = V = f () V A. Applitions... Volume 'un ône e yon et e uteu Un ône e uteu et ont le yon e l se vut est engené p l ottion utou e l'e es sisses u tingle i-onte où f() = (,) y=f() V = = (,).. Volume 'un ton e ône Un ton e ône e uteu et ont les yons espetifs e l petite et e l gne se sont et R est engené p l ottion utou e l'e es sisses u tpèze i-onte. L oite ompennt les points (,) et (,R) pou éqution : y - = R ( ) f() = R + V = R = R R R en utilisnt les intégles qusi-imméites : u' = R et u = R los V = R R.. Volume 'une spèe R = ( R ) = R ( R ) ( ) L spèe e yon est engenée p l ottion utou e l'e es u ele e ente et e yon : C + y = y = = f() en utilisnt les popiétés e symétie :V = = ( - ) = = = = (,) (,) (,R) = (R +R + ) (,) // CNDP Epent - Applitions es intégles éfinies. XIII -

6 .. Volume 'un ellipsoïe e évolution Le s e l'ellipsoïe e évolution est tout à fit semlle à elui e l spèe mis est engené p une ellipse u lieu 'un ele. E y = y = ( - ) et f() = V = = ( - ) = = =.. Volume 'un segment e poloïe e évolution Consiéons le volume engené p l ottion utou e l'e es sisses e l pole 'éqution y = p limitée à l'oigine et à l oite 'éqution = P y = p f() = V = p p = p = p = p Remque : V = p = p = = qui nous monte que le volume u poloïe e évolution vut l moitié u volume u yline e même se et e même uteu...6 Volume 'un toe Un toe est le volume engené p l ottion utou e l'e es sisses 'un ele e yon et e ente (,R) omme ns l figue i-onte. Une onne imge 'un tel volume nous est onnée p une "me à i". C ( - ) + (y - R) = y = R En utilisnt les popiétés e symétie, nous otenons : V = R R Apès simplifition es temes semlles, nous otenons : V = 8 R (,R) (,R ) (, R ) en posnt = sin t = os t t et si = t = si = t = V = 8 R /. Eeies.. Séie os t t = R ( + os t) t = R t sin t / / = R = R. Clule le volume 'un ône e évolution engené p l ottion utou e l'e es e l oite 'éqution y =. Le ône est limité p l'oigine et pou uteu. sol : XIII - 6 CNDP Epent - Applitions es intégles éfinies. //

7 . Clule le volume 'un ton e ône e uteu ont une se pou yon et l'ute se R. sol : (R - ) (si =, = et R = 6 : V = ) ( R ). Clule le volume engené p l ottion utou e l'e es u quiltèe ABCD si A(,) B(,) C(,) D(,) sol :. Clule en fontion e et le volume e l'ellipsoïe e évolution ompis ente les plns pepeniulies à l'e fol ompennt les points (-, ) et (,) e l'ellipse génétie 'éqution E + y - = ( > ) sol :. Clule en fontion e p le volume u poloïe e évolution ompis ente le sommet et le pln pepeniulie à l'e fol ompennt le foye e l pole génétie 'éqution y - p = sol : p. Séie. Clule le volume u segment spéique 'une spèe + y + z =, ompis ente les plns pepeniulies à OX u points 'sisses et. sol :. Clule, en fontion e et le volume e l'ypeoloïe e évolution ompis ente les plns pepeniulies à l'e fol, ompennt les points (, ) et (, ) e l'ypeole génétie 'éqution H - y - = sol :. Clule le volume engené p l ottion utou e l'e OX e l sufe limitée p le gpe e f() = et les oites 'éqution = et = ( > ) sol : ln. Clule le volume engené p le ele + y - 6y + = ns s ottion utou e l'e OX. sol :. Clule le volume engené ns s ottion utou e l'e OX p l sufe ompise ente les gpes e f() = et g() = ( + 7) sol : 6 6. Consiéons l sufe limitée p l pole P y = et l oite y =. Clule le volume engené p l ottion e ette sufe utou e l oite y = sol :. Séie 6. Clule le volume engené p l ottion utou e l'e es y e l sufe limitée p l oue y = 9 et l oite y = sol :. )Clule l'ie e l ptie u pln ompise ente l pole P y = 8 et l oite = ) Clule le volume engené p l ottion utou e l oite e ette sufe. 6 sol : ) ). Clule le volume engené p l ottion e l sufe limitée p y = et y = 8 et l'e es oonnées 768 ) utou e l'e es sol : 7 ) utou e l oite = sol :. Clule le volume engené p l ottion e l sufe limitée p les oues = 9 y et 7 = y ) utou e l'e es oonnées sol : ) utou e l oite = sol :. Clule le volume engené p l ottion utou e l'e es e l sufe ompise ente l pole y = et l oite y = 7 sol : // CNDP Epent - Applitions es intégles éfinies. XIII - 7

8 . Métoe u tue.. Pinipe e l métoe (à pti 'un eemple) Soit à lule le volume engené p l ottion utou e l'e es y e l sufe limitée p l pole y = et l oite y = On peut onsiée e volume omme l somme 'une infinité e "tues" e yon, 'épisseu et e uteu y En ppoimnt le volume e e tue p elui 'un pllélépipèe etngle e longueu, e uteu y = + = et 'épisseu, nous vons on V =.( ) = ( ) = 6 8 y = P(,y).. Eeies (en utilisnt l métoe u tue). Soit l sufe limitée p l pole y = 8 et p l oite =. Clule le volume engené p l 8 ottion e ette sufe utou e l'e es oonnées. sol : unités. Soit l sufe limitée p l pole y = 8 et p l oite =. Clule le volume engené p l 6 ottion e ette sufe utou e l oite =. sol : unités. Clule le volume u toe engené p l ottion u ele + y = utou e l oite = sol : unités. Clule le volume engené p l ottion utou e l'e es y e l sufe limitée p l pole y = et les oites y =, =, = sol : 6 unités. Clule le volume engené p l ottion utou e l oite 'éqution = 6, e l sufe limitée p l pole y = et les oites y =, =, = sol : 7 unités 6. Clule le volume engené p l ottion utou e l oite y = 8 e l sufe limitée p l oue y =, l'e es et l oite = sol : 7. Volumes quelonques V = s(z) z et V = V = s( z) z Applition : volume 'une pymie. Consiéons une pymie e sommet O, e se B et e uteu V = s( z) z o s( z) z (à pti es eltions e similitue es tingles.) B s(z) = B z V = B z B z = z = B z O y s(z) B. Longueu 'un. Clul e l longueu 'une oue L longueu 'une oue peut églement ête otenue p le lul 'une intégle éfinie. En effet, onsiéons une oue quelonque 'éqution y = f() (en supposnt que f() et s éivée f' () sont ontinues su l'intevlle [, ] et que f() y est positive) XIII - 8 CNDP Epent - Applitions es intégles éfinies. //

9 Soient eu points e l oue A (, f()) et B((, f()) Si on poèe à une éoupe e l'intevlle [, ] en n petits intevlles e type [ i, i+ ] ve = et n =, on peut ppoime l longueu e l oue ompise ente les points A et B p l somme e petits segments e oites ompis ente les points A i ( i,f( i )) et A i+ ( i+, f( i+ ) pou i vint e à n - L = i n lim n i A i A i L longueu e l'un e es intevlles vlnt : A i A i+ = i i ) (f (i) f (i )) ( En pennt tous les intevlles e même longueu, nous otenons A i A i+ = f ( i ) f ( i ) ( ) (f ( i ) f ( i )) = f ( ) f () = L = i n n i f ( ) f () lim A i A i = lim = (f()) Nous vons insi otenu une métoe e lul e l longueu 'une oue ompise ente es eu points. A + B L(oue AB) = (f()). Applition Soit à lule l longueu u ele. Comme ns le s u lul e l sufe u ele, nous nous sevons es popiétés e symétie et ne lulons que le qut u ele (situé ns le pemie qunt). A pti e l'éqution u ele : + y =, nous tions : f() = et on : f' () = L = = = P le ngement e vile : = t = t Les ones 'intégtion eviennent los : si = t = et si = t = L =. t t =. t etouvons ien l longueu u ele = L =. Eeies. Clule l longueu e l' e l oue y =. Clule l longueu e l' e înette : y = t = sin t = (sin sin ) = ( - ) = et nous ente les points = et = sol : e e e = à = sol : unités 7 e unités e. Clule l longueu e l' e l oue y = 8 e = à = 8 sol : unités 7. Clule l longueu e l' e l oue 6y = 7 + e = à = sol : unités // CNDP Epent - Applitions es intégles éfinies. XIII - 9

10 . **Clule l longueu e l' e pole y = limité p l oite = sol : 6 [ + ln (+ )] unités. Tvil 'une foe. Clul Nous svons que le tvil W effetué p une foe onstnte gissnt su une istne le long 'une oite, vut F. s unités e tvil. Si mintennt, nous onsiéons le s 'une foe vint e fçon ontinue le long 'une oite. Soit l istne u point 'pplition e l foe à un point fie e l oite, pis omme oigine. L foe u point est onnée p l fontion F(). k O k Une vleu ppoée u tvil effetué p une foe, losque son point 'pplition se éple e = à =, est otenue e l mnièe suivnte : On ivise l'intevlle [, ] en n intevlles e longueu k. Soit k, un point u k ème intevlle. On poèe omme si l foe étit onstnte su le k ième intevlle et égle à F( k ). Le tvil effetué pennt e éplement élémentie est F( k ) k n F ( ) Et le tvil totl effetué p les n foes est on k k k Losque le nome 'intevlles ten ves l'infini e telle sote que k ten ves et en ppliqunt le téoème fonmentl, on otient :. Applition W = lim n n k F( ) k k = F () Allongement 'un essot. Si on emeue ns etines limites, l foe néessie pou tene un essot est popotionnelle à son llongement. L onstnte e popotionnlité est ppelée onstnte e ppel u essot. Si une foe e N est néessie pou llonge e, m un essot, ont l longueu u epos est e m, lule le tvil effetué pou l'llonge e 7 à m. Soit, l'llongement, los F() = k. Qun =,, F() = k = et F() = Le tvil oesponnt à l'llongement est. et on : W = = m.n = J. Eeies. L onstnte e ppel 'un essot est N/m. Clule le tvil effetué pou le ompime e, m.. Un âle pesnt N/m se éoule 'un teuil ylinique. m sont éjà éoulés. Clule le tvil effetué p l foe e pesnteu pou éoule 7 m supplémenties.. Un âle e m pèse 7 N/m. A une e ses etémités est tté un ontepois e 7 N. Clule le tvil effetué pou enoule m e âle su un teuil. XIII - CNDP Epent - Applitions es intégles éfinies. //